?41、簡單方程的解法
　　【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的過程，叫做解方程。解一元一次方程的一般步驟（或解法）是：去分母，去括號，移項，合并同類項，兩邊同除以未知數(shù)x的系數(shù)。
　　
　　解 去分母，兩邊同乘以6，得
　　3（x-9）-2（11-x）=12
　　去括號，得3x-27-22+2x=12
　　移項，得3x+2x=12+27+22
　　合并同類項，得5x=61
　　
　　【分式方程解法】分母中含未知數(shù)的方程是“分式方程”。解分式方程的一般步驟（或方法）是：
　?。?）方程兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；
　　（2）解這個整式方程；
　　（3）把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母為零的根，是原方程的增根，必須舍去。
　　
　　解 方程兩邊都乘以x（x-2），約去分母，得
　　5（x-2）=7x
　　解這個整式方程，得x=-5，
　　檢驗：當x=-5時，
　　x（x-2）=（-5）（-5-2）=35≠0，
　　所以，-5是原方程的根。
　　
　　解方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），約去分母，得
　?。▁－2）2-16＝（x+2）2
　　解這個整式方程，得x=-2。
　　檢驗：當x=-2時，（x+2）（x-2）=0，所以，-2是增根，原方程無解。



















42、加法運算定律
　　【加法交換律】兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變。這叫做“加法的交換定律”，簡稱“加法交換律”。
　　加法交換律用字母表達，可以是
　　a+b=b+a。
　　例如：864+1，236=1，236+864=2，100
　　【加法結(jié)合律】三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再和第一個數(shù)相加，它們的和不變。這叫做“加法的結(jié)合定律”，簡稱“加法結(jié)合律”。
　　加法結(jié)合律用字母表達，可以是
　　（a+b）+c=a+（b+c）。
　　例如：（48928+2735）+7265
　　=48928+（2735+7265）
　　=48928+10000
　　= 58928












43、幾何圖形旋轉(zhuǎn)
　　【長方形（或正方形）旋轉(zhuǎn)】將一個長方形（或正方形）繞其一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是“圓柱”。
　　如圖1.37，將矩形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)一周，得圓柱AB。其中AB為圓柱的軸，也是圓柱的高。BC或AC是圓柱底面圓的半徑，CD叫做圓柱的母線。

　　【直角三角形旋轉(zhuǎn)】將一個直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是“圓錐”。
　　例如圖1.38，將直角三角形ABC，繞直角邊AC旋轉(zhuǎn)一周，便形成了圓錐AC。其中AC是圓錐的軸，也是圓錐的高；CB是圓錐底面的半徑；AB叫做圓錐的母線。

　　【直角梯形旋轉(zhuǎn)】將一個直角梯形繞著它的直角腰旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體，叫做“圓臺”。
　　例如圖1.39，將直角梯形ABCD繞著它的直角腰AB旋轉(zhuǎn)一周。便形成了圓臺AB。其中，AB是圓臺的軸，也是圓臺的高，上下底AD、BC，分別是圓臺上、下底面圓的半徑，斜腰DC，是圓臺的母線。

　　【半圓旋轉(zhuǎn)】將一個半圓繞著它的直徑旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體，叫做“球”。
　　例如圖1.40，半圓繞著它的直徑AB旋轉(zhuǎn)一周，便形成了球O。原來的半圓圓心O是球心；原來半圓的半徑和直徑，分別叫做球的半徑和直徑；原來半圓的直徑也是球的軸和直徑。
　






















44、幾何圖形的計數(shù)
【點與線的計數(shù)】
　　例1如圖5.45，每相鄰的三個圓點組成一個小三角形，問：圖中是這樣的小三解形個數(shù)多還是圓點的個數(shù)多？

　?。ㄈ珖诙谩叭A杯賽”決賽試題）
　　講析：可用“分組對應法”來計數(shù)。
　　將每一排三角形個數(shù)與它的下行線進行對應比較。第一排三角形有1個，其下行線有2點；
　　第二排三角形有3個，其下行線有3點；
　　第三排三角形有5個，其下行線有4點；
　　以后每排三角形個數(shù)都比它的下行線上的點多。
　　所以是小三角形個數(shù)多。
　　例2 直線m上有4個點，直線n上有5個點。以這些點為頂點可以組成多少個三角形？
　?。ㄈ鐖D5.46）

　　（哈爾濱市第十一屆小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：本題只要數(shù)出各直線上有多少條線段，問題就好解決了。
　　直線n上有5個點，這5點共可以組成4＋3+2＋1=10（條）線段。以這些線段分別為底邊，m上的點為頂點，共可以組成4×10=40（個）三角形。
　　同理，m上4個點可以組成6條線段。以它們?yōu)榈走叄詎上的點為頂點可以組成6×5=30（個）三角形。
　　所以，一共可以組成70個三角形。
【長方形與三角形的計數(shù)】
　　例1圖5.47中的正方形被分成9個相同的小正方形，它們一共有16個頂點，以其中不在一條直線上的3點為頂點，可以構(gòu)成三角形。在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個？

　　（全國第三屆“華杯賽”復賽試題）
　　為3的三角形，或者高為2，底為3的三角形，都符合要求。
　?、俚走呴L為2，高為3的三角形有2×4×4=32（個）；
　?、诟邽?，底邊長為3的三角形有8×2=16（個）。
　　所以，包括圖中陰影部分三角形共有48個。
　　例2 圖5.48中共有______個三角形。

　　（《現(xiàn)代小學數(shù)學》）邀請賽試題）
　　講析：以AB邊上的線段為底邊，以C為頂點共有三角形6個；
　　以AB邊上的線段為底邊，分別以G、H、F為頂點共有三角形3個；
　　以BD邊上的線段為底邊，以C為頂點的三角形共有6個。
　　所以，一共有15個三角形。
　　例3 圖5.49中共有______個正方形。

　?。ā冬F(xiàn)代小學數(shù)學》邀請賽試題）
　　講析：可先來看看圖5.50的兩個圖中，各含有多少個正方形。
　　圖5.50（1）中，正方形個數(shù)是6×3＋5×2＋4×1=32（個）；
　　圖5.50（2）中，正方形個數(shù)是4×4+3×3+2×2＋1×1=30（個）
　　如果把圖5.49中的圖形，分成5×6和4×11兩個長方形，則：

　　5×6的長方形中共有正方形
　　5×6+4×5＋3×4＋2×3＋1×2=70（個）；
　　4×11的長方形中共有正方形
　　4×11+3×10+2×9＋1×8=100（個）。
　　兩個長方形相交部分4×5的長方形中含有正方形
　　4×5+3×4＋2×3＋1×2=40（個）。
　　所以，原圖中共有正方形70＋100-40=130（個）。
　　例4 平面上有16個點，排成一個正方形。每行、每列上相鄰兩點的距離都相等[如圖5.51（1）]，每個點上釘上釘子。以這些點為頂點，用線將它們圍起來，一共可圍成______個正方形。
　?。ā缎W生科普報》奧林匹克通訊賽試題）

　　講析：能圍成圖5.51（2）的正方形共14（個）；
　　能圍成圖5.51（3）的正方形共2（個）；
　　能圍成圖5.51（4）的正方形共4（個）。
　　所以，一共可圍成正方形20個。

【立體圖形的計數(shù)】
　　例1 用125塊體積相等的黑、白兩種正方體，黑白相間地拼成一個大正方體（如圖5.52）。那么，露在表面上的黑色正方體的個數(shù)是_______。

　　（1991年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）
　　講析：本題要注意不能重復計數(shù)。
　　八個頂點上各有一個黑色正方體，共8個；
　　每條棱的中間有一個黑色正方體，共12個；
　　除上面兩種情況之外，每個面有5個黑色正方體，共5×6=30（個）。
　　所以，總共有50個黑色正方體露在表面上。
　　例2 把1個棱長為3厘米的正方體分割成若干個小正方體，這些小正方體的棱長必須是整數(shù)。如果這些小正方體的體積不要求都相等，那么，最少可以分割成______個小正方體。
　　（北京市第九屆“迎春杯’小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：若分成｜×××｜的小正方體，則共可分成27個。
　　但是分割時，要求正方體盡可能地少，也就是說能分成大正方體的，盡可能地分。則在開始的時候，可分出一個2×2×2的正方體（如圖5.53），余下的都只能分成1×1×1的正方體了。
　　所以，最少可分成20個小正方體。

























45、幾何體側(cè)面展開
　　【正棱柱、圓柱側(cè)面展開】正棱柱（底面是正多邊形，側(cè)棱與底面垂直的棱柱）和圓柱的側(cè)面展開，攤在同一個平面上，是一個矩形。矩形的上、下對邊，是柱體上、下底面的周長；矩形左右兩對邊，是柱體的側(cè)棱或母線。
　　例如圖1.41，將正六棱柱ABCDEF—A払扖扗扙扚捈霸倉鵒O挼牟嗝嬲箍?，摊灾I黃矯嬪希慍閃司匭蜛1A抇1A抇2A2。圖中畫出的是棱柱側(cè)面展開圖。圓柱側(cè)面展開后，也是一矩形，只是中間沒有那些虛線。%

　　【正棱錐側(cè)面展開】正n棱錐（底面為正n邊形，頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐）側(cè)面展開，攤在同一平面上，是頂點公共、腰與腰相連的n個全等的等腰三角形。
　　例如圖1.42，將正三棱錐S—ABC的側(cè)面展開，攤在同一個平面上，便形成了三個全等的等腰三角形SAB、SBC和SCA捪嗔耐夾?。_
　
　　【圓錐側(cè)面展開】圓錐側(cè)面展開，攤在同一個平面上，變成的是一個扇形。扇形的弧長是圓錐底面圓的周長，扇形的兩條半徑，是圓錐的母線。
　　例如圖1.43，將圓錐SO的側(cè)面展開，攤在同一個平面上，便成了扇形

徑SA、SA挼募薪鉛瓤砂聰旅嫻氖階蛹撲悖篲
　　
　　式中r是圓錐底面圓半徑，l是圓錐母線的長。
　
　　【正棱臺側(cè)面展開】正n棱臺（用一平行于正n棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面間的幾何體）側(cè)面展開，攤在同一個平面上，得到的是n個全等的等腰梯形，并且腰腰相連。
　　例如圖1.44，將正三棱臺ABC—A払扖挼牟嗝嬲箍?，摊灾I黃矯嬪希閾緯閃爍猛加冶叩耐夾瘟恕

