2020-2021學(xué)年第五章 數(shù)列本章綜合與測(cè)試精練

這是一份2020-2021學(xué)年第五章 數(shù)列本章綜合與測(cè)試精練，共16頁(yè)。試卷主要包含了下列說(shuō)法正確的是，求1+2+22+…+2n的和等內(nèi)容，歡迎下載使用。
本章復(fù)習(xí)提升易混易錯(cuò)練易錯(cuò)點(diǎn)1　對(duì)數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)而致錯(cuò)1.()下列說(shuō)法正確的是(　　)A.數(shù)列1,3,5,7與數(shù)集{1,3,5,7}是一樣的B.數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是相同的C.數(shù)列是遞增數(shù)列D.數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列易錯(cuò)點(diǎn)2　忽視數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別而致錯(cuò)2.()已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且對(duì)于任意的n∈N+,an=n2+λn恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是　　　　. 3.()設(shè)函數(shù)f(x)=數(shù)列{an}滿足an=f(n),n∈N+,且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　. 4.()已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-5n+4.當(dāng)n為何值時(shí),an有最小值?并求出其最小值.       易錯(cuò)點(diǎn)3　由Sn求an時(shí),忽略n=1的情況致錯(cuò)5.()已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=3n+2n+1,求an.      易錯(cuò)點(diǎn)4　忽視等差數(shù)列中為0的項(xiàng)致錯(cuò)6.()在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,其前n項(xiàng)和為Sn,且S10=S15,當(dāng)n取何值時(shí),Sn有最大值?并求出它的最大值.          易錯(cuò)點(diǎn)5　弄不清等比數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)致錯(cuò)7.()等比數(shù)列{an}中,a1=,q=2,則a4與a8的等比中項(xiàng)是(　　)A.±4 B.4C.± D.8.()已知數(shù)列-1,a1,a2,-4成等差數(shù)列,-1,b1,b2,b3,-4成等比數(shù)列,求的值.                9.()等比數(shù)列{an}(an>0)滿足a1-a5=90,a2-a4=36,求a5,a7的等比中項(xiàng).                    易錯(cuò)點(diǎn)6　求和時(shí)項(xiàng)數(shù)不清致錯(cuò)10.()求1+2+22+…+2n的和.         易錯(cuò)點(diǎn)7　利用等比數(shù)列求和公式時(shí)忽視q=1致錯(cuò)11.()設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且S3=3a3,求此數(shù)列的公比q.        12.()已知等比數(shù)列{an}中,a3=4,S3=12,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.      思想方法練一、整體思想在數(shù)列中的應(yīng)用1.()在等比數(shù)列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,則a99+a100=　　　　. 二、函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用2.()已知函數(shù)f(x)=2-|x|,無(wú)窮數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n∈N+.(1)若a1=0,求a2,a3,a4;(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比數(shù)列,求a1的值.       3.()已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公差d>0,且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=(n∈N+),Sn=b1+b2+…+bn,是否存在整數(shù)t,使得對(duì)任意的正整數(shù)n均有Sn>成立?若存在,求出最大的整數(shù)t;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.     三、轉(zhuǎn)化與化歸思想在數(shù)列中的應(yīng)用4.()已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+1=4an+2,a1=1.(1)設(shè)cn=,求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn.       四、分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用5.(2020安徽合肥高二期末,)已知un=an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn(a>0,b>0,n∈N+).(1)當(dāng)a=2,b=3時(shí),求數(shù)列{un}的通項(xiàng)公式;(2)若a=b,求數(shù)列{un}的前n項(xiàng)和Sn.            
答案全解全析本章復(fù)習(xí)提升易混易錯(cuò)練1.D　數(shù)列是有序的,而數(shù)集是無(wú)序的,所以A,B不正確;選項(xiàng)C中的數(shù)列是遞減數(shù)列,所以C不正確;選項(xiàng)D中的數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列,所以D正確.2.答案　(-3,+∞)解析　解法一:設(shè)f(x)=x2+λx,其圖像的對(duì)稱軸為直線x=-,因?yàn)?/span>an=n2+λn,所以點(diǎn)(n,an)在f(x)的圖像上,由數(shù)列{an}是遞增數(shù)列可知,-≤1或2--1,解得λ>-3.故λ的取值范圍為(-3,+∞).解法二:因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列,所以an+1-an>0(n∈N+)恒成立.又an=n2+λn(n∈N+),所以(n+1)2+λ(n+1)-(n2+λn)>0,即2n+1+λ>0恒成立,所以λ>-(2n+1)(n∈N+)恒成立.而n∈N+時(shí),[-(2n+1)]max=-3(n=1時(shí)),所以λ的取值范圍是(-3,+∞).3.