復習兩個平面垂直的定義，判定
什么是兩個平面互相垂直？
兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
如何判定兩個平面互相垂直？
第一種方法根據(jù)定義，判定兩個平面所成的二面角是直二面角； 第二種方法是根據(jù)判定定理，判定其中一個平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個平面．
1、平面與平面垂直的定義
2、平面與平面垂直的判定定理
一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。
兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。
1.黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直?
2.長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1與平面ABCD垂直，平面A1ADD1內(nèi)的直線A1A與平面ABCD垂直嗎?
觀察兩垂直平面中,一個平面內(nèi)的直線與另一個平面的有哪些位置關系?
平面與平面垂直的性質(zhì)定理
兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.
兩個平面垂直的結論:
如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi)．
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命題
(2)垂直于交線l的直線必垂直于平面β （ ）
(3)過平面α內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于平面β（ ）
(1)平面α內(nèi)的任意一條直線必垂直于平面β（ ）
例：如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，平面PAC⊥平面ABC，
(2)判斷平面PBC與平面PAC的位置關系。
(1)判斷BC與平面PAC的位置關系，并證明；
(1)證明：∵ AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點
(1)判斷BC與平面PAC的位置關系，并證明。
∴∠ACB=90°即BC⊥AC
2、本題充分地體現(xiàn)了面面垂直與 線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化關系。
1、面面垂直的性質(zhì)定理給我們提供了一種證明線面垂直的方法
2、已知兩個平面垂直，下列命題①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意直線；②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；③一個平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另一個平面；④過一個平面內(nèi)的任意一點做交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面。其中正確命題的個數(shù)是( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
例2.矩形ABCD中， AD=2,AB=1,現(xiàn)沿對角線AC折成直二面角D-AC-B，求折起后BD長度.
要點一 平面與平面垂直的性質(zhì)的應用 在運用面面垂直性質(zhì)定理時必須注意：(1)線在面內(nèi)；(2)線垂直于兩面的交線，由此才可以得出線面垂直．在應用線面平行、垂直的判定和性質(zhì)定理證明有關問題時，在善于運用轉(zhuǎn)化思想的同時，還應注意尋找線面平行、垂直所需的條件．
例1 如下圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.
分析：①ABCD是邊長為a的菱形；②面PAD⊥面ABCD.解答本題可先由面⊥面得線⊥面，再進一步得出線⊥線．
證明：(1)連接PG，由題知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.規(guī)律方法：證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，再一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理，本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理．
變式1　如圖所示，α⊥β，CD?β，CD⊥AB，CE、EF?α，∠FEC＝90°.求證：面EFD⊥面DCE.
證明：∵α⊥β，CD?β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α.又∵EF?α，∴CD⊥EF.又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC.又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE.又EF?面EFD，∴面EFD⊥面DCE.
例2 已知：如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足．(1)求證：PA⊥平面ABC；(2)當E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形．
分析：由面面垂直向線面垂直轉(zhuǎn)化，一般要作一條垂直于交線的直線，才能應用性質(zhì)定理．
證明：(1)在平面ABC內(nèi)取一點D，作DF⊥AC于F，∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.又∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可證DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.
(2)連接BE并延長交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，又AE⊥平面PBC，故AE⊥PC，且AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，且PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
規(guī)律方法：已知兩個平面垂直時，過其中一個平面內(nèi)的一點作交線的垂線，則由面面垂直的性質(zhì)定理可得此直線垂直于另一個平面，于是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，由此得到結論：兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．證明(2)題的關鍵是要靈活利用(1)題的結論．
變式2　如圖，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b.求證：α∥β.
證明：如圖，在平面α內(nèi)作直線PQ⊥a，在平面β內(nèi)作直線MN⊥b，垂足分別為Q、N.
∵α⊥γ，α∩γ＝a，∴PQ⊥γ.同理MN⊥γ.∴PQ∥MN.∵PQ?β，MN?β，∴PQ∥β.同理a∥β.∵PQ?α，a?α，PQ∩a＝Q，∴α∥β.
要點二 線線、線面、面面垂直的綜合應用 在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達到目的，其轉(zhuǎn)化關系如下：
例3 如圖，在四棱錐P－ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點，過A、D、N三點的平面交PC于M，E為AD的中點．求證：
(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.
分析：(1)利用線面平行的判定定理證明，證EN∥DM.(2)先證AD⊥平面PEB，再由AD∥BC證明．(3)轉(zhuǎn)化為證明PB⊥平面ADMN.
證明：(1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵BC∥AD，∴MN∥BC.又N是PB的中點，∴點M為PC的中點．
(2)∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°∴BE⊥AD.又∵側面PAD是正三角形，且E為中點，∴PE⊥AD，∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE.又PB?平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N為PB的中點，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB?平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.
規(guī)律方法:運用平面垂直的性質(zhì)定理時，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直．
變式3　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，
(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊的中點，能否在棱上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結論．
證明：(1)設G為AD的中點，連接PG，∵△PAD為正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G為AD的中點，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.
(2)當F為PC的中點時，滿足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中點F，連接DE、EF、DF，在△PBC中，F(xiàn)E∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E.∴平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.

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2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

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