2023屆黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)，則“”是“”的（    ）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】解不等式和,判斷它們的解集之間的包含關(guān)系,由此可得答案.【詳解】解不等式可得，解即，即，由于?，故“”是“”的充分不必要條件，故選:A.2．已知復(fù)數(shù)，表示z的共軛復(fù)數(shù)，則（    ）A．1 B．0 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：由得，．故選：B．3．在直三棱柱中，，，，，則該三棱柱內(nèi)能放置的最大球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由題意可得球的半徑為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，易得，又，可得該三棱柱內(nèi)能放置的最大球半徑為，最后由球的表面積計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】先不考慮棱柱的高將球放入棱柱內(nèi)，則球的半徑為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，∵底面三角形的邊長(zhǎng)分別為6、8、10，∴底面三角形為直角三角形，，又∵，，∴該三棱柱內(nèi)能放置的最大球半徑為 ，此時(shí)球的表面積.故選：D.4．已知A，B，C，D在同一平面上，其中，若點(diǎn)B，C，D均在面積為的圓上，則（    ）A．36 B． C．18 D．【答案】B【分析】根據(jù)圓的面積得到圓的半徑，結(jié)合的長(zhǎng)度求出所成的角為，進(jìn)而利用向量的減法及數(shù)量積公式進(jìn)行求解.【詳解】依題意可知：圓的半徑為，設(shè)圓心為，因?yàn)?/span>，所以為圓的直徑，因?yàn)?/span>，則為等邊三角形，所以所成的角為，則所成的角為，所以，故選：B.5．若函數(shù)（）在區(qū)間上恰有唯一對(duì)稱軸，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)函數(shù)值為表示出，上只有一個(gè)即可.【詳解】依題意在區(qū)間上恰有唯一對(duì)稱軸，,解之：故選：D6．一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的實(shí)心塔群，共分十二階梯式平臺(tái)，自上而下一共12層，每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù)，總計(jì)108座．已知其中10層的塔數(shù)成公差不為零的等差數(shù)列，剩下兩層的塔數(shù)之和為8，則第11層的塔數(shù)為（    ）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】A【分析】設(shè)成為等差數(shù)列的其中10層的塔數(shù)為：，設(shè)出公差，根據(jù)題意得，又，，且，故只能滿足，進(jìn)而可得答案.【詳解】設(shè)成為等差數(shù)列的其中10層的塔數(shù)為：，由已知得，該等差數(shù)列為遞增數(shù)列，因?yàn)槭Ｏ聝蓪拥乃?shù)之和為8，故剩下兩層中的任一層，都不可能是第十二層，所以，第十二層塔數(shù)必為；故，①；又由②，，且，所以，①+②得，，得，由知， 又因?yàn)?/span>觀察答案，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足條件，所以，；組成等差數(shù)列的塔數(shù)為：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；剩下兩層的塔數(shù)之和為8，只能為2，6.所以，十二層的塔數(shù)，從上到下，可以如下排列：1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二層的2和第五層的6不組成等差數(shù)列，滿足題意，則第11層的塔數(shù)為17.故答案選：A7．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，P為的中點(diǎn)，M在側(cè)面上，若，則面積的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得，利用三角形面積公式，即可求得答案.【詳解】以點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，所以．因?yàn)?/span>，，所以,因?yàn)?/span>，所以，所以．因?yàn)?/span>，所以，所以,因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，．因?yàn)檎襟w中，平面，平面,故，所以，故選：C．8．已知，分別為定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由奇偶性求得的解析式，化簡(jiǎn)不等式，并用分離參數(shù)法變形為，設(shè)，換元后利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式右邊的取值范圍，從而可得的范圍．【詳解】因?yàn)?/span>，分別為上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，①，所以，即②，聯(lián)立①②可解得，，所以不等式可化為，因?yàn)?/span>，則，故，設(shè)，則，故，因?yàn)?/span>，，所以，故在上是增函數(shù)，則，又因?yàn)?/span>在時(shí)是增函數(shù)，所以，則，因?yàn)?/span>在恒成立，所以．所以正實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D． 二、多選題9．已知三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c且，．則下列結(jié)論正確的是（    ）A．面積的最大值為 B．的最大值為C． D．周長(zhǎng)的最大值為9【答案】CD【分析】對(duì)A選項(xiàng)，根據(jù)余弦定理建立關(guān)系，使用基本不等式求出的最大值；對(duì)B選項(xiàng)，用正弦定理及三角恒等變換得求最值；對(duì)C選項(xiàng)，使用余弦定理將化為邊后整理即可；對(duì)D選項(xiàng)，根據(jù)A選項(xiàng)中關(guān)系，使用基本不等式求出的最大值.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，∴所以A選項(xiàng)不正確；對(duì)B選項(xiàng)，由正弦定理得，所以 所以所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，故B不正確；對(duì)C選項(xiàng)，∵    ，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)的分析知，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào),    ，又 ，∴周長(zhǎng)所以D選項(xiàng)正確；故選：CD10．