1．（3分）﹣3的倒數(shù)是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣D．
2．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．（a2）2＝a4B．a(chǎn)2?a3＝a6
C．（a+1）2＝a2+1D．a(chǎn)2+a2＝2a4
3．（3分）始于唐代的青花瓷給人以古樸、典雅之美．關(guān)于如圖所示的青花瓷圖案，下列說法正確的是（ ）
A．它是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形
B．它是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形
C．它既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形
D．它既不是中心對稱圖形，又不是軸對稱圖形
4．（3分）截止2021年2月3日，“天問一號”火星探測器飛行總里程已超過450 000 000km．將450 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．45×107B．45×108C．4.5×107D．4.5×108
5．（3分）“實際平均續(xù)航里程”是指電動汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值，是反映電動汽車性能的重要指標(biāo)．某汽車生產(chǎn)廠家為了解某型號電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”，收集了使用該型號電動汽車1年以上的部分客戶的相關(guān)數(shù)據(jù)，按年齡不超過40歲和年齡在40歲以上將客戶分為A，B兩組，從A，B組各抽取10位客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”數(shù)據(jù)整理成圖，其中“⊙”表示A組的客戶，“*”表示B組的客戶．
下列推斷不正確的是（ ）
A．A組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的最大值低于B組
B．A組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的方差低于B組
C．A組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的平均值低于B組
D．這20位客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的中位數(shù)落在B組
6．（3分）已知反比例函數(shù)y＝，點A（m，y1），B（m+2，y2）是函數(shù)圖象上兩點，且滿足，則k的值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．）
7．（3分）計算：＝ ．
8．（3分）函數(shù)中，自變量x的取值范圍為 ．
9．（3分）已知x+2y＝2，則1﹣2x﹣4y的值等于 ．
10．（3分）命題“若ac＝bc，則a＝b”是 命題．（填“真”或“假”）
11．（3分）某批籃球的質(zhì)量檢驗結(jié)果如下：
從這批籃球中，任意抽取一只籃球是優(yōu)等品的概率的估計值是 ．（精確到0.01）
12．（3分）2021年3月20日起，我國陸續(xù)公布了三星堆遺址考古最新發(fā)掘成果．地球表面緯度范圍是0～90°，對其進(jìn)行黃金分割，黃金分割點間地區(qū)特別適宜人類生活，產(chǎn)生了包括三星堆在內(nèi)的世界古文明，也囊括了大多發(fā)達(dá)國家．那么黃金地帶緯度的范圍是 ．（黃金比為0.618）
13．（3分）如圖，AB∥CD，若∠B+∠D+∠BED＝180°，則∠BED＝ ．
14．（3分）小明用彩紙給爸爸做一頂生日帽，其左視圖和俯視圖如圖所示，其中AB＝24cm，AC＝36cm，則至少需用彩紙 cm2（接口處重疊面積不計）．
15．（3分）如圖，點B在x的正半軸上，且BA⊥OB于點B，將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到BB′的位置，且點B′的坐標(biāo)為（1，）．若反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過A點，則k＝ ．
16．（3分）如圖，已知⊙O的半徑為m，點C在直徑AB延長線上，BC＝m．在過點C的任一直線l上總存在點P，使過P的⊙O的兩切線互相垂直，則∠ACP的最大值等于 ．
三、解答題（本大題共有10題，共102分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（12分）（1）計算：cs30°﹣+（﹣1）﹣1；
（2）解不等式組，并寫出不等式組的正整數(shù)解．
