1．（3分）（﹣3）0等于（ ）
A．0B．1C．3D．﹣3
2．（3分）如圖所示幾何體的左視圖是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（ ）
A．與B．與C．與D．與
4．（3分）“14人中至少有2人在同一個月過生日”這一事件發(fā)生的概率為P，則（ ）
A．P＝0B．0＜P＜1C．P＝1D．P＞1
5．（3分）如圖，P為AB上任意一點，分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF，設∠CBE＝α，則∠AFP為（ ）
A．2αB．90°﹣αC．45°+αD．90°﹣α
6．（3分）互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，這三點的位置關系是（ ）
A．點A在B、C兩點之間B．點B在A、C兩點之間
C．點C在A、B兩點之間D．無法確定
二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分，請把答案直樓填寫在答題相位置上）
7．（3分）計算：﹣（﹣2）＝ ．
8．（3分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是 ．
9．（3分）2021年5月，中國首個火星車“祝融號”成功降落在火星上直徑為3200km的烏托邦平原．把數(shù)據(jù)3200用科學記數(shù)法表示為 ．
10．（3分）在函數(shù)y＝（x﹣1）2中，當x＞1時，y隨x的增大而 ．（填“增大”或“減小”）
11．（3分）某班按課外閱讀時間將學生分為3組，第1、2組的頻率分別為0.2、0.5，則第3組的頻率是 ．
12．（3分）關于x的方程x2﹣x﹣1＝0的兩根分別為x1、x2，則x1+x2﹣x1?x2的值為 ．
13．（3分）扇形的半徑為8cm，圓心角為45°，則該扇形的弧長為 cm．
14．（3分）如圖，木棒AB、CD與EF分別在G、H處用可旋轉(zhuǎn)的螺絲鉚住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，將木棒AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)到與木棒CD平行的位置，則至少要旋轉(zhuǎn) °．
15．（3分）如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（8，5），⊙A與x軸相切，點P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點B．若∠APB＝30°，則點P的坐標為 ．
16．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB與CD不平行，P、M、N分別是AD、BD、AC的中點，設△PMN的面積為S，則S的范圍是 ．
三、解答題（本大題共有10題，共102分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（12分）（1）分解因式：x3﹣9x；
（2）解方程：+1＝．
18．（8分）近5年，我省家電業(yè)的發(fā)展發(fā)生了新變化．以甲、乙、丙3種家電為例，將這3種家電2016～2020年的產(chǎn)量（單位：萬臺）繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計圖，圖中只標注了甲種家電產(chǎn)量的數(shù)據(jù)．
觀察統(tǒng)計圖回答下列問題：
（1）這5年甲種家電產(chǎn)量的中位數(shù)為 萬臺；
（2）若將這5年家電產(chǎn)量按年份繪制成5個扇形統(tǒng)計圖，每個統(tǒng)計圖只反映該年這3種家電產(chǎn)量占比，其中有一個扇形統(tǒng)計圖的某種家電產(chǎn)量占比對應的圓心角大于180°，這個扇形統(tǒng)計圖對應的年份是 年；
（3）小明認為：某種家電產(chǎn)量的方差越小，說明該家電發(fā)展趨勢越好．你同意他的觀點嗎？請結(jié)合圖中乙、丙兩種家電產(chǎn)量變化情況說明理由．
19．（8分）江蘇省第20屆運動會將在泰州舉辦，“泰寶”和“鳳娃”是運動會吉祥物．在一次宣傳活動中，組織者將分別印有這兩種吉祥物圖案的卡片各2張放在一個不透明的盒子中并攪勻，卡片除圖案外其余均相同．小張從中隨機抽取2張換取相應的吉祥物，抽取方式有兩種：第一種是先抽取1張不放回，再抽取1張；第二種是一次性抽取2張．
（1）兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率 （填“相同”或“不同”）；
（2）若小張用第一種方式抽取卡片，求抽到不同圖案卡片的概率．
20．（8分）甲、乙兩工程隊共同修建150km的公路，原計劃30個月完工．實際施工時，甲隊通過技術創(chuàng)新，施工效率提高了50%，乙隊施工效率不變，結(jié)果提前5個月完工．甲、乙兩工程隊原計劃平均每月分別修建多長？
