?21、數(shù)字和與最大最小問題
　　【數(shù)字求和】
　　例1 100個連續(xù)自然數(shù)的和是8450，取其中第1個，第3個，第5個，………，第99個（所有第奇數(shù)個），再把這50個數(shù)相加，和是______。
　?。ㄉ虾Ｊ械谖鍖眯W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：第50、51兩個數(shù)的平均數(shù)是8450÷ 100= 84. 5，所以，第50個數(shù)是84。則100個連續(xù)自然數(shù)是：
　　35，36，37，………，133，134。
　　上面的一列數(shù)分別取第1、3、5、……、99個數(shù)得：
　　35，37，39，……131，133。
　　則這50個數(shù)的和是：
　　
　　例2 把1至100的一百個自然數(shù)全部寫出來，所用到的所有數(shù)碼的和是_____。
　?。ㄉ虾Ｊ械谖鍖眯W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析；可把1至100這一百個自然數(shù)分組，得
　?。?、2、3、……、9），（10、11、12、……、19），（20、21、22、……29），……，（90、91、92、……99），（100）。
　　容易發(fā)現(xiàn)前面10組中，每組的個位數(shù)字之和為45。而第一組十位上是0，第二組十位上是1，第三組十位上是2，……第十組十位上是9，所以全體十位上的數(shù)字和是（l+2+3+……+9）×10=450。故所有數(shù)碼的和是45×10+450+l=901。
　　
續(xù)若干個數(shù)字之和是1992，那么a=____。
　?。ū本┦械诎藢谩坝罕毙W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　

　　又，1992÷27=73余21，而21=8+5+7+1，所以 a=6。
　　例4 有四個數(shù)，每次選取其中三個數(shù)，算出它們的平均數(shù)，再加上另外一個數(shù)，用這種方法計算了四次，分別得到四個數(shù)：86，92，100，106。那么，原來四個數(shù)的平均數(shù)是
　?。?993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）
　　講析：每次所選的三個數(shù)，計算其平均數(shù)，實際上就是計算這三個數(shù)中

原來四個數(shù)的平均數(shù)為（86+92+100+106）÷2=192。
　　【最大數(shù)與最小數(shù)】
　　例1 三個不同的最簡真分?jǐn)?shù)的分子都是質(zhì)數(shù)，分母都是小于20的合數(shù)，要使這三個分?jǐn)?shù)的和盡可能大,這三個分?jǐn)?shù)是
　　（全國第四屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）。
　　講析： 20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19
　　要使三個分?jǐn)?shù)盡量大，必須使每個分子盡量大而分母盡量小。且三個真

　　例2 將1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)分成三組，分別計算各組數(shù)的和。已知這三個和互不相等，且最大的和是最小和的2倍。問：最小的和是多少？
　?。ㄈ珖谌龑谩叭A杯賽”決賽口試試題）
　　講析；因為1+2+3+……+8=36，又知三組數(shù)的和各不相同，而且最大的

　　例3 把20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)分別填入□中（每個質(zhì)數(shù)只用一次）：
　　
　　使A是整數(shù)。A最大是多少？
　　（第五屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）
　　講析：要使A最大，必須使分母盡量小，而分子盡量大。
　　分母分別取2、3、5時，A都不能為整數(shù)。當(dāng)分母取7時，
　　
　　例4 一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是1，最大的數(shù)是25。除1之外、這組數(shù)中的任一個數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個數(shù)的2倍，或者等于這組數(shù)中某兩個數(shù)之和。問：這組數(shù)之和的最大值是多少？當(dāng)這組數(shù)之和有最小值時，這組數(shù)都有哪些數(shù)？并說明和是最小值的理由。
　?。ㄈ珖谒膶谩叭A杯賽”決賽第一試試題）
　　 析：觀察自然數(shù)1、2、3、4、5、……、25這25個數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們除1之外，每個數(shù)都能用其中某一個數(shù)的2倍，或者某兩個數(shù)之和表示。因此，這組數(shù)之和的最大值是1+2+3+……+25=325。
　　下面考慮數(shù)組中各數(shù)之和的最小值。
　　1和25是必取的，25不能表示成一個數(shù)的2倍，而表示成兩個數(shù)之和的形式，共有12種。我們?nèi)蓚€加數(shù)中含有盡可能大的公約數(shù)的一組數(shù)（20+5）或者（10+15）。當(dāng)取1、5、20、25時，還需取2、3、10三個；當(dāng)取1、10、15、25時，還需取2、3、5。經(jīng)比較這兩組數(shù)，可知當(dāng)取1、2、3、4、5、10、15、25時，和最小是61。













22、數(shù)字串問題
　　【找規(guī)律填數(shù)】
　　例1 找規(guī)律填數(shù)
　　
　?。ê贾菔猩铣菂^(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　　　
　　（1992年武漢市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：數(shù)列填數(shù)問題，關(guān)鍵是要找出規(guī)律；即找出數(shù)與數(shù)之間有什么聯(lián)系。
　　第（1）小題各數(shù)的排列規(guī)律是:第1、3、5、……（奇數(shù)）個數(shù)分別

別是4和2。
　　第（2）小題粗看起來，各數(shù)之間好像沒有什么聯(lián)系。于是，運用分?jǐn)?shù)

得到了　
　　
　　
　　例2 右表中每豎行的三個數(shù)都是按照一定的規(guī)律排列的。按照這個規(guī)律在空格中填上合適的數(shù)。

　?。?994年天津市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：根據(jù)題意，可找出每豎行的三個數(shù)之間的關(guān)系。不難發(fā)現(xiàn)每豎行中的第三個數(shù)，是由前兩數(shù)相乘再加上1得來的。所以空格中應(yīng)填33。
　　【數(shù)列的有關(guān)問題】
　　　

數(shù)是幾分之幾？
　　（第一屆《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽試題）
　　講析：經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，分母是1、2、3、4、5……的分?jǐn)?shù)個數(shù)，分別是1、3、5、7、9……。所以，分母分別為1、2、3……9的分?jǐn)?shù)共
　
　　　
　　

　　例2 有一串?dāng)?shù)：1，1993，1992，1，1991，1990，1，1989，1988，…這個數(shù)列的第1993個數(shù)是______
　?。ㄊ讓谩冬F(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)》邀請賽試題）
　　講析：把這串?dāng)?shù)按每三個數(shù)分為一組，則每組第一個數(shù)都是1，第二、三個數(shù)是從1993開始，依次減1排列。
　　而1993÷3=664余1，可知第1993個數(shù)是1。
　　例3 已知小數(shù)0.12345678910111213……9899的小數(shù)點后面的數(shù)字，是由自然數(shù)1—99依次排列而成的。則小數(shù)點后面第88位上的數(shù)字是______。
　　（1988年上海市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：將原小數(shù)的小數(shù)部分分成A、B兩組：
　　
　　A中有9個數(shù)字，B中有180個數(shù)字，從10到49共有80個數(shù)字。所以，第88位上是4。
　　例4 觀察右面的數(shù)表（橫排為行，豎排為列）；
　　　
　　
幾行，自左向右的第幾列。（全國第三屆“華杯賽”決賽試題）
　　講析：第一行每個分?jǐn)?shù)的分子與分母之和為2，第二行每個分?jǐn)?shù)的分子與分母之和為3，第三行每個分?jǐn)?shù)的分子與分母之和為4，……即每行各數(shù)的分子與分母之和等于行數(shù)加1。
　　　

　　例5 如圖5.4，除了每行兩端的數(shù)之外，其余每個數(shù)都是與它相連的上一行的兩個數(shù)的平均數(shù)，那么第100行各數(shù)之和是_______。
　?。◤V州市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：可試探著計算每行中各數(shù)之和。第一、二、三、四行每行的各數(shù)之和分別是6、8、10、12，從而得出，每行的數(shù)字之和，是行數(shù)的2倍加4。故第100行各數(shù)之和為100×2＋4=204.
　　例6 伸出你的左手，從大拇指開始，如圖5.5所示的那樣數(shù)數(shù)：l、2、3……。問：數(shù)到1991時，會落在哪個手指上？
　?。ㄈ珖谌龑谩叭A杯賽”決賽口試試題）
　　講析：除1之外，從2開始每8個數(shù)為一組，每組第一個數(shù)都是從食指開始到拇指結(jié)束?！撸?991—1）÷8=248余6，∴剩下最后6個數(shù)又從食指開始數(shù)，會到中指結(jié)束。

　　例7 如圖5.6，自然數(shù)按從小到大的順序排成螺旋形。在“2”處拐第一個彎，在“3”處拐第二個彎……問拐第二十個彎處是哪個數(shù)？

　　（全國第一屆“華杯賽”決賽口試試題）
　　講析：寫出拐彎處的數(shù)，然后按每兩個數(shù)分為一組：（2，3），（5，7），（10，13），（17，21），（26，31），……。將會發(fā)現(xiàn)，每組數(shù)中依次相差1、2、3、4、5、……。每組的第二個數(shù)與后一組的第二個數(shù)依次相差2、3、4、5、……。從而可推出，拐第二十個彎處的數(shù)是111。
　　例8 自然數(shù)按圖5.7順次 排列。數(shù)字3排在第二行第一列。問：1993排在第幾行第幾列？

　?。ㄈ珖谒膶谩叭A杯賽”復(fù)賽試題）
　　講析：觀察每斜行數(shù)的排列規(guī)律，每斜行數(shù)的個數(shù)及方向。
　　每一斜行數(shù)的個數(shù)分別是1、2、3、4、5、……，奇數(shù)斜行中的數(shù)由下向上排列，偶數(shù)斜行中的數(shù)由上向下排列。
　　

斜行，該斜行的數(shù)是由下向上排列的，且第63行第1列是1954。
　　由于從1954開始，每增加1時，行數(shù)就減少1，而列數(shù)就增加1。所以1993的列數(shù)、行數(shù)分別是：
　　1993—1954＋1=40（列），63-（1993—1954）=24（行）

















23、數(shù)陣圖
　　【方陣】
　　例1 將自然數(shù)1至9，分別填在圖5.17的方格中，使得每行、每列以及兩條對角線上的三個數(shù)之和都相等。

　　（長沙地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：中間一格所填的數(shù)，在計算時共算了4次，所以可先填中間一格的數(shù)。
　?。╨+2+3+……+9）÷3=15，則符合要求的每三數(shù)之和為15。顯然，中間一數(shù)填“5”。
　　再將其它數(shù)字順次填入，然后作對角線交換，再通過旋轉(zhuǎn)（如圖5.18），便得解答如下。

　　例2 從1至13這十三個數(shù)中挑出十二個數(shù)，填到圖5.19的小方格中，使每一橫行四個數(shù)之和相等，使每一豎列三個數(shù)之和又相等。

　?。ā靶旅绫毙W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：據(jù)題意，所選的十二個數(shù)之和必須既能被 3整除，又能被 4整除，（三行四列）。所以，能被12整除。十三個數(shù)之和為91，91除以12，商7余7，因此，應(yīng)去掉7。每列為（91—7）÷4=21
　　而1至13中，除7之外，共有六個奇數(shù)，它們的分布如圖5.20所示。
　　三個奇數(shù)和為21的有兩種：21=1＋9+11=3＋5+13。經(jīng)檢驗，三個奇數(shù)為3、5、13的不合要求，故不難得出答案，如圖5.21所示。

　　例3 十個連續(xù)自然數(shù)中，9是第三大的數(shù)，把這十個數(shù)填到圖5.22的十個方格中，每格填一個，要求圖中三個2×2的正方形中四數(shù)之和相等。那么，這個和數(shù)的最小值是______。
　?。?992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）

　　講析：不難得出十個數(shù)為:2、3、4、5、6、7、8、9、10、11。它們的和是65。在三個2×2的正方形中，中間兩個小正方形分別重復(fù)了兩次。
　　設(shè)中間兩個小正方形分別填上a和b，則（65＋a＋b）之和必須是 3的倍數(shù)。所以，（a＋b）之和至少是7。
　　故，和數(shù)的最小值是24。
　　【其他數(shù)陣】
　　例1 如圖5.23，橫、豎各12個方格，每個方格都有一個數(shù)。
　　已知橫行上任意三個相鄰數(shù)之和為20，豎列上任意三個相鄰數(shù)之和為21。圖中已填入3、5、8和“×”四個數(shù)，那么“×”代表的數(shù)是______。

