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小升初數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題及教程












二〇二二 年



目 錄
第1講 計(jì)算（一） 速算與巧算 3
第2講 計(jì)算（二） 比較大小、估算、定義新運(yùn)算 19
第3講 數(shù)字謎、數(shù)陣圖、幻方 33
第4講 數(shù)論（一） 整除、奇偶性、極值問(wèn)題 49
第5講 數(shù)論（二） 約數(shù)倍數(shù)、質(zhì)數(shù)合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù) 62
第6講 數(shù)論（三） 帶余除法、同余性質(zhì)、中國(guó)剩余定理 75

第1講 計(jì)算（一） 速算與巧算
一、知識(shí)地圖
速算與巧算
整數(shù)計(jì)算
基本公式
平方、立方公式
數(shù)列及特殊公式
特殊方法
分?jǐn)?shù)計(jì)算
拆分與裂項(xiàng)
幾個(gè)常用拆分分?jǐn)?shù)
循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

二、基礎(chǔ)知識(shí)
（一）整數(shù)計(jì)算
1、基本公式
（1） 加法交換律：
（2） 加法結(jié)合律：
（3） 減法的性質(zhì)：
（4） 乘法交換律：
（5） 乘法結(jié)合律：
（6） 乘法分配律：
（7） 除法的性質(zhì)：


2、平方、立方公式
（1） 完全平方公式：
（2） 平方差公式：
僅做了解
（3） 完全立方公式：
（4） 立方和公式：
（5） 立方差公式：
3、數(shù)列及特殊公式
（1） 等差數(shù)列：
A) 通項(xiàng)公式：………………為什么要“n-1”呢？
B) 求項(xiàng)數(shù)公式：………………為什么要“+1”呢？
C) 求和公式：………………為什么要“÷2”呢？
關(guān)于這個(gè)等差數(shù)列，同學(xué)們可以聯(lián)系植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系來(lái)看，怎么把植樹(shù)問(wèn)題與等差數(shù)列聯(lián)系在一起呢？
“在數(shù)軸上植樹(shù)”，這可是帶有一定的技術(shù)含量的……
如圖：

請(qǐng)?bào)w會(huì)這里數(shù)字與“樹(shù)”對(duì)應(yīng)、公差與“株距間隔”對(duì)應(yīng)。
例如：
a) 22這個(gè)數(shù)是“第七棵樹(shù)”，要由“第一棵樹(shù)”加上六個(gè)“間隔”得到，算式為： 22=4+（7-1）×3；
b) 如果要求這個(gè)數(shù)列從4到25，一共有多少個(gè)數(shù)，相當(dāng)于把4看作第一棵樹(shù)，問(wèn)25是第幾棵樹(shù)？
可以思考，從4到25一共有多少個(gè)“間隔”，
（25-4）÷3=7，
所以應(yīng)該是“第8棵樹(shù)”，這里注意到了為什么求項(xiàng)數(shù)“加1”了吧？
c) 求和公式的來(lái)龍去脈，同學(xué)們不可不知：
法一：高斯“配對(duì)法”。
例如，在計(jì)算1+2+3+…+8+9這一串?dāng)?shù)列的和時(shí)，我們可以把第一個(gè)數(shù)加上最后一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)加上倒數(shù)第二個(gè)數(shù)，這樣，一直到第四個(gè)數(shù)加上倒數(shù)第四個(gè)數(shù)，每一對(duì)數(shù)的和都是10，這里，要注意還有一個(gè)“中間數(shù)”5，，沒(méi)有配上對(duì)，所以，這組數(shù)列9個(gè)數(shù)的和是10×4+5=45。
法二：借來(lái)還去法。
例如，還是計(jì)算1+2+3+…+8+9這一串?dāng)?shù)列吧，如果我再“借”來(lái)一串“9+8+7+…+3+2+1”，
這么一串?dāng)?shù)只是把原來(lái)的數(shù)列顛倒一下順序，可以知道兩串?dāng)?shù)是相等的。所以，如果我把這兩串?dāng)?shù)的和求出來(lái)，是一定要“除以2”的！
問(wèn)題在于，本來(lái)要求一串?dāng)?shù)的和，干嘛我還扯上了另一串，這樣做好算嗎？答案正在這個(gè)地方，就是因?yàn)樵儆羞@么一串倒過(guò)來(lái)的數(shù)，好算不得了——“變異為同”了！
如圖：