21．（10分）如圖，游客從旅游景區(qū)山腳下的地面A處出發(fā)，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B處，乘直立電梯上升30m至C處，再乘纜車沿長為180m的索道CD至山頂D處，此時觀測C處的俯角為19°30′，索道CD看作在一條直線上．求山頂D的高度．（精確到1m，sin19°30′≈0.33，cs19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
22．（10分）如圖，點A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，AC⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為C、D，AC與BD相交于點E．
（1）根據(jù)圖象直接寫出y1、y2的大小關系，并通過計算加以驗證；
（2）結(jié)合以上信息，從①四邊形OCED的面積為2，②BE＝2AE這兩個條件中任選一個作為補充條件，求k的值．
你選擇的條件是 （只填序號）．
23．（10分）（1）如圖①，O為AB的中點，直線l1、l2分別經(jīng)過點O、B，且l1∥l2，以點O為圓心，OA長為半徑畫弧交直線l2于點C，連接AC．求證，直線l1垂直平分AC；
（2）如圖②，平面內(nèi)直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離相等，點P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ．用圓規(guī)和無刻度的直尺在直線l4上求作一點D，使線段PD最短．（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡）
24．（10分）農(nóng)技人員對培育的某一品種桃樹進行研究，發(fā)現(xiàn)桃子成熟后一棵樹上每個桃子質(zhì)量大致相同．以每棵樹上桃子的數(shù)量x（個）為橫坐標、桃子的平均質(zhì)量y（克/個）為縱坐標，在平面直角坐標系中描出對應的點，發(fā)現(xiàn)這些點大致分布在直線AB附近（如圖所示）．
（1）求直線AB的函數(shù)關系式；
（2）市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：這個品種每個桃子的平均價格w（元）與平均質(zhì)量y（克/個）滿足函數(shù)表達式w＝y(tǒng)+2．在（1）的情形下，求一棵樹上桃子數(shù)量為多少時，該樹上的桃子銷售額最大？
25．（12分）二次函數(shù)y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a為常數(shù)）圖象的頂點在y軸右側(cè)．
（1）寫出該二次函數(shù)圖象的頂點橫坐標（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）該二次函數(shù)表達式可變形為y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若點A（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，且n＞0，過點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點在x軸下方，求a的范圍．
26．（14分）如圖，在⊙O中，AB為直徑，P為AB上一點，PA＝1，PB＝m（m為常數(shù)，且m＞0）．過點P的弦CD⊥AB，Q為上一動點（與點B不重合），AH⊥QD，垂足為H．連接AD、BQ．
（1）若m＝3．
①求證：∠OAD＝60°；
②求的值；
（2）用含m的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)果；
（3）存在一個大小確定的⊙O，對于點Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一個定值，求此時∠Q的度數(shù)．
2021年江蘇省泰州市中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）
1．（3分）（﹣3）0等于（ ）
A．0B．1C．3D．﹣3
【分析】直接利用零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0），化簡進而得出答案．
【解答】解：（﹣3）0＝1．
故選：B．
【點評】此題主要考查了零指數(shù)冪，正確掌握零指數(shù)冪的性質(zhì)是解題關鍵．
2．（3分）如圖所示幾何體的左視圖是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形判定則可．
【解答】解：從左邊看，是一列兩個矩形．
故選：C．
【點評】本題主要考查了幾何體的三種視圖和學生的空間想象能力，正確掌握觀察角度是解題關鍵．