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．是的充要條件B．正數(shù)x，y滿足，則的最小值是C．中，角A，B，C對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，則是的充要條件D．若，，，則的最小值是2【答案】ABC【分析】對(duì)于A：根據(jù)及單調(diào)性判斷；對(duì)于B：使用基本不等式“1”的代換求解；對(duì)于C：使用倍角公式化簡(jiǎn)，再用正弦定理邊角互化得證；對(duì)于D：使用基本不等式轉(zhuǎn)化可證得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：及在上均為增函數(shù)，所以等價(jià)于等價(jià)于，等價(jià)于等價(jià)于，故是的充要條件，所以A正確；對(duì)于B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；故B正確； 對(duì)于C：中，由得，由 得，由正弦定理得，以上關(guān)系均可逆，故是的充要條件，故C正確；對(duì)于D：由得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故D錯(cuò)誤；故選：ABC11．已知圓錐的底面半徑，側(cè)面積為，內(nèi)切球的球心為，外接球的球心為，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．外接球的表面積為B．設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則C．過(guò)點(diǎn)作平面截圓錐OP的截面面積的最大值為2D．設(shè)母線中點(diǎn)為，從點(diǎn)沿圓錐表面到的最近路線長(zhǎng)為【答案】ABD【分析】易知，圓錐軸截面為等邊三角形，該三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓的半徑即為圓錐的內(nèi)切球半徑和外接球半徑，求出即可判斷A、B項(xiàng)；由為等邊三角形，可知過(guò)點(diǎn)作平面截圓錐OP的截面中，面積最大的截面即為，即可判斷C項(xiàng)；將圓錐側(cè)面沿A處剪開(kāi)，連結(jié)即為最小值，可得到D項(xiàng).【詳解】設(shè)母線長(zhǎng)為，側(cè)面積為，所以.所以，為等邊三角形.則圓錐的軸截面的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球的半徑，其外接圓的半徑為圓錐外接球的半徑，如圖1圖1設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則，又，所以，.由正弦定理可得，在中，，即，則.所以，外接球的表面積為，A正確.因?yàn)椋?/span>，，所以，B項(xiàng)正確.顯然，過(guò)點(diǎn)作平面截圓錐OP的截面均為腰長(zhǎng)為等腰三角形，如圖2，在底面圓上任取一點(diǎn)，易知.所以，，即最大面積為，C項(xiàng)錯(cuò)誤.圖2將圓錐側(cè)面沿剪開(kāi)，得到的扇形的半徑，弧長(zhǎng)，則扇形的圓心角，如圖3所示.圖3連結(jié)，即為最近路線，在中，有，，所以，，D項(xiàng)正確.故選：ABD.12．已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的有（    ）A．當(dāng)時(shí)，是的極值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，恒成立C．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)D．若是關(guān)于x的方程的2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則【答案】ABD【分析】對(duì)于A，代入后對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得證；對(duì)于B，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得，從而可證得；對(duì)于C，舉反例排除即可；對(duì)于D，利用極值點(diǎn)偏移的證明方法即可證得.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，令，得，令，則，令，解得，故當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；所以，因?yàn)?/span>，所以，故，整理得，即恒成立，故B正確；對(duì)于C，令，則，令，解得，故只有1個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?/span>是關(guān)于的方程的2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以，即，所以問(wèn)題等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，證明，不妨設(shè)，則由得到，要證，只需要證明，即只需證明：，只需證明：，即，令，只需證明：，令，則，即在上單調(diào)遞增，又，所以，即恒成立，綜上所述，原不等式成立，即成立，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別． 三、填空題13．已知向量，向量，則向量在方向上的投影向量為______．【答案】【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出與同向的單位向量，進(jìn)而求出向量在方向上的投影向量.【詳解】由題意，，向量在方向上的投影為：，則與同向的單位向量為，所以向量在方向上的投影向量為：.故答案為：.14．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，若數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則______．【答案】2359【分析】先根據(jù)分解定理求出的值，然后再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出.【詳解】 AE延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，，，故答案為：235915．已知正四棱錐的底面長(zhǎng)為6，高為4，若該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球心到四棱錐側(cè)面的距離為______．【答案】【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，作出高，則外接球球心在高上，運(yùn)用勾股定理可以求出外接球半徑，然后再根據(jù)正弦定理求出側(cè)面的外接圓半徑即可求得.【詳解】底面中心為，連，球心在射線上，連中點(diǎn)為連底面長(zhǎng)為6，高為4，,中，，中，，由正弦定理外接圓半徑：.