　?。?994年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）
　　講析：可先看豎格。因為每相鄰三格數(shù)字和為21，所以每隔兩格必出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字。從而容易推出，豎格各數(shù)從上而下是：3、10、8、3、10、8、3、10、8、3、10、8。
　　同理可推導(dǎo)出橫格各數(shù)，其中“×”=5。
　　例2 如圖5.24，有五個圓，它們相交后相互分成九個區(qū)域，現(xiàn)在兩個區(qū)域里已經(jīng)分別填上數(shù)字10、6，請在另外七個區(qū)域里分別填進2、3、4、5、6、7、9七個數(shù)字，使每個圓內(nèi)的數(shù)之和都是15。
　　（上海市第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）　


　　講析：可把圖中要填的數(shù)，分別用a、b、c、d、e、f、g代替。（如圖5.25）
　　顯然a=5，g=9。
　　則有：b＋c=10，e＋f=6，c＋d＋e=15。經(jīng)適當(dāng)試驗，可得b=3，c=7，d=6，e=2，f=4。
　　例3 如圖5.26，將六個圓圈中分別填上六個質(zhì)數(shù)，它們的和是20，而且每個小三角形三個頂點上的數(shù)之和相等。那么，這六個質(zhì)數(shù)的積是______。
　?。ㄈ珖谝粚谩叭A杯賽”決賽試題）
　　講析：最上面的小三角形與中間的小三角形，都有兩個共同的頂點，且每個小三角形頂點上三數(shù)之和相等。所以，最上邊圓圈內(nèi)數(shù)字與最下面中間圓圈內(nèi)數(shù)字相等。

　　同樣，左下角與右邊中間的數(shù)相等，右下角與左邊中間數(shù)相等。
　　20÷2=10，10＝2+3+5。
　　所以，六個質(zhì)數(shù)積為2×2×3×3×5×5=900。
　　例4 在圖5.27的七個○中各填上一個數(shù)，要求每條直線上的三個數(shù)中，中間一個數(shù)是兩邊兩個數(shù)的平均數(shù)?，F(xiàn)已填好兩個數(shù)，那么X=_______。
　　（1992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）

　　講析：如圖5.28，可將圓圈內(nèi)所填各數(shù)分別用a、b、c、d代替。
　　則d=15。
　　由15+c+a=17+c+b，得：a比b多2。
　　所以，b=13+2=15。進而容易算出，x=19。
　　例5 圖5.29中8個頂點處標(biāo)注的數(shù)字：
　　a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一個數(shù)都等于相鄰三個頂點

　
　　（全國第三屆“華杯賽”復(fù)賽試題）
　　講析：將外層的四個數(shù)，分別用含其它字母的式子表示，得
　　　　
　　　
　　

　　即（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0



















24、數(shù)的組成
　　【數(shù)字組數(shù)】
　　例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個數(shù)字都要用到，并且只能用一次，那么這九個數(shù)字最多能組成______個質(zhì)數(shù)。
　?。?990年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）
　　講析：自然數(shù)1至9這九個數(shù)字中，2、3、5、7本身就是質(zhì)數(shù)。于是只剩下1、4、6、8、9五個數(shù)字，它們可組成一個兩位質(zhì)數(shù)和一個三位質(zhì)數(shù)：41和689。所以，最多能組成六個質(zhì)數(shù)。
　　例2 用0、1、2、……9這十個數(shù)字組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們的和是一個奇數(shù)，并且盡可能的大。那么，這五個兩位數(shù)的和是______。
　?。?991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）
　　講析：組成的五個兩位數(shù)，要求和盡可能大，則必須使每個數(shù)盡可能大。所以它們的十位上分別　是9、8、7、6、5，個位上分別是0、1、2、3、4。但要求五個兩位數(shù)和為奇數(shù)，而1+2+3+4=10為偶數(shù)，所以應(yīng)將4與5交換，使和為：
　?。?+8+7+6+4）×10+（1+2+3+5）=351。
　　351即本題答案。
　　例3 一個三位數(shù)，如果它的每一個數(shù)字都不超過另一個三位數(shù)對應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，那么就稱它被另一個三位數(shù)“吃掉”。例如，241被342吃掉，123被123吃掉（任何數(shù)都可以被與它相同的數(shù)吃掉），但240和223互不被吃掉?，F(xiàn)請你設(shè)計出6個三位數(shù)，它們當(dāng)中任何一個數(shù)不被其它5個數(shù)吃掉，并且它們的百位上數(shù)字只允許取1、2；十位上數(shù)字只允許取1、2、3；個位上數(shù)字只允許取1、2、3、4。
　　這6個三位數(shù)是_______。
　?。ǖ谖鍖谩稄男蹟?shù)學(xué)》邀請賽試題）
　　講析：六個三位數(shù)中，任取兩個數(shù)a和b，則同數(shù)位上的數(shù)字中，a中至少有一個數(shù)字大于b，而b中至少有一個數(shù)字大于a。
　　當(dāng)百位上為1時，十位上可從1開始依次增加1，而個位上從4開始依次減少1。即：114，123，132。當(dāng)百位上為2時，十位上從1開始依次增加1而個位上只能從3開始依次減少1。即：213，222，231。經(jīng)檢驗，這六個數(shù)符合要求。
　　例4 將1、1、2、2、3、3、4、4這八個數(shù)字排成一個八位數(shù)，使得兩個1之間有一個數(shù)字；兩個2之間有兩個數(shù)字；兩個3之間有三個數(shù)字；兩個4之間有四個數(shù)字。那么這樣的八位數(shù)中的一個是______。
　?。?991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）
　　講析：兩個4之間有四個數(shù)字，則在兩個4之間必有一個數(shù)字重復(fù)，而又要求兩個1之間有一個數(shù)，于是可推知，這個重復(fù)數(shù)字必定是1，即412134或421314。然后可添上另一個2和3。
　　經(jīng)調(diào)試，得23421314，此數(shù)即為所答。
　　【條件數(shù)字問題】
　　例1 某商品的編號是一個三位數(shù)，現(xiàn)有五個三位數(shù)：874，765，123，364，925。其中每一個數(shù)與商品編號，恰好在同一位上有一個相同的數(shù)字，那么這個三位數(shù)是_______
　?。?993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）
　　講析：將五個數(shù)按百位、十位、個位上的數(shù)字分組比較，可發(fā)現(xiàn)：百位上五個數(shù)字都不同；十位上有兩個2和兩個6；個位上有兩個4和兩個5。故所求的數(shù)的個位數(shù)字一定是4或5，百位上一定是2或6。經(jīng)觀察比較，可知724符合要求。
　　例2 給一本書編頁碼，共用了1500個數(shù)字，其中數(shù)字“3”共用了_______個
　　（首屆《現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)）》邀請賽試題）
　　講析：可先求出1500個數(shù)字可編多少頁。
　　從第一頁到第9頁，共用去9個數(shù)字；從第10頁到第99頁，共用去2×90=180（個）數(shù)字；余下的數(shù)字可編（1500-189）÷3=437（頁）
　　所以，這本書共有536頁。
　　l至99頁，共用20個“3”，從100至199頁共用20個“3”，從200至299頁共用20個“3”，從300至399頁共用去120個“3”，從400至499頁共用去20個“3”，從500到536頁共用去11個“3”。所以，共用去211個數(shù)字3。
　　例3 在三位數(shù)中，數(shù)字和是5的倍數(shù)的數(shù)共有_______個。
　?。ㄈ珖谒膶谩叭A杯賽”決賽口試試題）
　　講析：可把三位數(shù)100至999共900個數(shù)，從100起，每10個數(shù)分為一組，得
　　（100，101、……109），（110、111、……119），……（990、991、……、999）
　　共分成了90組，而每組中有且只有兩個數(shù)的數(shù)字和是5的倍數(shù)，所以一共有2×90=180（個）。
　　例4 有四個數(shù)，取其中的每兩個數(shù)相加，可以得到六個和。這六個和中最小的四個數(shù)是83、87、92、94，原因數(shù)中最小的是______。
　?。ㄉ虾Ｊ械谖鍖眯W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：設(shè)原四個數(shù)從小到大為a、b、c、d，則有a+b=83，a+c=87，所以c比b大4。而對于和為92和94時，或者是b+c=92，或者是b+c=94。
　　當(dāng)b+c=92時，因c比b大4，可得b=45，進而可求得a=38。
　　當(dāng)b+c=94時，因c比b大4，可得b=44，進而可求得a=39。
　　所以，原四數(shù)中最小的數(shù)是38或39。
　　
abcd=______
　?。◤V州市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：原四位數(shù)增加8倍后得新的四位數(shù)，也就是原四位數(shù)乘以9，得新四位數(shù)（如圖5.29）。從而可知，a一定為1，否則積不能得四位數(shù)。則

　
　　例6 有兩個兩位數(shù)，它們的個位數(shù)字相同，十位數(shù)字之和是11。這兩個數(shù)的積的十位數(shù)字肯定不會是哪兩個數(shù)字？
　?。?990年《小學(xué)生報》小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：由題意可知，兩個數(shù)的十位上為（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），而個上則可以是0至9的任意一個數(shù)字。如果分別去求這兩個數(shù)的積，那是很麻煩的。
　　設(shè)這兩個數(shù)的個位數(shù)字是c，十位數(shù)字分別為a、b，則a+b=11，兩數(shù)分別為（10a+c)，（10b+c）。
　　
　　
字。
　　　　
能是6、8。
　　例7 期的記法是用6個數(shù)字，前兩個數(shù)字表示年份，中間兩個數(shù)字表示月份，后兩個數(shù)字表示日（如1976年4月5日記為760405）。
　　第二屆小學(xué)“祖杯賽”的競賽日期記為921129。這個數(shù)恰好左右對稱。因此這樣的日期是“吉祥日”。問：從87年9月1日到93年6月30日，共有_______個吉祥日。（第二屆“祖沖之杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：一個六位數(shù)從中間分開，要求左右對稱，則在表示月份的兩個數(shù)中，只有11月份。而且“年份”的個位數(shù)字只能是0、1、2。
　　所以是共有3個吉祥日：901109、911119、921129。





















25、數(shù)的整除性規(guī)律
　　【能被2或5整除的數(shù)的特征】（見小學(xué)數(shù)學(xué)課本，此處略）
　　【能被3或9整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3和9整除時，這個數(shù)便能被3或9整除。
　　例如，1248621各位上的數(shù)字之和是
　　1+2+4+8+6+2+1=24
　　3｜24，則3｜1248621。
　　又如，372681各位上的數(shù)字之和是
　　3+7+2+6+8+1=27
　　9｜27，則9｜372681。
　　【能被4或25整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末兩位數(shù)能被4或25整除時，這個數(shù)便能被4或25整除。
　　例如，173824的末兩位數(shù)為24，4｜24，則4｜173824。
　　43586775的末兩位數(shù)為75，25｜75，則25｜
　　43586775。
【能被8或125整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末三位數(shù)字為0，或者末三位數(shù)能被8或125整除時，這個數(shù)便能被8或125整除。
　　例如，32178000的末三位數(shù)字為0，則這個數(shù)能被8整除，也能夠被125整除。
　　3569824的末三位數(shù)為824，8｜824，則8｜3569824。
　　214813750的末三位數(shù)為750，125｜750，則125｜214813750。
【能被7、11、13整除的數(shù)的特征】一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末三位數(shù)字所表示的數(shù)，與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)的差（大減小的差）能被7、11、13整除時，這個數(shù)就能被7、11、13整除。
　　例如，75523的末三位數(shù)為523，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是75，523-75=448，448÷7=64，即
　　7｜448，則7｜75523。
　　又如，1095874的末三位數(shù)為874，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是1095，1095-874=221，221÷13=17，即
　　13｜221，則13｜1095874。
　　再如，868967的末三位數(shù)為967，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)是868，967-868=99，99÷11=9，即
　　11｜99，則11｜868967。
　　此外，能被11整除的數(shù)的特征，還可以這樣敘述：
　　一個數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的奇數(shù)位上數(shù)字之和，與偶數(shù)位上數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除時，則這個數(shù)便能被11整除。
　　例如，4239235的奇數(shù)位上的數(shù)字之和為
　　4+3+2+5=14，
　　偶數(shù)位上數(shù)字之和為2+9+3=14，
　　二者之差為14-14=0，0÷11=0，
　　即11｜0，則11｜4239235。