18．（8分）袋中有1個紅球和2個黑球，這些球除顏色外都相同．小明做摸球?qū)嶒灒核麛噭蚝髲闹腥我饷?個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1球．像這樣連續(xù)摸兩次算一次實驗．若摸出紅球得2分，摸出黑球得1分．
（1）求兩次摸球所得總分是4分的概率；
（2）若要使每次摸球?qū)嶒炈每偡植簧儆?分，如何改變袋中球的情況？
19．（8分）新華網(wǎng)2020年12月31日消息：2020年11月，國內(nèi)汽車市場加快復(fù)蘇，新能源汽車11月銷量為20萬輛，同比增長104.9%；1～11月累計銷量110.9萬輛，同比增長3.9%．2019年我國新能源汽車銷量達(dá)120.6萬輛，產(chǎn)業(yè)規(guī)模連續(xù)五年居世界首位（2013～2019年中國新能源汽車銷量及市場占比如圖所示）．
（1）求2019年汽車市場總量，并估計2013～2019年中國能源汽車市場年平均占比；
（2）能否求出2013～2020年新能源汽車市場銷售總量？請說明理由．
20．（10分）如圖，∠ABD＝∠CDB＝90°．P為線段BD上的一點，在圖①中僅用圓規(guī)分別在AB、CD上作點E、F，使EF⊥PF，且EF＝PF．
（1）寫出作圖步驟，保留作圖痕跡；
（2）若∠BEP的正切值為，求BP：PD．（圖②供問題（2）用）
21．（10分）（1）我們知道，鹽水加鹽后濃度會增加．請你用數(shù)學(xué)的方法證明這個結(jié)論；
（2）化學(xué)實驗室一容器內(nèi)的40克食鹽水中含鹽4克．在實驗室無食鹽的情況下，如何處理，可使該容器內(nèi)的食鹽水濃度提高到原來的2倍？
22．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別在邊AB、AC上，給出下列信息：
①BE平分∠ABC；
②CD⊥AB；
③∠CFE＝∠CEF．
（1）請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論組成一個命題．試判斷這個命題是否正確，并說明理由．你選擇的條件是 ，結(jié)論是 （只要填寫序號）．
（2）在（1）的情況下，若AC＝6，BC＝8，求CE的長．
23．（10分）如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝mx+n（m＞1，n＞0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，以O(shè)A為半徑的⊙O為與線段AB相交于點P，與x軸的正半軸相交于點C，與y軸的負(fù)半軸相交于點D．PD交AC于點Q．
（1）若m＝，求∠BDP的度數(shù)；
（2）試說明的值與n無關(guān)．
24．（10分）貨車長方體貨廂的凈高BC為2.5m，底部B離地面的高度BD為1.2m．現(xiàn)欲將高為2m的正方體貨物裝進(jìn)貨廂，工人師傅搭了坡度為i＝1：3的坡面AB．
（1）若貨物從如圖所示的位置升高0.5m，則水平移動了多少？
（2）由于貨物較重但分布均勻，工人師傅試圖將貨物沿坡面AB推到適當(dāng)位置后，再輕松平放進(jìn)貨廂．請問能否達(dá)到目的？為什么？
25．（12分）已知拋物線y＝﹣x2+ax+b（a、b為常數(shù)）的頂點為C，與直線y＝kx﹣k+h（k、h為常數(shù)）相交于A、B兩點．當(dāng)k＝3、h＝6時，點A、B恰好分別在x軸、y軸上．
（1）求a、b的值；
（2）作y軸的平行線，與線段AB和拋物線的交點縱坐標(biāo)分別為y1、y2．試比較y1與y2的大小，并說明理由；
（3）是否存在實數(shù)h，使△ABC為直角三角形？若存在，求出h的值；若不存在，請說明理由．
26．（12分）點光源發(fā)出的光束呈扇面垂直投射到一個面上，光線在投射面的水平投射線長稱為“光帶長”．如圖1﹣①，從光源P發(fā)射的光束邊界與被投射曲面交于點E、F，則曲線EF的長就是該光束在曲面上的“光帶長”．
（1）如圖1﹣②，在內(nèi)直徑為6m的圓筒內(nèi)壁上的點光源呈60°角扇面垂直投射到圓筒內(nèi)壁上時，“光帶長”為 m．
（2）矩形大廳ABCD的寬AB為20m，長AD為40m，四壁都是垂直于地面的平面．在墻面AD上的光源P呈90°角扇面的光束垂直投射到其它墻面上，光束邊界PE、PF與被投射面相交于點E、F，PF在PE關(guān)于點P的逆時針方向上．
①如圖1﹣③，若光源P到點A的水平距離為10m，光束的邊界PE與墻面PA的夾角為30°，求此時的“光帶長”；
②如圖1﹣④，若光源P在墻面AD中點處，試判斷“光帶長”是否變化，并說明理由．
2021年江蘇省泰州市中考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的。）
1．（3分）﹣3的倒數(shù)是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣D．