3．（3分）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（ ）
A．與B．與C．與D．與
【分析】一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．先將各選項進行化簡，再根據(jù)被開方數(shù)是否相同進行判斷即可．
【解答】解：A、＝2和不是同類二次根式，本選項不合題意；
B、＝2與不是同類二次根式，本選項不合題意；
C、與不是同類二次根式，本選項不合題意；
D、＝5，＝3是同類二次根式，本選項符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查了同類二次根式，解答本題的關鍵在于熟練掌握二次根式的化簡及同類二次根式的概念．
4．（3分）“14人中至少有2人在同一個月過生日”這一事件發(fā)生的概率為P，則（ ）
A．P＝0B．0＜P＜1C．P＝1D．P＞1
【分析】先確定“14人中至少有2人在同一個月過生日”這一事件為必然事件，即可求解．
【解答】解：“14人中至少有2人在同一個月過生日”這一事件為必然事件，
∴“14人中至少有2人在同一個月過生日”這一事件發(fā)生的概率為P＝1，
故選：C．
【點評】本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
5．（3分）如圖，P為AB上任意一點，分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF，設∠CBE＝α，則∠AFP為（ ）
A．2αB．90°﹣αC．45°+αD．90°﹣α
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)先表示出∠PBC的度數(shù)，然后利用“SAS”證明△APF≌△CPB，證得∠AFP＝∠PBC即可求得答案．
【解答】解：∵四邊形PBEF為正方形，
∴∠PBE＝90°，
∵∠CBE＝α，
∴∠PBC＝90°﹣α，
∵四邊形APCD、PBEF是正方形，
∴AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB，
在△APF和△CPB中，
，
∴△APF≌△CPB（SAS），
∴∠AFP＝∠PBC＝90°﹣α．
故選：B．
【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，對于解決四邊形的問題往往是通過解決三角形的問題而實現(xiàn)的．
6．（3分）互不重合的A、B、C三點在同一直線上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，這三點的位置關系是（ ）
A．點A在B、C兩點之間B．點B在A、C兩點之間
C．點C在A、B兩點之間D．無法確定
【分析】用假設法分別計算各選項中的a值，再根據(jù)a＞0判斷即可．
【解答】解：∵AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，A、B、C三點互不重合
∴a＞0，
若點A在B、C之間，
則AB+AC＝BC，
即2a+1+3a＝a+4，
解得a＝，
故A情況存在，
若點B在A、C之間，
則BC+AB＝AC，
即a+4+3a＝2a+1，
解得a＝﹣，
故B情況不存在，
若點C在A、B之間，
則BC+AC＝AB，
即a+4+2a+1＝3a，
此時無解，
故C情況不存在，
∵互不重合的A、B、C三點在同一直線上，
故選：A．
【點評】本題主要考查兩點間的距離及整式的加減，分類討論和反證法的應用是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分，請把答案直樓填寫在答題相位置上）
7．（3分）計算：﹣（﹣2）＝ 2 ．
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可．
【解答】解：﹣（﹣2）＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查了相反數(shù)的定義，是基礎題．
8．（3分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是 x≠﹣1 ．
【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0；分析原函數(shù)式可得關系式x+1≠0，解可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意可得x+1≠0；
解可得x≠﹣1；
故答案為x≠﹣1．
【點評】求解析法表示的函數(shù)的自變量取值范圍時：當函數(shù)表達式是分式時，要注意考慮分式的分母不能為0．
9．（3分）2021年5月，中國首個火星車“祝融號”成功降落在火星上直徑為3200km的烏托邦平原．把數(shù)據(jù)3200用科學記數(shù)法表示為 3.2×103 ．
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．
