《17.3 一元二次方程根的判別式》教學(xué)目標(biāo)1．了解根的判別式的概念．2．能用判別式判別根的情況．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法1．教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用判別式判定根的情況．2．教學(xué)難點(diǎn)：正確理解“當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）無(wú)實(shí)數(shù)根．”3．教學(xué)疑點(diǎn)：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，無(wú)解．在高中講復(fù)數(shù)時(shí)，會(huì)學(xué)習(xí)當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，實(shí)系數(shù)的一元二次方程有兩個(gè)虛數(shù)根．教學(xué)步驟（一）明確目標(biāo)在前一節(jié)的“公式法”部分已經(jīng)涉及到了，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，可以求出兩個(gè)實(shí)數(shù)根．那么b2-4ac＜0時(shí)，方程根的情況怎樣呢？這就是本節(jié)課的目標(biāo)．本節(jié)課將進(jìn)一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三種情況下的一元二次方程根的情況．（二）整體感知在推導(dǎo)一元二次方程求根公式時(shí)，得到b2-4ac決定了一元二次方程的根的情況，稱b2-4ac為根的判別式．一元二次方程根的判別式是比較重要的，用它可以判斷一元二次方程根的情況，有助于我們順利地解一元二次方程，也有利于進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容，并且可以解決許多其它問(wèn)題．在探索一元二次方程根的情況是由誰(shuí)決定的過(guò)程中，要求學(xué)生從中體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法以及分類的思想方法，對(duì)學(xué)生思維全面性的考察起到了一個(gè)積極的滲透作用．（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)及目標(biāo)完成過(guò)程1．復(fù)習(xí)提問(wèn)（1）平方根的性質(zhì)是什么？（2）解下列方程：①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．問(wèn)題（1）為本節(jié)課結(jié)論的得出起到了一個(gè)很好的鋪墊作用．問(wèn)題（2）通過(guò)自己親身感受的根的情況，對(duì)本節(jié)課的結(jié)論的得出起到了一個(gè)推波助瀾的作用．2．任何一個(gè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法將其變形為（x+）=，∵4a＞0，因此對(duì)于比開(kāi)方數(shù)來(lái)說(shuō)，只需研究b-4ac為如下幾種情況的方程的根．（1）當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即x1=x2=-．（3）當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．教師通過(guò)引導(dǎo)之后，提問(wèn)：究竟誰(shuí)決定了一元二次方程根的情況？答：b2-4ac．3．①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用符號(hào)“△”表示．②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．當(dāng)△＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根．反之亦然．注意以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）∵a≠0，∴4a2＞0這一重要條件在這里起了“承上啟下”的作用，即對(duì)上式開(kāi)平方，隨后有下面三種情況．正確得出三種情況的結(jié)論，需對(duì)平方根的概念有一個(gè)深刻的、正確的理解，所以，在課前進(jìn)行了鋪墊．在這里應(yīng)向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化和分類的思想方法．（2）當(dāng)b2-4ac＜0，說(shuō)“方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根”比較好．有時(shí)，也說(shuō)“方程無(wú)解”．這里的前提是“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解”，也就是“方程無(wú)實(shí)數(shù)根”的意思．4．例：不解方程，判別下列方程的根的情況：（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0．解：（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）原方程可變形為16y2-24y＋9＝0．∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，∴原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．（3）原方程可變形為5x2-7x+5=0．∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．學(xué)生口答，教師板書，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)步驟：（1）化方程為一般形式，確定a、b、c的值；（2）計(jì)算b2-4ac的值；（3）判別根的情況．強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：（1）只要能判別△值的符號(hào)就行，具體數(shù)值不必計(jì)算出．（2）判別根的情況，不必求出方程的根．練習(xí)：不解方程，判別下列方程根的情況：（1）3x2+4x-2=0；     （2）2y2+5=6y；（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；（5）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；（6）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．（四）總結(jié)、擴(kuò)展（1）判別式的意義及一元二次方程根的情況．①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式．用“△”表示．②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．當(dāng)△＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根．反之亦然．（2）通過(guò)根的情況的研究過(guò)程，深刻體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法及分類的思想方法．

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17.3 一元二次方程的根的判別式

版本： 滬科版

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