所以，可以得出，10×9÷2=45
回頭再看，這里的10可以用（1+9）為代表，則得：
（1+9）×9÷2=45
再推廣開(kāi)去，對(duì)于其他等差數(shù)列，都有這么一個(gè)公式：
和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2

（2） 等比數(shù)列：


（3）
a)
b)
（4）
（5）

（n≤9）
（6）
（7）
這一類的數(shù)不妨稱之為“重碼數(shù)”，關(guān)鍵于把一個(gè)循環(huán)節(jié)的“個(gè)位”的“1”作為記數(shù)單位，結(jié)合位值原則，我們可以得到上述結(jié)果。
4、特殊方法
（1） 湊整法：利用運(yùn)算公式和運(yùn)算律（如交換律、結(jié)合律、分配律）將一些數(shù)湊成整一或整十整百再計(jì)算。
（2） 換元法：將一些數(shù)或一個(gè)式子記為某個(gè)字母，如a，b，c…… 達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。
（二）分?jǐn)?shù)計(jì)算
1、拆分與裂項(xiàng)
（1）
（2）
（3）
（4）
2、幾個(gè)常用拆分分?jǐn)?shù)





… …
3、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)


請(qǐng)聰明的你，來(lái)比較1與0.99999999……的大??？
你可能已經(jīng)知道：0.9999999……=1
也就是：=1，可是這是為什么呢？
鋪墊：
==
==
==
== ==


以此題為例推導(dǎo)：

設(shè) 為A，那么100A=
10000A=
所以：10000A-100A=1234-12
9900A=1234-12


注意：循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)，分母中9的個(gè)數(shù)與其循環(huán)節(jié)的位數(shù)對(duì)應(yīng)，0的個(gè)數(shù)與小數(shù)點(diǎn)后不循環(huán)的位數(shù)對(duì)應(yīng)。分子是不循環(huán)部分連上第一個(gè)循環(huán)節(jié)組成的多位數(shù)與不循環(huán)部分組成的多位數(shù)相減所得到的差。
三：經(jīng)典透析
【例1】：（☆☆☆）
審題要點(diǎn)：
1） 看題目中的數(shù)，聰明的你是否發(fā)現(xiàn)了什么秘密？
對(duì)了，每一個(gè)數(shù)都有一個(gè)小秘密：


…
2） 發(fā)現(xiàn)了秘密就趕緊動(dòng)手吧！
詳解過(guò)程：




專家點(diǎn)評(píng)：

原來(lái)平方差公式還可以這么用！

這道題目不是很難，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)“湊整”的思路！
【例2】（☆☆☆）
審題要點(diǎn)：
1） 好大的數(shù)啊！別怕，肯定有絕招。
2） 哈哈，終于發(fā)現(xiàn)了數(shù)之間的小秘密。

詳解過(guò)程：

專家點(diǎn)評(píng)：
做這道題目，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，奧數(shù)的很多題目，不僅僅是記公式就能解決的，很多時(shí)候需要你對(duì)公式進(jìn)行消化吸收，達(dá)到靈活應(yīng)用才能在用時(shí)得心應(yīng)手。

【例3】（☆☆☆☆）

①；
②湊整；
③提取公因數(shù)；
④“借來(lái)還去”思想。


審題要點(diǎn)：
1） 這題看著很熟悉→聯(lián)想平方求和公式
2） 可是起始的數(shù)不是？
沒(méi)關(guān)系，缺什么補(bǔ)什么！
詳解過(guò)程：


①提取公因數(shù)的兩大特征：
一是要有“公因數(shù)”，“疑似”公因數(shù)也不錯(cuò)，我們可以借助下面兩招對(duì)它加工。
二是要有互補(bǔ)數(shù)。
②
③

專家點(diǎn)評(píng)：
很多題目不能就題論題，你必須要在熟練應(yīng)用公式的前提下，做適當(dāng)?shù)淖儞Q，這道題目就是一個(gè)很好的例子。
【例4】（☆☆☆☆）
審題要點(diǎn)：
1）“73”好像是關(guān)鍵。
2）如果可以提取73，那不是很簡(jiǎn)單？
試試吧！
詳解過(guò)程：

專家點(diǎn)評(píng)：此處利用了分拆法，將730分拆為73×10，153.3分拆為73×2.1，目的都是為了構(gòu)造出“公因數(shù)”73。此種構(gòu)造方法很常用，你學(xué)會(huì)了嗎？
【例5】（☆☆☆☆）