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義即可得出答案．
【解答】解：﹣3的倒數(shù)是﹣．
故選：C．
2．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．（a2）2＝a4B．a(chǎn)2?a3＝a6
C．（a+1）2＝a2+1D．a(chǎn)2+a2＝2a4
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、合并同類項法則及完全平方公式逐一計算可得．
【解答】解：A、（a2）2＝a4，正確；
B、a2?a3＝a5，錯誤；
C、（a+1）2＝a2+2a+1，錯誤；
D、a2+a2＝2a2，錯誤；
故選：A．
3．（3分）始于唐代的青花瓷給人以古樸、典雅之美．關(guān)于如圖所示的青花瓷圖案，下列說法正確的是（ ）
A．它是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形
B．它是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形
C．它既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形
D．它既不是中心對稱圖形，又不是軸對稱圖形
【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義判斷即可．
【解答】解：如圖所示的青花瓷圖案，它是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．
故選：B．
4．（3分）截止2021年2月3日，“天問一號”火星探測器飛行總里程已超過450 000 000km．將450 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．45×107B．45×108C．4.5×107D．4.5×108
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．
【解答】解：450000000＝4.5×108．
故選：D．
5．（3分）“實際平均續(xù)航里程”是指電動汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值，是反映電動汽車性能的重要指標(biāo)．某汽車生產(chǎn)廠家為了解某型號電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”，收集了使用該型號電動汽車1年以上的部分客戶的相關(guān)數(shù)據(jù)，按年齡不超過40歲和年齡在40歲以上將客戶分為A，B兩組，從A，B組各抽取10位客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”數(shù)據(jù)整理成圖，其中“⊙”表示A組的客戶，“*”表示B組的客戶．
下列推斷不正確的是（ ）
A．A組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的最大值低于B組
B．A組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的方差低于B組
C．A組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的平均值低于B組
D．這20位客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的中位數(shù)落在B組
【分析】結(jié)合圖象，依次判斷，利用排除法可求解．
【解答】解：
由圖象可得：A組的客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的最大值在350左右，B組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的最大值在450左右，故A選項不合題意；
由圖象可得：A組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的數(shù)據(jù)波動比B組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的數(shù)據(jù)波動小，即A組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的方差比B組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的方差小，
故B選項不合題意；
由圖象可得：這20位客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程”的從大到小排序，第10位，第11位都在B組，故選項D不合題意；
故選項C符合題意，
