第五章　復(fù)數(shù)本章復(fù)習(xí)提升易混易錯(cuò)練　　　　　　　　　　　　　　　　　　易錯(cuò)點(diǎn)1　對(duì)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念把握不準(zhǔn)確致錯(cuò)1.(2020北京房山高三上學(xué)期期末,)已知復(fù)數(shù)z=,則Im z=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. B. C.- D.-2.(2019北京師范大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期期中,)設(shè)z=,則Re z=　　　　.　易錯(cuò)　 3.(2020福建三明一中高二上月考,)復(fù)數(shù)z=(m2+4m+3)+(m+3)i,m∈R為純虛數(shù),則m=　　　　. 易錯(cuò)點(diǎn)2　對(duì)復(fù)數(shù)的幾何意義理解不清致錯(cuò)4.()設(shè)復(fù)數(shù)z=(m∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z.(1)若點(diǎn)Z在虛軸上,求m的值;(2)若點(diǎn)Z位于第一象限,求m的取值范圍.         5.()設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=4,|z1+z2|=4,求|z1-z2|.     易錯(cuò)點(diǎn)3　復(fù)數(shù)計(jì)算時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤6.(2020湖北鄂州鄂南高中高三上學(xué)期月考,)設(shè)i為虛數(shù)單位,表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù),若z=1+i,則=(　　)A.-i B.2i C.-1 D.17.()計(jì)算:=　　　　　. 8.()計(jì)算:-+i÷2cos +isin =　　　　. 易錯(cuò)點(diǎn)4　應(yīng)用復(fù)數(shù)相等的條件時(shí)出錯(cuò)9.(2020北京朝陽(yáng)高三上學(xué)期期末,)關(guān)于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的值和這個(gè)實(shí)數(shù)根.    10.()已知實(shí)數(shù)x和復(fù)數(shù)m滿足(4+3i)x2+mx+4-3i=0,求|m|的最小值.　易錯(cuò)　     易錯(cuò)點(diǎn)5　對(duì)模的理解不透出錯(cuò)11.()若復(fù)數(shù)z滿足z(-1+2i)=|1+3i|2(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12.(2019寧夏平羅中學(xué)高二下學(xué)期月考,)若復(fù)數(shù)z滿足|z+3+4i|=2,則|z|的最大值是(　　)A.3 B.5 C.7 D.9 思想方法練一、分類討論思想在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用1.()設(shè)a>0,在C內(nèi)解方程z2+2|z|=a.         2.(2019上海延安中學(xué)高三上學(xué)期月考,)已知關(guān)于z的方程z2+5z+m=0的兩根分別為z1、z2,且滿足|z1-z2|=3,求實(shí)數(shù)m的值.      二、函數(shù)與方程思想在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用3.()已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=,則的最大值是　　　　. 4.()設(shè)復(fù)數(shù)z滿足4z+=5+3i,ω=sin θ+icos θ(θ∈R).(1)求復(fù)數(shù)z;(2)設(shè)復(fù)數(shù)z和ω在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是Z和W,求|ZW|的取值范圍.      三、整體思想在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用5.()已知復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位),則z·=　　　　. 6.()已知復(fù)平面內(nèi)的圓M:|z+1|=1,若為純虛數(shù),求復(fù)數(shù)z.          四、數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用7.()若z∈C,|z-2|≤1,求|z|的最大值、最小值.        8.()在復(fù)平面內(nèi),A,B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABDC,求D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z4及AD的長(zhǎng).       