　　【圓臺側(cè)面展開】圓臺側(cè)面展開，攤在同一個平面上的圖形，是圓環(huán)的一部分，叫做“扇環(huán)”。這個扇環(huán)像梯形，它的兩“腰”是圓臺的母線，它的上、下“底”是兩條弧，其弧長分別是圓臺上、下底面圓的周長。
　　例如圖1.45，將圓臺O1O2的側(cè)面展開，攤在同一個平面上，就形成了
　
　
　





46、幾何公式
　　【平面圖形計算公式】一般的平面圖形計算公式，如下表。
　
　
　　【立體圖形計算公式】
　　(1)柱體公式。
　

　?。?）錐體公式。
　　正n棱錐（如圖1．13）的公式：
　　
　　圓錐的公式（圓錐如圖1．14所示）：
　
　　　

　?。?）棱臺、圓臺公式。

　　正n棱臺（如圖1．15）的公式：
　　
　　圓臺（如圖1．16）的公式：

　　　
　?。?）球的計算公式。
　　球的圖形如圖1．17所示。

　　S表=4πr2；
　　
　　附錄：其他常用公式
　　【整數(shù)約數(shù)個數(shù)公式】一個大于1的整數(shù)，約數(shù)的個數(shù)等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中，每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)（指數(shù)）加1的連乘積。
　　例如，求4500的約數(shù)個數(shù)。
　　解 ∵4500=22×32×53
　　∴4500的約數(shù)個數(shù)是
　　（2+1）×（2+1）×（3+1）=36（個）。
　　【約數(shù)之和的公式】一個大于1的自然數(shù)N，將它分解質(zhì)因數(shù)為

為自然數(shù)，則N的所有約數(shù)的和為S（N），可用下列公式計算：
　　
　　例如 求1992的所有約數(shù)的和。
　　解 S（1992）=S（23×31×831）
　　
　　=5040．
　　【分數(shù)拆項公式】在奧賽中，為使計算簡便，經(jīng)常用到下面四個分數(shù)拆項公式：
　?。?）連續(xù)兩個自然數(shù)積的倒數(shù)，可拆成較小的自然數(shù)的倒數(shù)，減去較大的自然數(shù)的倒數(shù)。即
　　　
　?。?）連續(xù)三個自然數(shù)的積的倒數(shù)，可拆成前兩個自然數(shù)的積的倒數(shù)，減去后兩個自然數(shù)的積的倒數(shù)的差的一半。即
　　
　?。?）連續(xù)四個自然數(shù)的積的倒數(shù)，可拆成前三個自然數(shù)的積的倒數(shù)，
　　
　　（4）一般分數(shù)拆項公式。當n、d都是自然數(shù)時，有
　　
　　【堆垛計算公式】
　?。?）三角形堆垛。計算每堆三角形物體總個數(shù)S時，可將底邊個數(shù)”乘以（n+1）再乘以（n+2），然后除以6。用式子表示就是
　　　
　　例如，“一些桔子堆成三角形堆垛，底邊每邊4個，頂尖1個（如圖1．18）。桔子總數(shù)是多少個？”

　　解 依據(jù)三角形堆垛公式，得
　　
　　=20（個）。
　?。?）正方形堆垛。計算底層為正方形的堆垛物體總個數(shù)S時，可將底邊個數(shù)n乘以底邊數(shù)加0．5的和，再乘以底邊個數(shù)加1的和，最后將乘積除以3。用式子表示，就是
　　
　　例如，“一些蘋果堆成正方形堆垛（如圖1．19），底層每邊放4個，頂尖放一個。蘋果總數(shù)是多少個？”

　　解 依據(jù)公式，得
　　　　
　　（3）長方形堆垛。計算底層為長方形（近似于橫放的三棱柱形，圖1．20。）的堆垛物體的總個數(shù)S時，可將底層寬邊的個數(shù)n1，長邊的個數(shù)n2，按照下面的公式計算：

　　
　　例如，“有一盤饅頭，底邊寬5個，長邊上放8個，如圖1．20所示，這盤饅頭共有多少個？”
　　解 此題中，n1=5，n2=8。依據(jù)長方形堆垛公式，得
　　
　　=45+55=100（個）
　　或者是
　　　　
　　（4）梯形堆垛。計算梯形的堆垛（近似于棱臺形堆垛）物體總個數(shù)S時，可將最上層總數(shù)S1，加上最下層總數(shù)S2后，乘以層數(shù)n，再除以2。（梯形堆垛如圖1．21所示。）用式子表示就是
　　
　　例如，“一些酒壇，堆成梯形的堆垛（圖1．21），最上層為32只，最下層為45只，共堆有14層（每層差1只）。酒壇的總數(shù)是多少只？”

　　解 依計算公式，得
　　
　　【數(shù)線段條數(shù)的公式】若線段AB上共有n個分點（不包括A、B端點），則AB線段上共有的線段條數(shù)S，計算的公式是：
　　S=（n+1）+n+（n-1）+…+3+2+1
　　
　　例如，求下圖（圖1．22）中所有線段的條數(shù)。

　　解 在線段AB上，共有五個分點。根據(jù)數(shù)線條數(shù)的公式，得
　　S=（5+1）+5+4+3+2+1
　　
　　注意：這一公式，還可以用來數(shù)形如圖1．23的三角形個數(shù)。

　　在這個圖形中，因為底邊BC上有4個分點，可依據(jù)數(shù)線段條數(shù)的計算公式，得三角形的個數(shù)為
　　
　　【數(shù)長方形個數(shù)的公式】若長方形的一邊有m個小格，另一邊有n個小格，那么這個圖形中長方形的總個數(shù)S為
　　S=（m+m-1+m-2+……+3+2+1）×（n+n-1+n-2+……+3+2+1）
　　
　　例如，請數(shù)出下圖1．24中共有多少個不同的長方形。

　　解 長方形ABCD長邊上有6個小格，寬邊上有4個小格。根據(jù)數(shù)長方形總數(shù)的公式，可得
　　
　　=21×10=210（個）。（答略）
　　注意：這一公式，還可以用來數(shù)形如圖1．25中的梯形的個數(shù)。

　　顯然，這個圖形中除了△ADE以外，其余均為大大小小的梯形。
　　最大的梯形下底上有五個小格，腰邊上有4個小格。利用數(shù)長方形個數(shù)的計算公式，可得梯形的總個數(shù)S為
　　
　　=15×10=150（個）。（答略）
　　【數(shù)正方形個數(shù)的公式】若一個長方形的長被分成了m等份，寬被分成了n（n＜m）等份（長和寬上的每一份長度是相等的），那么這個長方形中的正方形總數(shù)S為：
　　S=mn+（m-1）(n-1)+（m-2）(n-2）+……+（m-n+1）×1
　　特殊的，當一個正方形的邊長被分成n等分時，則這個圖形中正方形的總個數(shù)S為：
　　
　　例1 求下圖中正方形的總個數(shù)（如圖1．26）。

　　解 圖中AB邊上有7個等分，AD邊上有3個等份。根據(jù)在長方形中數(shù)正方形個數(shù)的公式，可得：
　　S＝7×3+6×2+5×1
　　=21+12+5
　　=38（個）。（答略）
　　例2 求下圖（圖1．27）中的正方形有多少個。

　　解 圖形中正方形每邊上有4等分。根據(jù)數(shù)正方形個數(shù)的計算公式，得
　　
　?。ù鹇裕?br /> 　　【平面內(nèi)n條直線最多分平面部
　　分數(shù)的公式】平面內(nèi)有n條直線，其中注意兩條直線都不平行，每條直線都與其他直線相交，且不交同一點。那么，這幾條直線將平面劃分的部分數(shù)S為
　　
　　例 平面內(nèi)有8條直線，它們彼此都相交，但不交于同一點，求這8條直線能把平面劃分出多少個部分？
　　解 根據(jù)平面內(nèi)n條直線，最多分平面部分數(shù)的計算公式，得
　　S=2+2+3+4+5+6+7+8
　　
　　【n個圓將平面分成最多的部分數(shù)公式】若平面上有n個圓，每個圓都與其他圓相交，且不交于同一點，那么這個圓將平面劃分的最多的部分數(shù)S為
　　S=2+1×2+2×2+…+（n-1）×2
　　=n2-n+2
　　例 在一個平面上有20個圓，這20個圓最多可將平面劃分為多少個部分？
　　解 根據(jù)平面內(nèi)n個圓將平面劃分成最多的部分數(shù)的計算公式，可得
　　S=2+1×2+2×2+…+19×2
　　=202-20+2
　　=400-20+2
　　=382（塊）（答略）
　　【格點面積公式】
　　每個小方格的面積都是1個面積單位的方格紙上，縱橫兩組平行線的交點，叫做“格點”，這樣的方格紙，叫做“格點平面”。
　　在格點平面上求圖形的面積，可以按照上面的公式去計算：
　　圖形面積=圖形內(nèi)部格點數(shù)+圖形周界上的格點數(shù)÷2-1。
　　例 如圖1．28，求格點平面內(nèi)A、B兩個圖形的面積。

　　解 A圖內(nèi)部無格點，B圖內(nèi)部有9個格點；
　　A圖周界上有9個格點，B圖周界上有7個格點。
　　根據(jù)格點面積公式，得：
　　A圖面積=9÷2-1=3.5（面積單位）
　　B圖面積=（9+7）÷2-1=11．5（面積單位）（答略）
　　如果格點是由形如“∴”或“∵”構(gòu)成（如圖1．29），且每相鄰的三點所形成的三角形面積為1的等邊三角形，則計算多邊形面積公式為
　　多邊形面積=2×圖形內(nèi)部格點數(shù)+圖形周界上格點數(shù)-2。







47、幾何公理、定理或性質(zhì)
　　【直線公理】經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線。
　　【直線性質(zhì)】根據(jù)直線的公理，可以推出下面的性質(zhì)：
　　兩條直線相交，只有一個交點。
　　【線段公理】在所有連結(jié)兩點的線中，線段最短。（或者說：兩點之間線段最短。）
　　【垂線性質(zhì)】
　?。?）經(jīng)過一點，有一條而且只有一條直線垂直于已知直線。
　?。?）直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中，垂線段最短。（也可以簡單地說成：垂線段最短。）
　　【平行公理】經(jīng)過直線外一點，有一條而且只有一條直線和這條直線平行。
　　【平行公理推論】如果兩條直線都和第三條直線平行，那么，這兩條直線也相互平行。
　　【有關平行線的定理】
　?。?）如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行。
　?。?）如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么，這條直線也和另一條垂直。
　　【三角形的特性】三角形有不變形的特性，一般稱其為三角形的穩(wěn)定性。由于三角形有這一特性，所以在實踐中它有廣泛的應用。
　　【三角形的性質(zhì)】三角形的性質(zhì)（或定理及定理的推論），一般有：
　?。?）三角形任意兩邊的和大于第三邊；三角形任意兩邊的差小于第三邊。
　　（2）三角形三內(nèi)角之和等于180°。
　　由三角形上述第（2）條性質(zhì)，還可以推出下面的兩條性質(zhì)：
　?、偃切蔚囊粋€外角，等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。如圖1.1，∠4=∠1+∠2。
　?、谌切蔚囊粋€外角，大于任何一個同它不相鄰的內(nèi)角。如圖1.1，
　　∠4＞∠1，∠4＞∠2。