【解答】解：3200＝3.2×103．
故答案為：3.2×103．
【點評】本題考查了用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)．掌握用科學記數(shù)法表示較大數(shù)的方法是解決本題的關鍵．
10．（3分）在函數(shù)y＝（x﹣1）2中，當x＞1時，y隨x的增大而 增大 ．（填“增大”或“減小”）
【分析】直接利用二次函數(shù)的增減性進而分析得出答案．
【解答】解：∵函數(shù)y＝（x﹣1）2，
∴a＝1＞0，拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，
∴當x＞1時，y隨x的增大而增大．
故答案為：增大．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確把握二次函數(shù)的增減性是以對稱軸為界是解題關鍵．
11．（3分）某班按課外閱讀時間將學生分為3組，第1、2組的頻率分別為0.2、0.5，則第3組的頻率是 0.3 ．
【分析】根據(jù)各組頻率之和為1，可求出答案．
【解答】解：由各組頻率之和為1得，
1﹣0.2﹣0.5＝0.3，
故答案為：0.3．
【點評】本題考查頻數(shù)和頻率，理解“各組頻數(shù)之和等于樣本容量，各組頻率之和等于1”是正確解答的前提．
12．（3分）關于x的方程x2﹣x﹣1＝0的兩根分別為x1、x2，則x1+x2﹣x1?x2的值為 2 ．
【分析】直接根據(jù)根與系數(shù)的關系求解．
【解答】解：∵關于x的方程x2﹣x﹣1＝0的兩根分別為x1、x2，
∴x1?x2＝﹣1，x1+x2＝1，
∴x1+x2﹣x1?x2＝1﹣（﹣1）＝2，
故答案為2．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
13．（3分）扇形的半徑為8cm，圓心角為45°，則該扇形的弧長為 2π cm．
【分析】根據(jù)弧長公式進行計算即可．
【解答】解：由題意得，扇形的半徑為8cm，圓心角為45°，
故此扇形的弧長為：＝2π（cm），
故答案為：2π
【點評】此題考查了扇弧長的計算，屬于基礎題，解答本題的關鍵是熟練掌握弧長計算公式，難度一般．
14．（3分）如圖，木棒AB、CD與EF分別在G、H處用可旋轉(zhuǎn)的螺絲鉚住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，將木棒AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)到與木棒CD平行的位置，則至少要旋轉(zhuǎn) 20 °．
【分析】由平行線的判定“同位角相等，兩直線平行”可知，∠EGB＝∠EHD時，AB∥CD，即∠EGB需要變小20°，即將木棒AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)20°即可．
【解答】解：當∠EGB＝∠EHD時，AB∥CD，
∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，
∴∠EGB需要變小20°，即將木棒AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)20°．
故答案為：20．
【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，熟知相關定理是解題基礎．
15．（3分）如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（8，5），⊙A與x軸相切，點P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點B．若∠APB＝30°，則點P的坐標為 （0，11） ．
【分析】連接AB，過點A分別作AC⊥x軸、AD⊥y軸，利用根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知△PAB、△AOC為直角三角形，AB＝AC＝5，利用直角三角形中30°角的性質(zhì)和勾股定理分別求出AO、AP、AD的長度，進而求出OD、PD的長度即可求得答案．
【解答】解：過點A分別作AC⊥x軸于點C、AD⊥y軸于點D，連接AB，如圖，
∵AD⊥y軸，AC⊥x軸，
∴四邊形ADOC為矩形，
∴AC＝OD，OC＝AD，
∵⊙A與x軸相切，
∴AC為⊙A的半徑，
∵點A坐標為（8，5），
∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，
∵PB是切線，
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝10，
在Rt△PAD中，根據(jù)勾股定理得，
PD＝＝＝6，
∴OP＝PD+DO＝11，
∵點P在y軸上，
∴點P坐標為（0，11）．
故答案為：（0，11）．