審題要點(diǎn)：
1） 分母很特別哦：
2）
3）

詳解過(guò)程：
原式=
=
=
=
專家點(diǎn)評(píng)：
這道題目稍微有點(diǎn)難度，需要先歸納分母的通項(xiàng)，然后利用裂項(xiàng)進(jìn)行解題，所以同學(xué)們應(yīng)該在記住公式的同時(shí)做適當(dāng)?shù)木C合應(yīng)用。
【例6】（☆☆☆☆）
審題要點(diǎn)：
1） 分?jǐn)?shù)相加，分子不相等，似乎不能裂項(xiàng)；
2） 如果做一下變換呢？


…
試試吧。
詳解過(guò)程：
原式=
=
=
=
=
=
專家點(diǎn)評(píng)：
這道題目的解題關(guān)鍵在于對(duì)裂項(xiàng)的熟練應(yīng)用。題目本身并不是很難，但是需要同學(xué)認(rèn)真仔細(xì)。
【例7】（☆☆☆☆）＝
審題要點(diǎn)：
1）既然題目這樣出了，說(shuō)明絕大部分項(xiàng)能夠裂項(xiàng)約掉！試驗(yàn)可知：
，（這兩個(gè)利用輾轉(zhuǎn)相除法），能夠約掉37，看來(lái)確實(shí)可以裂項(xiàng)。
詳解過(guò)程：
觀察到5，37，101以及約去的最大公約數(shù)17和65都是偶數(shù)的平方+1，所以立刻猜測(cè)最后的約分后等于，原式等于。
專家點(diǎn)評(píng)：這是一道比較難的計(jì)算題，很多人認(rèn)為只有到了初中，學(xué)了因式分解才有可能做出來(lái)。但是，小學(xué)生如果能夠有“找規(guī)律”的思維，也是完全可以得出答案的。本題解題的關(guān)鍵在于“試算觀察法”與“輾轉(zhuǎn)相除法”的綜合運(yùn)用，你學(xué)會(huì)了么？
【例8】（☆☆☆☆）

審題要點(diǎn)：
1）看到這么龐大的算式，應(yīng)該想到要換元；
2）換元時(shí)注意要整個(gè)括號(hào)作為一個(gè)整體代換；
3）不妨設(shè)

詳解過(guò)程：
原式
=
=
=
=9
專家點(diǎn)評(píng)：
“換元”法在龐大的數(shù)學(xué)計(jì)算中經(jīng)常用到，數(shù)學(xué)題目很少是需要你對(duì)一個(gè)復(fù)雜的式子進(jìn)行每一步的計(jì)算，一般都有簡(jiǎn)便算法，這些需要你平時(shí)多積累。利用換元法解題時(shí)有兩種可能性：一，換元的未知數(shù)最后都消去，可直接得出答案。二，換元的未知數(shù)不能完全消去，那么就應(yīng)該將原數(shù)或原式重新代入計(jì)算，此時(shí)的代入計(jì)算將很簡(jiǎn)單，如本題中最后（a-b）須換回原來(lái)式子計(jì)算得。
【例9】（☆☆☆☆）
審題要點(diǎn)：
1）：有循環(huán)小數(shù)的計(jì)算，首先要進(jìn)行分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換。
2）：每個(gè)數(shù)都是混循環(huán)小數(shù)，應(yīng)該怎樣化成分?jǐn)?shù)？
詳解過(guò)程：
原式=+++…+
=++…+
=
=
=
專家點(diǎn)評(píng)：
循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)，你學(xué)會(huì)了么？這是個(gè)很重要的知識(shí)，在比較大小和計(jì)算過(guò)程中經(jīng)常用到。
另外，如果對(duì)循環(huán)小數(shù)的性質(zhì)很熟悉的話，知道=1，則可觀察到：


還有一個(gè)，所以總和為

。
經(jīng)驗(yàn)證，。

四、拓展訓(xùn)練
1. =

[初級(jí)點(diǎn)撥] 這道題目不難，關(guān)鍵是考察對(duì)公式的應(yīng)用
；
[深度提示] 注意哦，分母中1與3，3與5都是要差2，所以在裂項(xiàng)時(shí)，括號(hào)外面要乘以；
[全解過(guò)程] 原式=
=
=
=


2. （－＋…－＋）×（1－＋－＋－…＋）
－（1－＋－＋－…＋－）×（－＋…－）=_______。

[初級(jí)點(diǎn)撥] 這么龐大的式子，換元毫無(wú)疑問(wèn)，但是要找好，到底換什么哦。
[深度提示] 換元時(shí)，可以設(shè)，；
[全解過(guò)程] 設(shè)，
原式=
=++
=
=


