第五章 三角函數(shù)5.1任意角和弧度制第2課時弧度制【課程標(biāo)準(zhǔn)】了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化。掌握并能熟練運用弧長公式和扇形面積公式。【知識要點歸納】1．角度制：用度作為單位度量角的單位制叫做角度制，規(guī)定1度的角等于周角的2.．弧度制：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).3.單位圓：半徑為1的圓叫做單位圓4．角度與弧度的換算弧度與角度互換公式： 1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)5．弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.注解：(1)角有正負零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負零之分，如等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定.(2)角的弧度數(shù)的絕對值是：，其中，是圓心角所對的弧長，是半徑.   【經(jīng)典例題】例1．用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合，如圖所示（不包括邊界）。        【解析】（1）如下圖①，以OB為終邊的角為330°，可看成是－30°，化為弧度，即，而rad，∴所求集合為。（2）如上圖②，以OB為終邊的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即，而rad，∴所求集合為。例2．設(shè)角，，，。（1）將，用弧度制表示出來，并指出它們各自所在的象限；（2）將，用角度制表示出來，并在－720°～0°之間找出與它們有相同終邊的所有角。       【解析】（1），。所以在第二象限，在第一象限。（2），設(shè)=k·360°+（k∈Z），因為－720°≤＜0°，所以－720°≤k·360°+108°＜0，解得k=―2或k=―1，所以在―720°～0°間與有相同終邊的角是―612°和―252°。同理=―420°，在―720°～0°間與有相同終邊的角是－60°。例3．已知一扇形的圓心角為（＞0），所在圓的半徑為R．（1）若=60°，R=10 cm，求扇形的弧長及該扇形的面積；（2）一扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？       【解析】（1）設(shè)弧長為l，弓形面積為S，則，R=10，（cm），設(shè)扇形面積為S， （2）設(shè)扇形的半徑為R，弧為為l，則l+2R=20，即l=20－2R，（0＜R＜10）．∴扇形的面積．∴當(dāng)R=5 cm時，S有最大值25 cm2，此時l=10 cm，．因此，當(dāng)=2 rad時，扇形的面積取最大值【變式1】扇形AOB的面積是4 cm2，它的周長是10 cm，求扇形的圓心角的弧度數(shù)及弦AB的長。   【解析】設(shè)長為cm，扇形半徑為R cm，則由題意，得，解得  或  （不合題意，舍去）。∴（rad）。∴弦（cm）。【當(dāng)堂檢測】一．選擇題（共4小題）1．　　A． B． C． D．2．化成弧度是　　A． B． C． D．3．已知弧度數(shù)為的圓心角所對的弦長為，則這個圓心角所對的弧長是　　A． B． C． D．4．希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué)．特別是與“月牙形”有關(guān)的問題．如圖所示．陰影郭分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，，則該月牙形的面積為　　A． B． C． D．二．填空題（共2小題）5．已知扇形的圓心角為2弧度，半徑為，則此扇形的面積為　　．6．已知圓的半徑為2，則的圓心角所對的弧長為　　．三．解答題（共2小題）7．已知扇形的周長為8．（1）若這個扇形的面積為3，求圓心角的大小；（2）求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長．8．已知扇形的圓心角為，半徑為．（1）若，，求圓心角所對的弧長．（2）若扇形的周長是，面積是，求和．
當(dāng)堂檢測答案一．選擇題（共4小題）1．　　A． B． C． D．【分析】利用弧度，1弧度即可求得答案．【解答】解：．故選：．【點評】本題主要考查了弧度和角度的互化，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．2．化成弧度是　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)，計算即可．【解答】解：．故選：．【點評】本題考查了弧度與角度的計算問題，是基礎(chǔ)題．3．已知弧度數(shù)為的圓心角所對的弦長為，則這個圓心角所對的弧長是　　A． B． C． D．【分析】連接圓心與弦的中點，可得半弦長，，解得半徑為2，代入弧長公式求弧長即可．【解答】解：連接圓心與弦的中點，則由題意可得，，，在中，半徑，由弧長公式可得所求弧長．故選：．【點評】本題考查弧長公式，求解本題的關(guān)鍵是利用弦心距，弦長的一半，半徑構(gòu)成一個直角三角形求半徑，屬基礎(chǔ)題．4．希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué)．特別是與“月牙形”有關(guān)的問題．如圖所示．陰影郭分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，，則該月牙形的面積為　　A． B． C． D．【分析】由題意，內(nèi)側(cè)圓弧為的外接圓的一部分，由已知利用扇形的面積公式，三角形的面積公式可求弓形的面積，由于外側(cè)的圓弧以為直徑，可求半圓的面積，即可求解月牙形的面積．【解答】解：由已知可得，的外接圓半徑為1，由題意，內(nèi)側(cè)圓弧為的外接圓的一部分，且其對應(yīng)的圓心角為，則弓形的面積為，外側(cè)的圓弧以為直徑，所以半圓的面積為，則月牙形的面積為．故選：．【點評】本題主要考查了扇形的面積公式，三角形的面積公式的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合扇形和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二．填空題（共2小題）5．已知扇形的圓心角為2弧度，半徑為，則此扇形的面積為　1　．【分析】利用扇形的弧長公式、面積公式，即可得出結(jié)論．【解答】解：扇形的圓心角為2弧度，半徑為，扇形的弧長，扇形的面積為．故答案為：1．【點評】本題考查扇形的弧長公式、面積公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．已知圓的半徑為2，則的圓心角所對的弧長為　　．【分析】由已知結(jié)合弧長公式即可直接求解．【解答】解：由弧長公式可得．故答案為：【點評】本題主要考查了弧長公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．三．解答題（共2小題）7．已知扇形的周長為8．（1）若這個扇形的面積為3，求圓心角的大?。?/span>（2）求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長．【分析】設(shè)扇形的半徑為，中心角為，則．，．（1）由題意可得：，又．聯(lián)立解得．（2），利用基本不等式的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為，中心角為，則．，．（1）由題意可得：，又．聯(lián)立解得或．（2），當(dāng)且僅當(dāng)．．．【點評】本題考查了弧長公式、扇形計算公式、直角三角形的邊角關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于較易題．8．已知扇形的圓心角為，半徑為．（1）若，，求圓心角所對的弧長．（2）若扇形的周長是，面積是，求和．【分析】（1）利用弧長公式即可得出．（2）由題意可得：，，聯(lián)立解得即可得出．【解答】解：（1），弧長．（2）由題意可得：，，聯(lián)立解得．【點評】本題考查了弧長公式、扇形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2020/12/2 14:44:15；用戶：郭天軍；郵箱：wcdezx37@xyh.com；學(xué)號：26222372    

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

5.1 任意角和弧度制

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