圓錐曲線與方程(時間：120分鐘　滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．拋物線y＝2x2的焦點坐標是(　　)A.　　　　　　　 B.C.  D.解析：選C　拋物線的標準方程為x2＝y，焦點在y軸上，∴焦點坐標為.2．(2019·全國卷Ⅰ)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為(　　)A．2sin 40°  B．2cos 40°C．  D．解析：選D　由題意可得－＝tan 130°，所以e＝ ＝＝ ＝＝.故選D.3．設橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，則該橢圓的方程為(　　)A.＋＝1  B.＋y2＝1C.＋y2＝1  D.＋y2＝1解析：選A　∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b＝.∴橢圓的方程為＋＝1.4．黃金分割起源于公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統(tǒng)研究了這一問題，公元前300年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著．黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數．已知雙曲線－＝1的實軸長與焦距的比值恰好是黃金分割數，則實數m的值為(　　)A．2－2  B.＋1C．2  D．2解析：選A　在雙曲線－＝1中，a2＝(－1)2，b2＝m，所以c2＝a2＋b2＝(－1)2＋m.因為雙曲線的實軸長與焦距的比值為黃金分割數，則＝＝，所以＝＝，所以＝，解得m＝2－2.故選A.5．已知雙曲線－＝1(b＞0)的左、右焦點分別是F1，F2，其一條漸近線方程為y＝x，點P(，y0)在雙曲線上，則·等于(　　)A．－12  B．－2C．0  D．4解析：選C　由漸近線方程為y＝x，知雙曲線是等軸雙曲線，所以雙曲線方程是x2－y2＝2，于是兩焦點分別是F1(－2，0)和F2(2，0)，且P(，1)或P(，－1)．不妨取點P(，1)，則＝(－2－，－1)，＝(2－，－1)．所以·＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝－(2＋)(2－)＋1＝0.6．設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2，0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則·＝(　　)A．5  B．6C．7  D．8解析：選D　過點(－2，0)且斜率為的直線的方程為y＝(x＋2)，由消y得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨設M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8.故選D.7.我們把由半橢圓＋＝1(x≥0)與半橢圓＋＝1(x<0)合成的曲線稱作“果圓”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如圖所示，其中點F0，F1，F2是相應橢圓的焦點．若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，則a，b的值分別為(　　)A.，1  B.，1C．5，3  D．5，4解析：選A　∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝.8.如圖所示，橢圓的中心在原點，焦點F1，F2在x軸上，A，B是橢圓的頂點，P是橢圓上一點，且PF1⊥x軸，PF2∥AB，則此橢圓的離心率是(　　)A.  B.C.  D.解析：選B　由題意設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，則點P的坐標為，A(a，0)，B(0，b)，F2(c，0)，于是kAB＝－，kPF2＝－，由kAB＝kPF2得b＝2c，故a＝c，e＝＝.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．已知曲線C：mx2＋ny2＝1，則下列說法正確的有(　　)A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝± xD．若m＝0，n>0，則C是兩條直線解析：選ACD　對于選項A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可變形為＋＝1，∴該方程表示焦點在y軸上的橢圓，正確；對于選項B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可變形為x2＋y2＝，該方程表示半徑為的圓，錯誤；對于選項C，∵mn<0，∴該方程表示雙曲線，令mx2＋ny2＝0?y＝± x，正確；對于選項D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1變形為ny2＝1?y＝±，該方程表示兩條直線，正確．綜上選A、C、D.10．已知橢圓的長軸長為10，其焦點到中心的距離為4，則這個橢圓的標準方程為(　　)A.＋＝1  B.＋＝1C.＋＝1  D.＋＝1解析：選BD　因為橢圓的長軸長為10，其焦點到中心的距離為4，所以解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以當橢圓焦點在x軸時，橢圓方程為＋＝1；當橢圓焦點在y軸時，橢圓方程為＋＝1.11．已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為e1，橢圓C1的上頂點為M，且·＝0，雙曲線C2和橢圓C1有相同焦點，且雙曲線C2的離心率為e2，P為曲線C1與C2的一個公共點．若∠F1PF2＝，則下列各項正確的是(　　)A.＝2  B．e1e2＝C．e＋e＝  D．e－e＝1解析：選BD　因為·＝0且＝||，所以△MF1F2為等腰直角三角形．設橢圓的半焦距為c，則c＝b＝a，所以e1＝.在焦點三角形PF1F2中，∠F1PF2＝，設|PF1|＝x，|PF2|＝y，雙曲線C2的實半軸長為a′，則故xy＝c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，所以(a′)2＝，即e2＝，故＝，e1e2＝，e＋e＝2，e－e＝1，故選B、D.12．設圓錐曲線Γ的兩個焦點分別為F1，F2.若曲線Γ上存在點P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線Γ的離心率等于(　　)A.  B．2C.  D.解析：選AC　設圓錐曲線的離心率為e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圓錐曲線為橢圓，則由橢圓的定義，得e＝＝＝；②若圓錐曲線為雙曲線，則由雙曲線的定義，得e＝＝＝.綜上，所求的離心率為或.