故選：C．
6．（3分）已知反比例函數(shù)y＝，點A（m，y1），B（m+2，y2）是函數(shù)圖象上兩點，且滿足，則k的值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)題意可以用含k的式子表示出y1和y2，然后根據(jù)，即可求得k的值．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝，點A（m，y1），B（m+2，y2）是函數(shù)圖象上兩點，
∴y1＝，y2＝，
∵，
∴，
解得，k＝4，
故選：C．
二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．）
7．（3分）計算：＝ 2 ．
【分析】根據(jù)立方根的定義即可求解．
【解答】解：∵23＝8
∴＝2
故答案為：2．
8．（3分）函數(shù)中，自變量x的取值范圍為 x≥4 ．
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，據(jù)此即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意得x﹣4≥0，
解得：x≥4．
故答案是：x≥4．
9．（3分）已知x+2y＝2，則1﹣2x﹣4y的值等于 ﹣3 ．
【分析】原式后兩項提取﹣2變形后，將已知等式代入計算即可求出值．
【解答】解：∵x+2y＝2，
∴原式＝1﹣2（x+2y）＝1﹣4＝﹣3，
故答案為：﹣3
10．（3分）命題“若ac＝bc，則a＝b”是 假 命題．（填“真”或“假”）
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：當(dāng)c＝0時，若ac＝bc，則a不一定等于b，原命題是假命題；
故答案為：假．
11．（3分）某批籃球的質(zhì)量檢驗結(jié)果如下：
從這批籃球中，任意抽取一只籃球是優(yōu)等品的概率的估計值是 0.94 ．（精確到0.01）
【分析】由表中數(shù)據(jù)可判斷頻率在0.94左右擺動，于是利于頻率估計概率可判斷任意抽取一只籃球是優(yōu)等品的概率為0.94．
【解答】解：從這批籃球中，任意抽取一只籃球是優(yōu)等品的概率的估計值是0.94．
故答案為0.94．
12．（3分）2021年3月20日起，我國陸續(xù)公布了三星堆遺址考古最新發(fā)掘成果．地球表面緯度范圍是0～90°，對其進(jìn)行黃金分割，黃金分割點間地區(qū)特別適宜人類生活，產(chǎn)生了包括三星堆在內(nèi)的世界古文明，也囊括了大多發(fā)達(dá)國家．那么黃金地帶緯度的范圍是 34.38°～55.62° ．（黃金比為0.618）
【分析】用90°×0.618，可得結(jié)論．
【解答】解：90°×0.618＝55.62°，
90°﹣55.62°＝34.38°，
∴黃金地帶緯度的范圍是：34.38°～55.62°．
故答案為：34.38°～55.62°
13．（3分）如圖，AB∥CD，若∠B+∠D+∠BED＝180°，則∠BED＝ 90° ．
【分析】過E作EF∥AB，可得AB∥CD∥EF，進(jìn)而得到∠B+∠D＝∠BED，再根據(jù)∠B+∠D+∠BED＝180°，即可得出∠BED＝90°．
【解答】解：如圖所示，過E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠B+∠D＝∠BED，
又∵∠B+∠D+∠BED＝180°，
∴∠BED＝90°，
故答案為：90°．
14．（3分）小明用彩紙給爸爸做一頂生日帽，其左視圖和俯視圖如圖所示，其中AB＝24cm，AC＝36cm，則至少需用彩紙 432π cm2（接口處重疊面積不計）．
【分析】生日帽可看作一個無底面的圓錐體，根據(jù)左視圖和俯視圖，可知底面圓的直徑為24cm，母線長36cm，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式列式計算即可．
【解答】解：由題意可得，所需彩紙至少需要π×12×36＝432π（cm2），
故答案為：432π．
15．（3分）如圖，點B在x的正半軸上，且BA⊥OB于點B，將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到BB′的位置，且點B′的坐標(biāo)為（1，）．若反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過A點，則k＝ 8 ．
【分析】過點B′作B′D⊥x軸于點D，根據(jù)BA⊥OB于點B及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠B′BD的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)得出BD及BB′的長，故可得出點A的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點B′作B′D⊥x軸于點D，