【點評】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題關鍵是把所求的線段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圓的切線作半徑．
16．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB與CD不平行，P、M、N分別是AD、BD、AC的中點，設△PMN的面積為S，則S的范圍是 0＜S≤2 ．
【分析】有中點一般思考中線或者中位線，本題借助三角形中位線求解．
【解答】解：作ME⊥PN，如圖所示，
∵P，M，N分別是AD，BD，AC中點，
∴PM＝AB＝2，PN＝CD＝2，
∴S△PMN＝＝ME，
∵AB與CD不平行，
∴M，N不能重合，
∴ME＞0
∵ME≤MP＝2
∴0＜S△≤2．
故答案是：0＜S≤2．
【點評】本題主要考查：中位線性質(zhì)定理，解題關鍵是三角形面積公式的使用．
三、解答題（本大題共有10題，共102分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（12分）（1）分解因式：x3﹣9x；
（2）解方程：+1＝．
【分析】（1）原式提取x，再利用平方差公式分解即可；
（2）分式方程變形后，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3）；
（2）方程整理得：+1＝﹣，
去分母得：2x+x﹣2＝﹣5，
解得：x＝﹣1，
檢驗：當x＝﹣1時，x﹣2＝﹣3≠0，
∴分式方程的解為x＝﹣1．
【點評】此題考查了解分式方程，以及提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法以及分式方程的解法是解本題的關鍵．
18．（8分）近5年，我省家電業(yè)的發(fā)展發(fā)生了新變化．以甲、乙、丙3種家電為例，將這3種家電2016～2020年的產(chǎn)量（單位：萬臺）繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計圖，圖中只標注了甲種家電產(chǎn)量的數(shù)據(jù)．
觀察統(tǒng)計圖回答下列問題：
（1）這5年甲種家電產(chǎn)量的中位數(shù)為 935 萬臺；
（2）若將這5年家電產(chǎn)量按年份繪制成5個扇形統(tǒng)計圖，每個統(tǒng)計圖只反映該年這3種家電產(chǎn)量占比，其中有一個扇形統(tǒng)計圖的某種家電產(chǎn)量占比對應的圓心角大于180°，這個扇形統(tǒng)計圖對應的年份是 2020 年；
（3）小明認為：某種家電產(chǎn)量的方差越小，說明該家電發(fā)展趨勢越好．你同意他的觀點嗎？請結(jié)合圖中乙、丙兩種家電產(chǎn)量變化情況說明理由．
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求解；
（2）由折線統(tǒng)計圖得，2020年甲、丙2種家電產(chǎn)量和小于乙種家電產(chǎn)量，即可求解；
（3）由折線統(tǒng)計圖中乙、丙兩種家電產(chǎn)量變化情況說明理由即可．
【解答】解：（1）這5年甲種家電產(chǎn)量從小到大排列為：466，921，935，1035，1046，
∴這5年甲種家電產(chǎn)量的中位數(shù)為935萬臺，
故答案為：935；
（2）由折線統(tǒng)計圖得，2020年甲、丙2種家電產(chǎn)量和小于乙種家電產(chǎn)量，
∴2020年的扇形統(tǒng)計圖的乙種家電產(chǎn)量占比對應的圓心角大于180°，
故答案為：2020；
（3）不同意小明的觀點，
理由：由折線統(tǒng)計圖得，丙種家電的方差較小，但丙種家電的產(chǎn)量低，而且是下降趨勢，乙種家電的方差較大，但乙種家電的產(chǎn)量高，而且是上升趨勢，
∴不同意小明的觀點．
【點評】本題主要考查折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，根據(jù)題意從不同統(tǒng)計圖中獲取所需信息是解題關鍵．
19．（8分）江蘇省第20屆運動會將在泰州舉辦，“泰寶”和“鳳娃”是運動會吉祥物．在一次宣傳活動中，組織者將分別印有這兩種吉祥物圖案的卡片各2張放在一個不透明的盒子中并攪勻，卡片除圖案外其余均相同．小張從中隨機抽取2張換取相應的吉祥物，抽取方式有兩種：第一種是先抽取1張不放回，再抽取1張；第二種是一次性抽取2張．
（1）兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率 相同 （填“相同”或“不同”）；
（2）若小張用第一種方式抽取卡片，求抽到不同圖案卡片的概率．
【分析】（1）兩種抽取方式，結(jié)果是一樣的，即可求解；
（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，小張抽到不同圖案卡片的結(jié)果有8種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）兩種抽取方式抽到不同圖案卡片的概率相同，
