19.3一元二次方程的根的判別式（一）教學(xué)目標(biāo)1．了解根的判別式的概念。2．能用判別式判別根的情況。3．進(jìn)一步滲透轉(zhuǎn)化和分類的思想方法．4、培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的觀察、分析、歸納的能力。教學(xué)重點：會用判別式判定根的情況．教學(xué)難點：正確理解“當(dāng)b2-4ac＜0時，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）無實數(shù)根．”教學(xué)內(nèi)容1、解下列方程：①（x-2）2＝9；②（x-1）2＝0；③x2＝-32、平方根的性質(zhì)是什么？一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根。3、一元二次方程ax2=c(a≠0)變形為x2=c/a后，你能判斷它根的情況嗎？①當(dāng)a、c為同號兩數(shù)時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)a、c為異號兩數(shù)時，原方程沒有實數(shù)根；③當(dāng)c為0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根。4、將下列方程化為（x+h）2=k的形式，并判斷它的實數(shù)根的個數(shù)：①x2+2mx=7②2x2-4mx=-2m2③x2-4mx=-5m2-15、把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）寫成（x+h）2=k的形式。由學(xué)生完成，變形得（x+b/2a）2=（b2-4ac）/ 4a26、引導(dǎo)學(xué)生觀察方程的右邊，因為a≠0,所以4a2＞0。因此只需研究b2-4ac的值就可以了，從而由學(xué)生得出：（向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化和分類的思想方法）（1）當(dāng)b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根．（3）當(dāng)b2-4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根．教師通過引導(dǎo)之后，提問：究竟誰決定了一元二次方程根的情況？答：b2-4ac．7、引出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的根的判別式的概念：①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用符號“△”表示．②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．當(dāng)△＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△＝0時，有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，沒有實數(shù)根．8、然后，引導(dǎo)學(xué)生寫出上述命題的逆命題：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根時，△＞0；當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時，△＝0；當(dāng)方程沒有實數(shù)根時，△＜0．教師說明此命題成立。9、例題講解例1：  不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0．解：（1）∵  △＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，∴  原方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）原方程可變形為16y2-24y＋9＝0．∵  △＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，∴  原方程有兩個相等的實數(shù)根．（3）原方程可變形為5x2-7x+5=0．∵  △＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，∴  原方程沒有實數(shù)根．學(xué)生口答，教師板書，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)步驟：（1）化方程為一般形式，以便于確定a、b、c的值；（2）計算b2-4ac的值；（3）判別根的情況．強(qiáng)調(diào)兩點：（1）只要能判別△值的符號就行，具體數(shù)值不必計算出．（2）判別根的情況時，不必求出方程的根．10、練習(xí)．不解方程，判別下列方程根的情況：（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；（3）4p（p-1）-3＝0；（4）x2+5=學(xué)生板演、筆答、評價。教師滲透、點撥．11、不解方程，判別下列方程根的情況．（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．解：△＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1＝4m2-8m2-4＝-4m2-4．∵  不論m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0．∴  方程無實數(shù)解．由數(shù)字系數(shù)，過渡到字母系數(shù)，使學(xué)生體會到由具體到抽象，并且注意字母的取值．12、練習(xí)：第27頁B組第1題小結(jié)：（1）判別式的意義及一元二次方程根的情況．①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式．用“△”表示②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．當(dāng)△＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△＝0時，有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，沒有實數(shù)根．反之亦然．（2）通過根的情況的研究過程，深刻體會轉(zhuǎn)化的思想方法及分類的思想方法．布置作業(yè)教材   中 A 1、2  一元二次方程的根的判別式（二）一、素質(zhì)教育目標(biāo)（一）知識教學(xué)點：1．熟練運用判別式判別一元二次方程根的情況．2．學(xué)會運用判別式求符合題意的字母的取值范圍和進(jìn)行有關(guān)的證明．（二）能力訓(xùn)練點：1．培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，邏輯性和靈活性．2．培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力．（三）德育滲透點：通過例題教學(xué)，滲透分類的思想．二、教學(xué)重點、難點、疑點及解決方法1．教學(xué)重點：運用判別式求出符合題意的字母的取值范圍．2．教學(xué)難點：教科書上的黑體字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），當(dāng)△＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0時，有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，沒有實數(shù)根”可看作一個定理，書上的“反過來也成立”，實際上是指它的逆命題也成立．