?專題5.1 相交線
典例體系(本專題共70題36頁)

一、知識點
對頂角、余角、補角。等角的余角或補角的性質(zhì).
垂線、垂線段、垂線段的性質(zhì)點到直線的距離.
同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角。本節(jié)內(nèi)知識點較多，建議教學(xué)和學(xué)習(xí)時做好網(wǎng)絡(luò)化，即了解知識之間的關(guān)聯(lián)，做到不缺不漏。
二、考點點撥與訓(xùn)練
考點1:相交線與對頂角
典例：(2021·全國七年級)如圖，直線、相交于點，平分，＝，＝，

求：(1)的度數(shù)；
(2)寫出圖中互余的角；
(3)的度數(shù)．
方法或規(guī)律點撥
此題主要考查了角的和差計算，以及余角，角平分線的定義，關(guān)鍵是掌握余角定義，理清圖形中角的關(guān)系．
鞏固練習(xí)
1．(2021·重慶萬州區(qū)·七年級期末)下列各組角中，∠1與∠2是對頂角的是(　　　)
A． B． C． D．
2．(2020·黑龍江哈爾濱市·七年級期末)在下面四個圖形中，與是對頂角的是( )．
A． B．
C． D．
3．(2020·洛陽市第五中學(xué)九年級期中)下列說法中，正確的是
A．相等的角是對頂角 B．有公共點并且相等的角是對頂角
C．如果和是對頂角，那么 D．兩條直線相交所成的角是對頂角
4．(2020·福建廈門市·廈門一中七年級期末)如圖，直線AB與直線CD相交于點O，其中∠AOC的對頂角是( )

A．∠AOD B．∠BOD C．∠BOC D．∠AOD和∠BOC
5．(2020·黑龍江哈爾濱市·七年級期末)如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分，若，則的度數(shù)是( )

A．70° B．50° C．40° D．35°
6．(2021·北京通州區(qū)·七年級期末)如圖，兩直線交于點，，則的度數(shù)為_____________；的度數(shù)為_________．

7．(2021·四川宜賓市·七年級期末)如圖，已知直線AB和CD相交于O點，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34o，則∠BOD的度數(shù)為____．

8．(2020·江西贛州市·七年級期末)∠1的對頂角等于，∠1的余角等于_______________．
9．(2020·內(nèi)蒙古烏蘭察布市·七年級期末)如圖，取兩根木條，將它們釘在一起，并把它們想象成兩條直線，就得到一個相交線模型．如果∠1=15°，則∠2=15°，理由是_______________________．

10．(2019·山西七年級月考)如圖，與是對頂角，，，則______．

11．(2021·河南漯河市·七年級期末)如圖，直線，相交于點，平分．

(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，求的度數(shù)．
12．(2020·山東日照市·七年級期末)如圖，直線，相交于點，平分．
(1)的補角是____________；
(2)若，求的度數(shù)．

考點2：鄰補角性質(zhì)的應(yīng)用
典例：(2020·平原縣育才中學(xué)七年級期中)如圖，直線AB、CD、EF相交于點O．
(1)寫出∠COE的鄰補角；
(2)分別寫出∠COE和∠BOE的對頂角；
(3)如果∠BOD=60°，，求∠DOF和∠FOC的度數(shù)．

方法或規(guī)律點撥
本題考查鄰補角、對頂角及余角和補角之間的關(guān)系，關(guān)鍵是理解并掌握互余、互補、鄰補角、對頂角之間的角度和位置關(guān)系．
鞏固練習(xí)
1．(2020·山東濰坊市·七年級期中)把一張長方形紙片沿翻折后，點，分別落在、的位置上，交于點， 則圖中與互補的角有( )

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．(2020·全國七年級課時練習(xí))如圖所示，，的鄰補角是( )，的余角一定是( )．

A．；
B．和；
C．；
D．和；和
3．(2020·全國七年級課時練習(xí))如圖所示，三條直線AB，CD，EF相交于點O，則的鄰補角有( )

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．(2019·湖北恩施土家族苗族自治州·七年級月考)如圖，直線 AB，CD 交于點 O，則圖中互為補角的角對數(shù)有( )

A．1 對 B．2 對 C．3 對 D．4 對
5．(2019·福州三牧中學(xué)七年級期中)如圖，已知∠1+∠3=180°，則圖中有標(biāo)出來的角中與∠1互補的角有( )

