?2021年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學綜合測試試卷（一）
一．選擇題（滿分30分，每小題3分）
1．（3分）﹣3的相反數(shù)是（　?。?br /> A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）下列運算正確的是（　　）
A．a(chǎn)4?a2＝a8 B．a(chǎn)6÷a2＝a3
C．（2ab2）2＝4a2b? D．（a3）2＝a5
3．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（3分）如圖是一個由4個相同的正方體組成的立體圖形，它的主視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
5．（3分）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣1，2），則它的解析式是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）若不等式組無解，則a的取值范圍為（　　）
A．a(chǎn)＞4 B．a(chǎn)≤4 C．0＜a＜4 D．a(chǎn)≥4
7．（3分）一件商品按成本價提高30%后標價，又以8折銷售，售價為416元，這件商品賣出后獲得利潤（　?。┰?br /> A．16 B．18 C．24 D．32
8．（3分）如圖，一般客輪從小島A沿東北方向航行，同時一艘補給船從小島A正東方向相距（100+100）海里的港口B出發(fā)．沿北偏西60°方向航行，與客輪同時到達C處給客輪進行補給，則客輪與補給船的速度之比為（　?。?br />
A．：2 B．：1 C．：2 D．：1
9．（3分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在BC、AB邊上、DF∥AB，交AC邊于點H，EF∥BC，交AC邊于點G．則下列結(jié)論中錯誤的是（　?。?br />
A． B． C． D．
10．（3分）如圖是甲、乙兩車在某時段速度隨時間變化的圖象，下列結(jié)論錯誤的是如圖是甲、乙兩車在某時段速度隨時間變化的圖象，下列結(jié)論錯誤的是（　?。?br />
A．兩車到第3秒時行駛的路程相等
B．在4至8秒內(nèi)甲的速度都大于乙的速度
C．乙前4秒行駛的路程為48米
D．在0到8秒內(nèi)甲的速度每秒增加4米/秒
二．填空題（滿分30分，每小題3分）
11．（3分）人的血管首尾相連的長度大約可達96000千米，96000千米用科學記數(shù)法表示為　 　米．
12．（3分）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是　 　．
13．（3分）兩個最簡二次根式與相加得6，則a+b+c＝　 ?。?br /> 14．（3分）分解因式：2x2﹣8x+8＝　 ?。?br /> 15．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3，當自變量滿足﹣1≤x≤3時，y的最大值為a，最小值為b，則a﹣b的值為　 ?。?br /> 16．（3分）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面軌道上滾動一個半徑為10cm的圓盤，如圖所示，AB與CD是水平的，BC與水平面的夾角為60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么該小朋友將圓盤從A點滾動到D點其圓心所經(jīng)過的路線長為　 　cm．

17．（3分）在一個不透明的盒子中裝有8個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為，則黃球的個數(shù)為　 　個．
18．（3分）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，P為切點，如果AB＝8cm，小圓直徑為6cm，那么大圓半徑為　 　cm．

19．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分線交BC于點E，則DE＝　 ?。?br />
20．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，DB＝2，則S△ADE：S△ABC＝　 ?。?br />
三．解答題（共7小題，滿分60分）
21．（7分）先化簡，再求代數(shù)式（）的值，其中a＝2sin45°tan30°．
22．（7分）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C、D、E、F均在格點上．只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網(wǎng)格中畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫畫法．
（1）在圖①中以線段AB為一腰畫一個等腰銳角三角形ABP；
（2）在圖②中以線段CD為底畫一個等腰直角三角形CDM；
（3）在圖③中畫等腰鈍角三角形EFN．

23．（8分）校文學社在全校范圍內(nèi)隨機抽取一部分讀者對社刊中最感興趣的文學欄目進行了投票．每人一張選票，每張選票只能投給一個欄目，經(jīng)統(tǒng)計無棄權(quán)票，根據(jù)投票結(jié)果繪制的條形統(tǒng)計圖如下：
（1）這次參加投票的總?cè)藬?shù)為　 　．
（2）若全校有3000名讀者，估計其中對“寫作指導(dǎo)”最感興趣的人數(shù)．
（3）在全校3000名讀者中，若對某個欄目最感興趣的人數(shù)少于300人將會影響社刊的銷售，這個欄目就需要被撤換．請通過計算判斷，“新書上架”欄目是否需要被撤換．