　　【勾股定理】在直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。
　　用字母表達就是a2+b2=c2。（a、b表直角邊長，c表斜邊長。）
　　我國古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一條直角邊叫做“股”，另一條直角邊叫做“勾”，斜邊叫做“弦”。所以我國將這一定理稱為“勾股定理”。
　　勾股定理是我國最先發(fā)現(xiàn)的一條數(shù)學定理。而古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯（Pythagoras）較早地證明了這個定理。因此，國外常稱它為“畢達哥拉斯定理”。
　　【平行四邊形的性質(zhì)】
　?。?）平行四邊形的對邊相等。
　?。?）平行四邊形的對角相等。
　　（3）平行四邊形鄰角的和是180°。如圖1.2，∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°。
　?。?）平行四邊形的對角線互相平分。如圖1.2，AO=CO，BO=DO。
　　平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是對稱中心。

　　【長方形的性質(zhì)】
　　長方形除具有平行四邊形的性質(zhì)以外，還具有下列性質(zhì)：
　?。?）長方形四個角都是直角。
　?。?）長方形對角線相等。
　　長方形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。它每一組對邊中點的連線，都是它的對稱軸。
　　【菱形的性質(zhì)】菱形除具有平行四邊形的性質(zhì)以外，還具有下列性質(zhì)：
　　（1）菱形的四條邊都相等。
　?。?）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。例如圖1.3，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。

　　菱形是中心對稱圖
　　形，也是軸對稱圖形，它每一條對角線都是它的對稱軸。
　　【正方形的性質(zhì)】正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。
　　【多邊形內(nèi)角和定理】n邊形的內(nèi)角的和，等于（n-2）·180°。（又稱“求多邊形內(nèi)角和”的公式。）
　　例如三角形（三邊形）的內(nèi)角和是
　?。?-2）×180°=180°；
　　四邊形的內(nèi)角和是
　?。?-2）×180°=360°。
　　【多邊形內(nèi)角和定理的推論】
　?。?）任意多邊形的外角和等于360°。
　　這是因為多邊形每一個內(nèi)角與它的一個鄰補角（多邊形外角）的和為180°，所以，n邊形n個外角的和等于n·180°-（n-2）·180°=360°。
　?。?）如果一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補。
　　例如圖1.4，∠1的兩邊分別垂直于∠A的兩邊，則∠1+∠A=180°，即∠1與∠A互補。

　　又∠2、∠3、∠4的兩邊也分別垂直于∠A的兩邊，則∠3和∠A也互補，而∠2=∠A，∠4=∠A。
　　【圓的一些性質(zhì)或定理】
　　（1）半徑相等的兩個圓是等圓；同圓或等圓的半徑相等。
　?。?）不在同一直線上的三個點確定一個圓。
　　（3）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。
　?。?）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。
　　（5）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。
　　【軸對稱圖形的性質(zhì)】軸對稱圖形具有下面的性質(zhì)：
　?。?）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對應點的連結(jié)線段被對稱軸垂直平分。
　　例如圖1.5，圖中的AA′對稱點連結(jié)線段，被對稱軸L垂直且平分，即L⊥AA′，AP=PA′。

　?。?）兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或其延長線相交，那么，交點在對稱軸上。
　　例如圖1.5中，BA與B′A′的延長線相交，交點M在對稱軸L上。
　　（3）兩個關于某直線對稱的圖形，一定是全等形。
　　例如，圖1.5中△ABC與△A′B′C′全等。
　　【中心對稱圖形的性質(zhì)】如果把一個圖形繞著一個點旋轉(zhuǎn)180°后，它和另一個圖形重合，那么，這兩個圖形就是關于這個點的“中心對稱圖形”。
　　中心對稱圖形具有以下性質(zhì)：
　　（1）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。
　　例如，圖1.6中對稱點A與A′，B與B′，C與C′，它們的連線都經(jīng)過O（對稱中心），并且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′。

　?。?）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。




48、和差積商的變化規(guī)律
　　【和的變化規(guī)律】
　　（1）如果一個加數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，另一個加數(shù)不變，那么它們的和也增加（或減少）同一個數(shù)。用字母表達就是
　　如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d；
　?。╝-d）+b=c-d。
　?。?）如果一個加數(shù)增加一個數(shù)，另一個加數(shù)減少同一個數(shù)，那么它們的和不變。用字母表達就是
　　如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。
　　【差的變化規(guī)律】
　?。?）如果被減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，減數(shù)不變，那么，它們的差也增加（或減少）同一個數(shù)。用字母表達，就是
　　如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d，
　?。╝-d）-b=c-d。
　?。╝＞d+b）
　　（2）如果減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，被減數(shù)不變，那么它們的差反而減少（或增加）同一個數(shù)。用字母表達，就是
　　如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（a＞b+d），
　　a-（b-d）=c+d。
　　（3）如果被減數(shù)和減數(shù)都增加（或都減少）同一個數(shù)，那么，它們的差不變。用字母表達，就是
　　如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c，
　?。╝-d）-（b-d）=c。
　　【積的變化規(guī)律】
　?。?）如果一個因數(shù)擴大（或縮?。┤舾杀?，另一個因數(shù)不變，那么，它們的積也擴大（或縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。用字母表達，就是
　　如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，
　　（a÷n）×b=c÷n。
　　（2）如果一個因數(shù)擴大若干倍，另一個因數(shù)縮小同樣的倍數(shù)，那么它們的積不變。用字母表達，就是
　　如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，
　　或（a÷n）×（b×n）=c。
　　【商或余數(shù)的變化規(guī)律】
　?。?）如果被除數(shù)擴大（或縮?。┤舾杀?，除數(shù)不變，那么它們的商也擴大（或縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。用字母表達，就是
　　如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，
　?。╝÷n）÷b=q÷n。
　?。?）如果除數(shù)擴大（或縮?。┤舾杀?，被除數(shù)不變，那么它們的商反而縮?。ɑ驍U大）同樣的倍數(shù)。用字母表達，就是
　　如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n，
　　a÷（b÷n）=q×n。
　?。?）被除數(shù)和除數(shù)都擴大（或都縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，那么它們的商不變。用字母表達，就是
　　如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q，
　　（a÷n）÷（b÷n）=q。
　　（4）在有余數(shù)的除法中，如果被除數(shù)和除數(shù)都擴大（或都縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，不完全商雖然不變，但余數(shù)卻會跟著擴大（或縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。
　　這一變化規(guī)律用字母表示，就是
　　如果a÷b=q（余r），
　　那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），
　?。╝÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。
　　例如，84÷9=9……3，
　　而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2），
　?。?4÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。


49、估值計算
　　【精確度計算】
　　例1 計算12345678910111213÷3l21l10l98765432l，它小數(shù)點后面的前三位數(shù)字是______。
　?。?991年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）
　　講析：被除數(shù)和除數(shù)都有17位數(shù)，直接去除是極麻煩的。我們不妨將被除數(shù)和除數(shù)作適當?shù)姆趴s，再去進行解答：
　　原式的值＞1234÷3121=0.3953……
　　原式的值＜1235÷3122=0.3955……
　　所以，答案是3、9、5。
　　例2 以下四個數(shù)中有一個是304×18.73的近似值，請你估算一下，找出這個數(shù)。
　?。?）570，（2）5697，（3）56967，（4）569673。
　?。?989年日本小學數(shù)學總體評價測驗題）
　　講析：在做近似數(shù)的乘除法時，先要估算結(jié)果的粗略值。
　　18.73接近20，304接近300，300×20=6000，可知，乘積在6000左右。所以，答案是5697。
　　【整數(shù)部分的估算】
　　
　?。?990年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）
　　講析：
　　
　　
　　所以，整數(shù)部分是517。
　　
　?。ㄈ珖谌龑谩叭A杯賽”復賽試題）
　　講析：將分母運用擴縮法進行估算，可得
　　
　　
　　
X，那么，與X最接近的整數(shù)是______。
　?。?992年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）
　　講析：可將整數(shù)部分與分數(shù)部分分開計算，得
　　　　
　　答案是25。
　　例4 已知
　　
　　問a的整數(shù)部分是多少？
　?。ㄈ珖诙谩叭A杯賽”決賽第一試試題）
　　講析：本題計算較繁。可先將分子變成兩大部分，其中一部分與分母相同，另一部分不同。
　　　　
　　所以，a的整數(shù)部分是101。
　　
　　果取每個數(shù)的整數(shù)部分，并將這些整數(shù)相加，那么， 這些整數(shù)之和是_______。
　?。?990年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）
　　講析：解題的關鍵是要找出從哪一個數(shù)開始，整數(shù)部分是2。
　　
本身），整數(shù)部分都是1。在此以后的數(shù)，整數(shù)部分都是2。故答案是49。
　　
大于3，至少要選______個數(shù)。
　　（1989年全國小學數(shù)學奧林匹克復賽試題）
　　講析：要使選的個數(shù)盡量少，所選的數(shù)必須盡量大。由此可得