26、數(shù)的公理、定理或性質(zhì)
　　【小數(shù)性質(zhì)】小數(shù)的性質(zhì)有以下兩條：
　　（1）在小數(shù)的末尾添上或者去掉幾個零，小數(shù)的大小不變。
　?。?）把小數(shù)點向右移動n位，小數(shù)就擴大10n倍；把小數(shù)點向左移動n位，小數(shù)就縮小10n倍。
　　【分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)】一個分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者都除以同一不為零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。即
　　　
　　【去九數(shù)的性質(zhì)】用9去除一個數(shù)，求出商后余下的數(shù)，叫做這個數(shù)的“去九數(shù)”，或者叫做“9余數(shù)”。求一個數(shù)的“去九數(shù)”，一般不必去除，只要把該數(shù)的各位數(shù)字加起來，再減去9的倍數(shù)，就得到該數(shù)的“去九數(shù)”。（求法見本書第一部分“（四）法則、方法”“2．運算法則或方法”中的“棄九驗算法”詞條。）去九數(shù)有兩條重要的性質(zhì)：
　?。?）幾個加數(shù)的和的去九數(shù)，等于各個加數(shù)的去九數(shù)的和的去九數(shù)。
　?。?）幾個因數(shù)的積的去九數(shù)，等于各個因數(shù)的去九數(shù)的積的去九數(shù)。
　　這兩條重要性質(zhì)，是用“棄九驗算法”驗算加、減、乘、除法的依據(jù)。
　　【自然數(shù)平方的性質(zhì)】
（1）奇數(shù)平方的性質(zhì)。任何一個奇數(shù)的平方被8除余1。
　　為什么有這一性質(zhì)呢？這是因為奇數(shù)都可以表示為2k+1的形式，k為整數(shù)。而
　　（2k+1）2=4k2+4k+1
　　=4k（k+1）+1
　　k與k+1又是連續(xù)整數(shù)，其中必有一個是偶數(shù)，故4k（k+1）是8的倍數(shù)，能被8整除，所以“4k（k+1）+1”，即（2k+1）2能被8除余1，也就是任何一個奇數(shù)的平方被8除余1。
　　例如，272=729
　　729÷8=91……1
（2）偶數(shù)平方的性質(zhì)。任何一個偶數(shù)的平方，都是4的倍數(shù)。
　　這是因為偶數(shù)可以用2k（k為整數(shù)）表示，而（2k）2＝4k2
　　顯然，4k2是4的倍數(shù)，即偶數(shù)的平方為4的倍數(shù)。
　　例如，2162=46656
　　46656÷4=11664
　　即 4|46656
　　【整數(shù)運算奇偶性】整數(shù)運算的奇偶性有以下四條：
　?。?）兩個偶數(shù)的和或差是偶數(shù)；兩個奇數(shù)的和或差也是偶數(shù)。
　?。?）一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的和或差是奇數(shù)。
　?。?）兩個奇數(shù)之積為奇數(shù)；兩個偶數(shù)之積為偶數(shù)。
　　（4）一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之積為偶數(shù)。
　　由第（4）條性質(zhì)，還可以推廣到:
　　若干個整數(shù)相乘，只要其中有一個整數(shù)是偶數(shù)，那么它們的積就是個偶數(shù)。
　　【偶數(shù)運算性質(zhì)】偶數(shù)運算性質(zhì)有：
　?。?）若干個偶數(shù)的和或者差是偶數(shù)。
　　（2）若干個偶數(shù)的積是偶數(shù)。
　　例如，四個偶數(shù)38、126、672和1174的和，是偶數(shù)2010；用偶數(shù)相減的算式3756-128-294-1350的差，也是偶數(shù)1984。
　　【奇數(shù)運算性質(zhì)】奇數(shù)運算性質(zhì)有：
　?。?）奇數(shù)個奇數(shù)的和（差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（差）是偶數(shù)。
　?。?）若干個奇數(shù)的積是奇數(shù)。








27、數(shù)的大小概念
　　【比較分?jǐn)?shù)大小】用常規(guī)方法比較分?jǐn)?shù)大小，有時候速度很慢。采用下述辦法，往往可大大提高解題的速度。
　?。?）交叉相乘。把要比較大小的兩個分?jǐn)?shù)的分子分母交叉相乘，然后

　　
　　
　　2×5＝10， 3×3=9， 3×8=24， 5×5=25，
　　

　　之所以能這樣比較，是由于它們通分時，公分母是分母的乘積。這時，分?jǐn)?shù)的大小就只取決于分子的大小了。
　　（2）用“1”比較。當(dāng)兩個分?jǐn)?shù)都接近1，又不容易確定它們的大小
　
　
　　
　　
　　
　
　　
　　（4）化相同分子。把分子不同的分?jǐn)?shù)化成同分子分?jǐn)?shù)比較大小。有時

序排列起來：
　　
　?。?）兩分?jǐn)?shù)相除。用兩個分?jǐn)?shù)相除，看它們的商是大于1還是小于1，往往能快速地找出它們的大小關(guān)系。由于這樣做，省略了通分的過程，所以

　　
　　顯然，將它們反過來相除，也是可以的：
　　
【巧比兩數(shù)大小】若甲、乙兩數(shù)間的關(guān)系未直接給出，比較它們的大小，有一定難度。這時，可按下面的辦法去做：
　　（1）先看分子是1的情況。例如下題：
　　
　　第一種方法是直觀比較。先畫線段圖（圖4.4）：

　　由對線段圖的直觀比較可知，乙數(shù)大于甲數(shù)。
　　
　
　
　　

數(shù)。
　　
可知
　　
　　
　　（2）再看分子不是1的情況。例如下題：
　　
　　它同樣也可以用四種方法比較大小。比方
　　用直觀比較方法，可畫線段圖如下（圖4.5）：

　　由圖可知，甲數(shù)大于乙數(shù)。
　　用統(tǒng)一分子的方法，也可比較它們的大小。因為
　　
　　用圖表示就是圖4.6：

　　這就是說，把甲數(shù)分為9份，乙數(shù)分為8份，它們的6份相等。所以，它們每一份也相等。而甲數(shù)有9份，乙數(shù)只有8份，故甲數(shù)大于乙數(shù)。
　　

去，即可知道甲數(shù)大于乙數(shù)。
　　如果用轉(zhuǎn)化關(guān)系式比較。由題意可知
　　
　　根據(jù)一個因數(shù)等于積除以另一個因數(shù)，可得
　　










28、數(shù)的大小比較
　　【分?jǐn)?shù)、小數(shù)大小比較】
　　
　　（全國第二屆“華杯賽”決賽口試試題）
　　講析：這兩個分?jǐn)?shù)如果按通分的方法比較大小，計算將非常復(fù)雜。于是可采用比較其倒數(shù)的辦法去解答。倒數(shù)大的數(shù)反而較小。
　　
　　
　　
　　
　
個數(shù)是______。
　?。?992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）
　　講析：將給出的六個數(shù)分別寫成小數(shù)，并且都寫出小數(shù)點后面前四位數(shù)，則把這六個數(shù)按從大到小排列是：
　　
　　
　　
　　【算式值的大小比較】
　　例1 設(shè)A=9876543×3456789； B=9876544×3456788。
　　試比較A與B的大小。
　　（1990年《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：可將A、B兩式中的第一個因數(shù)和第二個因數(shù)分別進行比較。這時，只要把兩式中某一部分變成相同的數(shù)，再比較不同的數(shù)的大小，這兩個算式的大小便能較容易地看出來了。于是可得
　　A =9876543×（3456788＋1）
　　=9876543×3456788＋9876543；
　　B =（9876543＋1）×3456788
　　=9876543×3456788＋3456788；
　　所以，A＞B。
　　例2 在下面四個算式中，最大的得數(shù)是算式______。
　　
　　（1992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）
　　講析：如果直接把四個算式的值計算出來，顯然是很麻煩的，我們不妨運用化簡繁分?jǐn)?shù)的方法，比較每式中相同位置上的數(shù)的大小。
　　
　　　
　　
　　
　　比較上面四個算式的結(jié)果，可得出最大的得數(shù)是算式（3）。

　　例3 圖5.1中有兩個紅色的正方形和兩個藍(lán)色正方形，它們的面積

　　問：紅色的兩個正方形面積大還是藍(lán)色的兩個正方形面積大？
　?。ㄈ珖谒膶谩叭A杯賽”決賽口試試題）
　　講析：
　　

方形放入大正方形中去的辦法，來比較它們的大?。ㄈ鐖D5.2）。
　
　　
　　
　　所以，兩個藍(lán)色正方形的面積比兩個紅色正方形的面積大。








29、實踐與實際操作
　　【最短路線】
　　例1 一只螞蟻要從A處出發(fā)，經(jīng)粘合在一塊木板上的正方體（如圖5.74）的表面爬到B處。
　　請你在圖上畫出最短的路線（看得見的畫實線，看不見的畫虛線），有幾條就畫幾條。

　?。?990年“新苗杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：可將正方體的幾個面，按正視位置的前面—上面展開，前面—右面展開，左面—后面展開，左邊—上面展開，其展開圖都是由兩個正方形面組成的長方形（如圖5.75所示）。

　　根據(jù)兩點之間直線段最短的原理，故最短路線為每個長方形對角線，它們共有四條，如圖5.76所示。
　　例2 請你在圖5.77（3）、（4）、（5）上畫出三種與圖（2）不一樣的設(shè)計圖，使它們折起來后，都成為圖（1）所示的長方形盒子（粗線和各棱交于棱的中點）。
　?。ǖ谒膶谩稄男蹟?shù)學(xué)》邀請賽試題）講析：解題的關(guān)鍵，是要分清實線與虛線，然后思考它們是按什么方式展開的。

　　不難想象，其答案如圖（3）、（4）、（5）所示。

　　【切分圖形】
　　例1 請將圖5.78分成面積相等，形狀相同，且每一塊中都含有“數(shù)學(xué)競賽”字樣的四塊圖形。

　?。ā靶旅绫毙W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：從條件看，所分成的每一塊圖中，必須有四個小正方形，且只有五種（如圖5.79）。

　　根據(jù)圖中漢字的具體位置，可發(fā)現(xiàn)圖5.79中圖（1）、圖（2）明顯不合，圖（3）、圖（4）也不能分成。于是只剩下圖（5）。
　　進一步搜索，便可得到答案。答案如圖5.80所示。

　　例2 在一張正方形紙上畫兩個三角形，最多可以把這個正方形分成________塊，畫三個三角形，最多可以把這個正方形分成________塊；畫四個三角形，最多可以把這個正方形分成_________塊。
　　（1990年無錫市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：可先找出規(guī)律。
　　在正方形紙上，畫一個三角形，依次畫三條邊時，增加了（1＋1＋1）塊，最多可把它分成4塊；畫二個三角形，依次畫三條邊時，增加了（3＋3＋3）塊，共13塊；畫三個三角形，依次畫三條邊時，增加了（5＋5＋5）塊，共28塊，如圖5.81所示。
　　由此推得，畫四個三角形，可增加（7＋7＋7）塊，最多，共49塊。

　　【拼合圖形】
　　例1 圖5.82是由圖5.83中的六塊圖形拼合而成的，其中圖①放在中間一列的某一格。請在圖5.82中找出這六個圖形，并畫出來。

　?。?993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克總決賽試題）

　　講析：可先確定圖①的位置。因為圖①在中間的一列的某一格，當(dāng)圖①放在A、B、C處時，經(jīng)試驗，與其它五圖不能拼成圖5.82。
　　當(dāng)圖①放在D處時，這六幅圖可以拼成圖5.82。拼法如圖5.84所示。

　　
　　例2 7塊正方體積木堆在桌上。
　　從東、南、西、北四個方向看去，所看到的一面都只有5個正方形，而且看到的圖案是一樣的。（如圖5.85）。那么從上面看下去，看到的圖形可能是什么