3. =________。

[初級(jí)點(diǎn)撥] 類似于例題2；
[深度提示] 運(yùn)用平方差公式，你會(huì)了么？
[全解過(guò)程] 原式



4. =________。

[初級(jí)點(diǎn)撥] 這題比較簡(jiǎn)單，利用；
[深度提示] 這道題目很簡(jiǎn)單，主要就是公式應(yīng)用的問(wèn)題；
[全解過(guò)程] 原式= 2×（－+－+…+－）
=
=


5. =________。

[初級(jí)點(diǎn)撥] 直接利用公式；
[深度提示] 公式的直接應(yīng)用，但是要注意，分母拆開(kāi)后，差值是3；
[全解過(guò)程] 原式=×（1－+－+…+－）
=
=


6. =________。

[初級(jí)點(diǎn)撥] 帶分?jǐn)?shù)在計(jì)算過(guò)程中，通常有兩種處理辦法，或者化成整數(shù)和分?jǐn)?shù)的和，或者化成假分?jǐn)?shù)，聰明的同學(xué)，想想這道題應(yīng)該怎么處理呢？
[深度提示] 拆成你熟悉的形式：

…
[全解過(guò)程] 原式=（1+2+3+…+6）+(++…+)
=
=
=


7. =________。

[初級(jí)點(diǎn)撥] 類似于上面的第6題，但是要稍微難點(diǎn)，關(guān)鍵也是對(duì)帶分?jǐn)?shù)的處理，不要猶豫，你想的沒(méi)錯(cuò)，寫(xiě)出來(lái)試試。
[深度提示] 將帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)和分?jǐn)?shù)的和；
[全解過(guò)程] 原式=(3－)－(3+)+(5－)+(5+)－(7－)+(7+)－
(9－)+(9+)－(1+)
=
=
=
=


8. =________。

[初級(jí)點(diǎn)撥] 這道題目是典型的利用公式解題，所以公式一定要熟記哦。
[深度提示] 記住兩個(gè)公式即可，翻看前面的基礎(chǔ)知識(shí)，你需要的都在那里；
[全解過(guò)程] 原式=
=


9. =________。

[初級(jí)點(diǎn)撥] 提取公因數(shù)，但是要先做下變換，看看，怎么變動(dòng)一下！
[深度提示] 1）找題目中的特殊之處。
2）如果分母中也是那多好啊！
3）變變嘛！
[全解過(guò)程] 原式==1.


10. =________。

[初級(jí)點(diǎn)撥] 第一步肯定是要去括號(hào)，聰明的你想到了嗎？
[深度提示] 去括號(hào)，提取公因式，兩項(xiàng)結(jié)合；
[全解過(guò)程] 原式=
=
=
=


11. ________。

[初級(jí)點(diǎn)撥] 如果在計(jì)算中出現(xiàn)循環(huán)小數(shù)，那毫無(wú)疑問(wèn)要先化為分?jǐn)?shù)。
[深度提示] 循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的計(jì)算。
[全解過(guò)程] 原式=
=
=
=


第2講 計(jì)算（二） 比較大小、估算、定義新運(yùn)算
一：知識(shí)地圖：
比較大小
分?jǐn)?shù)的大小比較
通分
比倒數(shù)
與1相減比較法
經(jīng)典結(jié)論
放縮法
化成小數(shù)比較
兩個(gè)數(shù)相除進(jìn)行比較
對(duì)于分?jǐn)?shù)的分子分母同時(shí)加上
或減去相同的數(shù)和原分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較
小數(shù)的大小比較
估算
常用方法
經(jīng)典步驟
定義新運(yùn)算


二：基礎(chǔ)知識(shí)
（一）：比較大小
1、分?jǐn)?shù)的大小比較
1）通分：a） 通分母：化成分母相同的分?jǐn)?shù)比較，分子小的分?jǐn)?shù)?。?br /> b） 通分子：化成分子相同的分?jǐn)?shù)比較，分母小的分?jǐn)?shù)大。
2）比倒數(shù)：倒數(shù)大的分?jǐn)?shù)小。
3）與1相減比較法：a） 真分?jǐn)?shù)：與1相減，差大的分?jǐn)?shù)??；
b） 假分?jǐn)?shù)：與1相減，差大的分?jǐn)?shù)大。
4）經(jīng)典結(jié)論：a） 對(duì)于兩個(gè)真分?jǐn)?shù)，如果分子分母相差相同的數(shù)，則分子分母都大的分?jǐn)?shù)比較大；
b） 對(duì)于兩個(gè)假分?jǐn)?shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，則分子分母都小的分?jǐn)?shù)比較大。
對(duì)于分?jǐn)?shù)的分子分母同時(shí)加上或減去相同的數(shù)和原分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較：
（，且為非零自然數(shù)時(shí)）
（1）
即“真分?jǐn)?shù)越加越大，越減越小”（）如；
（2）即“假分?jǐn)?shù)越加越小，越減越大”。