50、根據(jù)和、差、積、商變化規(guī)律速算
　　【根據(jù)和的變化規(guī)律速算】和的變化規(guī)律有以下兩條。
　　（1）如果一個加數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，另一個加數(shù)不變，那么它們的和也增加（或減少）同一個數(shù)。
　　利用這一規(guī)律，可以使計算簡便、快速。例如
　　645+203=645+200+3
　　=845＋3
　　=848
　　397＋468=400＋468-3
　　=868-3
　?。?）如果一個加數(shù)增加一個數(shù)，另一個加數(shù)減少同一個數(shù)，那么它們的和不變。
　　利用這一規(guī)律，也可以使計算簡便、快速。例如
　　657＋309=（657+9）＋（309-9）
　　=666+300
　　=966
　　154＋286=（154—4）+（286＋4）
　　=150＋290
　　=（150-10）＋（290＋10）
　　=140＋300
　　=440
　　【根據(jù)差的變化規(guī)律速算】差的變化規(guī)律有如下三條。
　?。?）如果被減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，那么它們的差也增加（或減少）同一個數(shù)。
　　運用這一規(guī)律的速算，如
　　804—355=800—355＋4
　　=445＋4
　?。?49
　　593—264=600—264—7
　　=336—7
　　=329
　?。?）如果減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，被減數(shù)不變，那么它們的差反而減少（或增加）同一個數(shù)。
　　運用這一規(guī)律的速算，如
　　675—298=675—300＋2
　　=375＋2
　　=377
　　458—209=458—200—9
　　=258—9
　　=249
　　（3）如果被減數(shù)和減數(shù)都增加（或都減少）同一個數(shù)，那么它們的差不變。
　　運用這一規(guī)律的速算，如
　　3520—984=（3520＋16）-（984＋16）
　　=3536—1000
　　=2526
　　803—345=（803—3）-（345—3）
　　=800—342
　　=458
　　【根據(jù)積的變化規(guī)律速算】積的變化規(guī)律有如下兩條。
　　（1）如果一個因數(shù)擴大（或者縮?。┤舾杀叮硪粋€因數(shù)不變，那么它們的積也擴大（或者縮小）同樣的倍數(shù)。
　　運用這一規(guī)律的速算，如
　　175×4=（25×7）×4
　　=[（25×7）÷25]×4×25
　　=7×4×25
　　=7×（4×25）
　　=700
　　68×25＝68×100÷4
　　=6800÷4
　　=1700
　?。?）如果一個因數(shù)擴大若干倍，另一個因數(shù)縮小同樣的倍數(shù)，那么它們的積不變。
　　運用這一規(guī)律速算，如
　　240×25=（240÷4）×（250×4）
　　=60×1000
　　=60000
　　45×14=（45×2）×（14÷2）
　　=90×2
　　=180
　　【根據(jù)商的變化規(guī)律速算】商的變化規(guī)律，有如下三條：
　?。?）如果被除數(shù)擴大（或者縮?。┤舾杀?，除數(shù)不變，那么它們的商也擴大（或者縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。
　　運用這一規(guī)律速算，如
　　5400÷9=（5400÷100）÷9×100
　　=54÷9×100
　　=6×100
　　=600
　?。?）如果除數(shù)擴大（或者縮?。┤舾杀叮怀龜?shù)不變，那么它們的商反而會縮小，（或者擴大）同樣的倍數(shù)。
　　運用這一規(guī)律速算，如
　　3600÷25＝3600÷（25×4）×4
　　=3600÷100×4
　　=36×4
　　=144
　　（3）被除數(shù)和除數(shù)都擴大（或者都縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，它們的商不變。
　　運用這一規(guī)律速算，如
　　690000÷23000=（690000÷1000）÷（23000÷1000）
　　=690÷23
　　=30
　　12000÷25=（12000×4）÷（25×4）
　　=48000÷100
　　=480
　　注意：在有余數(shù)的除法里，如果被除數(shù)和除數(shù)都擴大（或者都縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，不完全商雖然不會變化，但余數(shù)會跟著擴大（或者縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。要使余數(shù)不變，所得的余數(shù)必須縮?。ɑ蛘邤U大）同樣的倍數(shù)。

　　









51、割補、拼接、截割
　　【割補】在數(shù)學中，把圖形的某個部分割下，補到某一個新的位置，往往可以使新的圖形，更便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系，從而較快地解答出數(shù)學題目。
　　例如，在圖4.38中，三個圓的面積都是12.56平方厘米，且三個圓兩兩相交，三個交點都是圓心，求三塊陰影部分的面積。

　　從表面上看，題目是無法解答的。但只要仔細觀察就能發(fā)現(xiàn)，根據(jù)軸對稱性及割補方法，題目可作如下的解答：
　　如圖4.39，將圖形1翻折到圖形2的位置；再將圖形3和4割下來，合并在一起，補到圖形5的位置上。于是，原來的陰影部分就正好拼成了一個半圓。所以，三塊陰影部分的面積是12.56÷2=6.28（平方厘米）

　　【拼接，截割】
　　（1）平面圖形的拼接、截割。
　　拼接和截割，是兩個相反的過程。平面圖形的拼接是把兩個或兩個以上的圖形拼接在一起；平面圖形的截割，是把一個圖形截割成兩個或兩個以上的圖形。
　　平面幾何圖形拼接或截割以后，面積和周長的變化有以下規(guī)律：
　?、賰蓚€或兩個以上的圖形拼接成一個新的幾何圖形，它的面積等于原來若干個幾何圖形的面積之和；而周長卻會比原圖形周長之和要短。如果拼接部分的總長度為a，那么拼接后減少的周長就是2a。
　　②把一個平面幾何圖形截割以后，各小塊圖形的面積之和，等于原圖形的面積；但截割后各小塊幾何圖形的周長之和，要比原圖形的周長要長。若所有截割部分長度為a，那么截割后增加的長度就是2a。
　　依據(jù)這一規(guī)律，可快速地解答一些幾何問題。例如，如圖4.40，正方形被均分為大小、形狀完全相同的三個長方形，每個長方形周長都是48厘米，求正方形的周長。

　　解題時，可以把大正方形看成是三個小長方形拼接而成的，三個小長方形的拼接部分，都是小長方形的長，長度等于大正方形的“邊長”。拼接以后的圖形（大正方形）的周長，比原來的三個小長方形的周長之和，要減少4個“邊長”，而這4個“邊長”正好相當于大正方形的周長。這就是說，三個小長方形的周長之和里，剛好包含有兩個大正方形的周長。所以，正方形的周長是
　　48×3÷2
　　=144÷2
　　=72（厘米）
　　（2）立體圖形的拼接、截割。立體幾何圖形拼接或截割以后，它的體積和表面積的變化，有以下規(guī)律：
　　①兩個或兩個以上的幾何體，拼接成一個新幾何體以后，它的體積等于原來若干個幾何體體積之和；但是它的表面積卻比原來若干個幾何體的表面積之和要小。如果重疊部分為S，那么減少的面積就是2S。
　?、诎岩粋€幾何體截割以后，各部分的體積之和等于原幾何體體積；但截割后的表面積之和，卻大于原幾何體的表面積。如果其中的截割面積為S，那么，增加的表而積就是2S。
　　依據(jù)這一規(guī)律，可以較快地解答出某些題目。例如，如圖4.41，把一個棱長為5厘米的正方體木塊鋸成兩個形狀大小完全相同的長方體（不計損耗），表面積會增加多少平方厘米？

　　因為正方體木塊的截割面積為5×5=25（平方厘米），依據(jù)上面的規(guī)律可知，表面積會增加
　　25×2=50（平方厘米）
　　又如，把長10厘米、寬6厘米、高5厘米的長方體木塊截成形狀、大小相同的兩個長方體，表面會增加多少平方厘米？
　　由于此題未交代從何處下手截割，所以要分三種情況來解答題目。

　　①如圖4.42左圖的截法，表面積會增加。
　　5×6×2=30×2=60（平方厘米）
　?、谌鐖D4.42中圖的截法，表面積會增加。
　　10×6×2=60×2=12（平方厘米）
　?、廴鐖D4.42右圖的截法，表面積會增加
　　10×5×2=50×2=100（平方厘米）















52、改變運算種類
　　在四則運算中，改變原題的運算種類，如以乘代加、以加代減、以加代乘、以減代除……，往往可使一些題目的計算變得比較簡便、快速。
　　【以乘代加】幾個加數(shù)雖然不同，但數(shù)字大小比較接近的時候，可以選擇一個數(shù)作“基準數(shù)”，采用“以乘代加”的方法速算。例如
　　（1）17＋18＋16＋17＋14+19＋13+14
　　解題時，可以選擇17為基準數(shù)，以乘代加解答如下。
　　17＋18+16＋17＋14+19+13＋14
　　=17×8＋1-1-3＋2-4-3
　　=17×8-8
　　=128
　　（2） 325＋324＋318＋327＋323＋320
　　解題時，可以選取323作為基準數(shù)，然后解答。
　　325+324＋318+327＋323＋320
　　=323×6+2＋1-5+4-3
　　= 323×6+（2＋1＋4）-（5＋3）
　　=323×6＋7-8
　　=323×6-1
　　=1937
　　運用基準數(shù)以乘代加速算，對于一些隨報隨記而且數(shù)字又很接近的連加運算，是極為方便、快速的，它的算法可以是：
　　選定一個數(shù)作基準數(shù)，把比基準數(shù)多的記“十”，比基準數(shù)少的記“一”，隨報隨算它的累計數(shù)。當要加的數(shù)報完后，結(jié)果也就計算出來了。
　　例如，某組10個同學某次數(shù)學考試分數(shù)如下：
　　72；71；70；68；74；69；73；67；70；73。
　　計算時，可選擇70分作基準數(shù)。計算過程可如下表所示（實際計算時只需要算出累計數(shù)就行了）：

　　所以，這組同學這次考試成績的總分數(shù)是
　　70×10＋7=707（分）
　　【以加代減】為說明問題，先看一個實際問題：
　　“某人去商店購物，需要付款4.65元。他交給售貨員10元，應找回多少錢？”
　　很明顯，這是個減法算題，應該用10—4.65=5.35（元）去求答案?？墒窃谡义X的時候，售貨員一般不做減法，而是采用“前位湊九，末位湊十”的加法運算，得 5.35與4.65能湊成10，從而得出要找的錢數(shù)是5.35元。這是為什么呢？
　　因為做減法會產(chǎn)生連續(xù)退位的問題，而用加法湊整，可以通過“前位九，末位十”的辦法口算。達到正確、快速、簡便地求差的目的。
　　凡是整百、整千、整萬……減去一個數(shù)，都可以用“以加代減”的方法——“前位湊九，末位湊十”，去迅速地求差。請看下面的兩個例子，特別是看一看列出的豎式：
　?。?） 1000—675=325