　　樣的？請在圖5.86中正確的圖形下面打
　　“√”，錯誤的圖形下面打“×”。（《從小愛數(shù)學(xué)》邀請賽第五屆試題）

　　
　　講析：上面的七幅圖都是俯視圖。在看每幅圖是否正確時，關(guān)鍵是想象出將另兩塊積木，放在這五塊中哪兩塊的上面，然后分別從東西南北四個方向去看，得出的圖形是否與圖5.85相吻合。
　　經(jīng)試驗，得出的答案如圖5.86所示，即按從左往右，從上至下的位置，依次為√、√、×、√、×、√、√。

省工省時問題
　　例1 某車隊有4輛汽車，擔(dān)負(fù)A、B、C、D、E、F六個分廠的運輸任) N/ ?+ O# T- ~5 U5 ^+ s5 w
　?。▓D5.97所標(biāo)出的數(shù)是各分廠所需裝卸工人數(shù)）。若各分廠自派裝卸工，則共需33人。若讓一部分人跟車裝卸，在需要裝卸工人數(shù)較多的分廠再配備一個或幾個裝卸工，那么如何安排才能既保證各分廠所需工人數(shù)，又使裝卸工人數(shù)最少？
( h# Y. }8 A, R, m
　
運籌1.jpg (2.91 KB)
2008-9-5 11:25
　
　　（1990年《小學(xué)生報》小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
9 F5 p7 A" w9 r3 t; B4 G; c　　講析：可從需要工人數(shù)最少的E分廠著手。假定每輛車上配備3人，則需在D、C、B、A、F五處分別派1、5、2、3、4人，共需27人。* Z3 d, m7 Q6 s. H/ [
　　若每車配備4人，則需在C、B、A、F四處分別派4、1、2、3人，共需26人。# u; t% t' S4 n) d, Y1 `* d
　　若每車配備5人，則需在C、A、F三處分別派3、1、2人，共需26人。
1 d2 \; q8 n7 J: \8 E' d　　所以，上面的第二、三種方案均可，人數(shù)為26人。& W??D4 p4 u. a) }4 k" E) w" e3 c
　　例2 少先隊員在植樹中，每人植樹2棵。如果一個人挖一個樹坑需要25分鐘，運樹苗一趟（最多可運4棵）需要20分鐘，提一桶水（可澆4棵樹）需要10分鐘，栽好一棵樹需要10分鐘，現(xiàn)在以兩個人為一個小組進行合作，那么，完成植樹任務(wù)所需的最短時間是______分鐘。
3 J2 f$ j+ E( ?9 Y! m　　（福州市鼓樓區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
& Y& p# S' P. I! r7 I# Z　　講析：可將甲、乙兩人同時開始勞動的整個過程安排，用圖5.98來表示出來。5 g1 d; d) y1 x- ?- o, O6 J
　　
運籌2.jpg (9.43 KB)
2008-9-5 11:25
　　由圖可知，完成任務(wù)所需的最短時間，是85分鐘。0 h2 Q* h0 `??D4 A, g1 I$ A
　　例3 若干箱同樣的貨物總重19.5噸，只知每箱重量不超過353千克。今有載重量為1.5噸的汽車，至少需要______輛，才能保證把這些貨物一次全部運走。（箱子不能拆開）/ x- |$ m+ ~! p% p
　?。ū本┦械谄邔谩坝罕毙W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
$ g. ^+ T0 _) j- O　　講析：關(guān)鍵是要理解“至少幾輛車，才能保證一次運走”的含義。也就是說，在最大浪費車位的情況下，最少要幾輛車。
- P7 n8 z: O1 W+ N　　∵這堆貨物箱數(shù)至少有：2 v% \- b' {6 B" s: A) e
　　19500÷353≈55.2≈56（箱）；; l- \0 ^8 b: z8 V7 `
　　一輛汽車每次最多能裝的箱數(shù)：
- M3 ~- y6 y) \$ @; s. y; l" F　　1500÷353≈4.2≈4（箱）。
- t# D8 S2 [0 D/ G3 j" }　　∴一次全部運走所有貨物，至少需要汽車56÷4=14（輛）。8 u' ~3 l+ b??q??Z4 o
　　例4 如圖5.99，一條公路（粗線）兩側(cè)有7個工廠（01、02、……、07），通過小路（細(xì)線）分別與公路相連于A、B、C、D、E、F點。現(xiàn)在要設(shè)置一個車站，使各工廠（沿小路和公路走）的距離總和越小越好。這個車站應(yīng)設(shè)在一______點。
6 m4 m1 p) C* `??m. i, d9 t; @4 d　?。?992年福州市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）7 E6 x??u* ~. C" E* a/ ]6 x
　　
運籌3.jpg (5.74 KB)
2008-9-5 11:25
　　講析：從各工廠到車站，總是先走小路，小路的總長不變，所以問題可轉(zhuǎn)化為：“在一條公路上的A、B、C、D、E、F處各有一個工廠，D處有兩個工廠。要在公路上設(shè)一個站，使各廠到車站的距離總和最?。ㄈ鐖D5.100）。; D& Q6 |9 Y; d# ?# m
　　
運籌4.jpg (2.71 KB)
2008-9-5 11:25
　　顯然，車站應(yīng)設(shè)在盡量靠七個廠的中間部位。
- s9 ?' |3 ~) q$ S1 `　　如果車站設(shè)在D處，則各廠到D總長是：6 K5 j7 X- P4 W; e
　?。―A＋DF）＋（DB＋DE）＋DC=AF＋BE＋DC；
0 R: y* t4 A- f: ?) l　　如果車站設(shè)在C處，則各廠到C總長是
1 m9 A7 m2 G7 v# I7 Z% J0 P% O　　（CA＋CF）＋（BC＋CE）＋2·DC＝AF＋BE＋2·DC。9 k??\6 h1 z4 k! f2 G??k
　　比較上面兩個式子得：當(dāng)車站設(shè)在D處時，七廠到車站的距離總和最小。8 S. E2 z0 ~2 `+ P0 o. P; _# @
【費用最少問題】
% N7 Q/ }8 H+ p9 z　　例1 在一條公路上每隔100千米有一個倉庫（如圖5.101），共有五個倉庫。一號倉庫存有10噸貨物，二號倉庫存有20噸貨物，五號倉庫存有40噸貨物，其余兩個倉庫是空的?，F(xiàn)在想把所有的貨物集中存放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸1千米需要0.5元的運費，那么最少要花多少運費才行？$ I/ }5 S% x8 H: a. ^% e- p8 B
　?。ㄈ珖谝粚谩叭A杯賽”復(fù)賽試題）
$ F+ @5 m' Q" x
　　
運籌5.jpg (4.66 KB)
2008-9-5 11:25
　　講析：這類問題思考時，要盡量使運這些貨物的噸千米數(shù)的和最小。處理的方法是：“小往大處靠”。/ K* m9 ?- G2 R6 E
　　因為第五個倉庫有40噸，比第一、二倉庫貨物的總和還多。所以，盡量把第五個倉庫的貨不動或者動得最近。
. ?" f: n) r; z9 J5 V. p　　當(dāng)存放站設(shè)在第四倉庫時，一、二、五倉庫貨物運輸?shù)膰嵡讛?shù)為：
8 K, G4 ~2 O5 D& |9 b0 I+ o- y* l　　10×300＋20×200＋40×100=11000；
??}% q& H$ z! M. b2 z7 ~. v) l! Z　　當(dāng)存放站設(shè)在第五倉庫時，一、二倉庫貨物運輸?shù)膰嵡讛?shù)為：
% l3 Q; [) z' J% v: T4 U　　10×400+20×300=10000。
$ K: B6 }2 B" g0 Z3 T2 v$ p* ?　　所以，存放點應(yīng)設(shè)在第五號倉庫，運費最少。運費是0.5×10000=5000（元）。
9 M8 b) w9 z! X: y4 y* J6 }　　例2 有十個村，坐落在從縣城出發(fā)的一條公路上（如圖（5.102，單位：千米），要安裝水管，從縣城送自來水到各村，可用粗細(xì)兩種水管，粗管足夠供應(yīng)所有各村用水，細(xì)管只能供一個村用水，粗管每千米要用8千元，細(xì)管每千米要用2千元。把粗管細(xì)管適當(dāng)搭配，互相連接，可降低工程總費用。按最節(jié)省的辦法，費用應(yīng)是多少？7 ?& Z5 D/ i4 i8 S6 ]
　　（全國第一屆“華杯賽”決賽第二試試題）$ J??y; M+ Q' I, ~* Y5 b1 {
　　
運籌6.jpg (3.5 KB)
2008-9-5 11:25
　　講析：因為粗管每千米的費用是細(xì)管的4倍，所以應(yīng)該在需要安裝四根或四根以上水管的地段，都應(yīng)安裝粗管。因此，只有到最后三個村安裝細(xì)管，費用才最省。
: e( O: Y3 L5 i8 Q: ]　　不難求出，最少費用為414000元。" S# k0 f??`: Z4 X. n1 o- N% [

















30、容斥原理問題
　　例1 在1至1000的自然數(shù)中，不能被5或7整除的數(shù)有______個。
　　（莫斯科市第四屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：能被5整除的數(shù)共有1000÷5=200（個）；
　　能被7整除的數(shù)共有1000÷7=142（個）……6（個）；
　　同時能被5和7整除的數(shù)共有1000÷35=28（個）……20（個）。
　　所以，能被5或7整除的數(shù)一共有（即重復(fù)了的共有）：
　　200＋142—28=314（個）；
　　不能被5或7整除的數(shù)一共有
　　1000—314=686（個）。
　　例2 某個班的全體學(xué)生進行短跑、游泳、籃球三個項目的測試，有4名學(xué)生在這三個項目上都沒有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個項目達(dá)到了優(yōu)秀。這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表：
　　
　　求這個班的學(xué)生人數(shù)。
　　（全國第三屆“華杯賽”復(fù)賽試題）
　　講析：如圖5.90，圖中三個圓圈分別表示短跑、游泳和籃球達(dá)到優(yōu)秀級的學(xué)生人數(shù)。
　　
　　只有籃球一項達(dá)到優(yōu)秀的有
　　15—6—5+2=6（人）；
　　只有游泳一項達(dá)到優(yōu)秀的有
　　18—6—6+2=8（人）；
　　只有短跑一項達(dá)到優(yōu)秀的有
　　17—6—5＋2=8（人）。
　　獲得兩項或者三項優(yōu)秀的有
　　6＋6+5—2×2=13（人）。
　　另有4人一項都沒獲優(yōu)秀。
　　所以，這個班學(xué)生人數(shù)是13＋6＋8＋8＋4=39（人）。



