∵BA⊥OB于點B，
∴∠ABD＝90°．
∵線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到BB′的位置，
∴∠ABB′′＝60°，
∴∠B′BD＝90°﹣60°＝30°．
∵點B′的坐標(biāo)為（1，），
∴OD＝1，B′D＝，
∴BB′＝2B′D＝2，BD＝＝3，
∴OB＝1+3＝4，AB＝BB′＝2，
∴A（4，2），
∴k＝4×2＝8．
故答案為：8．
16．（3分）如圖，已知⊙O的半徑為m，點C在直徑AB延長線上，BC＝m．在過點C的任一直線l上總存在點P，使過P的⊙O的兩切線互相垂直，則∠ACP的最大值等于 45° ．
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和已知條件先證得四邊形PMON是正方形，從而求得OP＝m，以O(shè)為圓心，以m長為半徑作大圓⊙O，然后過C點作大⊙O的切線，切點即為P點，此時∠ACP有最大值，作出圖形，根據(jù)切線的性質(zhì)得出OP⊥PC，根據(jù)勾股定理求得PC的長，從而證得△OPC是等腰直角三角形，即可證得∠ACP的最大值為45°．
【解答】解：∵PM、PN是過P所作的⊙O的兩切線且互相垂直，
∴∠MON＝90°，
∴四邊形PMON是正方形，
根據(jù)勾股定理求得OP＝m，
∴P點在以O(shè)為圓心，以m長為半徑作大圓⊙O上，
以O(shè)為圓心，以m長為半徑作大圓⊙O，然后過C點作大⊙O的切線，切點即為P點，此時∠ACP有最大值，如圖所示，
∵PC是大圓⊙O的切線，
∴OP⊥PC，
∵OC＝2m，OP＝m，
∴PC＝＝m，
∴OP＝PC，
∴∠ACP＝45°，
∴∠ACP的最大值等于45°，
故答案為45°．
三、解答題（本大題共有10題，共102分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（12分）（1）計算：cs30°﹣+（﹣1）﹣1；
（2）解不等式組，并寫出不等式組的正整數(shù)解．
【分析】（1）原式第一項利用特殊角的三角函數(shù)值化簡，第二項利用零指數(shù)冪法則計算，最后一項利用負(fù)指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果．
（2）求出每個不等式的解集，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）原式＝2×﹣1﹣1
＝3﹣1﹣1
＝1；
（2），
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴原不等式組的解集為：﹣1≤x＜3，
∴正整數(shù)解為1，2．
18．（8分）袋中有1個紅球和2個黑球，這些球除顏色外都相同．小明做摸球?qū)嶒灒核麛噭蚝髲闹腥我饷?個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1球．像這樣連續(xù)摸兩次算一次實驗．若摸出紅球得2分，摸出黑球得1分．
（1）求兩次摸球所得總分是4分的概率；
（2）若要使每次摸球?qū)嶒炈每偡植簧儆?分，如何改變袋中球的情況？
【分析】（1）畫樹狀圖，共有9個等可能的結(jié)果，兩次摸球所得總分是4分的結(jié)果有1個，再由概率公式求解即可；
（2）由題意即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）樹狀圖如圖所示：
共有9個等可能的結(jié)果，兩次摸球所得總分是4分的結(jié)果有1個，
∴兩次摸球所得總分是4分的概率為；
（2）要使每次摸球?qū)嶒炈每偡植簧儆?分，將袋中的球改為2個紅球和1個黑球即可．
19．（8分）新華網(wǎng)2020年12月31日消息：2020年11月，國內(nèi)汽車市場加快復(fù)蘇，新能源汽車11月銷量為20萬輛，同比增長104.9%；1～11月累計銷量110.9萬輛，同比增長3.9%．2019年我國新能源汽車銷量達(dá)120.6萬輛，產(chǎn)業(yè)規(guī)模連續(xù)五年居世界首位（2013～2019年中國新能源汽車銷量及市場占比如圖所示）．
（1）求2019年汽車市場總量，并估計2013～2019年中國能源汽車市場年平均占比；
（2）能否求出2013～2020年新能源汽車市場銷售總量？請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)折線圖，用2019年新能源汽車銷量除以市場占比得出2019年汽車市場總量，根據(jù)平均數(shù)的定義求出2013～2019年中國能源汽車市場年平均占比即可；
（2）根據(jù)2020年12月的銷量未知，即可得出不能求出2013～2020年新能源汽車市場銷售總量．
【解答】解：（1）120.6÷4.7%≈2566（輛），
（0.1+0.3+1.3+1.8+2.7+4.5+4.7）÷7＝2.2．