　　(2)50000-3672=46328

　　【添0折半】一個數(shù)乘以5，可以看成是先乘以10再除以2。一個數(shù)乘以10非常簡便，只要在這個數(shù)的末尾添個0；再除以2，也很容易口算。這種添0后再除以2的方法，叫做“添0折半法”。它也改變了原題的運算種類。例如
　?。?）486×5
　　＝4860÷2
　　=2430
　?。?）4.37×5
　　=43.7÷2
　　=21.85
　　【添0退減原數(shù)】一個數(shù)乘以9，就是乘以10—1。根據(jù)一個數(shù)乘以兩數(shù)之差的分配性質(zhì)，一個數(shù)乘以9，可以在這個數(shù)的末尾添一個0，再退一位減去原數(shù)，所得的就是所要求的積。這種方法，可稱為“添0退減原數(shù)法”。例如
　　396×9
　　=3960-396
　　=3564
　　（退減原數(shù)可看式口算?？词娇谒悴皇炀殨r，可從低位減起，熟練之后可從高位減起，一下子就可直接寫出得數(shù)。）
　　【添0折半加原數(shù)】一個數(shù)乘以6，可以看成是乘以（5＋1）。運用乘法分配律，可以用這個數(shù)分別乘以5和1，再求兩個積之和。一個數(shù)乘以5，可以用“添0折半法”，加上這個數(shù)與1的積，就是加上原數(shù)。所以這種速算方法可稱之為“添0折半加原數(shù)法”。例如
　　6489×6
　　=64890÷2+6489
　　=32445＋6489
　　=38934
　　這種方法還可以推廣到一個數(shù)乘以7中去。不過，乘以7就必須是“添0折半加原數(shù)的2倍”了。
　　例如
　　2436×7
　　=24360÷2＋4872
　　=12180+4872
　　=17052
　　234.2×7
　　=2342÷2+468.4
　　=1171＋468.4
　　=1639.4
　　【以加代乘】“以加代乘”又可以稱之為“添0加原數(shù)”。例如
　　720×11
　　=7200＋720
　　=7920
　　67203×11
　?。?72030＋67203
　　=739233
　　這種方法還可以推廣到一個數(shù)乘以12的計算中去。不過，一個數(shù)乘以12，需要添0加原數(shù)的2倍。例如：
　　623×12
　　=6230+1246
　　=7476
　　【原數(shù)加半，加半定積】如果一個數(shù)乘以1.5，也就是乘以（1＋0.5），那么根據(jù)乘法分配律，只要把這個數(shù)加上它的一半就可以了。這時，原來的乘法也可以改用加法來代替。例如
　　48×1.5
　　=48×（1＋0.5）
　　=48+24（48的一半）
　　=72
　　顯然，“原數(shù)加半”的方法速算乘法，也是“以加代乘”的一種方法。
　　這種“原數(shù)加半”方法還可推廣到一個數(shù)乘以15、150、1500……以及0.15、0.015、0.0015……中去。因為
　　15=1.5×10 0.15=1.5×0.1
　　150=1.5×100 0.015=1.5×0.01
　　1500=1.5×1000 0.0015=1.5×0.001
　　…… ……
　　所以，一個數(shù)乘以這些數(shù)，只要把這個數(shù)加上它的一半以后，再移動小數(shù)點的位置就可以了。比方
　　6.4×150
　　=6.4×1.5×100
　　=（6.4＋3.2）×100
　　=9.6×100
　　=960
　　4600×0.0015
　　=（4600＋2300）×0.001
　　=6900×0.001
　　=6.9
　　這樣的方法，可以稱作“加半定積法”。在我國農(nóng)村，還經(jīng)常將它用于將平方米數(shù)換算成畝數(shù)的計算。因為1平方米=0.0015畝，所以
　　2800平方米=（0.0015×2800）畝
　　=[（2800＋1400）×0.001]畝
　　=4.2畝
　　在民間，人們一般稱這樣的快速簡算方法，叫做“加半向左移三法”。
　　【以減代除】除法實際上是同數(shù)連減的簡算方法，而同數(shù)連減又可以用乘法代替。所以，“以減代除”可以達到簡算和速算的目的。
　　例如，550÷25，先用550減去20個25，得50，50再減去2個25，便得0。所以，550÷25=22。由口算便迅速得出了此題的得數(shù)。
　　【以乘代除，以除代乘】在乘法運算里，如果一個因數(shù)是5”，則可將它化為“10n÷2n”，從而將“乘以5n”轉(zhuǎn)化為“除以2n”進行計算。同樣，在除法運算里，如果除數(shù)是5n，那么，也可以將它轉(zhuǎn)化為“乘以2n”去進行計算。顯然，除以或乘以2n，要比乘以或除以5n方便、快速得多。例如
　　（1）12000÷125
　　=12000÷53
　　=12000÷（103+23）
　　=12000÷103×23
　　=12×23
　　=96
　　因為12×23=12×2×2×2，所以口算得數(shù)時，只要把12連續(xù)翻倍三次即可。即
　　12—→24—→48—→96。
　?。?） 480×125=480×53
　　=480×（103÷23）
　　=480×103÷23
　?。?80÷23×103
　　=60×103
　　=60000
　　因為480÷23=480÷2÷2÷2，所以口算得數(shù)時，只要把480連續(xù)折半三次即可。即
　　480—→240—→120—→60。














53、復雜分數(shù)應用題
　　【復雜的一般分數(shù)問題】
　　例1 已知甲校學生數(shù)是乙校學生數(shù)的40％，甲校女生數(shù)是甲校學生數(shù)的30％，乙校男生數(shù)是乙校學生數(shù)的42％。那么，兩校女生總數(shù)占兩校學生總數(shù)的百分之幾？
　　（全國“幼苗杯”小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：關鍵是要求出甲、乙兩校學生數(shù)，分別占兩校總?cè)藬?shù)的幾分之幾。
　　因為甲校學生數(shù)是乙校學生數(shù)的40％，所以，甲、乙兩校學生數(shù)之比為

　　
　　所以，兩校女生占兩校學生總數(shù)的
　　
　　例2 有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放入16塊水果糖后，奶糖就只占25％。那么，這堆糖中有奶糖____塊。
　?。?992年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）
　　
16塊水果糖之后，其它糖就是奶糖的（1-25％）÷25％=3（倍）。
　　
　　例3 某商店經(jīng)銷一種商品，由于進貨價降低了8％，使得利潤率提高了10％。那么這個商店原來經(jīng)銷這種商品所得利潤率是百分之幾？
　?。ㄩL沙市奧林匹克代表隊集訓試題）
　　講析：“利潤”是出售價與進價的差；“利潤率”是利潤與進貨價的比率。
　　設這種商品原進價為每件a元，出售后每件獲利潤b元。那么 現(xiàn)進價為每件 （1-8％）×a=92％a（元），
　　
　　例4 學校早晨6：00開校門，晚上6：40關校門。下午有一同學問老

　?。?992年小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）
　　講析：本題的關鍵是要注意“時間”和“時刻”這兩個概念的區(qū)別。
　　從早晨6點到中午12點共有6小時，從中午12點到下午6點40分共有

　　設從中午12點到“現(xiàn)在”共a小時，可列方程為
　　
　　解得 a=4。
　　所以，現(xiàn)在的時間是下午4點鐘。
　　【工程問題】
　　例1 一件工作，甲做5小時后，再由乙做3小時可以完成；若乙先做9小時后，再由甲做3小時也可以完成。那么甲做1小時以后，由乙做____小時可以完成？
　?。?987年北大附中友好數(shù)學邀請賽試題）
　　講析：因為“甲做5小時，乙做3小時可以完成”；或者“甲做3小時，乙做9小時也可以完成”。由此得，甲做5-3=2（小時）的工作量，就相當于乙做9-3=6（小時）的工作量。
　　即：甲做1小時，相當于乙做3小時。
　　由“甲做5小時，乙再做3小時完成”，可得：甲少做4小時，就需乙多做3×4=12（小時）。
　　所以，甲做1小時之后，還需要乙再做3+12=15（小時）才能完成。
　　例2 如果用甲、乙、丙三根水管同時往一個空水池里灌水，1小時可以灌滿；如果用甲、乙兩根水管，1小時20分可以灌滿；如果用乙、丙兩根水管，1小時15分可以灌滿。那么，用乙管單獨灌水，要灌滿一池水需要____小時。
　　（1993年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）
　　講析：關鍵是求出乙的工作效率。
　　
　　
　　例3 一項挖土方工程，如果甲隊單獨做，16天可以完成；乙隊單獨做

時，突然遇到地下水，影響施工進度，使得每天少挖了47.25方土，結(jié)果共用了10天完成工程。問整個工程要挖多少方土？
　?。?993年全國小學數(shù)學奧林匹克總決賽第二試試題）
　　講析：甲、乙兩隊合做，則工效可提高20％，所以每天可以完成
　　　
　　
　　
　　
　
　　
　　例4 某工廠的一個生產(chǎn)小組，當每個工人在自己原崗位工作時，9小時可以完成一項生產(chǎn)任務，如果交換工人A和B的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變時，可提前1小時完成這項生產(chǎn)任務；如果交換工人C和D的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變時，也可以提前1小時完成這項生產(chǎn)任務。問：如果同時交換A與B，C與D的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變時，可以提前幾分鐘完成這項生產(chǎn)任務。
　　（全國第四屆“華杯賽”決賽試題）
　　　

　　所以，同樣交換A與B，C與D之后，全組每小時可以完成：

　　
　　例5 一批工人到甲、乙兩個工地進行清理工作。甲工地的工作量是乙工

已做完，乙工地的工作還需4名工人再做1天。那么，這批工人有____人。
　?。?992年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）
　　講析：把甲、乙兩地全部工作量作單位“1”，由“甲工地的工作量是

　　把工人總數(shù)作單位“1”，由“上午去甲工地人數(shù)是去乙工地人數(shù)的3

　　所以，一天中去甲、乙工地人數(shù)之比為：
　　
　　
　　

　　
　　例6 蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管。要灌滿一池水，單開甲管需要3小時，單開丙管需要5小時。要排光一池水，單開乙管需要

