第一章　集合與常用邏輯用語1.1　集合的概念基礎(chǔ)過關(guān)練題組一　集合的概念與元素的特性　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.(2021四川成都第七中學(xué)高一上階段測試)下列元素不能組成集合的是 (　　)A.不超過20的質(zhì)數(shù)B.π的近似值C.方程x2=1的實(shí)數(shù)根D.函數(shù)y=x2,x∈R的最小值2.已知集合S中的三個元素a,b,c是△ABC的三條邊長,那么△ABC一定不是 (　　)A.銳角三角形          B.直角三角形C.鈍角三角形          D.等腰三角形3.(多選)下面四個說法錯誤的是 (　　)A.10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是{2,3,5,7}B.由1,2,3組成的集合可表示為{1,2,3}或{3,1,2}C.方程x2-2x+1=0的解集是{1,1}D.0與{0}表示同一個集合題組二　元素與集合的關(guān)系4.(2021江西宜春一中高一上月考)給出下列關(guān)系:①12∈R;②2∈Q;③|-3|∈N;④|-3|∈Z;⑤0?N.其中正確的個數(shù)為 (　　)A.1       B.2        C.3          D.45.(2021福建三明第一中學(xué)高一上月考)下列說法正確的是 (　　)A.N中最小的數(shù)是1B.若-a?N*,則a∈N*C.若a∈N*,b∈N*,則a+b的最小值是2D.x2+4=4x的實(shí)數(shù)解組成的集合中含有2個元素6.已知集合A僅含有三個元素2,4,6,且當(dāng)a∈A時,6-a∈A,那么a的值為 (　　)A.2          B.2或4                 C.4                 D.67.用符號“∈”或“?”填空:(1)設(shè)集合B是小于的所有實(shí)數(shù)的集合,則2　　　　B,1+　　　　B; (2)設(shè)集合D是由滿足方程y=x2的有序?qū)崝?shù)對(x,y)組成的集合,則-1　　D,(-1,1)　　D. 8.(2020遼寧撫順一中高一月考)給出下列說法:①0∈N*;②如果a,b∈Z,則a-b∈Z;③所有正方形構(gòu)成的集合是有限集;④如果a∈N,則-a?N.其中正確的是　　　　.(填序號) 題組三　集合的表示方法9.(2021天津?qū)嶒炛袑W(xué)高一上月考)集合{x∈N|x-3<2}用列舉法表示正確的是 (　　)A.{1,2,3,4}     B.{1,2,3,4,5}C.{0,1,2,3,4,5} D.{0,1,2,3,4}10.(2021湖北黃石高一上調(diào)研)集合{x|x+y=4,x∈N,y∈N*}可用列舉法表示為　　　　. 11.(1)用列舉法表示方程組 的解組成的集合; (2)用描述法表示不等式-1<2x+3<9的解集.       12.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?/span>:(1)所有能被3整除的數(shù)組成的集合;(2)圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界)的坐標(biāo)組成的集合;(3)滿足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值組成的集合B.       能力提升練題組一　集合的概念與元素的特性1.()由實(shí)數(shù)x,-x,|x|,,-所組成的集合最多含(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.2個元素    B.3個元素C.4個元素    D.5個元素2.(2021天津第四十三中學(xué)高一上檢測,)由三個數(shù)a,,1組成的集合與由a2,a+b,0組成的集合是同一個集合,則a2 021+b2 020的值為　　　　. 3.(2021天津?qū)嶒炛袑W(xué)高一上檢測,)已知a,b,c均為非零實(shí)數(shù),集合A=,則集合A中元素的個數(shù)為　　　　. 題組二　元素與集合的關(guān)系4.()已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,則 (　　)A.a+b∈P                        B.a+b∈QC.a+b∈M                        D.a+b不屬于P,Q,M中的任意一個5.(2021湖南長沙南雅中學(xué)高一上檢測,)已知集合A={12,a2+4a,a-2},-3∈A,則a=(　　)A.-1 B.-3或1 C.3   D.-36.(多選)()實(shí)數(shù)1是下面哪個集合中的元素 (　　)A.整數(shù)集Z        B.{x|x=|x|}C.{x∈N|-1<x<1} D.7.(2020海南海口中學(xué)高一月考,)已知集合A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},則集合B中所含元素的個數(shù)為　　　　. 8.(2020北京豐臺高一上月考,)已知集合A中有且僅有2個元素,并且實(shí)數(shù)a滿足a∈A,且4-a∈A.若a∈N,4-a∈N,則A=　　　　. 9.