31、奇數(shù)偶數(shù)與奇偶性分析
　　【奇數(shù)和偶數(shù)】
　　例1 用l、2、3、4、5這五個數(shù)兩兩相乘，可以得到10個不同的乘積。問乘積中是偶數(shù)多還是奇數(shù)多？
　?。ㄈ珖诙谩叭A杯賽”決賽口試試題）
　　講析：如果兩個整數(shù)的積是奇數(shù)，那么這兩個整數(shù)都必須是奇數(shù)。在這五個數(shù)中，只有三個奇數(shù)，兩兩相乘可以得到3個不同的奇數(shù)積。而偶數(shù)積共有7個。所以，乘積中是偶數(shù)的多。
　　例2 有兩組數(shù)，甲組：1、3、5、7、9……、23；乙組：2、4、6、8、10、……24，從甲組任意選一個數(shù)與乙組任意選出一個數(shù)相加，能得到______個不同的和。
　?。ā冬F(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)》邀請賽試題）
　　講析：甲組有12個奇數(shù)，乙組有12個偶數(shù)。甲組中任意一個數(shù)與乙組中任意一個數(shù)相加的和，必為奇數(shù)，其中最大是47，最小是3。
　　從3到47不同的奇數(shù)共有23個。
　　所以，能得到23個不同的和。
　　本題中，我們不能認(rèn)為12個奇數(shù)與12個偶數(shù)任意搭配相加，會得到12×12=144（個）不同的和。因為其中有很多是相同的。
　　【奇偶性分析】
　　例1 某班同學(xué)參加學(xué)校的數(shù)學(xué)競賽。試題共50道。評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一道給3分，不答給1分，答錯倒扣1分。請你說明：該班同學(xué)得分總和一定是偶數(shù)。
　?。ㄈ珖谌龑谩稄男蹟?shù)學(xué)》邀請賽試題）
　　講析：如果50道題都答對，共可得150分，是一個偶數(shù)。每答錯一道題，就要相差4分，不管答錯多少道題，4的倍數(shù)總是偶數(shù)。150減偶數(shù)，差仍然是一個偶數(shù)。
　　同理，每不答一道題，就相差2分，不管有多少道題不答，2的倍數(shù)總是偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)之和為偶數(shù)。
　　所以，全班每個同學(xué)的分?jǐn)?shù)都是偶數(shù)。則全班同學(xué)的得分之和也一定是個偶數(shù)。
　　例2 5只杯子杯口全都朝上。規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)4只杯子，經(jīng)過若干次后，能否使杯口全部朝下？
　?。绹W(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克通訊賽試題）
　　講析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必須翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次。要想5只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，則翻動的總次數(shù)也一定是奇數(shù)次才能辦得到。
　　現(xiàn)在每次只翻轉(zhuǎn)4只杯子，無論翻多少回，總次數(shù)一定是偶數(shù)。
　　所以，不能使杯口全部朝下。
　　例3 某班共有25個同學(xué)。坐成5行5列的方陣。我們想讓每個同學(xué)都坐到與他相鄰的座位上去。（指前、后、左、右），能否做得到？
　?。◤V州市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題）
　　講析：如圖5.44，為了方便，我們將每一格用A或B表示，也就是與A相鄰的用B表示，與B相鄰的用A表示。
　　要想使每位同學(xué)都坐到相鄰座位上去，也就是說坐A座位的同學(xué)都要坐到B座位上去，而坐B座位上的同學(xué)都要坐到A座位上去。

　　但是，A座位共13個，而B座位共12個，所以，不管怎樣坐，要想坐A座位的同學(xué)都坐到B座位上去，是辦不到的。
　　例4 線段AB的兩個端點，一個標(biāo)以紅色，一個標(biāo)以藍(lán)色。在線段中間插入1991個分點，每個分點隨意標(biāo)上紅色或藍(lán)色。這樣分得1992條不重疊的小線段，如果把兩端點顏色不同的小線段叫做標(biāo)準(zhǔn)線段，那么標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？
　?。?992年長沙市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽預(yù)選賽試題）
　　講析：每插入一個點，無論其顏色怎樣，其非標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)增加0條或2條，所以插入1991個點后，非標(biāo)準(zhǔn)線段增加總數(shù)是一個偶數(shù)。又原非標(biāo)準(zhǔn)線段條數(shù)為1，是一個奇數(shù)，故最后得到的非標(biāo)準(zhǔn)線段必為奇數(shù)。
　　非標(biāo)準(zhǔn)線段條數(shù)+標(biāo)準(zhǔn)線段條數(shù)=1992條。
　　所以，標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)是奇數(shù)。





32、其他定理或性質(zhì)
　　【算術(shù)基本定理】任意一個大于1的整數(shù)，都能表示成若干個質(zhì)數(shù)的乘積，如果不計質(zhì)因數(shù)的順序，則這個分解式是唯一的。即任意一個大于1的整數(shù)
　　a=[p1×p2×p3×……×pn（p1≤p2≤p3≤……≤pn）其中p1、p2、p3、…、np都質(zhì)數(shù)；并且若
　　a=q1×q2×q3×…qm（q1≤q2≤q3≤…≤qm）
　　其中q1、q2、q3、…、qm都是質(zhì)數(shù)。那么，m=n，qi=pi（i=1，2，3，…，n）
　　當(dāng)這個整數(shù)是質(zhì)數(shù)時是符合定理的特例。
　　上述定理，叫做“算術(shù)基本定理”。
　　【方程同解變形定理】方程的同解變形，有下列兩個基本定理：
　　定理一 方程兩邊同時加上（或同時減去）同一個數(shù)或整式，所得的方程與原方程同解。

　　根據(jù)這一同解定理，可把方程中某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊。這種變形叫做移項。
　　例如，解方程3x=2x+5。
　　解 移項，得
　　3x-2x=5
　　合并同類項，得
　　x=5。
　　定理二 方程兩邊同時乘以（或除以）同一個不是零的數(shù)，所得的方程與原方程同解。
　　
是同解的。
　　【一筆畫的性質(zhì)】為掌握“一筆畫”的性質(zhì)，先介紹“一筆畫”的有關(guān)概念。
　　圖──用若干條線（不一定是直線段）把一些點連接起來的圖形，如圖1.7。這些點叫圖的頂點，如A、B、C、D；這些線叫圖的邊，如AB、AC、AD等。

　　點的次--每個點上所連接的線的條數(shù)，叫做這個點的“次”。如圖1.7中，A點有五條線與它相連，B點有三條線與它相連，則A點的次為5；B點有三條線與它相連，則B點的次為3。
　　奇點--點的次數(shù)為奇數(shù)，則這個點為“奇點”。如圖1.7中的A、B、C、D點，全部都是奇點。
　　偶點--點的次數(shù)為偶數(shù)，則這個點叫做“偶點”。
　　如圖1.8中的B點（4次）、D點（2次），都是偶點。一筆畫問題--在圖1.8中，能否從A點（或其他點）出發(fā)，不重復(fù)任一邊（點可隨便經(jīng)過若干次）而一筆畫出全圖的問題，叫做“一筆畫問題”（也稱“七橋問題”，見本書第九部分“七橋問題”詞條）。

　　能一筆畫的圖形，具有下面兩條性質(zhì)：
　?。?）若一個圖形中，奇點的個數(shù)不大于2，則這個圖形必能一筆畫成，否則就不能畫成。
　　例如圖1.7中，奇點有A、B、C、D四個，它無論從哪一點出發(fā)，都是不可能一筆畫成的。而圖1.8中，奇點只有A、C兩個，它是可以一筆畫成的。其畫法可如圖1.9所示：從A點出發(fā)，經(jīng)1到C，經(jīng)2到D，經(jīng)3到B，經(jīng)4到A，又經(jīng)5到B，再經(jīng)6到A，然后經(jīng)7到C，完成全圖。顯然，此圖的畫法并不止于這一種，這只是多種畫法中的一種畫法。

　?。?）若一個圖中沒有奇點，那么始點和終點必須重合；若一個圖中有兩個奇點，則這兩個奇點必是起點和終點。
　　例如圖1.10中，點A、B、C均為偶點，沒有奇點。若從A點出發(fā)，按圖外箭頭所指的方向，經(jīng)①、②、③、④、⑤，便又回到了A點。這樣，A點便既是始點又是終點。而圖1.8中有A、C兩個奇點，按性質(zhì)（1）中的畫法，可從A點出發(fā)，到C點結(jié)束，A是始點，C是終點。圖1.9（也可以從C點出發(fā)，到A點結(jié)束，C為始點，A為終點。）

平移變換
　　【平移線段】有些幾何問題，通過線段的上、下、左、右平移以后，能使問題很快地得到正確的解答。
　　例如，下面的兩個圖形（圖4.17和圖4.18）的周長是否相等？
　　單憑眼睛觀察，似乎圖4.18的周長比圖4.17的要長一些。但把有關(guān)線段平移以后，圖4.18就變成了圖4.19，其中的線段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一個正方形。于是，不難發(fā)現(xiàn)兩圖周長是相等的。

　
　　【平移空白或陰影部分】有些求陰影部分或空白部分面積的幾何題，采用平移空白部分或平移陰影部分的辦法，往往能化難為易，很快使問題求得解答。例如，計算圖4.20中陰影部分的面積。

　
　　
圓面積”，然后相加，得整個陰影部分的面積。這顯然是很費時費力的。但認(rèn)真觀察一下就會發(fā)現(xiàn)，圖4.20左半左上部的空白部分，與右半左上部的陰影部分大小一樣，只需將右半左上部的陰影部分，平移到左半左上部的空白部分，所有的陰影部分便構(gòu)成一個正方形了（如圖4.21）。所以，陰影部分的面積很快就可求得為5×5=25。
　　又如，一塊長30米，寬24米的草地，中間有兩條寬2米的走道，把草地分為四塊，求草地的面積（如圖4.22）。
　　這只要把丙向甲平移靠攏，把丁向乙平移靠攏，題目也就很快能解答出來了。（具體解法略）













33、平面圖形的計算
【周長的計算】
　　例1有9個同樣大小的小長方形，拼成一個大長方形（如圖5.54）的面積是45厘米2，求這個大長方形的周長。
　?。ǖ谒膶谩缎W(xué)生數(shù)學(xué)報》邀請賽決賽試題）
　　講析：設(shè)每個小長方形的長是a厘米，寬是b厘米。于是有
　　a×b=45÷9＝5；
　　又有：4a=5b。
　　可求得b=2，a=2.5。
　　所以大長方形的周長為6a＋7b=29（厘米）。

　　例2 圖5.55中圖（1）和圖（2）是兩個形狀、大小完全相同的大長方形，在每個大長方形內(nèi)放入四個如圖（3）所示的小長方形，斜線區(qū)域是空下來的地方，已知大長方形的長比寬多6厘米，問：圖（1），圖（2）中畫斜線的區(qū)域的周長哪個大？大多少？（全國第四屆“華杯賽”決賽試題）

　　講析：圖5.55（1）中畫斜線區(qū)域的周長恰好等于大長方形的周長，圖5.55（2）中畫斜線區(qū)域的周長明顯比大長方形周長小。二者相差2·AB。
　　從圖5.55（2）的豎直方向看，AB＝a－CD
　　圖5.55（2）中大長方形的長是a＋2b，寬是2b＋CD，
　　所以，（a+2b）-（2b＋CD）=a-CD=6（厘米）
　　故：圖5.55（1）中畫斜線區(qū)域的周長比圖5.55（2）中畫斜線區(qū)域的周長大，大12厘米。
【面積的計算】
　　例1如圖5.56，長方形ADEF的面積是16，三角形ADB的面積是3，三角形ACF的面積是4，那么三角形ABC的面積是______。

　?。ū本┦械谑畬谩坝罕毙W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：連結(jié)AE（如圖5.57），則三角形AEC的面積是16÷2-4=4。因為△ACF與△AEC等高，且面積相等。所以，CF=CE。

　　同理，△ABE的面積是16÷2-3=5，則BD∶BE=3∶5。即BE=
　　從而，△ABC的面積是16-（3＋4+2.5）=6.5。
　　例2 如圖5．58，在等邊三角形ABC中，AF=3FB，F(xiàn)H垂直于BC，已知陰影部分的面積為1平方厘米，這個等邊三角形的面積是多少平方厘米？
　?。?992年武漢市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：如圖5.59，連接△ABC各邊中點，則△ABC被分成了大小相等的四個小三角形。

　　在△DBG中，再連接各邊中點，得出將△DBG又分成了四個很小的三角形。
　　經(jīng)觀察，容易得出△ABC的面積為（1×2）×4×4=32（平方厘米）。
　　例3 三條邊長分別為5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形如圖5.60（1），將它的短直角邊對折到斜邊上去與斜邊相重合如圖5.60（2）。那么，圖5.60（2）中陰影部分（即未被蓋住部分）的面積是______平方厘米。

　?。?993年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克總決賽第一試試題）

　　講析：如圖5.60（2），設(shè)EC等于a厘米，那么DE也為a厘米。
　　△ABC的面積等于△ABE的面積加上△AEC的面積。
　　
　　
　　例4 如圖5.61，ABCD是一個梯形，已知三角形ABD的面積是12平方厘米，三角形AOD的面積比三角形BOC的面積少12平方厘米，那么梯形ABCD的面積是______平方厘米。

　　（廣州市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：可設(shè)△AOD的面積為S1。
　　則，△BOC的面積為S1＋12。
　　于是有：S△ABO=S△ABD-S△AOD＝12-S1，
　　S△ABC=S△ABO+S△BOC=（12-S1）＋（S1＋12）
　　=24（平方厘米）。
　　所以，梯形ABCD的面積是24+12=36（平方厘米）。
　　例5 梯形ABCD被兩條對角線分成了四個三角形S1、S2、S3、S4。已知S1=2厘米2，S2=6厘米2。求梯形ABCD的面積。