24．（8分）菱形ABCD的邊長為6，∠D＝60°，點E在邊AD上運動．
（1）如圖1，當點E為AD的中點時，求AO：CO的值；
（2）如圖2，F(xiàn)是AB上的動點，且滿足BF+DE＝6，求證：△CEF是等邊三角形．

25．（10分）某縣要修筑一條長為6000米的鄉(xiāng)村旅游公路，準備承包給甲、乙兩個工程隊來合作完成，已知甲隊每天筑路的長度是乙隊的2倍，前期兩隊各完成了400米時，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙兩個工程隊每天各筑路多少米？
（2）若甲隊每天的工程費用為1.5萬元，乙隊每天的工程費用為0.9萬元，要使完成全部工程的總費用不超過120萬元，則至少要安排甲隊筑路多少天？
26．（10分）如圖1，扇形AOB的半徑為6，弧長為2π．
（1）求圓心角∠AOB的度數(shù)；
（2）如圖2，將扇形AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，連接AB，BC．
①判斷四邊形OABC的形狀并證明：
②如圖3，若∠POQ＝60°，將∠POQ繞點O旋轉(zhuǎn)，與AB，BC分別交于點M，N（點M，N與點A，B，C均不重合），判斷MB+NB的值是否為定值．如果是定值請求出；如果不是，請說明理由
27．（10分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，且OC＝OB．
（1）求點C的坐標和此拋物線的解析式；
（2）若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，BC，求△BCE面積的最大值；
（3）點P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應(yīng)點A′恰好也落在此拋物線上，求點P的坐標．


2021年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學綜合測試試卷（一）
參考答案與試題解析
一．選擇題（滿分30分，每小題3分）
1．（3分）﹣3的相反數(shù)是（　?。?br /> A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義，只有符號不同的兩個數(shù)為相反數(shù)．
【解答】解：﹣3的相反數(shù)是3．
故選：A．
2．（3分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)4?a2＝a8 B．a(chǎn)6÷a2＝a3
C．（2ab2）2＝4a2b? D．（a3）2＝a5
【分析】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則，積的乘方運算法則以及冪的乘方運算法則逐一判斷即可．
【解答】解：A．a(chǎn)4?a2＝a6，故本選項不合題意；
B．a(chǎn)6÷a2＝a4，故本選項不合題意；
C．（2ab2）2＝4a2b4，正確；
D．（a3）2＝a6，故本選項不合題意；
故選：C．
3．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；
B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
故選：A．
4．（3分）如圖是一個由4個相同的正方體組成的立體圖形，它的主視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．
【解答】解：該立體圖形主視圖的第1列有1個正方形、第2列有1個正方形、第3列有2個正方形，
故選：C．
5．（3分）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣1，2），則它的解析式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先設(shè)出反比例函數(shù)解析式，再把（﹣1，2）代入解析式可得k的值，進而得到答案．
【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y＝，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣1，2），
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函數(shù)解析式為y＝﹣，
故選：B．
6．（3分）若不等式組無解，則a的取值范圍為（　?。?br /> A．a(chǎn)＞4 B．a(chǎn)≤4 C．0＜a＜4 D．a(chǎn)≥4
【分析】不等式組整理后，根據(jù)不等式組無解確定出a的范圍即可．
【解答】解：不等式組整理得：，
由不等式組無解，得到a≥4．
故選：D．
7．（3分）一件商品按成本價提高30%后標價，又以8折銷售，售價為416元，這件商品賣出后獲得利潤（　?。┰?br /> A．16 B．18 C．24 D．32
【分析】此題可設(shè)原價為x元，提高30%后標價，實際上是按原價的130%標價，又以8折銷售是以原價的80%銷售，根據(jù)題意列方程解答即可．
【解答】解：設(shè)原價為x元，根據(jù)題意列方程得：
x×（1+30%）×80%＝416
解得x＝400，
416﹣400＝16（元）．
答：這件商品賣出后獲得利潤16元．
故選：A．
8．（3分）如圖，一般客輪從小島A沿東北方向航行，同時一艘補給船從小島A正東方向相距（100+100）海里的港口B出發(fā)．沿北偏西60°方向航行，與客輪同時到達C處給客輪進行補給，則客輪與補給船的速度之比為（　　）