故答案為：相同；
（2）把“泰寶”和“鳳娃”兩種吉祥物分別記為：A、B，
畫樹狀圖如圖：
共有12種等可能的結(jié)果，小張抽到不同圖案卡片的結(jié)果有8種，
∴抽到不同圖案卡片的概率為＝．
【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
20．（8分）甲、乙兩工程隊共同修建150km的公路，原計劃30個月完工．實際施工時，甲隊通過技術創(chuàng)新，施工效率提高了50%，乙隊施工效率不變，結(jié)果提前5個月完工．甲、乙兩工程隊原計劃平均每月分別修建多長？
【分析】設甲工程隊原計劃平均每月修建xkm，乙工程隊原計劃平均每月修建ykm，則兩隊原計劃平均每月修建（x+y）km，技術創(chuàng)新后兩隊原計劃平均每月修建[（1+50%）x+y]km，根據(jù)原計劃30個月完工，過技術創(chuàng)新提前5個月完工為等量關系即可列出分式方程，求解即可求出結(jié)果．
【解答】解：設甲工程隊原計劃平均每月修建xkm，乙工程隊原計劃平均每月修建ykm，
根據(jù)題意得，，
解得，
檢驗：當x＝2，y＝3時，x+y≠0，（1+50%）x+y≠0，且實際問題有意義．
答：甲工程隊原計劃平均每月修建2 km，乙工程隊原計劃平均每月修建3 km．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，能夠根據(jù)時間找出等量關系是解決問題的關鍵．
21．（10分）如圖，游客從旅游景區(qū)山腳下的地面A處出發(fā)，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B處，乘直立電梯上升30m至C處，再乘纜車沿長為180m的索道CD至山頂D處，此時觀測C處的俯角為19°30′，索道CD看作在一條直線上．求山頂D的高度．（精確到1m，sin19°30′≈0.33，cs19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
【分析】通過作垂線，構造直角三角形，利用直角三角形的邊角關系分別求出DE，F(xiàn)G即可．
【解答】解：如圖，過點B、C分別作CE⊥DG，BF⊥DG垂足為E、F，延長CB交AG于點H，
由題意可知，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，BC＝EF＝30m，
在Rt△ABH中，∠α＝30°，AB＝50m，
∴BH＝AB＝25（m）＝FG，
在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，
∴DE＝sin∠DCE?CD≈0.33×180＝59.4（m），
∴DG＝DE+EF+FG＝59.4+30+25＝114.4（m），
答：山頂D的高度約為114.4m．
【點評】本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提，構造直角三角形是解決問題的關鍵..
22．（10分）如圖，點A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，AC⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為C、D，AC與BD相交于點E．
（1）根據(jù)圖象直接寫出y1、y2的大小關系，并通過計算加以驗證；
（2）結(jié)合以上信息，從①四邊形OCED的面積為2，②BE＝2AE這兩個條件中任選一個作為補充條件，求k的值．
你選擇的條件是 ① （只填序號）．
【分析】（1）根據(jù)圖象可知，y1＞y2，再把點A和點B的橫坐標分別代入反比例函數(shù)，分別表達出y1，y2的值進行驗證即可；
（2）由（1）可表達點E的坐標，進而可的結(jié)論．
【解答】解：（1）根據(jù)圖象可知，y1＞y2，
∵點A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，
∴y1＝﹣，y2＝﹣，
∵k＜0，
∴﹣＞﹣＞0，即y1＞y2．
（2）選擇①作為條件；
由（1）可得，A（﹣2，﹣），B（﹣6，﹣），
∴OC＝2，BD＝6，AC＝﹣，OD＝﹣
∴DE＝OC＝2，EC＝OD＝﹣，
∵四邊形OCED的面積為2，
∴2×（﹣）＝2，解得k＝﹣6．
【點評】本題主要考查反比例函數(shù)上點的特征，待定系數(shù)法求表達式等；第（2）問中選擇一個進行計算即可，一般選擇難度相對較小的進行計算．
23．（10分）（1）如圖①，O為AB的中點，直線l1、l2分別經(jīng)過點O、B，且l1∥l2，以點O為圓心，OA長為半徑畫弧交直線l2于點C，連接AC．求證，直線l1垂直平分AC；