丁的順序循環(huán)開各水管，每次每管開1小時，問多少時間后水開始溢出水池？
　?。ㄈ珖谝粚谩叭A杯賽”決賽第一試試題）
　　

有當開到甲水管時，水才會溢出。
　　
　　
　　溢出。
　　
　　
　　
　　
的思路是在假設要打開水管若干個循環(huán)之后， 水才開始

開始溢出。所以，這樣解的思路是錯誤的。






















54、分數(shù)與繁分數(shù)化簡

　　【分數(shù)化簡】
　　
　　講析：容易看出，分子中含有因數(shù)37，分母中含有因數(shù)71。所以可得
　　
　　
　　（長沙地區(qū)小學數(shù)學奧林匹克選拔賽試題）
　　　　
　　講析：注意到，4×6=24，2＋4=6，由此產(chǎn)生的一連串算式：
　　16×4=64
　　166×4=664
　　1666×4=6664
　　……
　　
　　
　　（全國“育苗杯”小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：容易看出分子中含有因數(shù)3。把48531分解為48531=3×16177，然后可試著用16177去除分母：
　　
　　【繁分數(shù)化簡】
　　
　?。?990年馬鞍山市小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：如果分別計算出分子與分母的值，則難度較大。觀察式子，可發(fā)現(xiàn)分子中含有326×274，分母中含有275×326。于是可想辦法化成相同的數(shù)：
　　
　　
　?。ㄈ珖谌龑谩叭A杯賽”復賽試題）
　　講析：可把小數(shù)化成分數(shù)，把帶分數(shù)都化成假分數(shù)，并注意將分子分母同乘以一個數(shù)，以消除各自中的分母。于是可得
　　　　
　　例3 化簡
　　
　?。ㄈ珖谌龑谩叭A杯賽”復賽試題）
　　講析：由于分子與分母部分都比較復雜，所以只能分別計算。計算時，哪一步中能簡算的，就采用簡算的辦法去計算。
　　　
　　
　　所以，原繁分數(shù)等于1。
　　
　?。ū本┦械谝粚谩坝罕毙W數(shù)學競賽試題）
　　講析：連分數(shù)化簡，通常要從最下層的分母開始，自下而上逐步化簡。依此法計算，題目的得數(shù)是2。（計算過程略）

















55、對稱變換
　　【將軍飲馬】據(jù)說古代希臘有一位將軍向當時的大學者海倫請教一個問題：從A地出發(fā)到河邊飲馬，再到B地（如圖4.32所示），走什么樣的路最近？如何確定飲馬的地點？

　　海倫的方法是這樣的：如圖4.33，設L為河，作AO⊥L交L于O點，延長AO至A＇，使A＇O=AO。連結(jié)A＇B，交L于C，則C點就是所要求的飲馬地點。再連結(jié)AC，則路程（AC+CB）為最短的路程。
　　為什么呢？因為A＇是A點關于L的對稱點，AC與A＇C是相等的。而A＇B是一條線段，所以A＇B是連結(jié)A＇、B這兩點間的所有線中，最短的一條，所以AC+CB=A＇C+CB=A＇B也是最短的一條路了。這就是海倫運用對稱變換，找到的一種最巧妙的解題方法。運用這種辦法，可以巧妙地解決許多幾何問題。
　　【劃線均分】通過中心對稱圖形的對稱中心，任意畫一條直線，都可以把原圖形均分成兩個大小、形狀完全相同的圖形。利用這一性質(zhì)，可以使某些較復雜的問題迅速地解答出來。例如

　?。?）把圖形（圖4.34）的面積，用一條直線分成相等的兩個部分。

　　解題時，只要把這個圖形看成是由兩個矩形（長方形）組成的組合圖形，而矩形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形， 所以只要找出兩個對稱中心（對角線交點），利用中心對稱圖形的上述性質(zhì)，通過兩個對稱中心作一條直線，就能把它的面積分成相等的兩個部分了。如前頁的三種分法都行（如圖4.35所示）。
　　（2）如圖4.36，長方形ABCD內(nèi)有一個以O點為圓心的圓，請畫一條直線，同時將長方形和圓分為面積相等的兩個部分。

　　大家知道，長方形和圓都既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。長方形的對稱中心是對角線的交點，圓的對稱中心是它的圓心。
　　根據(jù)中心對稱圖形的上述性質(zhì)，先找出這兩個對稱中心O點和P點（如圖4.37），再過O、P作直線L，此直線L即是所畫的那根直線。












56、典型應用題
　　【平均數(shù)問題】
　　例1 小強騎自行車從甲地到乙地，去時以每小時15千米的速度前進，回時以每小時30千米的速度返回。小強往返過程中的平均速度是每小時多少千米？
　?。ń魇〉诙谩鞍艘槐毙W數(shù)學競賽試題）
　　講析：我們不能用（15+30）÷2來計算平均速度，因為往返的時間不相等。只能用“總路程除以往返總時間”的方法求平均速度。
　　

　　所以，往返的平均速度是每小時
　　
　　例2 動物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生。如果只分給第一群，則每只猴子可得12粒；如果只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒。那么平均分給三群猴子，每只猴子可得____粒。
　?。ū本┦械诎藢谩坝罕毙W數(shù)學競賽試題）
　　講析：設花生總粒數(shù)為單位“ 1”，由題意可知，第一、二、三群猴子

　　于是可知,把所有花生分給這三群猴子，平均每只可得花生

　　例3 某班在一次數(shù)學考試中，平均成績是78分，男、女生各自的平均成績是75.5分和81分。問：這個班男、女生人數(shù)的比是多少？
　?。ㄈ珖谌龑谩叭A杯賽”決賽第二試試題）
　　講析：因男生平均比全班平均少2.5分，而女生平均比全班平均的多3分，故可知
　　2.5×男生數(shù)=3×女生數(shù)。
　　2.5∶3=女生數(shù)：男生數(shù)
　　即 男生數(shù)：女生數(shù)=6:5。
　　例4 某次數(shù)學競賽原定一等獎10人，二等獎20人，現(xiàn)在將一等獎中最后4人調(diào)整為二等獎，這樣，得二等獎的學生平均分提高了1分，得一等獎的學生的平均分提高了3分。那么，原來一等獎平均分比二等獎平均分多____分。
　?。?994年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）
　　講析：設原來一等獎每人平均是a分。二等獎每人平均是b分。則有：
　　10a+20b=6×（a+3）+24×（b+1）
　　即：a-b=10. 5。
　　也就是一等獎平均分比二等獎平均分多10.5分。
　　【行程問題】
　　例1 甲每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走70米，甲乙兩人從A地，丙一人從B地同時相向出發(fā)，丙遇到乙后2分鐘又遇到甲，A、B兩地相柜______米。
　?。?1990年《小學生報》小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：如圖5.30，當乙丙在D點相遇時，甲已行至C點?？上惹蟪鲆摇上嘤龅臅r間，也就是乙行距離AD的時間。

　　乙每分鐘比甲多走 10米，多少分鐘就多走了CD呢？而CD的距離，就是甲、丙2分鐘共行的距離：（70+50）×2=240(米）。
　　于是可知，乙行AD的時間是240÷10=24（分鐘）。
　　所以，AB兩地相距米數(shù)是（70+60）×24=3120（米）
　　例2 在一條公路上，甲、乙兩個地點相距600米，張明每小時行走4千米，李強每小時行走5千米。8點整，他們兩人從甲、乙兩地同時出發(fā)相向而行，1分鐘后他們都調(diào)頭反向而行，再過3分鐘，他們又調(diào)頭相向而行，依次按照1、3、5、7……（連續(xù)奇數(shù)）分鐘數(shù)調(diào)頭行走。那么，張、李兩個人相遇時是8點_____分。
　?。?992年全國小學數(shù)學奧林匹克競賽初賽試題）
　　
（千米）=150（米）
　　他倆相向走（1+5）分鐘，反向走（3+7）分鐘后兩人相距：600+150×〔（3+7）-（1+5）〕=1200（米）
　　所以，只要再相向行走1200÷150=8（分鐘），就可以相遇了。從而可知，相遇所需要的時間共是
　　1+3+5+7+7+8=24（分鐘）
　　也就是相遇時是8點24分。
　　例3 快、中、慢三輛車同時從同一地點出發(fā)，沿同一公路追趕前面的一個騎車人。這三輛車分別用6分鐘，10分鐘、12分鐘追上騎車人?，F(xiàn)在知道快車每小時走24千米，中車每小時走20千米，那么，慢車每小時走多少千米？
　　（全國第一屆“華杯賽”決賽第二試試題）
　　講析：如圖5.31所示，A點是三車的出發(fā)點，三車出發(fā)時騎車人在B點，A1、A2、A3分別為三車追上騎車人的地點。
　
　　
　　　
　　
快車走完2.4千米追上了他。由此可見三輛車出發(fā)時，騎車人已走的路程是
　　AB=2.4-1.4=1（千米）。
　　所以，慢車的速度是：
　　
　　例4 一輛車從甲地開往乙地。如果把車速提高20％，可以比原定時間提前一小時到達；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25％。則可提前40分鐘到達。那么，甲、乙兩地相距______千米。
　?。?992年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）
　　講析：首先必須考慮車速與時間的關系。
　　因為車速與時間成反比，當車速提高20％時，所用時間縮短為原來的
　
　　
　
　　
　　例5 游船順流而下每小時行8千米，逆流而上每小時行7千米，兩船同時從同地出發(fā)，甲船順流而下，然后返回。乙船逆流而上，然后返回，經(jīng)過2小時同時回到出發(fā)點，在這2小時中，有______小時甲、乙兩船的航行方向相同。
　?。ㄉ虾Ｊ械谖鍖眯W數(shù)學競賽初賽試題）
　　講析：關鍵是要理解上行與下行時間各占全部上下行總時間的百分之幾。
　　因為兩船2小時同時返回，則兩船航程相等。又上行船速是每小時行7

　　例6 甲、乙兩車分別從A、B兩城同時相向而行，第一次在離A城30千米處相遇。相遇后兩車又繼續(xù)前行，分別到達對方城市后，又立即返回，在離A城42千米處第二次相遇。求A、B兩城的距離。
　　（《小學生科普報》小學數(shù)學競賽預選賽試題）
　　講析：如圖5.32所示。兩車第一次在C地相遇，第二次在D地相遇。

　　甲、乙兩車從開始到第一次C點相遇時，合起來行了一個全程。此時甲行了30千米，從第一次相遇到第二次D點相遇時，兩車合起來行了兩個全程。在這兩個全程中，乙共行（30+42）千米，所以在合行一個全程中，乙行（30＋42）÷2=36（千米），即A、B兩城的距離是30＋36=66（千米）。
　　例8 甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，在A、B之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時15千米，乙車的速度是每小時35千米，并且甲、乙兩車第三次相遇（兩車同時到達同一地點叫相遇）的地點與第四次相遇的地點恰好相距100千米。那么A、B兩地的距離等于____千米。
　?。?993年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）
　　講析：根據(jù)甲、乙兩車的速度比為3∶7，我們可將A、B兩地平均分成10份（如圖5.33）。