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
6．(2020·奈曼旗新鎮(zhèn)中學(xué)七年級期中)如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，∠AOC的鄰補角是___________．若∠AOC＝50°，則∠BOD＝________，∠COB＝________．

7．(2019·山西七年級月考)已知4條直線交于一點，那么鄰補角的對數(shù)是______對．
8．(2019·天津濱海新區(qū)·七年級期末)如圖，直線AB、CD相交于點O，下列描述：①∠1和∠2互為對頂角；②∠1和∠2互為鄰補角；③∠1＝∠2；④∠1＝∠3；⑤∠1+∠4＝180°，其中正確的是_____．

9．(2019·全國七年級單元測試)三條直線AB、CD、EF相交于點O，如圖所示，∠AOD的對頂角是_____，∠FOB的對頂角是_______，∠EOB的鄰補角是________

10．(2020·全國七年級課時練習(xí))如圖，直線AB，CD，EF相交于點O，則∠AOD的對頂角是_________，∠AOC的鄰補角是_______．若∠AOC＝50°，則∠BOD＝__________，∠COB＝______________．

11．(2018·全國)如圖，直線AB、CD、EF相交于點O，則∠AOC的對頂角是_____________，∠AOE的鄰補角是_____________

12．(2019·四川瀘州市·七年級期末)如圖，直線、與相交于點，形成了個角．

(1)圖中，與有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角．這樣的鄰補角還有以下幾對，它們分別是____________、__________、______________．
(2)圖中，與有一個公共頂點，且的兩邊分別是的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個角，互為對頂角．這樣的對頂角還有一對，它們是________與___________．
(3)因為______________，____________所以______(填寫或或)理由是____________由此能得到的結(jié)論是：對頂角_____________
(4)用您所學(xué)知識可得___________(精確到度)．
考點3：點到直線的距離與垂線段最短
典例：(2020·湖南婁底市·)如圖，是直線外一點，，，三點在直線上，且于點，，則下列結(jié)論：①線段是點到直線的距離；②線段的長是點到直線的距離；③，，三條線段中，最短；④線段的長是點到直線的距離．其中正確的是( )

A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②③④
方法或規(guī)律點撥
此題主要考查了垂線的兩條性質(zhì)：①從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．②從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短．
鞏固練習(xí)
1．(2021·北京海淀區(qū)·北大附中七年級期末)如圖，從直線EF外一點P向EF引四條線段PA，PB，PC，PD，其中最短的是( )

A．PA B．PB C．PC D．PD
2．(2021·北京通州區(qū)·七年級期末)如圖，是直線外一點，從點向直線引，，，幾條線段，其中只有與垂直，這幾條線段中長度最短的是(　　　)

A． B． C． D．
3．(2021·北京順義區(qū)·七年級期末)如圖，點在直線外，點、在直線上，若，，則點到直線的距離可能是( )

A．3 B．4 C．5 D．7
4．(2020·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)七年級月考)如圖，建筑工人砌墻時，經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，其運用到的數(shù)學(xué)原理是( )

A．兩點之間，線段最短 B．兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離
C．垂線段最短 D．兩點確定一條直線
5．(2020·黑龍江大慶市·七年級期末)如圖，點是直線外一點，，，，都在直線上，于，下列線段最短的是( )

A． B． C． D．
6．(2021·全國八年級)如圖，從旗桿AB的頂端A向地面拉一條繩子，繩子底端恰好在地面P處，若旗桿的高度為3.2米，則繩子AP的長度不可能是(　　)

A．3 B．3.3 C．4 D．5
7．(2020·大慶市萬寶學(xué)校八年級期中)下列說法中，正確的是( )
A．在同一平面內(nèi)，過一點有無數(shù)條直線與已知直線垂直
B．兩直線相交，對頂角互補
C．垂線段最短
D．直線外一點到這條直線的垂線段叫做點到直線的距離
8．(2019·河北保定市·七年級期中)如圖，立定跳遠(yuǎn)比賽時，小明從點A起跳落在沙坑內(nèi)P處．若AP＝2.3米，則這次小明跳遠(yuǎn)成績