()集合A是由形如m+n(m∈Z,n∈Z)的數(shù)構(gòu)成的,試分別判斷a=-,b=,c=(1-2)2與集合A的關(guān)系.    題組三　集合的綜合問題10.(2020浙江寧波高一月考,)已知有限集A={a1,a2,…,an}(n≥2,n∈N*),如果A中的元素ai(i=1,2,3,…,n)滿足a1·a2·…·an=a1+a2+…+an,就稱A為“復(fù)活集”,給出下列結(jié)論:①集合是“復(fù)活集”;②若a1,a2∈R,且{a1,a2}是“復(fù)活集”,則a1a2>4;③若a1,a2∈N*,則{a1,a2}不可能是“復(fù)活集”.其中所有正確結(jié)論的序號有　　　　. 11.()已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.(1)若1∈A,用列舉法表示A;(2)當(dāng)集合A中有且僅有一個元素時,求a的值組成的集合B.       12.(2020上海金山中學(xué)高一期中,)設(shè)數(shù)集A由實(shí)數(shù)構(gòu)成,且滿足:若x∈A(x≠1且x≠0),則∈A.(1)若2∈A,試證明A中還有另外兩個元素;(2)集合A能否只含有兩個元素?請說明理由;(3)若A中元素個數(shù)不超過8,所有元素的和為,且A中有一個元素的平方等于所有元素的積,求集合A中的所有元素.       答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.B　對于選項A,由“不超過20”和“質(zhì)數(shù)”這兩個標(biāo)準(zhǔn)可以明確數(shù)值為2、3、5、7、11、13、17、19,故不超過20的質(zhì)數(shù)可以組成集合;對于選項B,因為π是無限不循環(huán)小數(shù),在沒有明確近似值的精確度的情況下,無法確定π的近似值是多少,所以選項B中元素不能組成集合;對于選項C,因為方程x2=1的實(shí)數(shù)根是明確的兩個數(shù)值1和-1,所以方程x2=1的實(shí)數(shù)根可以組成集合;對于選項D,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)y=x2,x∈R的最小值是明確的數(shù)值0,所以函數(shù)y=x2,x∈R的最小值可以組成集合.故選B.2.D　因為集合中的元素必須是互異的,所以三角形的三條邊長兩兩不相等,故選D.3.CD　10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是{2,3,5,7},故A中說法正確;由集合中元素的無序性知{1,2,3}和{3,1,2}相等,且都可以表示由1,2,3組成的集合,故B中說法正確;方程x2-2x+1=0的解集應(yīng)為{1},故C中說法錯誤;由集合的表示方法知“0”不是集合,故D中說法錯誤.故選CD.4.D　根據(jù)元素與集合的關(guān)系,可知①②③④正確,⑤錯誤.故選D.5.C　最小的自然數(shù)是0,故A錯誤;當(dāng)a=0時,-a?N*,且a?N*,故B錯誤;若a∈N*,b∈N*,則a,b的最小值都是1,當(dāng)a,b都取最小值時,a+b取得最小值,故C正確;x2+4=4x的實(shí)數(shù)解為x1=x2=2,故x2+4=4x的實(shí)數(shù)解組成的集合中含有1個元素,故D錯誤.故選C.B　若a=2,則6-2=4,4∈A;若a=4,則6-4=2,2∈A;若a=6,則6-6=0,0?A.因此a=2或a=4.故選B.7.答案　(1)?;∈　(2)?;∈解析　(1)∵2=>,∴2?B.∵(1+)2=3+2<3+2×4=11,∴1+<,∴1+∈B.(2)∵集合D中的元素是有序?qū)崝?shù)對(x,y),而-1不是有序?qū)崝?shù)對,∴-1?D.又(-1)2=1,∴(-1,1)∈D.8.答案　②解析　0?N*,故①錯;易知②正確;③中所有正方形構(gòu)成的集合是無限集;當(dāng)a=0時,-a=0∈N,④錯誤.9.D　由題意得x<5,且x∈N,∴集合為{0,1,2,3,4}.故選D.10.答案　{0,1,2,3}解析　由題意可得y的可能取值為1,2,3,4,對應(yīng)的x的值為3,2,1,0.故答案為{0,1,2,3}.11.解析　(1)由解得或所以方程組的解組成的集合為{(0,1),(1,0)}.(2)因為-1<2x+3<9,所以-2<x<3,所以不等式的解集為{x|-2<x<3}.12.解析　(1){x|x=3n,n∈Z}.(2)(x,y)-1≤x≤2,-≤y≤1,且xy≥0.(3)因為x=|x|,所以x≥0.又因為x∈Z,所以B={x|x∈N}.能力提升練1.A　由于=|x|,-=-x,并且在x,-x,|x|中,當(dāng)x>0時,|x|=x,當(dāng)x<0時,|x|=-x,當(dāng)x=0時,|x|=x=-x=0,三者中至少有2個相等,所以由集合中元素的互異性可知,該集合中最多含2個元素.故選A.歸納升華　判斷集合中元素的個數(shù)時,一定要檢驗所求變量的值是否滿足集合中元素的互異性.2.答案　-1解析　∵三個數(shù)a,,1可組成集合,∴a≠0,a≠1,∵由三個數(shù)a,,1組成的集合與由a2,a+b,0組成的集合是同一個集合,∴=0,即b=0,∴解得a=-1,∴a2 021+b2 020=(-1)2 021+0=-1.故答案為-1.3.