　?。ㄐW(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克通訊賽決賽試題）
　　講析：三角形S1和S2都是等高三角形，它們的面積比為2∶6=1∶3；
　　則：DO∶OB=1∶3。
　　△ADB和△ADC是同底等高三角形，
　　所以，S1=S3=2厘米2。
　　三角形S4和S3也是等高三角形，其底邊之比為1∶3，所以S4∶S3=1∶
　　所以，梯形ABCD的面積為
　　
　　例6 正方形邊長為20厘米（如圖5.63），已知DD′=EE′，CE=6厘米。則陰影部分三角形的面積最大值是______平方厘米。
　　（?？谑行W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

　　講析：E′點在BE段滑動，D′點在DC段滑動。
　　設(shè)DD′長a厘米。
　　D′C=20-a，E′C=a＋6。
　　
　　又因為D′C＋E′C=（20-a）＋（a＋6）=26。
　　運用等周長的長方形面積最大原理，兩個數(shù)的和一定（等于26），要把這個和分成兩個數(shù)，使這兩個數(shù)的積最大，則當(dāng)20-a=a＋6=13時，即a=7
　　=84.5（平方厘米）。
　　例7 圖5.64是一個正方形，圖中所標(biāo)數(shù)字的單位是厘米。問：陰影部分的面積是多少平方厘米？

　?。ㄈ珖谒膶谩叭A杯賽”決賽試題）
　　講析：如圖5.65，連接AC，所分成的四個小三角形分別用S1、S2、S3、S4表示。

　　容易看出S2和S3是關(guān)于OC為對稱軸的對稱圖形。
　　所以S2=S3。
　　從而不難得出S1、S2、S3、S4四個小三角形面積相等，即每個小三角
　　例8 一個正方形（如圖5.66），被分成四個長方形，它們的面積在圖中標(biāo)出（單位：平方米）。圖中陰影部分是一個正方形。那么，它的面積是______。

　?。?992年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）
　　講析：可將四個長方形分別用A、B、C、D表示（如圖5.67），陰影部分是B中的一部分。
　　大正方形的面積為1平方米，所以它的邊長為1米。
　　因為長方形C和D的寬相等，所以它們長的比等于面積比。于是得C的
　　
米。
　　例9 把大的正三角形每邊8等分，組成圖5.68所示的三角形網(wǎng)。如果每個小三角形面積是1，那么圖中粗線圍成的三角形面積是______。
　?。?988年北京市奧林匹克邀請賽試題）
　　講析：一般地，關(guān)于格點多邊形的面積，有下面的公式：

　　
　　這里，格子面積等于小正方形或平行四邊形面積，也就是小三角形面積的2倍。
　　題中，格子面積為1×2=2，內(nèi)部格點數(shù)為12，邊上格點數(shù)為4。
　　所以，粗線圍成的面積是
　　
34、判斷題的解答
　　【用篩去（消倍）法判斷】一個數(shù)能否被3整除，本來是不太難的問題。但當(dāng)一個數(shù)比較大時，用各數(shù)位上的數(shù)相加，速度很慢，而且容易出現(xiàn)口算錯誤。若用“篩去（消倍）法”來判斷，情況就大不一樣了。例如
　?。?）判斷76935能否被3整除。先直接篩去能被3整除的6、9、3，剩下的7與5，和為3的倍數(shù)，所以3|76935（3能整除76935，或76935能被3整除）。
　?。?）判斷3165493能否被3整除。先直接篩去3的倍數(shù)3、6、9、

能整除3165493，或3165493不能被3整除。）
　　【能否被7整除】一個數(shù)能否被7整除，只要把這個數(shù)的末位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去這個末位數(shù)字的2 倍，如果這時能看出所得的差能被7整除，則原來的數(shù)就能被7整除，否則就不能被7整除；若是仍看不出來，就要繼續(xù)上述過程，直到能清楚作出判斷為止。例如，判斷133能否被7整除：

　　因為差數(shù)7能被7整除，所以7|133。
　　這是什么原因呢？請看下面的算式：
　　133×2＝（13×10＋3）×2
　　＝13×20＋3×2
　　=13×（21-1）+3×2
　　=13×21－13＋3×2
　　=13×7×3-（13-3×2）
　　顯然，13×7×3中有約數(shù)7，它能被7整除，故只要檢驗后面的（13-3×2）能否被7整除就可以了。（原理可見第一部分的整除性定理）
　　如果要判斷的數(shù)的位數(shù)很多，那么，將這種做法一直進行下去就是。例如，判斷62433能否被7整除：

　　∵7|42，∴7|62433
　　這樣的判定方法可稱作“割尾法”。一個數(shù)能否被11、13、17和19整除，也可用割尾法去判斷。
　　【能否被11整除】判斷一個數(shù)能否被11整除，可以采用割尾法、奇偶位差法及分節(jié)求和法。
　　（1）割尾法。一個數(shù)能否被11整除，只要把它的末尾數(shù)字截去，從余下的數(shù)里減去這個末位數(shù)，看所得的差能否被11整除。差能整除的，原來的數(shù)就能整除；差不能整除的，原來的數(shù)就不能整除。如一次所得的差還看不出能否被11整除，就繼續(xù)上述過程，直到能作出判斷為止。例如，判斷2629能否被11整除：

　　因為11｜22，所以11｜2629。
　　之所以能這么判斷，原因在于
　　2629=2620+9
　　=262×10+9
　　=262×（11-1）+9
　　=262×11-262+9
　　=262×11-（262-9）
　　在262×11中有因數(shù)11，所以只要看（262-9）的差能否被11整除，就可判斷原來的2629能否被11整除。
　　而（262-9）的差是253，
　　253=250+3
　　=25×10+3
　　=25×（11-1）+3
　　=25×11-25+3
　　=25×11-（25-3）
　　同樣，只要看（25-3）能否被11整除，就會知道253能否被11整除。進而便可知2629能否被11整除了。
　?。?）奇偶位差法。判斷一個數(shù)能否被11整除，可先分別求出此數(shù)的奇位數(shù)字之和及偶位數(shù)字之和，再求這兩個和的差數(shù)，若這個差能被11整除，則原來的那個數(shù)就能被11整除；否則，原來的數(shù)就不能被11整除。例如，判斷823724能否被11整除：
　　∵它的奇位數(shù)字之和為4+7+2=13（數(shù)位數(shù)，從右邊個位開始往左數(shù)），
　　它的偶位數(shù)字的和為2+3+8=13
　　兩個和的差數(shù)是13-13=0（兩數(shù)不等時用大數(shù)減小數(shù)）
　　而 11｜0
　　∴11｜823724
　　之所以能這樣判斷，是因為
　　823，724
　　=8×100，000+2×10，000+3×1，000+7×100+2×10+4
　　=8×（100，001-1）+2×（9，999+1）+3×（1，001-1）+7×（99+1）+2×（11-1）+4
　　=8×100，001+2×9，999+3×1，001+7×99+2×11+[（2+7+4）-（8+3+2）]
　　顯然，在前幾項中，因數(shù)100，001、9，999、1，001、99、11都是11的倍數(shù)，故只需檢驗[（2+7+4）-（8+3+2）]
　　能否被11整除，就可以作出判斷了。
　?。?）分節(jié)求和法。把一個自然數(shù)從右向左每兩位截為一節(jié)，然后把這些節(jié)加起來。若所得的和能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除；否則，這個數(shù)就不能被11整除。在這一情況下，如果仍不能作出判斷，那就繼續(xù)上述過程，直到清楚地作出判斷為止。例如，判斷762421能否被11整除：
　　
　　這一判斷方法的理由，可見下面的算式：
　　762421=76×10000+24×100+21
　　=76×（9999+1）+24×（99+1）+21
　　=76×9999+76+24×99+24+21
　　=76×9999+24×99+（76+24+21）
　　在前兩項中，因數(shù)9999和9都能被11整除，所以只需要檢驗后面的（76+24+21）能否被11整除了。能整除的原數(shù)就能被11整除；不能整除的原數(shù)，就不能被11整除。
　　【能否被13整除】一個數(shù)能否被13整除，可采用“割尾法”判斷：截去末位數(shù)字，余下的數(shù)加上末位數(shù)的4倍。所得的和是13的倍數(shù)，則這個數(shù)就能被13整除，否則，就不能被13整除。要是割尾一次仍不能作出判斷，那就繼續(xù)割尾，直到能作出判斷為止。例如，判斷364能否被13整除：

　　∵13｜52，∴13｜364。
　　這一判斷的理由，可由下式看出：
　　364×4=（36×10+4）×4
　　=36×40+4×4
　　=36×（39+1）+4×4
　　=36×39+36+4×4
　　=36×13×3+（36+4×4）
　　前面的36×13×3中，有約數(shù)13，所以作出判斷時，只需要檢驗（36+4×4）是否能被13整除了。
　　【能否被17整除】一個數(shù)能否被17整除，同樣可用“割尾法”作巧妙而快速地判斷。不過，具體地做法有所不同。例如，判斷731能否被17整除，判斷方法如下：

　　∵17｜68，∴17｜731。
　　這樣做的理由，可見下面的算式推導(dǎo)：
　　731×5=（73×10+1）×5
　　=73×50+1×5
　　=73×（51-1）+1×5
　　=73×51-73+1×5
　　=73×17×3-（73-1×5）
　　由于前面的73×17×3有約數(shù)17，故只需檢驗（73-1×5）能否被17整除，就知道“731×5”能否被17整除。知道“731×5”能否被17整除，也就是知道731能否被17整除了（根據(jù)整除性定理）。
　　若是“割尾”一次仍不能作出判斷，那就依法繼續(xù)割尾下去，直到能作出判斷為止。例如，判斷279191能否被17整除， 可以作如下割尾判斷：

　　∵17｜17，∴17｜279191
　　【能否被19整除】一個數(shù)能否被19整除，也是可用“割尾法”作巧妙判斷的，具體做法如
　　判斷475能否被19整除：

　　∵19｜57，∴19｜475。
　　其中的道理，可見下面的算式推導(dǎo)：
　　475×2=（47×10+5）×2
　　=47×20+5×2
　　=47×（19+1）+5×2
　　=47×19+（47+5×2）
　　最后算式中的47×19有約數(shù)19，故只需要檢驗（47+5×2）能否被19整除，就知道“475×2”及“475”能否被19整除了。
　　如果一次“割尾”仍不能作出判斷，那就繼續(xù)“割尾”下去，直至能作出判斷為止。例如，判斷14785能否被19整除：