（2）如圖②，平面內(nèi)直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離相等，點P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ．用圓規(guī)和無刻度的直尺在直線l4上求作一點D，使線段PD最短．（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡）
【分析】（1）首先證明∠ACB＝90°，推出AC⊥BC，再證明直線l1⊥AC，利用等腰三角形的三線合一，可知結(jié)論．
（2）以T為圓心，PT為半徑作弧交直線l3于點E，連接PE，延長PE交直線l4于點D，線段PD即為所求．
【解答】（1）證明：∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠OCA，∠B＝∠OCB，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴2∠A+2∠B＝180°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥CB，
∵l1∥l2，
∴l(xiāng)1⊥AC，
∵OA＝OC，
∴直線l1平分AC，
∴直線l1垂直平分線段AC．
（2）解：如圖，線段PD即為所求．
【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，垂線段最短，平行線的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定等知識，解題的關鍵是證明∠ACB＝90°，學會利用垂線段最短，解決最短問題．
24．（10分）農(nóng)技人員對培育的某一品種桃樹進行研究，發(fā)現(xiàn)桃子成熟后一棵樹上每個桃子質(zhì)量大致相同．以每棵樹上桃子的數(shù)量x（個）為橫坐標、桃子的平均質(zhì)量y（克/個）為縱坐標，在平面直角坐標系中描出對應的點，發(fā)現(xiàn)這些點大致分布在直線AB附近（如圖所示）．
（1）求直線AB的函數(shù)關系式；
（2）市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：這個品種每個桃子的平均價格w（元）與平均質(zhì)量y（克/個）滿足函數(shù)表達式w＝y(tǒng)+2．在（1）的情形下，求一棵樹上桃子數(shù)量為多少時，該樹上的桃子銷售額最大？
【分析】（1）先設出直線AB的函數(shù)關系式，再用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)每棵樹上的桃子銷售額＝每個桃子的平均價格×該棵樹上的桃子數(shù)以及每個桃子的平均價格w與平均質(zhì)量y滿足函數(shù)表達式w＝y(tǒng)+2列出函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【解答】解：（1）設直線AB的函數(shù)關系式為：y＝kx+b，
把A（120，300）和B（240，100）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直線AB的函數(shù)關系式為y＝﹣x+500；
（2）設該樹上的桃子銷售額為a元，由題意，得；
a＝wx＝（y+2）x＝y(tǒng)x+2x＝（﹣x+500）x+2x＝﹣x2+7x＝﹣（x﹣210）2+735，
∵﹣＜0，
∴當x＝210時，桃子的銷售額最大，最大值為735元．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應用以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關鍵是根據(jù)每棵樹上的桃子銷售額＝每個桃子的平均價格×該棵樹上的桃子數(shù)列出函數(shù)解析式．
25．（12分）二次函數(shù)y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a為常數(shù)）圖象的頂點在y軸右側(cè)．
（1）寫出該二次函數(shù)圖象的頂點橫坐標（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）該二次函數(shù)表達式可變形為y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若點A（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，且n＞0，過點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點在x軸下方，求a的范圍．
【分析】（1）直接用頂點的坐標公式，代值進行計算；
（2）將二次函數(shù)表達式進行因式分解，即可求解；
（3）由（2）可得二次函數(shù)圖象與x軸交點坐標，設兩交點分別為C，D，由于頂點在y軸右側(cè)，所以頂點橫坐標大于0，由此求得a＞1，所以CD＝a+1，由題意可得，A在x軸上方，過點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點在x軸下方，所以CD＜3，否則，A點和交點不可能在x軸異側(cè)，由此得到a+1＜3，即可求解．