答案全解全析第五章　復(fù)數(shù) 本章復(fù)習(xí)提升易混易錯(cuò)練1.B 6.A 11.C 12.C  1.B　z=i/(√2+i)=("(" √2 "-" i")" i)/("(" √2+i")(" √2 "-" i")" )=1/3+√2/3i,故Im z=√2/3.故選B.2.答案　1解析　∵z=(3+i)/i=1-3i,∴Re z=1.易錯(cuò)警示很多同學(xué)知道復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,但對(duì)復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部的符號(hào)表示不太關(guān)心,造成無(wú)法解答.復(fù)數(shù)z的實(shí)部記作Re z,虛部記作Im z.3.答案　-1解析　因?yàn)閺?fù)數(shù)z=(m2+4m+3)+(m+3)i,m∈R為純虛數(shù),所以{■(m^2+4m+3=0"," @m+3≠0"," )┤所以m=-1.4.解析　z=(1"-" 2i)/(m"-" i)=("(" 1"-" 2i")(" m+i")" )/("(" m"-" i")(" m+i")" )=(m+2)/(m^2+1)+(1"-" 2m)/(m^2+1)i.(1)∵點(diǎn)Z在虛軸上,∴(m+2)/(m^2+1)=0,∴m=-2.(2)∵點(diǎn)Z位于第一象限,∴m+2>0且1-2m>0,解得-2<m<1/2.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是 -2,1/2 .5.解析　設(shè)復(fù)數(shù)z1和z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量(OA) ?與(OB) ?,畫出如圖所示的平行四邊形.    依題意,有|(OA) ?|=4,|(OB) ?|=4,|(OC) ?|=4√3,所以cos∠OBC=(4^2+4^2 "-(" 4√3 ")" ^2)/(2×4×4)=-1/2,因?yàn)椤?/span>AOB+∠OBC=180°,所以cos∠AOB=1/2,所以AB2=42+42-2×4×4cos∠AOB=16,所以AB=4,即|z1-z2|=4.6.A　依題意得ˉz=1-i,故(z"?" ˉz)/(z"-" ˉz)=(1^2 "-" i^2)/2i=1/i=("-" i)/(i"?(-" i")" )=-i,故選A.7.答案　-1/2+1/2i解析　(4+5i)/("(" 5"-" 4i")(" 1"-" i")" )=("(" 5"-" 4i")" i)/("(" 5"-" 4i")(" 1"-" i")" )=i/(1"-" i)=(i"(" 1+i")" )/("(" 1"-" i")(" 1+i")" )=(i"-" 1)/2=-1/2+1/2i.8.答案　√2/4i解析　解法一: -1/2+1/2i ÷ 2 cos π/4+isin π/4  = -1/2+1/2i ÷(√2+√2i)=-√2/4×(1"-" i)/(1+i)=√2/4i.解法二:("-"  1/2+1/2 i)÷ 2 cos π/4+isin π/4  =(√2/2(cos 3π/4+isin 3π/4))/(2(cos π/4+isin π/4))=√2/4 cosπ/2+isinπ/2 =√2/4i.9.解析　設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為m,則3m2-a/2m-1=(10-m-2m2)i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,得{■(3m^2 "-"  a/2 m"-" 1=0"," @10"-" m"-" 2m^2=0"," )┤解得{■(m=2"," @a=11)┤或{■(m="-"  5/2 "," @a="-"  71/5 "," )┤所以當(dāng)實(shí)數(shù)a=11時(shí),實(shí)數(shù)根為2;當(dāng)實(shí)數(shù)a=-71/5時(shí),實(shí)數(shù)根為-5/2.10.解析　設(shè)m=a+bi(a,b∈R),∵(4+3i)x2+(a+bi)x+4-3i=0,∴(4x2+ax+4)+(3x2+bx-3)i=0,∴{■(4x^2+ax+4=0"," @3x^2+bx"-" 3=0"," )┤∴a=-(4"(" x^2+1")" )/x,b=-(3"(" x^2 "-" 1")" )/x,∴|m|=√(["-"  (4"(" x^2+1")" )/x] ^2+["-"  (3"(" x^2 "-" 1")" )/x] ^2 )=√(25x^2+25/x^2 +14)≥√(2√(25x^2 "?"  25/x^2 )+14)=√64=8,當(dāng)且僅當(dāng)x2=1時(shí),“=”成立.即|m|的最小值為8.易錯(cuò)警示本題可能會(huì)有同學(xué)把原方程整理成(4x2+mx+4)+(3x2-3)i=0,再利用兩復(fù)數(shù)相等求解,這是錯(cuò)誤的,原因是利用a+bi=c+di?a=c,b=d時(shí),需滿足條件a,b,c,d∈R.11.C　因?yàn)?