　　因為甲、乙兩車速度之比為3∶7，所以甲每走3份，乙就走了7份。于是它們第一次在a3處相遇。甲再走4.5份，乙走10.5份，在a7與a8之中點處甲被乙追上，這是第二次相遇；甲再又走1.5份，乙走3.5份，在a9點第三次兩車相遇；甲走6份，乙走14份在a5點第四次兩車相遇。
　　
（千米）。
　　例9 在400米環(huán)形跑道上， A、B兩點相距100米（如圖5.34）。甲、乙兩人分別從A、B兩點同時按逆時針方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒鐘，那么，甲追上乙需要____秒鐘。

　?。?992年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）
　　講析：各跑100米，甲比乙少用的時間是100÷4-100÷5=5（秒鐘），現(xiàn)在甲要比乙多跑100米，需20秒鐘。由20÷5=4（個百米），可知，乙跑400米以后，甲就比乙多跑100米。這樣便剛好追上乙。
　　甲跑完（400+100）米時，中途停了4次，共停40秒鐘。故20×5+40=140（秒）。
　　當乙跑完400米以后，停了10秒，甲剛好到達同一地點。所以，甲追上乙需要140秒鐘。
　　例10 甲、乙二人在同一條環(huán)形跑道上作特殊訓練：他們同時從同一地點出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達出發(fā)點后立即回頭加速跑第二

第一次相遇點190米，問這條環(huán)形跑道長多少米？
　?。ㄈ珖谒膶谩叭A杯賽”復賽試題）
　　講析：圖為甲、乙兩人每跑到原出發(fā)點時，就返回頭跑。于是，從出發(fā)點切開，然后將環(huán)形跑道拉直，這樣，他倆就可以看作在AB線段上的往返跑步（如圖5.35）。跑第一圈時，乙的速度與甲的速度的比是3∶2。當甲從

原速跑到A點。
　
　　
（個）全程，即剛好到達D點。
　　所以，在AD段中，甲、乙兩人都是按各自的加速度相向而行。不難求得

　　　
　　例11 圖5.36，大圈是400米跑道，由A到B的跑道長是200米，直線距離是50米。父子倆同時從A點出發(fā)逆時針方向沿跑道進行長跑鍛煉，兒子跑大圈，父親每跑到B點便沿直線跑，父親每100米用20秒，兒子每100米用19秒。如果他們按這樣的速度跑，兒子在跑第幾圈時，第一次與父親再相遇？

　?。ㄈ珖诙谩叭A杯賽”復賽試題）
　　講析：容易計算出，父親經(jīng)過150秒剛好跑完3小圈到達A點，兒子經(jīng)過152秒剛好跑完2圈到達A點，兒子比父親慢2秒鐘，所以兒子將沿跑道追趕父親。
　　因為A到B彎道長200米，兒子每跑100米比父親快一秒，可知恰好在B點追上父親。
　　即，兒子在跑第三圈時，會第一次與父親相遇。
　　例12 甲班與乙班學生同時從學校出發(fā)去某公園。甲班步行的速度是每小時4千米，乙班步行的速度是每小時3千米。學校有一輛大客車，它的速度是每小時48千米。這輛車恰好能坐一個班的學生。為了使兩班學生在最短時間內(nèi)到達，那么甲班學生與乙班學生需要步行的距離之比是____。
　　（1991年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）
　　講析：要使兩個班在最短時間內(nèi)到達，只有讓兩個班都同時運行且同時到達。
　　設甲班先步行后乘車。甲班、乙班和客車的行進路線如圖5.37所示。AB、CD分別表示甲班和乙班步行距離。

　　當甲班從A地行至B地時，汽車共行了：AB+2·BC。
　　又汽車速度是甲班的12倍，所以
　　
　　同理，當乙班從C地行至D地時，汽車共行了CD+2·BC。
　　又，汽車速度是乙班的16倍，所以
　　
　　
　　AB∶CD=15∶11。
　　即甲班與乙班需要步行的距離之比為15∶11。
　　例13 王經(jīng)理總是上午8點鐘乘公司的汽車去上班。有一天，他6點40分就步行上班，而汽車仍按以前的時間從公司出發(fā)，去接經(jīng)理，結(jié)果在路途中接到了他。因此，王經(jīng)理這天比平時提前16分鐘到達公司。那么汽車的速度是王經(jīng)理步行速度的____倍。
　　（《小學生科普報》小學數(shù)學奧林匹克通訊賽試題）
　　講析：如圖5.38，A點表示王經(jīng)理家，B點表示公司，C點表示汽車接王經(jīng)理之處。

　　王經(jīng)理比平時提前16分鐘到達公司，而這16分鐘實際上是汽車少走了2·AC而剩下的時間，則汽車行AC路程需要8分鐘，所以汽車到達C點接到王經(jīng)理的時間是7點52分鐘。
　　王經(jīng)理步行時間是從6點40分到7點52分，共行72分鐘。
　　因此，汽車速度是王經(jīng)理步行速度的72÷8=9（倍）。
【倍數(shù)問題】
　　例1 倉庫里有兩個貨位，第一貨位上有78箱貨物，第二貨位上有42箱貨物，兩個貨位上各運走了相同的箱數(shù)之后，第一貨位上的箱數(shù)還比第二貨位上的箱數(shù)多2倍。兩個貨位上各運走了多少箱貨物？
　　（1994年天津市小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：因為兩堆貨物各運走相同數(shù)量的貨物之后，第一堆比第二堆貨物多2倍。即此時第一堆貨物是第二堆貨物的3倍。
　　所以，42的3倍的積與78的差，就是兩堆中各運走貨物的箱數(shù)的2倍。故兩個貨位各運走的貨物箱數(shù)是（42×3-78）÷2=24（箱）。
　　例2 一筆獎金分一等獎、二等獎和三等獎。每個一等獎的獎金是每個二等獎獎金的2倍，每個二等獎獎金是每個三等獎獎金的2倍。如果評一、二、三等獎各兩人，那么每個一等獎的獎金是308元；如果評一個一等獎，兩個二等獎，三個三等獎，那么一等獎的獎金是多少元？
　?。ㄈ珖诙谩叭A杯賽”復賽試題）
　　講析：我們可將二等獎和三等獎都換成一等獎。
　　
　　如果評1個一等獎，2個二等獎，3個三等獎時，每個一等獎的獎金為：0
　　
　　例3 甲、乙兩個小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到20粒。如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒數(shù)的2倍。如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒數(shù)的3倍。那么，甲、乙兩個小朋友共有糖____粒。
　?。?994年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）。
　　講析：甲給乙一定數(shù)量的糖之后，甲是乙的2倍。這說明甲乙兩個糖數(shù)之和是3的倍數(shù)；同理，乙給甲一定數(shù)量的糖后，甲是乙的3倍，這說明甲乙兩個糖數(shù)之和又是4的倍數(shù)。
　　所以，甲、乙兩人糖?？倲?shù)一定是12的倍數(shù)。
　　又，每袋糖都不到20粒，所以甲乙兩個糖數(shù)之和應為12、24、36中的一個數(shù)。
　　經(jīng)檢驗，當總糖數(shù)是24時，即甲為17粒、乙為7粒時，符合要求。即兩個小明友共有糖24粒。
　　例4 一小和二小有同樣多的同學參加金杯賽。學校用汽車把學生送往考場。一小用的汽車，每車坐15人，二小用的汽車，每車坐13人，結(jié)果二小比一小要多派一輛汽車。后來每校各增加一個人參賽，這樣兩校需要的汽車就一樣多了。最后又決定每校再各增加一人參加競賽，二小又要比一小多派一輛汽車。問最后兩校共有多少人參加競賽？
　?。ㄈ珖谝粚谩叭A杯賽”決賽試題）
　　講析：原來二小比一小多一輛車，各增加一人后，兩校所需車一樣多。由此可見，一小增一人就要增加一輛車，所以原來汽車恰好全部坐滿，即原來一小人數(shù)是15的倍數(shù)。
　　后來又增加1人，這時二小又要多派一輛車，所以在第二次增加人數(shù)之前，二小的車也恰好坐滿。即人數(shù)是13的倍數(shù)。
　　因此，原來每校參加的人數(shù)都是15的倍數(shù)。而加1之后，是13的倍數(shù)。
　　即求15的某個倍數(shù)恰等于13的倍數(shù)減1。
　　因為15×6=90，13×7=91，所以，兩校各有92人參加競賽。
　　從而可知，兩校共有184人參加競賽。
【年齡問題】
　　例1 小明今年5歲，爸爸的年齡是小明的7倍，再過多少年爸爸的年齡是小明年齡的3倍？
　　（1993年吉林省“金翅杯”小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：可先求出當爸爸年齡是小明年齡的3倍時，小明的年齡是多少歲：
　　（5×7-5）÷（3-1）=15（歲）。
　　故，再過10年，爸爸的年齡是小明年齡的3倍。
　　例2 今年祖父的年齡是小明年齡的6倍。幾年后，祖父年齡是小明年齡的5倍。又過幾年后，祖父年齡是小明年齡的4倍。問：祖父今年多少歲？
　?。ㄈ珖诙谩叭A杯賽”少年數(shù)學競賽試題）
　　講析：因為今年祖父年齡是小明年齡的6倍。所以，年齡差是小明年齡的5倍，即一定是5的倍數(shù)。
　　同理，又過幾年后，祖父的年齡分別是小明年齡的5倍和4倍，可知年齡差也是4和3的倍數(shù)。而年齡差是不變的。
　　由3、4、5的公倍數(shù)是60、120、……可知，60是比較合理的。所以，
　　小明今年的年齡是60÷（6-1）=12（歲）；
　　祖父今年的年齡是12×6=72（歲）。
　　例3 1994年姐妹兩人年齡之和是55歲。若干年前，當姐姐的年齡只有妹妹現(xiàn)在這么大時，妹妹的年齡恰好是姐姐年齡的一半。姐姐是哪一年出生的？
　?。ㄩL沙地區(qū)數(shù)學競賽預選賽試題）
　　講析：設若干年前，妹妹的年齡為x歲，則現(xiàn)在妹妹為2x歲；姐姐在“若干年前”那一年的年齡也為2x歲，則姐姐現(xiàn)在的年齡為3x歲。
　　由2x+3x=55，可知，x=11。
　　所以，今年姐姐的年齡是3×11=33（歲）。
　　故姐姐是1960年出生的。
【時鐘問題】
　　例1 把一個時鐘改裝成一個玩具鐘，使得時針每轉(zhuǎn)一圈，分針轉(zhuǎn)16圈，秒針轉(zhuǎn)36圈。開始時三針重合。問：在時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，三針重合了幾次？（不計起始和終止的位置）
　?。ㄈ珖谌龑谩叭A杯賽”決賽口試試題）
　　講析：如圖5.39，設時針和分針第一次在B點重合。從開始到重合，時針走了AB，而分針走了一圈后再又走AB。
　
　　　
　
　　　