故2019年汽車市場總量約為2566輛，估計2013～2019年中國能源汽車市場年平均占比為2.2%；
（2）因為2020年12月的銷量未知，
故不能求出2013～2020年新能源汽車市場銷售總量．
20．（10分）如圖，∠ABD＝∠CDB＝90°．P為線段BD上的一點，在圖①中僅用圓規(guī)分別在AB、CD上作點E、F，使EF⊥PF，且EF＝PF．
（1）寫出作圖步驟，保留作圖痕跡；
（2）若∠BEP的正切值為，求BP：PD．（圖②供問題（2）用）
【分析】（1）根據(jù)要求寫出步驟即可．
（2）利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．
【解答】解：（1）①以D為圓心，BD為半徑畫弧交CD于點F；
②以F為圓心，PF為半徑畫弧交AB于點E，則點E、F即為所求作；
（2）連接EF、FP、EF，作EG⊥CD于G，設(shè)BP＝x，PD＝y(tǒng)，
∴FD＝DB＝x+y．
∵∠EGF＝∠EFP＝∠D＝90°，
∴∠EFG+∠PFD＝90°，∠PFD+∠DPF＝90°，
∴∠EFG＝∠DPF，
∵EF＝FP，
∴△EGF≌△FDP，
∴GF＝DP＝y(tǒng)，
∴EB＝GD＝x+2y，
在Rt△EBP中，tan∠BEP＝＝＝，
∴x：y＝3：1，即BP：PD＝3：1．
21．（10分）（1）我們知道，鹽水加鹽后濃度會增加．請你用數(shù)學(xué)的方法證明這個結(jié)論；
（2）化學(xué)實驗室一容器內(nèi)的40克食鹽水中含鹽4克．在實驗室無食鹽的情況下，如何處理，可使該容器內(nèi)的食鹽水濃度提高到原來的2倍？
【分析】（1）設(shè)鹽水中含鹽a克，含水b克，再加鹽c克，則原濃度為，加鹽后的濃度為，二者做差后即可證出結(jié)論；
（2）用蒸發(fā)的方法，設(shè)蒸發(fā)x克水，根據(jù)要使該容器內(nèi)的食鹽水濃度提高到原來的2倍，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：設(shè)鹽水中含鹽a克，含水b克，再加鹽c克，
則原濃度為，加鹽后的濃度為，
∴＝＝＞0，
故加鹽后濃度變大．
（2）解：用蒸發(fā)的方法，設(shè)蒸發(fā)x克水，
依意題得：，
解得：x＝20，
經(jīng)檢驗，x＝20是原方程的解，且符合題意．
答：蒸發(fā)掉20克的水即可達(dá)到要求．
22．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別在邊AB、AC上，給出下列信息：
①BE平分∠ABC；
②CD⊥AB；
③∠CFE＝∠CEF．
（1）請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論組成一個命題．試判斷這個命題是否正確，并說明理由．你選擇的條件是 ②③ ，結(jié)論是 ① （只要填寫序號）．
（2）在（1）的情況下，若AC＝6，BC＝8，求CE的長．
【分析】（1）以②③為條件，蝴蝶型三角形CEF和BDF，可通過三角形內(nèi)角和及等量代換推出∠DBF＝∠CBE．
（2）作EH⊥AB于H，由角平分線性質(zhì)可得EH＝EC，再通過勾股定理求直角三角形中EH的長度．
【解答】解：（1）②③，①．
證明如下：∵∠CFE＝∠CEF．∠CFE＝∠BFD，
∴∠CEB＝∠BFD，
∵∠CBE+∠CEB＝90°，∠BFD+∠DBF＝90°，
∴∠DBF＝∠CBE，
∴BE平分∠ABC．
（2）作EH⊥AB于H，
∵BE平分∠ABC，∠C＝∠EHB＝90°，∴EH＝EC．
在Rt△ABC中求得AB＝10．設(shè)CE＝HE＝x．
方法1：由△AEH∽△ABC有，
∴，解得．
方法2：由S△ABC＝S△AEB+S△CEB有＝+，
即＝+，解得．
方法3：∵EC＝EH，BE＝BE，
∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），
∴BH＝BC＝8，AH＝10﹣8＝2，
∴AH2+EH2＝AE2，即22+x2＝（6﹣x）2，
解得x＝．
∴CE＝．
23．（10分）如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝mx+n（m＞1，n＞0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，以O(shè)A為半徑的⊙O為與線段AB相交于點P，與x軸的正半軸相交于點C，與y軸的負(fù)半軸相交于點D．PD交AC于點Q．
（1）若m＝，求∠BDP的度數(shù)；
（2）試說明的值與n無關(guān)．
【分析】（1）先求出一次函數(shù)與x軸和y軸交點的坐標(biāo)，從而求出OA和OB的長度，進(jìn)而求出∠BAO的正切值和∠BAO的度數(shù)，最后利用等腰三角形的性質(zhì)求得答案；