/span>z=("|" 1+3i"|" ^2)/("-" 1+2i)=(10"(-" 1"-" 2i")" )/("(-" 1+2i")(-" 1"-" 2i")" )=-(10"(" 1+2i")" )/5=-2-4i,所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,故選C.12.C　|z+3+4i|=2表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以C(-3,-4)為圓心,2為半徑的圓上,|z|為圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離,其最大值為|OC|+2=7.故選C.思想方法練1.解析　∵a,|z|∈R,∴z2=a-2|z|∈R,∴z為實(shí)數(shù)或純虛數(shù).①若z為實(shí)數(shù),則原方程轉(zhuǎn)化為|z|2+2|z|-a=0,所以z=±(-1+√(1+a)).②若z為純虛數(shù),設(shè)z=bi(b≠0,b∈R),于是方程轉(zhuǎn)化為|b|2-2|b|+a=0.(i)當(dāng)0<a≤1時(shí),解得b=±(1±√(1"-" a));(ii)當(dāng)a>1時(shí),方程無(wú)解.綜上,0<a≤1時(shí),z=±(-1+√(1+a))或z=±(1±√(1"-" a))i;a>1時(shí),z=±(-1+√(1+a)).2.解析　對(duì)于方程z2+5z+m=0,Δ=25-4m,若m≤25/4,則方程z2+5z+m=0的兩根為實(shí)數(shù),且|z1-z2|=√(25"-" 4m)=3,解得m=4.若m>25/4,則方程z2+5z+m=0的兩根為虛數(shù),該方程可化簡(jiǎn)為(z+5/2)^2=25/4-m,故兩根分別為z1=-5/2+√(m"-"  25/4)i,z2=-5/2-√(m"-"  25/4)i,所以|z1-z2|= 2√(m"-"  25/4)i =√(4m"-" 25)=3,解得m=17/2.3.答案　1解析　設(shè)z=x+yi(x,y∈R).∵|z|=1/2,∴x2+y2=1/4,∴|z^2 "-" z+1/4|=|(z"-"  1/2)^2 |=|z"-"  1/2|^2=(x"-"  1/2)^2+y2=1/2-x.∵-1/2≤x≤1/2,∴當(dāng)x=-1/2時(shí),|z^2 "-" z+1/4|有最大值,為1.4.解析　(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則ˉz=a-bi,代入4z+ˉz=5√3+3i,化簡(jiǎn)得5a+3bi=5√3+3i,由復(fù)數(shù)相等的定義可得{■(5a=5√3 "," @3b=3"," )┤解得{■(a=√3 "," @b=1"," )┤∴z=√3+i.(2)∵z=√3+i和ω=sin θ+icos θ在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z(√3,1)和W(sin θ,cos θ),∴|ZW|2=(√3-sin θ)2+(1-cos θ)2=-2√3sin θ-2cos θ+5=-4sin(θ+π/6)+5,∵sin(θ+π/6)∈[-1,1], ∴-4sin(θ+π/6)+5∈[1,9].∴|ZW|∈[1,3].5.答案　1解析　因?yàn)?/span>z=2i/(1+√3 i),兩邊取共軛復(fù)數(shù)得ˉz=("-" 2i)/(1"-" √3 i),所以z?ˉz=2i/(1+√3 i)?("-" 2i)/(1"-" √3 i)=4/(1+3)=1.6.解析　設(shè)(z+1)/(z"-" 1)=ai(a∈R,a≠0),則z=-(1+ai)/(1"-" ai),由|z+1|= 1-(1+ai)/(1"-" ai) = ("-" 2ai)/(1"-" ai) =(2"|" a"|" )/√(1+"(-" a")" ^2 )=1,解得a=±√3/3,所以z=-(1+ai)/(1"-" ai)=-1/2±√3/2i.7.解析　由|z-2|≤1,知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(2,0)為圓心,1為半徑的圓上及其內(nèi)部,而|z|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,顯然1≤|z|≤3.所以|z|max=3,|z|min=1.        解析　如圖所示:       (AC) ?對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z3-z1,(AB) ?對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z2-z1,(AD) ?對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z4-z1.由向量加法的幾何意義,得(AD) ?=(AB) ?+(AC) ?,∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1).∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i.∴AD的長(zhǎng)為|(AD) ?|=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2√10.

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