答案　(2,3)解析　由題意得,點(diǎn)(n,an)在分段函數(shù)f(x)=的圖像上,因此當(dāng)3-a>0時(shí),a1<a2<a3<…<a7;當(dāng)a>1時(shí),a8<a9<a10<…,為使數(shù)列{an}遞增,還需a7<a8,故實(shí)數(shù)a滿足條件解得2<a<3,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3).4.解析　因?yàn)?/span>an=n2-5n+4=,n∈N+,所以當(dāng)n=2或n=3時(shí),an有最小值,其最小值為a2=a3=22-5×2+4=-2.5.解析　當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=6;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.由于a1=6不適合該式,因此an=6.解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由a1=20,S10=S15,得10×20+d,解得d=-.∵S10=S15,∴S15-S10=a11+a12+a13+a14+a15=0,∵a11+a15=a12+a14=2a13,∴a13=0.∵d<0,a1>0,∴a1,a2,…,a11,a12均為正數(shù),a14及以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù),∴當(dāng)n=12或n=13時(shí),Sn有最大值,為S12=S13=12×20+=130.7.A　依題意得a4·a8=a1q3·a1q7=(a1q5)2==42,∴a4與a8的等比中項(xiàng)為±4.8.解析　∵-1,a1,a2,-4成等差數(shù)列,∴a2-a1=[(-4)-(-1)]=-1.∵-1,b1,b2,b3,-4成等比數(shù)列,∴=(-1)×(-4)=4.設(shè)該等比數(shù)列的公比為q,則b2=(-1)q2,∴b2<0,∴b2=-2,∴.9.解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),首項(xiàng)為a1(a1>0),則由題意得解得或(舍去).設(shè)G是a5,a7的等比中項(xiàng),則應(yīng)有G2=a5a7=a1q4·a1q6==9,所以a5,a7的等比中項(xiàng)是±3.10.解析　由題知所求的是一個(gè)首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列前n+1項(xiàng)的和,所以1+2+22+…+2n==2n+1-1.11.解析　當(dāng)q=1時(shí),S3=3a1=3a3,符合題意;當(dāng)q≠1時(shí),由已知得=3a1q2,因?yàn)?/span>a1≠0,所以1+q+q2=3q2,即2q2-q-1=0,解得q=-(q=1舍去).綜上所述,公比q的值是1或-.12.解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.當(dāng)q=1時(shí),a3=4,a1=a2=a3=4,S3=a1+a2+a3=12,所以q=1符合題意,此時(shí)an=4.當(dāng)q≠1時(shí),解得q=-(q=1舍去),此時(shí)an=a3.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=4或an=.思想方法練1.答案　解析　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則,又,故a99+a100=.2.解析　(1)由an+1=f(an)得,an+1=2-|an|,∵a1=0,∴a2=2,a3=0,a4=2.(2)∵a1,a2,a3成等比數(shù)列,∴a3==2-|a2|,∴=a1·(2-|a2|),且a2=2-|a1|,∴(2-|a1|)2=a1(2-|2-|a1||),即(2-a1)2=a1(2-|2-a1|).下面分情況討論:①當(dāng)2-a1≥0,即a1≤2時(shí),(2-a1)2=a1[2-(2-a1)]=,解得a1=1;②當(dāng)2-a1<0,即a1>2時(shí),(2-a1)2=a1[2-(a1-2)]=a1(4-a1),即2-8a1+4=0,即-4a1+4=2,即(a1-2)2=2,解得a1=2+或a1=2-(舍去).綜上,a1=1或a1=2+.3.解析　(1)由題意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,整理得2a1d=d2.∵a1=1,d>0,∴d=2.∴an=2n-1(n∈N+).(2)∵bn=,∴Sn=b1+b2+…+bn=+…+=.假設(shè)存在整數(shù)t滿足Sn>總成立,又Sn+1-Sn=>0,∴數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列.∴S1=為Sn的最小值,故,即t<9.又∵t∈Z,∴滿足條件的t的最大值為8.4.解析　 (1)證法一:∵Sn+1=4an+2,①∴當(dāng)n≥2,n∈N+時(shí),Sn=4an-1+2.②①-②得an+1=4an-4an-1.對(duì)an+1=4an-4an-1兩邊同時(shí)除以2n+1,得=2·,即=2·,即cn+1+cn-1=2cn(n≥2),∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.由Sn+1=4an+2,得a1+a2=4a1+2,則a2=3a1+2=5,∴c1=,故公差d=,∴{cn}是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.證法二:同證法一,得an+1=4an-4an-1.∴an+1-2an=2an-4an-1=2(an-2an-1),令bn=an+1-2an,則{bn}是以a2-2a1=3a1+2-2a1=3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴bn=3·2n-1,∵ cn=,∴ cn+1-cn==,又c1=,∴{cn}是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)可知數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,∴+(n-1)·,∴an=(3n-1)×2n-2.Sn=(3-1)×2-1+(3×2-1)×20+…+(3n-1)×,則2Sn=(3-1)×20+(3×2-1)×21+…+(3n-4)×2n-2+(3n-1)×2n-1,∴Sn=2Sn-Sn=-1-3(20+21+…+)+(3n-1)×2n-1=-1-3×+(3n-1)×2n-1=-1+3+(3n-4)×2n-1=2+(3n-4)×2n-1.∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(3n-1)×,前n項(xiàng)和Sn=2+(3n-4)×2n-1,n∈N+.5.解析　(1)當(dāng)a=2,b=3時(shí),un=2n+2n-1×3+2n-2×32+…+2×3n-1+3n(n∈N+),等式兩邊同時(shí)除以2n,得+…+,所以-2,因此,un=3n+1-2n+1.(2)若a=b,則un=(n+1)an,所以Sn=2a+3a2+4a3+…+(n+1)an,①當(dāng)a=1時(shí),Sn=2+3+…+(n+1)=;當(dāng)a≠1時(shí),在①的等號(hào)兩邊同乘a,得到aSn=2a2+3a3+4a4+…+nan+(n+1)an+1,②①-②得(1-a)Sn=2a+a2+a3+…+an-(n+1)an+1=a+-(n+1)an+1,所以Sn=.綜上,Sn=