A．：2 B．：1 C．：2 D．：1
【分析】過C作CD⊥AB于D，設(shè)AD＝x，根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，分別用含x的代數(shù)式表示出CD，BD，根據(jù)AB的長求出x，再根據(jù)勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．
【解答】解：過C作CD⊥AB于D，
設(shè)AD＝x，
由題意得∠CAD＝45°，∠NBC＝60°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴CD＝AD＝x，
∴AC＝＝x，
在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD＝＝x，
∵AB＝100+100，
∴AD+BD＝x+x＝100+100，
∴（1+）x＝100（1+），
∴x＝100，
即AD＝100海里，
∴AC＝100海里，BC＝200海里，
∵時間一定時速度與路程成正比，
∴客輪與補給船的速度之比為100：200＝：2，
故選：A．

9．（3分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在BC、AB邊上、DF∥AB，交AC邊于點H，EF∥BC，交AC邊于點G．則下列結(jié)論中錯誤的是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例即可得到答案．
【解答】解：∵DF∥AB，EF∥BC，
∴四邊形EBDF是平行四邊形，BE＝DF，EF＝BD，
A、∵EF∥BC，
∴，
故A不符合題意，
B、∵DF∥AB，
∴，
故B不符合題意，
C、∵DF∥AB，
∴，
故C不符合題意，
D、∵DF∥AB，
∴＝，
∴，
∴，
故D符合題意，
故選：D．
10．（3分）如圖是甲、乙兩車在某時段速度隨時間變化的圖象，下列結(jié)論錯誤的是如圖是甲、乙兩車在某時段速度隨時間變化的圖象，下列結(jié)論錯誤的是（　　）

A．兩車到第3秒時行駛的路程相等
B．在4至8秒內(nèi)甲的速度都大于乙的速度
C．乙前4秒行駛的路程為48米
D．在0到8秒內(nèi)甲的速度每秒增加4米/秒
【分析】結(jié)合速度與時間的變化圖象，作出判斷即可．
【解答】解：A、由于甲的圖象是過原點的直線，所以可得v＝4t（v、t分別表示速度、時間），
將v＝12m/s代入v＝4t得t＝3s，則t＝3s前，甲的速度小于乙的速度，所以兩車到第3秒時行駛的路程不相等，符合題意；
B、在4至8秒內(nèi)甲的速度圖象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，不符合題意；
C、根據(jù)圖象可得，乙前4秒的速度不變，為12米/秒，則行駛的路程為12×4＝48米，不符合題意；
D、根據(jù)圖象得：在0到8秒內(nèi)甲的速度是一條過原點的直線，即甲的速度從0均勻增加到32米/秒，則每秒增加（32÷8）＝4（米/秒），不符合題意，
故選：A．
二．填空題（滿分30分，每小題3分）
11．（3分）人的血管首尾相連的長度大約可達96000千米，96000千米用科學記數(shù)法表示為　9.6×107　米．
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．
【解答】解：96000千米＝96000000＝9.6×107（米）．
故答案為：9.6×107．
12．（3分）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是　x＜2?。?br /> 【分析】根據(jù)分式有意義的條件、二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由題意得，2﹣x＞0，
解得，x＜2，
故答案為：x＜2．
13．（3分）兩個最簡二次根式與相加得6，則a+b+c＝　11?。?br /> 【分析】兩個最簡二次根式可以合并，說明它們是同類二次根式，根據(jù)合并的結(jié)果即可得出答案．
【解答】解：由題意得，與是同類二次根式，
∵與相加得6，
∴a+c＝6，b＝5，
則a+b+c＝11．
故答案為：11．
14．（3分）分解因式：2x2﹣8x+8＝　2（x﹣2）2　．
【分析】先提公因式2，再用完全平方公式進行因式分解即可．
【解答】解：原式＝2（x2﹣4x+4）
＝2（x﹣2）2．
故答案為2（x﹣2）2．
15．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3，當自變量滿足﹣1≤x≤3時，y的最大值為a，最小值為b，則a﹣b的值為　9?。?br /> 【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到自變量滿足﹣1≤x≤3時，x＝﹣1時取得最大值，x＝2時取得最小值，然后即可得到a、b的值，從而可以求得a﹣b的值，本題得以解決．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴該函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線x＝2，
∵當自變量滿足﹣1≤x≤3時，y的最大值為a，最小值為b，
∴當x＝﹣1時，取得最大值，當x＝2時，函數(shù)取得最小值，
∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，
∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，
故答案為：9．
16．（3分）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面軌道上滾動一個半徑為10cm的圓盤，如圖所示，AB與CD是水平的，BC與水平面的夾角為60°，其中AB＝60cm，CD＝40cm，BC＝40cm，那么該小朋友將圓盤從A點滾動到D點其圓心所經(jīng)過的路線長為?。ǎm．