（2）根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求出∠APO和∠CPD的度數(shù)，從而得到PD是角平分線，利用角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積公式可以證明的值等于tan∠BAO，由（1）可知tan∠BAO＝m，從而證明的值與n無關(guān)．
【解答】解：（1）如圖1所示，連接OP，
在函數(shù)y＝mx+n中，
令x＝0，得y＝n，
令y＝0，得x＝，
∴A（，0），B（0，n），
∴OA＝，OB＝n，
∴tan∠BAO＝＝，
又∵m＝，
∴tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝60°，
又∵OP＝OA，
∴△OAP是等邊三角形，
∴∠AOP＝60°，
∴∠DOP＝90°+60°＝150°，
又∵OP＝OD，
∴∠BDP＝．
（2）如圖2，過點Q分別作QE⊥AB，QF⊥PC，E、F為垂足，過點P作PH⊥AC于點H，
∵∠APD＝∠AOD＝45°，∠CPD＝∠COD＝45°，
∴∠APD＝∠CPD，
∴PD平分∠APC，
∴QE＝QF，
∴，
∴＝tan∠BAO，
由（1）可知，tan∠BAO＝m，
∴，
∴的值與n無關(guān)．
24．（10分）貨車長方體貨廂的凈高BC為2.5m，底部B離地面的高度BD為1.2m．現(xiàn)欲將高為2m的正方體貨物裝進(jìn)貨廂，工人師傅搭了坡度為i＝1：3的坡面AB．
（1）若貨物從如圖所示的位置升高0.5m，則水平移動了多少？
（2）由于貨物較重但分布均勻，工人師傅試圖將貨物沿坡面AB推到適當(dāng)位置后，再輕松平放進(jìn)貨廂．請問能否達(dá)到目的？為什么？
【分析】（1）設(shè)水平移動了xm，由i＝1：3，得＝，解得x＝1.5即可；
（2）當(dāng)重心G落在直線CD上時，過點E作貨廂底部的垂線于H，求得EH＝＜2.5，說明貨物的E點碰不到貨廂頂部，故工人師傅能達(dá)到目的．
【解答】解：（1）設(shè)水平移動了xm，
∵i＝1：3，
∴＝，
解得：x＝1.5，
∴貨物從如圖所示的位置升高0.5m，水平移動了1.5m；
（2）能達(dá)到目的，理由如下：
當(dāng)重心G落在直線CD上時，過點E作貨廂底部的垂線于H，交BF于I，過點G作GT⊥BF于T，如圖所示：
此時點E到貨廂底部的垂線最長，GT＝FT＝EF＝1（m），
∵貨廂底部與地面平行，
∴EH∥CD，
∴∠IHT＝∠ABD，
∵∠BDA＝∠IHB＝90°，
∴∠IBH＝∠BAD，
∵∠BIH＝∠EIF，∠IHB＝∠EFI＝90°，
∴∠FEI＝∠IBH＝∠BAD，
∵tan∠BAD＝，
∴＝，
∴FI＝EF＝（m），
∴EI＝＝＝（m），
∵∠ABD＝∠GBT，∠BDA＝∠GTB＝90°，
∴∠BGT＝∠BAD，
∴＝，
∴BT＝GT＝（m），
∴BF＝FT+BT＝1+＝（m），
∴BI＝BF﹣FI＝﹣＝（m），
∵＝，
∴IH2+（3IH）2＝BI2，
∴10IH2＝（）2，
∴IH＝（m），
∴EH＝EI+IH＝+＝（m），
∵＜2.5，
∴貨物的E點碰不到貨廂頂部，
∴工人師傅能達(dá)到目的．
25．（12分）已知拋物線y＝﹣x2+ax+b（a、b為常數(shù)）的頂點為C，與直線y＝kx﹣k+h（k、h為常數(shù)）相交于A、B兩點．當(dāng)k＝3、h＝6時，點A、B恰好分別在x軸、y軸上．
（1）求a、b的值；
（2）作y軸的平行線，與線段AB和拋物線的交點縱坐標(biāo)分別為y1、y2．試比較y1與y2的大小，并說明理由；
（3）是否存在實數(shù)h，使△ABC為直角三角形？若存在，求出h的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）當(dāng)k＝3、h＝6時，利用直線解析式求出點A、B的坐標(biāo)，再將點A、B的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+ax+b中，求出a、b的值；
（2）兩函數(shù)作差與0比較大小．作差：y＝（﹣x2+ax+b）﹣（kx﹣k+h）＝﹣x2+（a﹣k）x+（b+k﹣h）．根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，再結(jié)合圖形就可以比較出y1與y2的大小了；
（3）利用一線三垂直相似模型和韋達(dá)定理就可以算出h的值．
【解答】解：（1）當(dāng)k＝3、h＝6時，直線為y＝3x+3．
當(dāng)x＝0時，y＝3，則B（0，3）；
當(dāng)y＝0時，x＝﹣1，則A（﹣1，0）．
把A（﹣1，0）、B（0，3）代入y＝﹣x2+ax+b，
得：
解得：a＝2，b＝3，
故a、b的值分別為2和3．
（2）y2≥y1.理由如下：
設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB）（不妨令xA＜xB）；平行y軸的線上點的橫坐標(biāo)為x0（xA≤x0≤xB）．
