第17章 函數(shù)及其圖象
17.1 變量與函數(shù)(第1課時(shí))
(1) 你坐過(guò)摩天輪嗎？你坐在摩天輪上時(shí),隨著時(shí)間t的變化,你離開地面的高度h是如何變化的？
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
下圖反映了旋轉(zhuǎn)時(shí)間t（分）與摩天輪上一點(diǎn)的高度h（米）之間的關(guān)系。
汽車行駛的路程會(huì)隨著行駛時(shí)間的變化而變化
(3) 一輛汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行使的路程S(千米)與行駛的時(shí)間t(時(shí))之間有怎樣的關(guān)系?
像這樣在某一變化過(guò)程中,可以取不同數(shù)值的量,叫做變量.
刻畫汽車運(yùn)動(dòng)變化的量是路程S和時(shí)間t,路程S隨著時(shí)間t的變化而變化,它們都會(huì)取不同的數(shù)值．
以上各個(gè)問(wèn)題中都出現(xiàn)了可以取不同數(shù)值的量.
刻畫摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程的量是時(shí)間t和高度h,高度h隨著時(shí)間t的變化而變化,它們都會(huì)取不同的數(shù)值．
①這天的2時(shí)30分、9時(shí)和14時(shí)的氣溫分別為少？任意給出這天中的某一時(shí)刻，說(shuō)出這一時(shí)刻的氣溫． ②這一天中，最高氣溫是多少？最低氣溫是多少？ ③這一天中，什么時(shí)段的氣溫在逐漸升高？什么時(shí)段的氣溫在逐漸降低？
問(wèn)題1 下圖是某地一天的氣溫變化圖,看圖回答：
在以上變化過(guò)程中存在著兩個(gè)變量t和T,對(duì)于時(shí)間t每取一個(gè)值,溫度T都有唯一的值與之對(duì)應(yīng).
我們就說(shuō)t是自變量,T是因變量.也稱T是t的函數(shù).
這張圖是怎樣來(lái)展示這天各時(shí)刻的溫度和刻畫這天的氣溫變化規(guī)律的?
這張圖告訴我們哪些信息?
問(wèn)題2 銀行對(duì)各種不同的存款方式都規(guī)定了相應(yīng)的利率,下表是2013年8月中國(guó)工商銀行為“整存整取”的存款方式規(guī)定的年利率：
觀察上表,說(shuō)說(shuō)隨著存期x的增長(zhǎng),相應(yīng)的年利率y是如何變化的．
在以上變化過(guò)程中存在著兩個(gè)變量x和y,對(duì)于x每取一個(gè)值, y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng).
我們就說(shuō)x是自變量, y是因變量.也稱y是x的函數(shù).
問(wèn)題3 收音機(jī)上的刻度盤的波長(zhǎng)和頻率分別是用米(m)和千赫茲(kHz)為單位標(biāo)刻的．下面是一些對(duì)應(yīng)的數(shù)：
細(xì)心的同學(xué)可能會(huì)發(fā)現(xiàn)： ?與 f 的乘積是一個(gè)定值，即? f＝300 000，或者說(shuō)f ＝
在以上變化過(guò)程中存在著兩個(gè)變量?和f,對(duì)于?每取一個(gè)值,f都有唯一的值與之對(duì)應(yīng).
我們就說(shuō)?是自變量,f是因變量. 也稱f是?的函數(shù).
問(wèn)題4 圓的面積隨著半徑的增大而增大．如果用r表示圓的半徑，S表示圓的面積則S與r之間滿足下列關(guān)系： S＝____________． 利用這個(gè)關(guān)系式,試求出半徑為1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm時(shí)圓的面積,并將結(jié)果填入下表:(?≈3.14)
在以上變化過(guò)程中存在著兩個(gè)變量r和S,對(duì)于r每取一個(gè)值, S都有唯一的值與之對(duì)應(yīng).
我們就說(shuō)r是自變量, S是因變量.也稱S是r的函數(shù).
在某一變化過(guò)程中,可以取不同數(shù)值的量,叫做變量.