故選A、C.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．以雙曲線－＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為________．解析：雙曲線焦點(±4，0)，頂點(±2，0)，故橢圓的焦點為(±2，0)，頂點(±4，0)．故橢圓方程為＋＝1.答案：＋＝114．已知二次曲線＋＝1，當m∈[－2，－1]時，該曲線的離心率的取值范圍是________．解析：∵m∈[－2，－1]，∴曲線方程化為－＝1，曲線為雙曲線，∴e＝.∵m∈[－2，－1]，∴≤e≤.答案：[，]15．拋物線y2＝8x的焦點到雙曲線－＝1漸近線的距離為________，雙曲線右焦點到拋物線準線的距離為________．解析：拋物線y2＝8x的焦點F(2，0)，雙曲線－＝1的一條漸近線方程為y＝x，即3x－4y＝0，則點F(2，0)到漸近線3x－4y＝0的距離為＝.雙曲線右焦點的坐標為(5，0)，拋物線的準線方程為x＝－2，所以雙曲線右焦點到拋物線準線的距離為7.答案：　716．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率等于2，它的焦點到漸近線的距離等于1，則該雙曲線的方程為________．解析：由題意可得e＝＝2，則c＝2a，其中一個焦點為F(c，0)，漸近線方程為bx±ay＝0，所以＝＝b＝1，又c2＝4a2＝a2＋b2，所以a2＝，所以所求雙曲線的方程為3x2－y2＝1.答案：3x2－y2＝1四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)命題p：方程－＝1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：方程＋＝1表示雙曲線．(1)若命題p為真命題，求m的取值范圍；(2)若命題q為假命題，求m的取值范圍．解：(1)根據題意，得解得0＜m＜2，故命題p為真命題時，m的取值范圍為(0，2)．(2)若命題q為真命題，則(m＋1)(m－1)＜0，解得－1＜m＜1，故命題q為假命題時，m的取值范圍為(－∞，－1]∪[1，＋∞)．18．(本小題滿分12分)已知拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點，并且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點P，求拋物線的方程和雙曲線的方程．解：依題意，設拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，∵點P在拋物線上，∴6＝2p×.∴p＝2，∴所求拋物線的方程為y2＝4x.∵雙曲線的左焦點在拋物線的準線x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，又點P在雙曲線上，∴－＝1，解方程組得或(舍去)．∴所求雙曲線的方程為4x2－y2＝1.19．(本小題滿分12分)給出下列條件：①焦點在x軸上；②焦點在y軸上；③拋物線上橫坐標為1的點A到其焦點F的距離等于2；④拋物線的準線方程是x＝－2.對于頂點在原點O的拋物線C：從以上四個條件中選出兩個適當的條件，使得拋物線C的方程是y2＝4x，并說明理由．解：因為拋物線C：y2＝4x的焦點F(1，0)在x軸上，所以條件①適合，條件②不適合．又因為拋物線C：y2＝4x的準線方程為：x＝－1，所以條件④不適合題意．當選擇條件③時，|AF|＝xA＋1＝1＋1＝2，此時適合題意．故選擇條件①③時，可得拋物線C的方程是y2＝4x.20．(本小題滿分12分)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，一條漸近線方程為y＝x，且過點(4，－)．(1)求雙曲線方程；(2)若點M(3，m)在此雙曲線上，求·.解：(1)∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，∴設雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．把(4，－)代入雙曲線方程得42－(－)2＝λ，∴λ＝6，∴所求雙曲線方程為－＝1.(2)由(1)知雙曲線方程為－＝1，∴雙曲線的焦點為F1(－2，0)，F2(2，0)．∵點M在雙曲線上，∴32－m2＝6，∴m2＝3.∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝－3＋3＝0.21．(本小題滿分12分)設F1，F2分別為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，F1到直線l的距離為2.(1)求橢圓C的焦距；(2)如果＝2，求橢圓C的方程．解：(1)設焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離c＝2，故c＝2.所以橢圓C的焦距為4.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)．由題意知y1＜0，y2＞0，直線l的方程為y＝(x－2)．聯立得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.解得y1＝，y2＝.因為＝2，所以－y1＝2y2，即＝2·，得a＝3，而a2－b2＝4，所以b＝，故橢圓C的方程為＋＝1.22．(本小題滿分12分)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，過點A(0，－b)和B(a，0)的直線與原點的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)已知定點E(－1，0)，若直線y＝kx＋2(k≠0)與橢圓交于C，D兩點，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點，請說明理由．解：(1)直線AB的方程為：bx－ay－ab＝0.依題意解得∴橢圓方程為＋y2＝1.(2)假設存在這樣的k值，由得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0.解得k＞1或k＜－1. ①設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則 ②而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.要使以CD為直徑的圓過點E(－1，0)，當且僅當CE⊥DE時成立，則·＝－1.即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0.∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③將②式代入③整理解得k＝.經驗證k＝使①成立．綜上可知，存在k＝，使得以CD為直徑的圓過點E. 

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