排列與組合
【有條件排列組合】
　　例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數(shù)字能夠組成______個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。
　　（哈爾濱市第七屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：用這十個數(shù)字排列成一個不重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)時，百位上不能為0，故共有9種不同的取法。
　　因為百位上已取走一個數(shù)字，所以十位上只剩下9個數(shù)字了，故十位上有9種取法。
　　同理，百位上和個位上各取走一個數(shù)字，所以還剩下8個數(shù)字，供個位上取。
　　所以，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有
　　9×9×8=648（個）。
　　例2 甲、乙、丙、丁四個同學(xué)排成一排，從左到右數(shù)，如果甲不排在第一個位置上，乙不排在第二個位置上，丙不排在第三個位置上，丁不排在第四個位置上，那么不同的排法共有______種。
　?。?994年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題）
　　講析：因每個人都不排在原來的位置上，所以，當(dāng)乙排在第一位時，其他幾人的排法共有3種；同理，當(dāng)丙、丁排在第一位時，其他幾人的排法也各有3種。
　　因此，一共有9種排法。
　　例3 有一種用六位數(shù)表示日期的方法，如890817表示1989年8月17日，也就是從左到右第一、二位數(shù)表示年，第三、四位數(shù)表示月，第五、六位數(shù)表示日。如果用這種方法表示1991年的日期，那么全年中六個數(shù)字都不相同的日期共有______天。
　?。?991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題）
　　講析：第一、二位數(shù)字顯然只能取9和1，于是第三位只能取0。
　　第五位數(shù)字只能取0、1、2或3，而0和1已取走，當(dāng)取3時，第六位上只能取0和1，顯然不行。因此，第五位上只能取2。
　　于是，第四位上只能取3、4、5、6、7、8；第六位上也只能取3、4、5、6、7、8，且第四、六位上數(shù)字不能取同。
　　所以，一共有 6×5=30（種）。
【環(huán)形排列】
　　例1 編號為1、2、3、4的四把椅子，擺成一個圓圈。現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人去坐，規(guī)定甲、乙兩人必須坐在相鄰座位上，一共有多少種坐法？
　?。ㄩL沙市奧林匹克代表隊集訓(xùn)試題）
　　講析：如圖5.87，四把椅子排成一個圓圈。
　　
　　當(dāng)甲坐在①號位時，乙只能坐在②或④
　　號位上，則共有4種排法；同理，當(dāng)甲分別坐在②、③、④號位上時，各有4種排法。
　　所以，一共有16種排列法。
　　例2 從1至9這九個數(shù)字中挑出六個不同的數(shù)填在圖5.88的六個圓圈中，使任意相鄰兩個圓圈內(nèi)數(shù)字之和都是質(zhì)數(shù)，那么最多能找出______種不同的挑法來。（挑出的數(shù)字相同，而排列次序不同的都只算一種）
　　
　?。ū本┦械诰艑谩坝罕毙W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：在1至9這九個自然數(shù)中，奇數(shù)有1、3、5、7、9五個，偶數(shù)有2、4、6、8四個。要使排列之后，每相鄰兩個數(shù)字之和為質(zhì)數(shù)，則必須奇數(shù)與偶數(shù)間隔排列，也就是每次取3個奇數(shù)和3個偶數(shù)。
　　從五個奇數(shù)中，取3個數(shù)共有10種方法；
　　從四個偶數(shù)中，取3個數(shù)共有4種方法。
　　但并不是每一種3個奇數(shù)和3個偶數(shù)都可以排成符合要求的排列。經(jīng)檢驗，共有26種排法。

























35、邏輯思路
　　“邏輯思路”，主要是指遵循邏輯的四大基本規(guī)律來分析推理的思路。
　　【同一律思路】同一律的形式是：“甲是甲”，或“如果甲，那么甲”。它的基本內(nèi)容是，在同一思維過程中，同一個概念或同一個思想對象，必須保持前后一致性，亦即保持確定性。這是邏輯推理的一條重要思維規(guī)律。運用這一規(guī)律來解題，我們把它叫同一律思路。
　　例1 某公安人員需查清甲、乙、丙三人誰先進辦公室，三人口供如下：
　　甲：丙第二個進去，乙第三個進去。
　　乙：甲第三個進去，丙第一個進去。
　　丙：甲第一個進去，乙第三個進去。
　　三人口供每人僅對一半，究竟誰第一個進辦公室？
　　分析（用同一律思路推理）；
　　這一類問題具有非此即彼的特點。比如甲是否是第一個進辦公室只有兩種可能：是或非。我們用1表示“是”，0表示“非”，則可把口供列表處理。
　?。?）若甲第一，則依據(jù)丙的口供見左表，這個表與甲的口供僅對一半相矛盾；
　?。?）若甲非第一，則依據(jù)丙的口供，乙第三個進去，進行列表處理如右表，與“三人口供僅對一半”相符。
　
　　從而可以判定，丙最先進入辦公室。
　　這個問題也可以不列表而用同一律推理。
　　甲的話第一句對，第二句錯，則丙第二，乙不是第三，又不是第二，自然乙第一，甲第二，這個結(jié)論與丙說的話“半對半錯”不符。因此，有甲的第一句錯，第二句對。即乙第三個進去，丙不是第二個，自然是第一個。這個結(jié)論與乙的話“半對半錯”相符：甲不是第三，丙是第一。并且這個結(jié)論與丙的話“半對半錯”也相符：甲不是第一，乙是第三。
　　在整個思維過程中，我們對三人的話“半對半錯”進行了一一驗證，直到都符合題目給定的條件為止。
　　例2 從前一個國家里住著兩種居民，一個叫寶寶族，他們永遠(yuǎn)說真話；另一個叫毛毛族，他們永遠(yuǎn)說假話。一個外地人來到這個國家，碰見三位居民，他問第一個人：“請問你是哪個民族的人？”
　　“匹茲烏圖?！蹦莻€人回答。
　　外地人聽不懂，就問其他兩個人：“他說的是什么意思？”
　　第二個人回答：“他說他是寶寶族的?！?br /> 　　第三個人回答：“他說他是毛毛族的?！?br /> 　　請問，第一個人說的話是什么意思？第二個人和第三個人各屬于哪個民族？
　　分析（用同一律思路思考）：
　　如果第一個人是寶寶族的，他說真話，那么他說的是“我是寶寶族的”。如果這個人是毛毛族的，他說假話，他說的還是“我是寶寶族的”。這就是說，第一個人不管是什么民族的，那句話的意思都是：“我是寶寶族的”。
　　根據(jù)這一推理，那么第二個人回答“他說他是寶寶族的”這句話是真的，而從條件可知，說真話的是寶寶族人，因此可以判斷第二個人是寶寶族人。
　　不管第一個人是什么民族的，根據(jù)前面推理已知他說的話是“我是寶寶族的”，而第三個人回答“他說他是毛毛族的”顯然是錯的，而說假話的是毛毛族人，因此可以斷定第三個人是毛毛族人。
　　我們在分析本題時，始終保持了思維前后的一致性，這就是同一律思路的具體運用。
　　【不矛盾律思路】不矛盾律的形式是“甲不是非甲”。它的基本內(nèi)容是：同一對象，在同一時間內(nèi)和同一關(guān)系下，不能具有兩種互相矛盾的性質(zhì)，它是邏輯推理的又一重要規(guī)律，運用不矛盾律來推理、思考某些問題的解答，這種思路我們把它叫做不矛盾律思路。
　　例1 有三個和尚，一個講真話，一個講假話，另外一個有時講真話，有時講假話。一天，一位智者遇到這三個和尚，他先問左邊的那個和尚：“你旁邊的是哪一位？”和尚回答說“講真話的。”他又問中間的和尚：“你是哪一位？”和尚答：“我是半真半假的?！彼詈髥栍疫叺暮蜕校骸澳闩赃吺悄囊晃唬俊贝穑骸爸v假話的。”根據(jù)他們的回答，智者馬上分清了他們，你能分清嗎？
　　分析（運用不矛盾律思路探討）：
　　兩件相互矛盾對立的事情，如果一件是不正確的，另一件就是正確的，這就是不矛盾律的基本思路。我們先假設(shè)左邊和尚講的是真的，那么中間的和尚是講真話的，但這與他的回答：“我是半真半假的”矛盾，所以左邊和尚講真話這一假設(shè)不對。從而左邊和尚講的是假話，他一定不是講真話的和尚。中間那個和尚也一定不是講真話的，所以右邊的和尚是講真話的和尚。根據(jù)他的話，中間是講假話的和尚，剩下左邊的和尚自然就是半真半假的。
　　例2 一次學(xué)校舉行田徑運動會，A、B、C、D、E五個班取得了團體前五名，發(fā)獎后有人問他們的名次，回答是：
　　A班代表說：“B是第三名，C是第五名?！?br /> 　　B班代表說：“D是第二名，E是第四名?！?br /> 　　C班代表說：“A是第一名，E是第四名?！?br /> 　　D班代表說：“C是第一名，B是第二名。”
　　E班代表說：“D是第二名，A是第三名?！?br /> 　　最后，他們都補充說：“我的話是半真半假的?！闭埬闩袛嘁幌?，他們各個班的名次。
　　分析（用不矛盾律思路分析）：
　　先簡化一下記法，比如B班是第三名，則寫成B-3，其它類似，這樣五個班代表的講話可簡記為：
　　（1）B-3，C-5。
　?。?）D-2，E-4。
　?。?）A-1，E-4。
　　（4）B-2，C-1。
　　（5）A-3，D-2。
　　假設(shè)（1）的前半句是真的，即B-3，那么由（4）有C-1，由（3）知A-1不對，有E-4；再由（2）知D-2不對，從（5）知A-3，這與假設(shè)矛盾，所以（1）中正確的應(yīng)是C-5，于是由（4）知C-1不對，應(yīng)該是B-2，進而知（2）D-2不對，有E-4，并知（5）D-2不對，有A-3，最后只剩下D及第一名，所以知道D應(yīng)為第一名。
　　最后排出名次自然就非常簡單了。
　　上述敘述雖然簡化了記號，但文字表述仍然覺得累贅，所以還可以借助圖表表達(dá)上述推理過程。

　　如圖2.21，假設(shè)B-3，在B上畫一個圓圈（左圖），表示推理的起點，找到另一個B，則應(yīng)是不對的，畫一個“×”，再找與這個B同行的“C”，它應(yīng)是對的，畫一個“√”，找與C同列的“A”，它不對，畫一個“×”，等等。最后A-3被畫了一個“√”，這與B-3相矛盾，故B-3是錯的。在這個“B”上畫一個“×”，重新開始推理（右圖）。
　
　　從（1）的C開始，因B-3是錯的，則C-5記“√”，則（4）中C-1畫“×”，B-2記“√”，由此推出（5）D-2記“×”，（2）D-2記“×”，……從表中可以看出，B-2，A-3、E-4、C-5，那么誰是第一，表中雖然未表達(dá)，但明眼人一看就知道了。
　　【排中律思路】排中律的形式是“或者是甲，或者是非甲”。它的基本內(nèi)容是：同一對象在同一時間內(nèi)和同一關(guān)系下，或者是具有某種性質(zhì)?；蛘呤遣痪哂心撤N性質(zhì)，二者必居其一，不能有第三種情況。它是處理肯定判斷與否定判斷之間的關(guān)系的一個規(guī)律。運用這一規(guī)律來推理的思路，我們把它叫排中律思路。
　　排中律和不矛盾律的基本作用是相同的，即都是排除思想中的矛盾。但也有區(qū)別：一是適用范圍不同，不矛盾律的適用范圍寬，既適用于互相反對的判斷，也適用于互相矛盾的判斷，排中律的作用范圍窄些，只適用于互相矛盾的判斷，不適用互相反對的判斷；二是要求不同，不矛盾律要求對互相反對的和互相矛盾的判斷，不能同時斷定其中每一個都是真的，因為其中至少有一個是假的。排中律則要求：對于互相矛盾的判斷，必須肯定其中一個是真，因為其中必有一真，不能都假。如果我們確定了某一個是正確的，根據(jù)不矛盾律，就可以得出另一個是錯誤的。反過來。如果我們確定了某一個是錯誤的，根據(jù)排中律，就可以得出另一個是正確的。從這方面來看，如果說不矛盾律提供我們邏輯否定的基礎(chǔ)，那么排中律則主要提供我們邏輯肯定的基礎(chǔ)；三是邏輯錯誤性質(zhì)不同，不矛盾律要求的邏輯錯誤是“自相矛盾”，排中律要求的邏輯錯誤是“模棱兩不可”。
　　例1 老師有一黑兩白三頂帽子，給兩個學(xué)生看后，讓他們閉上眼睛，從中取出兩頂給他們戴上，然后讓他們睜開眼睛，互相看清對方戴的帽子，并立即說出自己頭上戴的帽子是什么顏色，兩位同學(xué)都不能立即說出，請問你知道這兩位學(xué)生戴的各是什么顏色的帽子嗎？
　　分析（運用排中律思路思索）：
　　假設(shè)你是這兩個學(xué)生中的一個，因為你知道只有一頂黑帽子，當(dāng)你看到對方戴的是黑帽子時，你能判斷自己戴的帽子顏色嗎？可以的，根據(jù)排中律：“非此即彼”，你一定會推斷出自己戴的是白帽子。
　　現(xiàn)在兩個學(xué)生都不能利用排中律很快地說出自己戴的是白帽子，說明他們兩人都沒有看見黑帽子，由此斷定，老師給兩位學(xué)生戴的是兩頂白帽子。
　　例2 曾實、張曉、毛梓青在一起，一位是工程師、一位是醫(yī)師、一位是教師?，F(xiàn)在只知道：
　?。?）毛梓青比教師年齡大；
　?。?）曾實和醫(yī)師不同歲；
　?。?）醫(yī)師比張曉年齡小。
　　你能確定誰是工程師？誰是醫(yī)師？誰是教師嗎？
　　分析（沿著排中律思路探索）：
　　根據(jù)排中律的要求，如果我們能確定某個是錯誤的，就可以得出另一個是正確的?，F(xiàn)在已知（1）曾實和醫(yī)師不同歲，（2）醫(yī)師比張曉年齡小，就可以判定曾實和張曉都不是醫(yī)師，因此只有毛梓青是醫(yī)師；
　　若張曉是教師，則根據(jù)（1）毛梓青比教師年齡大，即毛梓青比張曉年齡大，與（3）醫(yī)師比張曉年齡小，即毛梓青比張曉年齡小，這兩個結(jié)論是互相矛盾的，因此張曉不可能是教師。張曉既不是醫(yī)師（因為毛梓青是醫(yī)師），又不是教師，所以張曉應(yīng)該是工程師了。因為三個人、三個職業(yè)，已經(jīng)確定了毛梓青是醫(yī)師，張曉是工程師，剩下的曾實只能是教師了。
　　該題的思路還可以用下表表示：