A．小于2.3米 B．等于2.3米
C．大于2.3米 D．不能確定
9．(2019·河北唐山市·七年級期中)如圖，某地進(jìn)行城市規(guī)劃，在一條新修公路旁有一超市，現(xiàn)要建一個汽車站，且有四個地點可供選擇．若要使超市距離汽車站最近，則汽車站應(yīng)建在( )

A．點處 B．點處 C．點處 D．點處
10．(2018·山東濟(jì)南市·七年級期中)下列圖形中，線段的長表示點到直線距離的是( )．
A． B． C． D．
11．(2020·海倫市第三中學(xué)七年級期中)點P是直線l外一點，A為垂足，，且，則點P到直線l的距離( )
A．小于 B．等于 C．大于 D．不確定
12．(2019·山西七年級月考)如圖，在中，，于點，則圖中能表示點到直線的距離的是( )

A．的長度 B．的長度 C．的長度 D．的長度
13．(2020·吉林長春市·七年級期末)如圖，在中，于點，點到直線的距離是( )

A．線段的長 B．線段的長
C．線段的長 D．線段的長
14．(2020·河南信陽市·七年級期中)下列圖形中，線段PQ的長度表示點P到直線L的距離的是( )
A． B． C． D．
15．(2019·四川涼山彝族自治州·七年級期末)下列作圖能表示點A到BC的距離的是(　　)

A．A B．B C．C D．D
16．(2020·長白朝鮮族自治縣寶泉山鎮(zhèn)中學(xué)七年級期末)下列圖形中線段PQ的長度表示點P到直線a的距離的是(　　)
A． B．
C． D．
17．(2019·貴州銅仁市·七年級期末)下列圖形中，線段的長表示點到直線的距離是( )
A． B．
C． D．
18．(2020·湖北襄陽市·七年級期末)如圖，，于點D，點C到AD的距離是下列哪條線段的長度? ?

A．AC B．BC C．CD D．AD
19．(2021·北京海淀區(qū)·人大附中七年級期末)如圖是小明同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，那么體育陳老師測量小明同學(xué)的體育成績，應(yīng)該選取線段____________的長度，其依據(jù)是_______________．

考點4：與垂線有關(guān)的作圖問題
典例：(2021·北京房山區(qū)·七年級期末)已知，如圖，點、分別代表兩個村莊，直線代表兩個村莊之間的一條燃?xì)夤艿溃鶕?jù)村民燃?xì)庑枨?，計劃在管道上某處修建一座燃?xì)夤芾碚荆騼纱迩f接入管道．
(1)若計劃建一個離村莊最近的燃?xì)夤芾碚荆埉嫵鋈細(xì)夤芾碚镜奈恢?用點表示)，這樣做的依據(jù)是________________________________________．
(2)若考慮到管道鋪設(shè)費用問題，希望燃?xì)夤芾碚镜奈恢玫酱迩f、村莊距離之和最小，畫出燃?xì)夤芾碚镜奈恢?用點表示)，這樣做的依據(jù)是___________________________．

方法或規(guī)律點撥
本題考查垂線段最短，與兩點之間，線段最短問題，掌握垂線段，與線段的定義，會利用垂線段最短，與兩點之間，線段最短問題解釋生活中實際問題是解題關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．(2021·全國八年級)閱讀下面材料：
在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：
如圖，需要在A、B兩地和公路l之間修地下管道．請你設(shè)計一種最節(jié)省材料的修路方案：

小麗設(shè)計的方案如下：
如圖，(1)連接AB；
(2)過點A畫線段AC⊥直線l于點C，所以線段BA和線段AC即為所求．

老師說：“小麗的畫法正確”
請回答：小麗的畫圖依據(jù)是___．
2．(2021·北京昌平區(qū)·七年級期末)如圖，已知一條筆直的公路l的附近有A，B，C三個村莊．
(1)畫出村莊A，C間距離最短的路線；
(2)加油站D在村莊B，C所在直線與公路l的交點處，畫出加油站D的位置；
(3)畫出村莊C到公路l的最短路線，作圖依據(jù)是____________，測量______(精確到)；如果示意圖與實際距離的比例尺是1∶200000，通過你的測量和計算，在實際中村莊C到公路l的最短路線為________．

3．(2021·浙江溫州市·七年級期末)點A、B、C如圖所示，請按要求完成下列問題．

(1)作直線AB，射線AC；
(2)作出點B到射線AC的最短線段BD；
(3)作線段BC，則________BC．(填“>”，“=”或“

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