上面各個(gè)問(wèn)題中,都出現(xiàn)了兩個(gè)變量,它們互相依賴,密切相關(guān).
一般地,如果在一個(gè)變化過(guò)程中,有兩個(gè)變量,例如x和y, 對(duì)于x的每一個(gè)值, y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng),我們就說(shuō)x是自變量, y是因變量, 此時(shí)也稱y是x的函數(shù).
的函數(shù)的本質(zhì)就是唯一確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
研究事物的運(yùn)動(dòng)變化,實(shí)際是從研究因變量與自變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系入手的.
因變量與自變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系又叫函數(shù)關(guān)系.
表示函數(shù)關(guān)系的方法通常有三種：
(1) 解析法，如問(wèn)題3中的f ＝ ,問(wèn)題4中的S＝πr2,這些表達(dá)式稱為函數(shù)的關(guān)系式．
(2) 列表法,如問(wèn)題2中的利率表,問(wèn)題3中的波長(zhǎng)與頻率關(guān)系表．
(3) 圖象法,如問(wèn)題1中的氣溫曲線.
在問(wèn)題的研究過(guò)程中,還有一種量,它的取值始終保持不變,我們稱之為常量.如問(wèn)題3中的300 000,問(wèn)題4中的π等 .
小結(jié)：函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)
兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做解析法。解析法簡(jiǎn)單明了，能準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數(shù)的相依關(guān)系，但求對(duì)應(yīng)值時(shí)，往往要經(jīng)過(guò)比較復(fù)雜的計(jì)算，而且在實(shí)際問(wèn)題中，有的函數(shù)關(guān)系，不一定能用關(guān)系式表達(dá)出來(lái)。
把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系,這種表示法叫做列表法。如平方根表等。列表法一目了然，表格中已有的自變量的每一個(gè)值，不需要計(jì)算就可以直接查出與它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，使用起來(lái)很方便，但列表法有局限性，因?yàn)榱谐龅膶?duì)應(yīng)值是有限的，而且在表格中也不容易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。
用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。圖象法形象直觀，通過(guò)函數(shù)的圖象，可以直接、形象地把函數(shù)關(guān)系表示出來(lái)，能夠直觀地研究函數(shù)的一些性質(zhì)，例如函數(shù)有沒(méi)有最大值（或最小值），最大（?。┲凳嵌嗌?？函數(shù)值是隨自變量增大而增大，還是隨自變量的增大而減小等等，函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具。但是，由函數(shù)圖象觀察只能得到近似的數(shù)量關(guān)系。
在解決問(wèn)題時(shí)，我們常常綜合地運(yùn)用這三種表示法，來(lái)深入地研究函數(shù)的性質(zhì)。
(1)從表中你能看出該市14歲的男學(xué)生的平均身高是多少嗎?(2)該市男學(xué)生的平均身高從哪一歲開始迅速增加?(3)上表反映了哪些變量之間的關(guān)系?其中哪個(gè)是自變量?哪個(gè)是因變量?
2.下表是某市2000年統(tǒng)計(jì)的該市男學(xué)生各年齡組的平均身高.
1.舉3個(gè)日常生活中遇到的函數(shù)關(guān)系的例子.
(1) 14歲的男學(xué)生的平均身高是146.1cm．　　　　　　
(2)約從11歲開始身高迅速增加.
(3) 反映了該市男學(xué)生的平均身高和年齡這兩個(gè)變量之間的關(guān)系,其中年齡是自變量,平均身高是因變量.
3.寫出下列各問(wèn)題中的關(guān)系式,并指出其中的常量與變量:(1)圓的周長(zhǎng)C與半徑r的關(guān)系式;(2)火車以90千米/時(shí)的速度行駛,它駛過(guò)的路程s(千米)和所用時(shí)間t(時(shí))的關(guān)系式;(3)n邊形的內(nèi)角和S與邊數(shù)n的關(guān)系式.
(2) s=90t,
S=(n－2) ×180,
(1)C=2?r,
2、 ?是常量，r和C是變量.
90是常量，t和s是變量.
2和180是常量， n和S是變量.

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