令y＝（﹣x2+2x+3）﹣（kx﹣k+h）＝﹣x2+（2﹣k）x+（3+k﹣h）．
當(dāng)y＝0時，即：﹣x2+（2﹣k）x+（3+k﹣h）＝0的兩個解分別為x＝xA和x＝xB．
由二次函數(shù)的交點式，可得：y＝﹣x2+（a﹣k）x+（b+k﹣h）＝﹣（x﹣xA）（x﹣xB）．
又∵xA≤x0≤xB，
∴y0＝﹣（x0﹣xA）（x0﹣xB）≥0，
即：y0＝y(tǒng)2﹣y1≥0，
故y2≥y1．
（3）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，故C（1，4）．
連接AC、BC，過C作x軸的平行線EF，分別過A、B作y軸的平行線，與上述直線相交于點E、F（如圖1）．
當(dāng)∠ACB＝90°時，∵∠ACE+∠BCF＝90°，∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
又∵∠E＝∠F，
∴△AEC∽CFB，
∴，
∴
∴，
即：，
∴（xA﹣1）（xB﹣1）＝﹣1，
∴xAxB﹣（xA+xB）+2＝0，
將y＝﹣x2+2x+3與y＝kx﹣k+h聯(lián)列有x2+（k﹣2）x+h﹣k﹣3＝0，xA、xB為方程兩根，
故xA+xB＝﹣（k﹣2），xAxB＝h﹣k﹣3，
∴h﹣k﹣3+k﹣2+2＝0，
∴h＝3．
當(dāng)∠ABC＝90°時，連接AB、BC，過B作y軸的平行線MN，分別過C、A作x軸的平行線，與上述直線相交于點M、N（如圖2）．
∵∠BCM+∠CBM＝90°，∠CBM+∠ABN＝90°，
∴∠CBM＝∠ABN，
又∵∠M＝∠N，
∴△BCM∽△ABN，
∴，
即：
∵yB＝﹣（xB﹣1）2+4，（k≠0）
∴，
∴
又∵點B在直線AB上，
∴，
∴，
∴此種情況的h不是定值．
同理可得，當(dāng)∠CAB＝90°時，h也不是定值．
綜上所述，當(dāng)實數(shù)h＝3時，△ABC一定為直角三角形．
26．（12分）點光源發(fā)出的光束呈扇面垂直投射到一個面上，光線在投射面的水平投射線長稱為“光帶長”．如圖1﹣①，從光源P發(fā)射的光束邊界與被投射曲面交于點E、F，則曲線EF的長就是該光束在曲面上的“光帶長”．
（1）如圖1﹣②，在內(nèi)直徑為6m的圓筒內(nèi)壁上的點光源呈60°角扇面垂直投射到圓筒內(nèi)壁上時，“光帶長”為 2π m．
（2）矩形大廳ABCD的寬AB為20m，長AD為40m，四壁都是垂直于地面的平面．在墻面AD上的光源P呈90°角扇面的光束垂直投射到其它墻面上，光束邊界PE、PF與被投射面相交于點E、F，PF在PE關(guān)于點P的逆時針方向上．
①如圖1﹣③，若光源P到點A的水平距離為10m，光束的邊界PE與墻面PA的夾角為30°，求此時的“光帶長”；
②如圖1﹣④，若光源P在墻面AD中點處，試判斷“光帶長”是否變化，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)弧長公式直接求解．
（2）利用三角函數(shù)先求出AE＝，然后分別求出PH、BE的長度．
（3）構(gòu)造全等三角形△PAE≌△PHF，將光帶長轉(zhuǎn)化為AB+BH．
【解答】解：（1）∵圓周角∠EPF＝60°，
∴所對的圓心角度數(shù)為：120°．
∴＝（m）．
∴“光帶長”為2π．
（2）①過P作PG⊥BC于點G，過F作FH⊥AD于點H．
∵AP＝10m，∠APE＝30°，
∴在△AEP中tan∠APE＝，AE＝，
∴BE＝AB﹣AE＝20﹣，∠APE＝30°，∠EPF＝90°∴∠FPH＝180﹣∠APE﹣∠BPF＝60°
在△PHF中tan，PH＝．
∴，
∴“光帶長”＝EB+BF＝20﹣＝30+．
②若光源P在墻面AD中點處時，“光帶長”不變．分為3種情形：
當(dāng)點E在邊AB上時，點F在BC上（如圖①），
此時“光帶長”＝EB+BF．
易得△PAE≌△PHF，
所以HF＝AE，
∴“光帶長”＝EB+BF＝EB+BH+HF＝AB+BH＝40m；
點E在邊BC上時，點F在CD上（如圖②），同理可得“光帶長”＝40m；
當(dāng)點E與B重合時點F恰好與點C重合，此時，“光帶長”＝BC＝40m；
綜上所述：無論∠EPF怎樣運(yùn)動，滿足條件的“光帶長”皆為40m．
抽取的籃球數(shù)n
100
200
400
600
800
1000
1200
優(yōu)等品的頻數(shù)m
93
192
380
561
752
941
1128
優(yōu)等品的頻率
0.930
0.960
0.950
0.935
0.940
0.941
0.940
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優(yōu)等品的頻數(shù)m
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優(yōu)等品的頻率
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