【分析】A點滾動到D點其圓心所經(jīng)過的路線在點B處少走了一段，在點C處又多求了一段弧長，所以A點滾動到D點其圓心所經(jīng)過的路線＝（60+40+40）﹣+＝（cm）．
【解答】解：A點滾動到D點其圓心所經(jīng)過的路線＝（60+40+40）﹣+
＝（cm）．
故答案為：（）．

17．（3分）在一個不透明的盒子中裝有8個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為，則黃球的個數(shù)為　4　個．
【分析】根據(jù)白球個數(shù)除以小球總數(shù)進而得出得到白球的概率，進而得出答案．
【解答】解：∵在一個不透明的盒子中裝有8個白球，從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為，
設(shè)黃球有x個，根據(jù)題意得出：
∴＝，
解得：x＝4．
故答案為：4．
18．（3分）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，P為切點，如果AB＝8cm，小圓直徑為6cm，那么大圓半徑為　5　cm．

【分析】連接OA，由切線的性質(zhì)可知OP⊥AB，由垂徑定理可知AP＝PB，在Rt△OAP中，利用勾股定理可求得OA的長．
【解答】解：如圖，連接OP，AO，

∵AB是小圓的切線，
∴OP⊥AB，
∵OP過圓心，
∴AP＝BP＝AB＝4cm，
∵小圓直徑徑為6cm，
∴OP＝3cm，
在Rt△AOP中，由勾股定理可得OA＝＝5（cm），
即大圓的半徑為5cm，
故答案為：5．
19．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分線交BC于點E，則DE＝　2?。?br />
【分析】過點E作EF⊥AD于點F，根據(jù)矩形性質(zhì)和角平分線定義證明矩形ABEF是正方形，再根據(jù)勾股定理即可求出DE的長．
【解答】解：如圖，過點E作EF⊥AD于點F，

在矩形ABCD中，∠B＝∠BAD＝90°，
∵EA是∠BAD的平分線，
∴∠DAB＝∠EAF＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴AB＝BE，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB＝BE＝EF＝AF＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝6﹣4＝2，
∴DE＝＝＝2．
故答案為：2．
20．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，DB＝2，則S△ADE：S△ABC＝　9：25?。?br />
【分析】由線段的和差，已知AD＝3，DB＝2的長度，求出AB＝5，相似三角形的判定與性質(zhì)得△ADE∽△ABC，其性質(zhì)相似三角形的面積之比等于相似比的平方，求出S△ADE：S△ABC的值為9：25．
【解答】解：如圖所示：

∵AD+DB＝AB，AD＝3，DB＝2，
∴AB＝5，
又∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴＝，
故答案為9：25．
三．解答題（共7小題，滿分60分）
21．（7分）先化簡，再求代數(shù)式（）的值，其中a＝2sin45°tan30°．
【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把a的值代入計算即可求出值．
【解答】解：原式＝[﹣]?
＝（﹣）?
＝?
＝，
當a＝2×+2×＝+2時，原式＝＝．
22．（7分）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C、D、E、F均在格點上．只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網(wǎng)格中畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫畫法．
（1）在圖①中以線段AB為一腰畫一個等腰銳角三角形ABP；
（2）在圖②中以線段CD為底畫一個等腰直角三角形CDM；
（3）在圖③中畫等腰鈍角三角形EFN．