　　例2 7點____分的時候，分針落后于時針100°。
　　（上海市第五屆小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：7點整時，分針落后于時針210°，時針每分鐘走0.5°，分針每分鐘走6°，依照追及問題有：
　?。?10-100）÷（6-0.5）=20（分鐘）。
　　故，在7點20分鐘的時候，分針落后時針100°。
【其他問題】
　　例1如圖5.40是一個圍棋盤，還有一堆圍棋子，將這堆棋子往棋盤上放，當按格點擺成某個正方陣時，尚多余12枚棋子，如果要將這個正方陣改擺成每邊各加一枚棋子的正方陣，則差9枚棋子才能擺滿。
　　問：這堆棋子原有多少枚？
　?。ㄈ珖谒膶谩叭A杯賽”決賽口試試題）
　　講析：把這堆棋子擺成正方形實心方陣，還多余12枚，若把這個正方陣每邊各加一枚棋子時，其貼邊加上的棋子為12+9=21（枚）。

　　所以，新方陣每邊棋子數(shù)為（21+1）÷2=11（枚）。從而可知，原來這堆棋子共有11×11-9=112（枚）。
　　例2 小玲從家去學校，如果每分鐘走80米，結(jié)果比上課時間提前6分鐘到校；如果每分鐘走50米，則要遲到3分鐘，小玲的家到學校的路程有多遠？
　?。ㄎ髂系貐^(qū)小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：本題屬于盈虧問題，提前6分鐘和遲到3分鐘，所相差的距離，是由于每分鐘相差30米而造成的。
　　∴（80×6+50×3）÷（80-50）=21（分鐘）；
　　80×（21-6）=1200（米）
　　即小玲家到學校有1200米。

























57、等積規(guī)律
　　【三角形等積的基本規(guī)律】如果兩個三角形的底相等，高也相等，那么，這兩個三角形的面積相等。
　　例如，在圖1.32中，D是BC的中點（即BD=DC），則△ABD與△ACD的面積相等。（等底同高）

　　【三角形等積規(guī)律推論】由三角形等積這一基本規(guī)律，可以推出下面幾個結(jié)論。
　　結(jié)論1 如果兩個三角形有公共的底邊，且這底邊所對的頂點所在直線，與這底邊平行，則這兩個三角形面積相等。
　　例如，在圖1.33中， A1A2的連線與BC平行，則△A1BC與△A2BC的面積相等。

　　結(jié)論2 在兩個三角形中，若相等的底在同一直線上，底所對的頂點在與底平行的另一同一直線上，則這兩個三角形的面積相等。
　　例如圖1.34中的△A1B1C1與△A2B2C2，它們的底B1C1=B2C2，并且底同在直線B1C2上，頂點A1、A2的連線A1A2，與B1C2平行，那么△A1B1C1與△A2B2C2的面積便是相等的。

　　結(jié)論3 如果一個三角形的一邊被分成了n等分，并把這些等分點與頂點連結(jié)，那么這個三角形就被分成了n+1個等積的三角形。
　　例如圖1.35中，BC被點D1、D2、D3、D4、D5分成了六等分，則△ABC的面積也就被AD1、AD2、AD3、AD4、AD5也分

　　成了六等分。即△ABD1、△AD1D2、△AD2D3、△AD3D4、△AD4D5、△
　
　　結(jié)論4 如果兩個三角形的高相等，其中一個三角形的底是另一個三角形底的幾倍，那么這個三角形的面積也是另一個三角形面積的幾倍。
　　例如，在圖1.36中，△ABC的高AD，和△A払扖挼母逜扗捪嗟齲珺C=3B扖挘敲礎鰽BC的面積，便是△A払扖挼拿婊—3倍。














58、等分圖形
　　【均分整體】有些幾何問題，只要把大圖形均分為若干個小圖形，就能找到問題的答案。
　　例如，下面兩圖中的正方形分別內(nèi)接于同一個等腰直角三角形（內(nèi)接指四個頂點全在三角形的邊上）。已知左圖（圖4.11）中正方形面積為72平方厘米，求右圖（4.12）中正方形的面積。

　　由于左右兩個三角形完全相同，我們不妨把這兩個圖形進行等分，看看這兩個正方形分別與同一個等腰直角三角形有什么樣的關系。等分后的情況見圖4.13和圖4.14。
　　

積是
　　
　　圖4.12的正方形面積是
　　　

　　【均分局部】有些幾何問題，整體的均分不太方便，或不能夠辦到，這時可以考慮把它的局部去均分，然后從整體上去觀察，往往也能使問題獲得解決。
　　例如圖4.15，在正方形ABCD中，畫有甲、乙、丙三個小正方形。問：乙、丙面積之和與甲相比，哪一個大些？
　　大家由前面的“均分整體”已經(jīng)知道，像甲、乙這樣的兩個正方形，面積不是相等的。如圖4.16，經(jīng)過等分，正方形甲的面積等于△ABC面積的一半；正方形丙的面積等于△EDF的一半，正方形乙的面積等于梯形ACFE面積的一半。這樣，一個大正方形ABCD，就劃分成了三個局部：等腰直角△ABC；等腰梯形ACFE；等腰直角△EDF。其中甲、乙、丙的面積分別為各自所在圖形的一半，而△EDF的面積加梯形ACFE的面積等于△ADC的面積，即等于△ABC的面積。所以，乙、丙面積之和等于甲的面積。

















59、抽屜原理問題
　　例1 袋子里有紅、黃、黑、白珠子各15粒，閉上眼睛要想摸出顏色相同的五粒珠子，至少要摸出______粒珠子，才能保證達到目的。
　　（1992年福州市小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：從最好的情況著手，則摸5粒剛好是同色的，但是不能保證做到。要保證5粒同色，必然從最壞情況著手。
　　最壞情況是摸了16粒，這16粒珠子中沒有一種是5粒同色，也就是說有4粒紅色、4粒黃色、4粒黑色和4粒白色的。現(xiàn)在再去摸一粒，這一粒只能是四色之一。
　　所以，至少要摸17粒。
　　例2 在一個3×9的方格里，將每一格隨意涂上黑色或白色，試說明不管怎樣涂，至少有兩列的著色是完全相同的。
　　（“新苗杯”小學數(shù)學邀請賽試題）
　　講析：可用兩種顏色涂每一列的三格，它共有8種情況，如圖5.89所示。
　　
　　那么，剩下的一列不管怎樣涂色，一定是上面8種中的一種。所以它至少有兩列的著色是完全相同的。
　　例3 把1、2、3、……、10這十個自然數(shù)以任意順序排成一圈，試說明一定有相鄰三個數(shù)之和不小于17。
　　（烏魯木齊市小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：因為1＋2＋3＋……＋10=55。這十個數(shù)不管怎樣排列，按每相鄰三個數(shù)相加，共分成了10組，每個數(shù)都加了3次。
　　10組之和是165，平均每組為16，還余5。然后把5分成幾個數(shù)再加到其中一組或幾組中，則肯定有一組相鄰三個數(shù)之和不小于17。


60、擴縮圖形
　　【擴圖】 解題時，將幾何圖形擴大，有時候能使一時難以解決的問題變得非常簡單。
　　例如，圖4.43是一個圓心角為45°的扇形，其中的直角三角形BOC的直角邊為6厘米，求陰影部分的面積。

　　本來，求陰影部分的面積，只要用扇形面積減去直角三角形面積就行了。但是同學們暫時還未學求扇形半徑R的方法，怎么辦呢？

　　由扇形的圓心角為45°，我們不妨將其擴大一倍，如圖4.44所示。由此圖可以求出三角形DOB的面積為
　　
可知
　　
　　
　　
　　擴大后的陰影部分面積為
　　56.52-72÷25=6.52-36
　　=20.52（平方厘米）
　　所以，原圖所求的陰影部分的面積為
　　20.52÷2=10.26（平方厘米）
　　這是個將圖形整體擴大的例子?？煞裰粚D形的某一個局部擴大，來求得問題的解答呢？回答是肯定的。例如：
　　如圖4.45，圖中的扇形半徑為8厘米，圓心角為45°，求陰影部分的面積。

　　當然，這道題也可以將整個圖形擴大一倍，去尋找答案。不過，解題的關鍵是求出空白部分（三角形）的面積，我們不妨以8厘米為邊長，作一個正方形，這正方形面積便是空白三角形面積的4倍（即只將局部三角形面積擴大4倍）。于是空白的三角形面積便是
　　8×8÷4=16（平方厘米）
　　所要求的陰影部分的面積便是　
　　
　　【縮小研究對象】 有些圖形從整體上研究，由于圖形較為復雜，難以一下子解決問題，若根據(jù)圖形特點，縮小研究范圍，往往能較快地找到答案。

　　例如，圖4.46是一塊黑白格子布，白色大正方形邊長10厘米，白色小正方形邊長4厘米。這塊布的白色部分的面積占總面積的百分之幾？

　　圖形令人眼花繚亂，增大了解題時的難度。不過，仔細一看，就可發(fā)現(xiàn)它由9塊形狀大小相同的圖形組成，我們只要研究其中一個小圖形（如圖4.47）的白色圖形占整個圖形的百分之幾，就足以解決問題了，所以，題目的解答可以是
　　（10×10＋4×4）÷［（10＋4）×（10＋4）］
　　=116÷196
　　≈0.592=59.2％。
　　又如，圖4.48是一個對稱圖形。

　　問：圖中的黑色部分與陰影部分比較，是黑色部分的面積大，還是陰影部分的面積大？
　　因它是個對稱圖形，可如圖中虛線那樣畫兩條直線，將它平分為四個部分。解題時，我們不必研究整個圖形，只要研究它的四分之一就行了。
　　

角扇形的面積。再由對稱關系可知，圖形中兩個空白部分的大小是相等的，故用圖中的上半部分減黑色部分所得的空白部分，等于下面半圓面積減“卵葉形”陰影部分所得的空白部分。在這一等式中，既然被減數(shù)和差都相等，那么減數(shù)（黑色部分和葉形陰影部分）也必定是相等的。于是可推出，整個圖形的黑色部分和陰影部分的面積，也必定是相等的。

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