故答案為：16．已知函數(shù)，直線是曲線的一條切線，則的取值范圍是___________【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，可把、用表示，從而可表示為關(guān)于的函數(shù)，再引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的值域即得【詳解】由可得，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以曲線在切點(diǎn)處的切線方程為，整理得，所以，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，則的取值范圍是，故答案為： 四、解答題17．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，，，．(1)求角B；(2)求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換及三角函數(shù)的基本關(guān)系式得到，從而得解；（2）先由三角形內(nèi)角和性質(zhì)與正弦的和差公式求得，再由正弦定理求得邊，從而利用三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以由正弦定理得，又，所以，所以，則，又因?yàn)?/span>，所以．（2）由（1）得，又，所以，由正弦定理得，則，所以．18．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）由（1）可得，再分類討論結(jié)合分組并項(xiàng)求和法求解即可【詳解】（1）設(shè)公比為，由題意得解得（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；．19．在直棱柱中，，，D，F分別為棱，的中點(diǎn)，E為棱上一點(diǎn)，且A，D，E，F四點(diǎn)共面．(1)求的長(zhǎng)；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)；(2)3 【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由平面向量的共面公式可以求得；（2）將三棱錐的頂點(diǎn)轉(zhuǎn)換為可以求得.【詳解】（1）以為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系．，，，設(shè)，則由題意可知存在唯一實(shí)數(shù)使得即即，解之：所以（2）平面又，，平面平面，即平面，20．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若函數(shù)，，，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍．【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）化簡(jiǎn)已知得，解不等式即得解；（2）由題意可知，令，所以，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)得解.【詳解】（1）解：，令的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）解：由題意可知，，，令，所以，因?yàn)?/span>，，所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.由題得所以在上的取值范圍是．21．在長(zhǎng)方體 中，已知 ，E為的中點(diǎn).(1)在線段上是否存在點(diǎn)F，使得平面平面？若存在，請(qǐng)加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)設(shè) ，點(diǎn)G在上且滿足，求 與平面 所成角的余弦值.【答案】(1)在線段上存在點(diǎn)F，使得平面平面，且F為線段中點(diǎn),證明見(jiàn)解析；(2) 【分析】（1）F為線段中點(diǎn)時(shí)，平面平面，先證明平面，繼而證明，且，從而四邊形是平行四邊形，，進(jìn)而 平面，由此能證明平面平面；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 ，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量法即可求得與平面 所成角的余弦值.【詳解】（1）在線段上存在點(diǎn)F，使得平面平面，且F為線段中點(diǎn)．證明：在長(zhǎng)方體中，,∵ 平面，平面,∴平面，∵E為 的中點(diǎn)，F為的中點(diǎn)，∴ ，且，∴四邊形是平行四邊形，∴ ，∵平面，平面，∴ 平面，∵平面，∴平面平面.（2）在長(zhǎng)方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別軸，建立空間直角坐標(biāo)系 ， ， ， 故   ， ，設(shè)平面的法向量為 ，則 ，取 ，得 ， , 設(shè) ，則 ，則，∴ ，設(shè)與平面所成角為 ，則 ，∴ ， 故與平面所成角的余弦值為.22．已知函數(shù)（a為實(shí)數(shù)）．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在兩個(gè)不相等的正數(shù)，滿足，求證．(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）討論的正負(fù)，確定的單調(diào)區(qū)間；（2）極值點(diǎn)偏移問(wèn)題處理：不妨設(shè)，構(gòu)造并證得時(shí)，，可得即，再利用的單調(diào)性可得與大小關(guān)系，從而證得結(jié)論.（3）由兩式相減用表示，將化為只有的關(guān)系式，令可轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)變量的函數(shù)，可得結(jié)論.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，恒成立，在上遞增；當(dāng)時(shí)令；增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，在上遞增，與題意矛盾，令,在上遞增，又因?yàn)?/span>時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，當(dāng)時(shí)在上遞增，上遞減必有一個(gè)在上，一個(gè)在上，不妨設(shè)，若則顯然成立；若，由時(shí)，知,即又又,在上遞增，則即證畢．（3）不妨設(shè)，由，可得即 =，設(shè)，則，設(shè)，則即函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，即得證【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的類似于（）的問(wèn)題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論. 

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