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形即可．
（2）根據(jù)等腰直角三角形的定義畫出圖形即可．
（3）根據(jù)等腰鈍角三角形的定義畫出圖形即可．
【解答】解：（1）如圖①中，△ABP或△ABP′即為所求作．
（2）如圖②中，△CDM或△CDM′即為所求作．
（3）如圖③中，△EFN即為所求作．

23．（8分）校文學社在全校范圍內(nèi)隨機抽取一部分讀者對社刊中最感興趣的文學欄目進行了投票．每人一張選票，每張選票只能投給一個欄目，經(jīng)統(tǒng)計無棄權(quán)票，根據(jù)投票結(jié)果繪制的條形統(tǒng)計圖如下：
（1）這次參加投票的總?cè)藬?shù)為　500　．
（2）若全校有3000名讀者，估計其中對“寫作指導(dǎo)”最感興趣的人數(shù)．
（3）在全校3000名讀者中，若對某個欄目最感興趣的人數(shù)少于300人將會影響社刊的銷售，這個欄目就需要被撤換．請通過計算判斷，“新書上架”欄目是否需要被撤換．

【分析】（1）將統(tǒng)計圖中所有數(shù)據(jù)相加即可得到總?cè)藬?shù)；
（2）用總?cè)藬?shù)乘以寫作感興趣的比例即可得到答案；
（3）求出新書上架的人數(shù)與300比較即可得到答案．
【解答】解：（1）投票總?cè)藬?shù)＝76+88+97+42+60+111+26＝500人；

（2）3000×＝360人；

（3）∵3000×＝252＜300
∴這個欄目將被撤換．
24．（8分）菱形ABCD的邊長為6，∠D＝60°，點E在邊AD上運動．
（1）如圖1，當點E為AD的中點時，求AO：CO的值；
（2）如圖2，F(xiàn)是AB上的動點，且滿足BF+DE＝6，求證：△CEF是等邊三角形．

【分析】（1）先由菱形的性質(zhì)得BC＝AD＝6，AD∥BC，再證△AOE∽△COB，即可得出答案；
（2）先證△ABC是等邊三角形，得AC＝BC，∠ACB＝60°，再證△ACE≌△BCF（SAS），得CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，然后證∠ECF＝∠ACB＝60°，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC，
∵點E為AD的中點，
∴AE＝AD＝3，
∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COB，
∴＝＝＝；
（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D＝60°，
∴∠CAE＝∠ACB，△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°＝∠B，
∵AE+DE＝AD＝6，BF+DE＝6，
∴AE＝BF，
在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，
∴∠ACE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝60°，
即∠ECF＝60°，
∴△CEF是等邊三角形．
25．（10分）某縣要修筑一條長為6000米的鄉(xiāng)村旅游公路，準備承包給甲、乙兩個工程隊來合作完成，已知甲隊每天筑路的長度是乙隊的2倍，前期兩隊各完成了400米時，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙兩個工程隊每天各筑路多少米？
（2）若甲隊每天的工程費用為1.5萬元，乙隊每天的工程費用為0.9萬元，要使完成全部工程的總費用不超過120萬元，則至少要安排甲隊筑路多少天？
【分析】（1）設(shè)乙隊每天筑路x米，則甲每天筑路2x米．由題意列出分式方程，解方程即可；
（2）設(shè)甲筑路t天，則乙筑路天數(shù)為（150﹣2t）天，由題意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）設(shè)乙隊每天筑路x米，則甲每天筑路2x米．
依題意，得：，
解得：x＝40，
經(jīng)檢驗：x＝40是原分式方程的解，
則2x＝80
答：甲每天筑路80米，乙每天筑路40米；
（2）設(shè)甲筑路t天，則乙筑路天數(shù)為＝（150﹣2t）天，
依題意：1.5t+0.9（150﹣2t）≤120，
解得：t≥50，
∴甲至少要筑路50天．
26．（10分）如圖1，扇形AOB的半徑為6，弧長為2π．
（1）求圓心角∠AOB的度數(shù)；
（2）如圖2，將扇形AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，連接AB，BC．
①判斷四邊形OABC的形狀并證明：
②如圖3，若∠POQ＝60°，將∠POQ繞點O旋轉(zhuǎn)，與AB，BC分別交于點M，N（點M，N與點A，B，C均不重合），判斷MB+NB的值是否為定值．如果是定值請求出；如果不是，請說明理由
【分析】（1）根據(jù)弧長公式即可得到答案；
（2）①證明△OAB與△OBC是等邊三角形，可得四邊形OABC得四邊相等，從而證明四邊形OABC是菱形；
②證明△OMA≌△ONB得MA＝NB，從而可得MB+NB＝AB，是定值6．
【解答】解：（1）∵扇形AOB的半徑為6，弧長為2π．
∴＝2π，
∴n＝60，
∴圓心角∠AOB＝60°；
（2）①四邊形OABC是菱形，理由如下：
在扇形AOB中，OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA＝OB＝AB，
∵扇形AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，
∴△COB是等邊三角形，
∴OA＝AB＝BC＝OC，
∴四邊形OABC是菱形；
②MB+NB是定值，
由①知△OAB與△OBC是等邊三角形，
∴∠OBC＝∠OAB＝∠AOB＝60°，
∵∠POQ＝60°，
∴∠AOB＝∠POQ，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠POQ﹣∠BOM，即∠AOM＝∠BON，
又OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝60°，
∴△OMA≌△ONB（ASA），
∴MA＝NB，
∴MB+NB＝MB+MA＝AB＝6，
∴MB+NB為定值6．
27．（10分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，且OC＝OB．
（1）求點C的坐標和此拋物線的解析式；
（2）若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，BC，求△BCE面積的最大值；
（3）點P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應(yīng)點A′恰好也落在此拋物線上，求點P的坐標．