對此的正確理解是本節(jié)課的難點．可以把這個逆命題作為逆定理．三、教學(xué)步驟（一）明確目標(biāo)上節(jié)課學(xué)習(xí)了一元二次方程根的判別式，得出結(jié)論：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當(dāng)△＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0時，有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，沒有實數(shù)根．”這個結(jié)論可以看作是一個定理．在這個判別方法中，包含了所有各種情況，所以反過來也成立，也就是說上述結(jié)論的逆命題是成立的可作為定理用．本節(jié)課的目標(biāo)就是利用其逆定理，求符合題意的字母的取值范圍，以及進(jìn)行有關(guān)的證明．（二）整體感知本節(jié)課是上節(jié)課的延續(xù)和深化，主要是在“明確目標(biāo)”中所提的逆定理的應(yīng)用．通過本節(jié)課的內(nèi)容的學(xué)習(xí)，更加深刻體會到“定理”與“逆定理”的靈活應(yīng)用．不但不求根就可以知道根的情況，而且知道根的情況，還可以確定待定的未知數(shù)系數(shù)的取值，本節(jié)課內(nèi)容對學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維及思維全面性進(jìn)行恰如其分的訓(xùn)練．（三）重點、難點的學(xué)習(xí)及目標(biāo)完成過程1．復(fù)習(xí)提問（1）一元二次方程的一般形式？說出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項．（2）一元二次方程的根的判別式是什么？用它怎樣判別根的情況？2．將復(fù)習(xí)提問中的問題（2）的正確答案板書，反之，即此命題的逆命題也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有兩個不相等的實數(shù)根，則△＞0；如果方程有兩個相等的實數(shù)根，則△=0；如果方程沒有實數(shù)根，則△＜0．”即根據(jù)方程的根的情況，可以決定△值的符號，‘△’的符號，可以確定待定的字母的取值范圍．請看下面的例題：例1  已知關(guān)于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值時（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根；（1）方程無實數(shù)根．解：∵  a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，∴  b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．方程有兩個不相等的實數(shù)根．方程有兩個相等的實數(shù)根．方程無實數(shù)根．本題應(yīng)先算出“△”的值，再進(jìn)行判別．注意書寫步驟的簡練清楚．練習(xí)1．已知關(guān)于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．t取什么值時，（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根？（2）方程有兩個相等的實數(shù)根？（3）方程沒有實數(shù)根？學(xué)生模仿例題步驟板書、筆答、體會．教師評價，糾正不精練的步驟．假設(shè)二項系數(shù)不是2，也不是1，而是k，還需考慮什么呢？如何作答？練習(xí)2．已知：關(guān)于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有兩個實數(shù)根，求k的取值范圍．和學(xué)生一起審題（1）“關(guān)于x的一元二次方程”應(yīng)考慮到k≠0．（2）“方程有兩個實數(shù)根”應(yīng)是有兩個相等的實數(shù)根或有兩個不相等的實數(shù)根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0確定k的取值范圍．解：∵  △＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．原方程有兩個實數(shù)根．學(xué)生板書、筆答，教師點撥、評價．例  求證：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0沒有實數(shù)根．分析：將△算出，論證△＜0即可得證．證明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）＝-4（m2＋2）2．∵  不論m為任何實數(shù)，（m2＋2）2＞0．∴  -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴  （m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，沒有實根．本題結(jié)論論證的依據(jù)是“當(dāng)△＜0，方程無實數(shù)根”，在論證△＜0時，先將△恒等變形，得到判斷．一般情況都是配方后變形為：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……從而得到判斷．本題是一道代數(shù)證明題，和幾何類似，一定要做到步步有據(jù)，推理嚴(yán)謹(jǐn)．此種題型的步驟可歸納如下：（1）計算△；（2）用配方法將△恒等變形；（3）判斷△的符號；（4）結(jié)論．練習(xí)：證明（x-1）（x-2）=k2有兩個不相等的實數(shù)根．提示：將括號打開，整理成一般形式．學(xué)生板書、筆答、評價、教師點撥．（四）總結(jié)、擴(kuò)展1．本節(jié)課的主要內(nèi)容是教科書上黑體字的應(yīng)用，求符合題意的字母的取值范圍以及進(jìn)行有關(guān)的證明．須注意以下幾點：（1）要用b2-4ac，要特別注意二次項系數(shù)不為零這一條件．（2）認(rèn)真審題，嚴(yán)格區(qū)分條件和結(jié)論，譬如是已知△＞0，還是要證明△＞0．（3）要證明△≥0或△＜0，需將△恒等變形為a2＋2，-（a＋2）2……從而得到判斷．2．提高分析問題、解決問題的能力，提高推理嚴(yán)密性和思維全面性的能力．四、布置作業(yè)1．教材中B1，2，3．2．當(dāng)方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有實數(shù)根時，求a的正整數(shù)解．（2、3學(xué)有余力的學(xué)生做．）五、板書設(shè)計19．3  一元二次方程根的判別式（二）一、判別式的意義：……三、例1……四、例2……△=b2-4ac…………二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)  （1）當(dāng)△＞0，……練習(xí)1……練習(xí)2……（2）當(dāng)△＝0，……  （3）當(dāng)△＜0，……  反之也成立．   

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17.3 一元二次方程的根的判別式

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