2020-2021學(xué)年北京市昌平區(qū)高一上學(xué)期期末質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題中條件，由交集的概念，可直接得出結(jié)果.【詳解】因為集合，，所以.故選：C.2．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】將選項中的函數(shù)逐一檢驗，可得答案．【詳解】對于A，不是奇函數(shù)，錯誤；對于B，既是奇函數(shù)又在上是增函數(shù)，正確；對于C，不是奇函數(shù)，錯誤；對于D，在上是減函數(shù)，錯誤；故選：B3．已知點，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)公式計算可得；【詳解】因為，所以所以故選：C4．函數(shù)的圖象向右平移一個單位長度，所得圖象與曲線關(guān)于直線對稱，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得出曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程，再由換元法求出函數(shù)的解析式.【詳解】曲線關(guān)于直線對稱的曲線為，即令，則，即故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題時，關(guān)鍵是由同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)關(guān)于直線對稱，再由換元法求出解析式.5．已知矩形中，，若，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先由題中條件，得到，再由平面向量的線性運算，用和表示出，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以.故選：B.6．2020年11月5日—11月10日，在上海國家會展中心舉辦了第三屆中國國際進口博覽會，其中的“科技生活展區(qū)”設(shè)置了各類與人民生活息息相關(guān)的科技專區(qū).現(xiàn)從“高檔家用電器”、“智能家居”、“消費電子”、“服務(wù)機器人”、“人工智能及軟件技術(shù)”五個專區(qū)中選擇兩個專區(qū)參觀，則選擇的兩個專區(qū)中包括“人工智能及軟件技術(shù)”專區(qū)的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分別對五個專區(qū)作標(biāo)記，列舉出總的基本事件，以及滿足“選擇的兩個專區(qū)中包括人工智能及軟件技術(shù)專區(qū)”所對應(yīng)的基本事件，基本事件的個數(shù)比即為所求概率.【詳解】分別記“高檔家用電器”、“智能家居”、“消費電子”、“服務(wù)機器人”、“人工智能及軟件技術(shù)” 五個專區(qū)為、、、、；從這五個專區(qū)中選擇兩個專區(qū)參觀，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共個基本事件；選擇的兩個專區(qū)中包括“人工智能及軟件技術(shù)”專區(qū)（即專區(qū)），所對應(yīng)的基本事件有：，，，，共個基本事件；因此，選擇的兩個專區(qū)中包括“人工智能及軟件技術(shù)”專區(qū)的概率是.故選：C.7．已知，，則（    ）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)指對運算化簡，再根據(jù)對數(shù)運算法則計算的值.【詳解】， .故選：A.8．某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測.下圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[90，100]，樣品數(shù)據(jù)分組為，，，，.已知樣本中產(chǎn)品凈重小于94克的個數(shù)為36，則樣本中凈重大于或等于92克并且小于98克的產(chǎn)品的個數(shù)是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得出，，，對應(yīng)的頻率，再由凈重小于94克的個數(shù)為36，求出樣本容量，最后由，，對應(yīng)的頻率得出答案.【詳解】，，，對應(yīng)的頻率分別為：設(shè)樣本容量為因為凈重小于94克的個數(shù)為36，所以，解得則樣本中凈重大于或等于92克并且小于98克的產(chǎn)品的個數(shù)為故選：D9．已知四邊形中，，則 “”是“四邊形是矩形”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義即可判斷.【詳解】解：充分性：在四邊形中，，，則四邊形為平行四邊形，不一定是矩形；必要性：四邊形是矩形，則一定有；故“”是“四邊形是矩形”的必要而不充分條件.故選：B.10．已知函數(shù).若存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)解析式可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，依題意可得，即可得到為方程的兩不相等的非負實數(shù)根，利用根的判別式及韋達定理計算可得；【詳解】解：因為，所以在上單調(diào)遞增，要使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，所以，即，所以為方程的兩不相等的非負實數(shù)根，所以，解得，即故選：A  二、填空題11．已知命題，則為_______.【答案】【分析】根據(jù)全稱命題的否定，可直接得出結(jié)果.【詳解】命題的否定為：.故答案為：12．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為_______【答案】12【分析】根據(jù)平均變化率的定義計算可得答案.【詳解】由定義可知，平均變化率為.13．已知向量，，且與共線，則實數(shù)______ .【答案】【分析】先得出，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示列出方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因為向量，，所以，又與共線，所以，解得.故答案為： 三、雙空題14．已知，則的最小值為_____ ，當(dāng)取得最小值時的值為______ .【答案】        【分析】利用基本不等式求出最小值以及取得最小值時的值．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號故答案為：15．某學(xué)校開展了“國學(xué)”系列講座活動，為了了解活動效果，用分層抽樣的方法從高一年級所有學(xué)生中抽取10人進行國學(xué)素養(yǎng)測試，這10名同學(xué)的性別和測試成績 (百分制) 的莖葉圖如圖所示.