答案　2解析　當(dāng)a>0,b>0時,ab>0,x=++=1+1+1=3;當(dāng)a>0,b<0時,ab<0,x=++=1-1-1=-1;當(dāng)a<0,b<0時,ab>0,x=++=-1-1+1=-1;當(dāng)a<0,b>0時,ab<0,x=++=-1+1-1=-1,故x的所有值構(gòu)成的集合為{-1,3},集合A中元素的個數(shù)為2.B　∵a∈P,∴a=2k1,k1∈Z.∵b∈Q,∴b=2k2+1,k2∈Z.∴a+b=2(k1+k2)+1=2k+1∈Q(k∈Z).故選B.易錯警示　注意理解集合中元素的確定性,即元素滿足的特定要求及元素的表示形式.5.D　∵-3∈A,∴-3=a2+4a或-3=a-2.若-3=a2+4a,則a=-1或a=-3,當(dāng)a=-1時,a2+4a=a-2=-3,不滿足集合中元素的互異性,故舍去;當(dāng)a=-3時,集合A={12,-3,-5},滿足題意,故a=-3成立;若-3=a-2,則a=-1,由上述討論可知,不滿足題意,故舍去.綜上所述,a=-3.故選D.解題模板　由集合中元素的特性求參數(shù)的值(或取值范圍)的步驟:6.ABD　1是整數(shù),因此實(shí)數(shù)1是整數(shù)集Z中的元素;由x=|x|,得x≥0,因此實(shí)數(shù)1是集合{x|x=|x|}中的元素;實(shí)數(shù)1不滿足-1<x<1,因此實(shí)數(shù)1不是集合{x∈N|-1<x<1}中的元素;當(dāng)x=1時,=0,因此實(shí)數(shù)1是集合中的元素.故選ABD.7.答案　1解析　因為A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},所以B={(1,1)},所以集合B中只有一個元素,故答案是1.8.答案　{1,3}或{0,4}解析　因為a∈N,4-a∈N,所以a=0,1,2,3,4.當(dāng)a=0時,4-a=4∈N(或a=4時,4-a=0∈N),集合{0,4}滿足題意;當(dāng)a=1時,4-a=3∈N(或a=3時,4-a=1∈N),集合{1,3}滿足題意;當(dāng)a=2時,4-a=2∈N,這時不存在滿足題意的集合A.綜上所述,A={1,3}或{0,4}.9.解析　∵a=-=0+(-1)×,而0,-1∈Z,∴a∈A.∵b===+,而,?Z,∴b?A.∵c=(1-2)2=13+(-4)×,而13,-4∈Z,∴c∈A.方法技巧　對于某些不能直接表示的集合,判斷元素與集合的關(guān)系時,只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可,此時應(yīng)明確的是已知集合的元素具有什么特征,即該集合中元素要符合哪種表達(dá)式或滿足哪些條件.10.答案　①③信息提取　“復(fù)活集”中的元素滿足a1·a2·…·an=a1+a2+…+an.數(shù)學(xué)建模　以集合中的新定義為情境,構(gòu)建集合新概念模型,按照“復(fù)活集”中n個元素的積與和相等對給出的結(jié)論進(jìn)行推理判斷.解析　①×=+=-1,故①正確.②不妨設(shè)a1+a2=a1a2=t,則由根與系數(shù)的關(guān)系知a1,a2是一元二次方程x2-tx+t=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根,由Δ>0,可得t2-4t>0,解得t<0或t>4,故②錯誤.③根據(jù)集合中元素的互異性知a1≠a2,不妨設(shè)a1<a2(a1,a2∈N*),由a1a2=a1+a2<2a2,可得a1<2.∵a1∈N*,∴a1=1.于是1+a2=1×a2,無解,即不存在滿足條件的“復(fù)活集”,故③正確.11.解析　(1)若1∈A,則1是方程ax2+2x+1=0的實(shí)數(shù)根,∴a+2+1=0,解得a=-3,∴方程為-3x2+2x+1=0,解得x=1或x=-,∴A=.(2)當(dāng)a=0時,方程ax2+2x+1=0即2x+1=0,解得x=-,此時A=;當(dāng)a≠0時,若集合A中有且僅有一個元素,則方程ax2+2x+1=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根,∴解得a=1,此時A={-1}.綜上,當(dāng)a=0或a=1時,集合A中有且僅有一個元素,∴a的值組成的集合B={0,1}.12.解析　(1)證明:由題意可知若2∈A,則=-1∈A.∵-1∈A,∴=∈A.∵∈A,∴=2∈A,∴若2∈A,則A中還有另外兩個元素-1,.(2)集合A不是雙元素集合.理由如下:若x∈A,則∈A,則=∈A,且x≠,≠,x≠,故集合A中至少有3個元素,∴集合A不能只含有兩個元素.(3)由(2)可知,若x∈A,則x,,都為A中的元素,且x··=-1<0,∴A中元素的個數(shù)不為3,又∵A中元素的個數(shù)不超過8,∴A中有6個元素.設(shè)m∈A(m≠x),則m,,都為A中的元素,此時A=,所有元素的積為1,∴=1或=1,∴x=2或x=,∴+2-1+m++=,解得m=-或m=3或m=,∴A中的所有元素為,2,-1,-,3,. 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

1.1 集合的概念

版本： 人教A版 (2019)

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