【分析】（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，連接BC，過點E作EF⊥x軸于點F，設(shè)E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），可得EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，根據(jù)S△BEC＝S四邊形BOCE﹣S△BOC，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
（3）由P在拋物線的對稱軸上，設(shè)出P坐標為（﹣1，m），如圖所示，過A′作A′N⊥對稱軸于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到一對邊相等，再由同角的余角相等得到一對角相等，根據(jù)一對直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到A′N＝PM＝|m|，PN＝AM＝2，表示出A′坐標，將A′坐標代入拋物線解析式中求出相應(yīng)m的值，即可確定出P的坐標．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵OC＝OB，
∴OC＝3，
∴c＝3，
∴，
解得：，
∴所求拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，C（0，3）．

（2）如圖2，連接BC，過點E作EF⊥x軸于點F，設(shè)E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，
∴S△BEC＝S四邊形BOCE﹣S△BOC＝BF?EF+（OC+EF）?OF﹣?OB?OC
＝（a+3）?（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）?（﹣a）﹣
＝﹣a2﹣a
＝﹣（a+）2+，
∴當a＝﹣時，S△BEC最大，且最大值為．

（3）∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+3的對稱軸為x＝﹣1，點P在拋物線的對稱軸上，
∴設(shè)P（﹣1，m），
∵線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應(yīng)點A′恰好也落在此拋物線上，
①當m≥0時，
∴PA＝PA′，∠APA′＝90°，
如圖3，過A′作A′N⊥對稱軸于N，設(shè)對稱軸于x軸交于點M，
∴∠NPA′+∠MPA＝∠NA′P+∠NPA′＝90°，
∴∠NA′P＝∠NPA，
在△A′NP與△PMA中，
，
∴△A′NP≌△PMA（AAS），
∴A′N＝PM＝m，PN＝AM＝2，
∴A′（m﹣1，m+2），
代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，
解得：m＝1，m＝﹣2（舍去），
②當m＜0時，要使P2A＝P2A2，由圖可知A2點與B點重合，
∵∠AP2A2＝90°，
∴MP2＝MA＝2，
∴P2（﹣1，﹣2）．
∴滿足條件的點P的坐標為P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．




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