則男生成績的75%分位數(shù)為______；已知高一年級中男生總數(shù)為80人，試估計高一年級學(xué)生總數(shù)為________ .【答案】    200    【分析】根據(jù)75%分位數(shù)的求法，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可得答案；根據(jù)分層抽樣的定義，即可求得高一年級學(xué)生總數(shù).【詳解】將男生成績從小到大排列可得：64、76、77、78，共4個數(shù)據(jù)，且，所以男生成績的75%分位數(shù)為；設(shè)高一年級學(xué)生總數(shù)為n，因為用分層抽樣方法抽取10人中，男生有4人，且高一年級中男生總數(shù)為80人，所以，解得，故答案為：；200.16．已知函數(shù)（Ⅰ）若，則函數(shù)的零點是________；（Ⅱ）如果函數(shù)滿足對任意，都存在，使得，稱實數(shù)為函數(shù)的包容數(shù).在給出的① ；② ；③ 三個數(shù)中，為函數(shù)的包容數(shù)是________．（填出所有正確答案的序號）【答案】    ②③    【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)解析式，令，再分類討論，分別計算可得；（Ⅱ）由題意可得的值域為的值域的子集，分別討論三種情況，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和一次函數(shù)的單調(diào)性，求得值域，即可判斷．【詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)，，令，即或解得，故函數(shù)的零點為（Ⅱ）由題意可得的值域為的值域的子集，當(dāng)時，由時，；由時，， ，不滿足題意；當(dāng)時，由時，；由時，，，，，滿足題意；當(dāng)時，由時，，；由時，， ，滿足題意．綜上可得函數(shù)的包容數(shù)是②③．故答案為：；②③【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題和函數(shù)的任意性、存在性問題解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡運算能力． 四、解答題17．已知全集，或，.（I）當(dāng)時，求，，；（II）若，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（I），或，；（II）或【分析】（I）利用集合的交并補運算的定義求解即可；（II），即，列不等式可得實數(shù)a的取值范圍．【詳解】（I）當(dāng)時，或，，則，或，，；（II），即則或，即實數(shù)a的取值范圍是或18．已知關(guān)于的方程有兩個不等實根.（Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)方程的兩個實根為，且，求實數(shù)的值；（Ⅲ）請寫出一個整數(shù)的值，使得方程有兩個正整數(shù)的根.（結(jié)論不需要證明）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）依題意，解得即可；（Ⅱ）利用韋達定理得到，再代入方程，解得即可；（Ⅲ）依題意找出合適的即可；【詳解】解：（Ⅰ）因為方程有兩個不相等實數(shù)根，所以，即，解得，即（Ⅱ）因為方程的兩個實根為，所以，，又，所以，解得或，又，所以（Ⅲ）當(dāng)時，方程，解得，滿足條件；19．某班倡議假期每位學(xué)生每天至少鍛煉一小時.為了解學(xué)生的鍛煉情況，對該班全部34名學(xué)生在某周的鍛煉時間進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表:鍛煉時長（小時）56789男生人數(shù)（人）12434女生人數(shù)（人）38621（Ⅰ）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求這個班級女生在該周的平均鍛煉時長;（Ⅱ）若從鍛煉8小時的學(xué)生中任選2人參加一項活動，求選到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）試判斷該班男生鍛煉時長的方差與女生鍛煉時長的方差的大小.（直接寫出結(jié)果）【答案】（Ⅰ）小時（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)計算平均數(shù)即可；（Ⅱ）列舉出任選2人的所有情況，再由古典概型的概率公式計算即可；（Ⅲ）根據(jù)數(shù)據(jù)的離散程度結(jié)合方差的性質(zhì)得出【詳解】（Ⅰ）這個班級女生在該周的平均鍛煉時長為小時（Ⅱ）由表中數(shù)據(jù)可知，鍛煉8小時的學(xué)生中男生有人，記為，女生有人，記為從中任選2人的所有情況為，，，共種，其中選到男生和女生各1人的共有種故選到男生和女生各1人的概率（Ⅲ）【點睛】關(guān)鍵點睛：在第二問中，關(guān)鍵是利用列舉法得出所有的情況，再結(jié)合古典概型的概率公式進行求解.20．已知函數(shù)且.（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（3）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）偶函數(shù)；（2）；（3）.【分析】（1）先求得函數(shù)的定義域為R，再由，可判斷函數(shù)是奇偶性；（2）由，所以，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的值域；（3）對任意，恒成立，等價于，分，和，分別求得函數(shù)的最值，可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為且，所以其定義域為R，又，所以函數(shù)是偶函數(shù)；（2）當(dāng)時，，因為，所以，所以函數(shù)的值域為；（3）對任意，恒成立，等價于，當(dāng)，因為，所以，所以，解得，當(dāng)，因為，所以，所以函數(shù)無最小值，所以此時實數(shù)不存在，綜上得：實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立.21．已知集合.對于，定義：與的差為；與之間的距離為.（1）當(dāng)時，設(shè)，求；（2）若對于任意的，有，求的值并證明：.【答案】（1）；；（2）；證明見解析.【分析】（1）直接代入計算和；（2）根據(jù)，都有或，可計算得；然后表示出，分別討論與兩種情況.【詳解】（1）；；（2）證明：因為，，所以對于任意的，即對，都有或，所以得.設(shè)則，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以【點睛】解答該題的關(guān)鍵是需要注意理解并表示出，然后代入化簡判斷與兩種情況. 

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