相似三角形的應用【知識與技能】會應用相似三角形的有關性質，測量簡單的物體的高度或寬度.自己設計方案測量高度,體會相似三角形在解決實際問題中的廣泛應用.【過程與方法】通過利用相似解決實際問題，進一步提高學習應用數學知識的能力.【情感態(tài)度】讓學生體會數學來源于生活，應用于生活，體驗數學的功用.【教學重點】構建相似三角形解決實際問題.【教學難點】把實際問題抽象為數學問題，利用相似三角形來解決.一、情境導入，初步認識復習1.相似三角形有哪些性質？2.如圖，B、C、E、F是在同一直線上，AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF.（1）△DEF與△ABC相似嗎？為什么？（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？（（1）△DEF∽△ABC.（2）AB=5）二、思考探究，獲取新知第二題我們根據兩個三角形相似，對應邊成比例，列出比例式計算出AB的長.人們從很早開始，就懂得應用這種方法來計算那些不能直接測量的物體的高度或寬度.例1  古代的數學家想出了一種測量金字塔高度的方法：為了測量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒O′B′，比較木棒的影長A′B′與金字塔的影長AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′=1米,A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.【分析】因為太陽光是互相平行的，易得△A′O′B′∽△AOB，從而求得OB的長度.解：∵太陽光是平行光線即O′A′∥OA,∴∠OAB=∠O′A′B′.又∵∠ABO=∠A′B′O′=90°,∴△OAB∽△O′A′B′.答：金字塔的高度OB為137米.例2  如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一這一邊上選定點B和C，使AB⊥BC，然后選定點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D，此時如果測得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求兩岸間的大致距離AB.解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD（兩角分別相等的兩個三角形相似），∴ABEC=BDCD,解得AB==100（米）.答：兩岸間的大致距離為100米.這些例題向我們提供了一些利用相似三角形進行測量的方法.例3  如圖，已知D、E是△ABC的邊AB、AC上的點，且∠ADE=∠C.求證：AD·AB=AE·AC.【分析】把等積式化為比例式,猜想△ADE與△ABC相似，從而找條件加以證明.證明：∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB（兩角分別相等的兩個三角形相似）.∴,∴AD·AB=AE·AC.三、運用新知，深化理解1.如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，兩岸岸邊各有一排樹，每排樹相鄰兩棵的間隔都是10m，在這岸離開岸邊16m處看對岸，看到對岸的兩棵樹的樹干恰好被這岸兩棵樹的樹干遮住，這岸的兩棵樹之間有一棵樹，但對岸被遮住的兩棵樹之間有四棵樹，這段河的河寬是多少米？【教學說明】先由實際問題建立相似的數學模型，可先證得△ABE∽△ACD,再根據對應線段成比例可求出河寬，即線段BC的長.2.亮亮和穎穎住在同一幢住宅樓，兩人用測量影子的方法測算其樓高，但恰逢陰天，于是兩人商定改用下面方法：如圖，亮亮蹲在地上，穎穎站在亮亮和樓之間，兩人適當調整自己的位置，當樓的頂部M，穎穎的頭頂B及亮亮的眼睛A恰好在一條直線上時，兩人分別標定自己的位置C、D，然后測出兩人之間的距離CD=1.25m，穎穎與樓之間的距離DN=30m（C、D、N在一條直線上），穎穎的身高BD=1.6m，亮亮蹲地觀測時眼睛到地面的距離AC=0.8m，你能根據以上測量數據幫助他們求出住宅樓的高度嗎？【答案】1.24m    2.20.8m【教學說明】過點A作MN的垂線段，構造相似三角形.四、師生互動，課堂小結這節(jié)課你學習了哪些知識，有哪些收獲？還有哪些疑問？【教學說明】學生小組討論，分小組陳述演示，教師歸納板書.1.布置作業(yè)：從教材相應練習和“習題23.3”中選取.2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.本節(jié)課以生活實例為情境，引導學生探究如何建立相似的數學模型，構造相似三角形，把實際問題轉化為數學問題（相似）來解決,進一步提高學生應用數學知識的能力. 

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4. 相似三角形的應用

版本： 華師大版

年級： 九年級上冊

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