【解答】解：（1）根據(jù)頂點坐標公式可得，
頂點的橫坐標為：＝，
∴該二次函數(shù)圖象的頂點橫坐標為；
（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣[x2﹣（a﹣1）x﹣a]＝﹣（x+1）（x﹣a），
∴p＝﹣1，
（3）∵二次函數(shù)圖象頂點在y軸右側(cè)，
∴，
∴a＞1，
設二次函數(shù)圖象與x軸交點分別為C，D，C在D左側(cè)
令y＝0，則﹣（x+1）（x﹣a）＝0，
∴x＝﹣1或a，
∴C（﹣1，0），D（a，0），
∴CD＝a+1，
∵點A（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，且n＞0，
∴A在CD上方，
∵點（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點在x軸下方，
∴CD＜3，
∴a+1＜3，
∴a＜2，
∴1＜a＜2．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的頂點坐標公式，二次函數(shù)與x軸交點坐標問題，根據(jù)題意，理解A點和（m+3，0）兩點之間的關系，是解決問題的突破口．
26．（14分）如圖，在⊙O中，AB為直徑，P為AB上一點，PA＝1，PB＝m（m為常數(shù)，且m＞0）．過點P的弦CD⊥AB，Q為上一動點（與點B不重合），AH⊥QD，垂足為H．連接AD、BQ．
（1）若m＝3．
①求證：∠OAD＝60°；
②求的值；
（2）用含m的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)果；
（3）存在一個大小確定的⊙O，對于點Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一個定值，求此時∠Q的度數(shù)．
【分析】（1）①連接OD，由m＝3可得OA＝OD＝2，從而CD是OA的垂直平分線，可得△AOD是等邊三角形，故∠OAD＝60°；
②連接AQ，證明△ADH∽△ABQ，可得＝，即得＝2；
（2）連接AQ、BD，證明△APD∽△ADB，得＝，由AP＝1，PB＝m，即得AD＝，而＝，故＝；
（3）由BQ＝?DH，得BQ2﹣2DH2+PB2＝（m﹣1）?DH2+m2，BQ2﹣2DH2+PB2是定值，需（m﹣1）?DH2+m2的值與DH無關，即當m＝1時，BQ2﹣2DH2+PB2的定值為1，此時P與O重合，即可得∠BQD＝45°．
【解答】解：（1）①連接OD，如圖：
∵m＝3即PB＝3，AP＝1，
∴AB＝AP+PB＝4，
∴OA＝OD＝AB＝2，
∴OP＝OA﹣AP＝1＝AP，
∴P是OA中點，
又CD⊥AB，
∴CD是OA的垂直平分線，
∴AD＝OD＝OA＝2，即△AOD是等邊三角形，
∴∠OAD＝60°；
②連接AQ，如圖：
∵AB是⊙O直徑，
∴∠AQB＝90°，
∵AH⊥DQ，
∴∠AHD＝90°，
∴∠AQB＝∠AHD，
∵＝，
∴∠ADH＝∠ABQ，
∴△ADH∽△ABQ，
∴＝，
由①知：AB＝4，AD＝2，
∴＝2；
（2）連接AQ、BD，如圖：
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠APD，
又∠PAD＝∠DAB，
∴△APD∽△ADB，
∴＝，
∵AP＝1，PB＝m，
∴AB＝1+m，＝，
∴AD＝，
與（1）中②同理，可得：＝，
∴＝＝；
（3）由（2）得＝，
∴BQ＝?DH，即BQ2＝（1+m）?DH2，
∴BQ2﹣2DH2+PB2＝（1+m）?DH2﹣2DH2+m2＝（m﹣1）?DH2+m2，
若BQ2﹣2DH2+PB2是定值，則（m﹣1）?DH2+m2的值與DH無關，
∴當m＝1時，BQ2﹣2DH2+PB2的定值為1，此時P與O重合，如圖：
∵AB⊥CD，OA＝OD＝1，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠OAD＝45°，
∵＝，
∴∠BQD＝45°，
故存在半徑為1的⊙O，對Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2是定值1，此時∠BQD為45°．
【點評】本題考查圓的綜合應用，涉及等邊三角形性質(zhì)及判定、線段的垂直平分線、三角形相似的判定及性質(zhì)、代數(shù)式定值等知識，解題的關鍵是適當添加輔助線，構造相似三角形，求得的值，難點是掌握代數(shù)式為定值需滿足的條件：與哪個量無關，那個量的系數(shù)即為0．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布
日期：2021/7/24 10:32:51；用戶：13784622801；郵箱：13784622801；學號：37960971

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