5）放縮法。
6）化成小數(shù)比較：小數(shù)比較大小的關(guān)鍵是小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，從高位比起。切記！
7）兩個(gè)數(shù)相除進(jìn)行比較。如：和，，所以。
2、小數(shù)的大小比較
常用方法：將小數(shù)排成一個(gè)豎列，并在它們的末尾添上適當(dāng)?shù)摹?”，使它們都變成小數(shù)位數(shù)相同的小數(shù)，然后比較。
（二）估算問(wèn)題
1、常用方法
1） 放縮法：為求出某數(shù)的整數(shù)部分，設(shè)法放大或縮小，將結(jié)果確定在兩個(gè)接近數(shù)之間，從而估算出結(jié)果。
2）變換結(jié)構(gòu)：將算式變形為便于估算的形式。
2、經(jīng)典步驟
估算和式整數(shù)部分：a） 令和式結(jié)果等于A；
b） 最小的數(shù)×個(gè)數(shù)＜A＜最大的數(shù)×個(gè)數(shù)；
c） 求A。
對(duì)于較簡(jiǎn)單的題目，使用“最小的數(shù)×個(gè)數(shù)＜A＜最大的數(shù)×個(gè)數(shù)”就可以確定整數(shù)部分。對(duì)于較復(fù)雜的題目，這會(huì)造成放縮幅度過(guò)大。如果出現(xiàn)此情況，設(shè)法比較原式與（最小的數(shù)+最大的數(shù)）×個(gè)數(shù)÷2的大小，以及與（中位數(shù)×個(gè)數(shù)）的大小（總共有偶數(shù)個(gè)數(shù)的時(shí)候，“中位數(shù)”視為中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）。
（三）定義新運(yùn)算
這是近年來(lái)出現(xiàn)的一種新題型，解題的過(guò)程可以歸結(jié)為經(jīng)典三步：閱讀→理解→應(yīng)用。
三：經(jīng)典透析
【例1】（☆☆☆☆）如果，，那么，中較大的數(shù)是_________。
審題要點(diǎn)： 1°通分似乎太麻煩了，怎么辦呢？
2°大小比較有6個(gè)經(jīng)典方法，這個(gè)似乎與“4 經(jīng)典結(jié)論”相仿哦！
3°發(fā)現(xiàn)了嗎？?jī)蓚€(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母的差值都相等：，
詳解過(guò)程：因?yàn)閍與b都是真分?jǐn)?shù)，且分母與分子差相同，并且＜，所以a＜b。
專家點(diǎn)評(píng)：分?jǐn)?shù)比較問(wèn)題，方法很多，做題時(shí)要注意從不同角度考慮。
下面再介紹兩種解題方法：
方法二：
1°a與b都很接近“1”；
2°聰明的你，發(fā)現(xiàn)秘密了吧！
1-a= ， 1-b=。
＞ 且a和b為真分?jǐn)?shù)，
所以a＜b。
方法（三）：比倒數(shù)。
==1， ==1，
＞ 所以a＜b。
方法（四）：兩個(gè)數(shù)相除進(jìn)行比較。
，
所以：。
同學(xué)們開(kāi)動(dòng)腦筋看還有沒(méi)有更多的思路！
【例2】（☆☆☆）如果，A與B中哪個(gè)數(shù)較大？
審題要點(diǎn)：1°快開(kāi)動(dòng)腦筋看這個(gè)題目適合用哪個(gè)方法？
2°不妨先試試比倒數(shù)。
詳解過(guò)程：，

專家點(diǎn)評(píng)： 同樣是分?jǐn)?shù)比大小的問(wèn)題，你能做出幾種解答過(guò)程呢？下面給出另外兩個(gè)解題過(guò)程。
解法二：
1°這么龐大的式子，如果能“4經(jīng)典結(jié)論”該多棒?。?br /> 2°開(kāi)動(dòng)腦筋做個(gè)小變換，，
變換后A與B分子分母相差相同的數(shù)“3”，
A與B都為真分?jǐn)?shù)且A的分子分母都較小，
所以A

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