　　【充足理由律思路】充足理由律的形式是：“所以有甲，是因為有乙”。它的意思是說，任何正確的思想，一定有它的充足理由；任何思想，只有當(dāng)它具有充足的理由時，這種思想才能被認(rèn)為是正確的。在數(shù)學(xué)中，如果由條
　　正確的，A就是B的正確性的充分理由。因此B的正確性要以A的正確性為基礎(chǔ)，而要使A的正確性得到確認(rèn)，又得為它提出充足的理由，照此類推。這樣，當(dāng)我們要論證某一思想是正確的時候，常常要引證一系列的理由。以此連鎖引證下去，直到最后的理由——它的正確性已經(jīng)確定，并且得到普遍承認(rèn)的。具體說來有下列三種：（1）明顯的事實，它可以為人們所直接感知的；（2）公理；（3）科學(xué)的規(guī)律。當(dāng)然在實際進行論證時，并不是總要引證到最后的理由，數(shù)學(xué)中已經(jīng)證明過的定理、定律、公式、法則等，都可以作為論證所根據(jù)的理由。
　　充足理由律是進行推理的基礎(chǔ)。運用充足理由律來思考數(shù)學(xué)問題，我們把它叫做充足理由律思路。
　　例1 200米賽跑，張強比李軍快0.2秒，王明的成績是39.4秒，趙剛的成績比王明慢0.9秒，但比張強快0.1秒，林林比張強慢3秒，請你給這五人排出名次來。
　　分析（運用充足理由律思路思索）：
　　題中有兩種概念。一是成績好壞，需要進行量的計算；二是快慢關(guān)系推理，先用計算量進行比較推理。
　　抓住“各人跑200米需要的時間”為比較量。并設(shè)字母A、B、C、D、E來分別表示張強、李軍、王明、趙剛、林林的時間。
　　∵王明的成績是39.4秒，趙剛的成績比王明慢0.9秒（即C=39.4秒，D=C＋0.9）
　　∴D=39.4+0.9=40.3（秒）
　　又∵ 趙剛比張強快0.1秒（即D＋0.1＝A）
　　∴A=40.3＋0.1=40.4（秒）（傳遞性）
　　又∵張強比李軍快0.2秒（即A=B-0. 2）
　　∴B=A＋0.2=40.4＋0.2=40.6（秒）
　　又∵林林比張強慢3秒（即A=E-0.3）
　　∴E=A＋3=40.4＋3=43.4（秒）
　　由43.4＞40.6＞40.4＞40.3＞39.4
　　即 E＞B＞A＞D＞C
　　誰是第一、誰是第二、第三、第四、第五名，不就一目了然了嗎？
　　本題還可以單純用快慢關(guān)系來進行判斷。
　　∵ A＜B，D＞C， D＜A， E＞A，
　　可得B、E均＞A＞D＞C，
　　∴一、二、三名分別應(yīng)是C、D、A。
　　但第四、五名仍需計算。
　　由E=A＋3秒，B=A＋0.2秒，
　　可知E＞B，
　　故 B是第四，E是第五名。
　　例2 填數(shù)使下列豎式成立：
　　
　　分析（運用充足理由律思路來探討這兩個式題）：
　　第（1）題。抓住乘、除法法則和乘除的互逆關(guān)系去思考。
　　∵( )( )×5=33( )
　　∴只要求得 33( )÷5=( )( )，就可以得出豎式被乘數(shù)了，現(xiàn)可知33( )÷5商的十位得6，故被乘數(shù)的十位應(yīng)是6，個位是幾呢？
　　再往下看：乘數(shù)35的十位數(shù)字是3，3與被乘數(shù)個位相乘的積的末尾數(shù)字要是8，顯然只有3與6相乘末尾數(shù)字才能是8，所以被乘數(shù)是66。
　　找到了被乘數(shù)是66以后，其他數(shù)字自然就容易找到了。
　　第（2）題仍抓住除法算式特征和乘除的互逆關(guān)系去找理由。
　　由除法豎式特征第二次余數(shù)為0，只好把被除數(shù)十位數(shù)和個位數(shù)同時移下，故可得y=0。
　　∴x＞8。
　　又∵1≤x≤9，∴x=9，
　　則商數(shù)為9807。
　　∴ab≥12。
　　故ab=12。
　　此題確定了商和除數(shù)，其他數(shù)字自然就容易找了。

36、連續(xù)數(shù)求和的速算
　　苦干個連續(xù)整數(shù)求和的問題，可以分為“連續(xù)自然數(shù)求和”、“連續(xù)奇數(shù)求和”與“連續(xù)偶數(shù)求和”三類。
　　【連續(xù)自然數(shù)求和】幾個連續(xù)的自然數(shù)相加，可以把它們的首項和末項相加，把所得的結(jié)果除以2以后，再乘以項數(shù)，得到的便是這幾個連續(xù)自然數(shù)的和。
　　例如，13＋14＋15＋16+17+18＋19＋20＋21＋22
　　=（13+22）÷2×10
　　=17.5×10
　　=175
　　如果加數(shù)的個數(shù)（項數(shù)）是奇數(shù)（單數(shù)），也可以直接用排列在正中間的數(shù)（中間項）乘以項數(shù)，去求它們的和。例如
　　
　　=15×9 （中間項）
　　=135
　　【連續(xù)奇數(shù)求和】連續(xù)奇數(shù)的求和，也可以用上面介紹的“連續(xù)自然數(shù)求和的速算”方法去速算。例如
　　3+5＋7+ 9＋11＋13+ 15＋17＋19
　?。剑?＋19）÷2×9
　　=11×9
　　=99
　　
　　=11（中間項）×9（項數(shù)）
　　=99
　　如果是從1開始的幾個連續(xù)奇數(shù)求和，則可以用這些奇數(shù)的個數(shù)自乘，便得到這幾個連續(xù)奇數(shù)的和。例如
　　1＋3＋5+ 7＋9＋11=6×6=36（奇數(shù)個數(shù)是6）
　　1+3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21
　　=11×11
　　=121。（奇數(shù)個數(shù)是11）
　　【連續(xù)偶數(shù)求和】 連續(xù)偶數(shù)的求和，同樣可以用“連續(xù)自然數(shù)求和的速算”方法速算。例如
　　8＋10＋12＋14＋16＋18+20+22＋24
　?。剑?＋24）÷2×9
　　=144
　　如果連續(xù)偶數(shù)是從2開始的，即求從2開始的連續(xù)偶數(shù)之和，則可以用這些偶數(shù)的個數(shù)乘以個數(shù)加1之和，就得到這幾個連續(xù)偶數(shù)的和。例如
　　2＋4＋6＋8＋10=5×（5+1）（偶數(shù)個數(shù)是5）
　　=30
　　2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＋22＋24＋26
　　=13×（13＋1）（偶數(shù)個數(shù)是13）
　　=182












37、利用間接條件
　　【利用隱含的間接條件】 發(fā)現(xiàn)和利用隱含的間接條件來解答題目，往往能克服所學(xué)知識不夠所造成的困難，大大減少計算的時間。例如

　　如圖4.65，已知正方形面積為18平方厘米，求陰影部分的面積。
　　一般解法是用正方形面積，減去圓的面積。但在小學(xué)階段，大家還不會求圓的半徑或直徑怎么辦呢？
　　因為圓面積公式是
　　
　　
刃而解。至于能否求出r或d這樣的直接條件，是并不重要的。所以，可以用下面的方法來解答：
　　

便是
　　18-14.3=3.87（平方厘米）
　　
　　
　　陰影部分的面積便是
　　18-14.13=3.87（平方厘米）
　?。?）若把正方形面積擴大2倍，則面積為36平方厘米，新正方形的邊長就是6厘米，即隨之也擴大了2倍的新圓的直徑為6厘米，半徑為3厘米。所以隨之而擴大了2倍的陰影部分的面積是
　　
　　=7.74（平方厘米）
　　原來的陰影部分的面積便是
　　7.74÷2=3.87（平方厘米）
　　又如，如圖4.66，ABCD為矩形，里面有一個最大的半圓，OC=10厘米，求陰影部分的面積。

　　解題時，可將矩形分割為兩個小正方形，并連結(jié)O、D。因為△DOC是等腰三角形，OC=OD=10厘米，所以
　　
　　
　　
　　故陰影部分的面積便是
　　100-3.14×50÷2＝100-78.5
　　=21.5（平方厘米）
　　【利用定比】 利用題目中不變的“定比”來解題，有時也能使題目得到較快地解答。這也是利用間接條件去解答題目。
　　我們?nèi)砸陨厦娴牡谝粋€例子（圖4.65）為例。按照擴、縮圖形的思路，可將它一分為四，得到圖4.67。
　
　　
小正方形的面積和陰影部分的面積也會改變。不過，變化中有個不變的因素，即陰影部分面積和小正方形面積之比是不變的。實際上，這也是題目中的一個間接條件。
　　設(shè)小正方形邊長為a，則陰影部分面積占小正方形面積的
　　
　　所以，原圖陰影部分的面積是
　　18÷4×21.5％×4=4.5×21.5％×4
　　=0.9675×4
　　=3.87（平方厘米）
　　或者是18×21.5％=3.87（平方厘米）
　　顯然，只要是由這樣的基本圖形拼合的圖形，如以下四圖（圖4.68），都可用“21.5％”（即21.5∶100）這一定比，去求圖中的陰影部分的面積。（解略）



38、立體圖形的計算
　　【表面積的計算】
　　例1 一個正方體木塊，棱長1米，沿水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成4長條，每條又鋸成5小塊，共得到大小不等的長方體60塊（如圖5.69）。那么，這60塊長方體的表面積的和是平方米。

　?。?988年北京小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克邀請賽試題）
　　講析：不管每次鋸的長方體大小如何，橫著鋸2次一共增加了4個正方形面；前后豎直方向鋸3次共增加了6個正方形面；左右豎直方向鋸4次共增加了8個正方形面。原來大正方體有6個正方形面，所以一共有24個正方形面。
　　所以，60塊長方體的表面積之和是
　　（1×1）×24＝24（平方米）。
　　例2 圖5.70是由19個邊長都是2厘米的正方體重疊而成的。求這個立體圖形的外表面積。

　?。ū本┦械谝粚谩坝罕毙W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：如果按每一層有多少個正方體，然后再數(shù)出每層共有多少個外表面正方形，則很麻煩。于是，我們可采用按不同的方向來觀察的方法去計算。
　　俯視，看到9個小正方形面；正視，看到10個小正方形面；側(cè)視，看到8個小正方形面。
　　所以，這個立體圖形的表面積是（2×2）×[（9＋10＋8）×2]=216（平方厘米）。
　　【體積的計算】
　　例1 一個正方體的紙盒中恰好能放入一個體積為628立方厘米的圓柱體，如圖5.71，紙盒的容積有多大？（π取3.14）

　?。ㄈ珖谒膶谩叭A杯賽”復(fù)賽試題）
　　講析：因圓柱體的高、底面直徑以及正方體的棱長都相等。故可設(shè)正方
　
　　
　　
　　即：正方體紙盒的容積是800立方厘米。
　　例2 在一個棱長4厘米的正方體的上面、右面、前面這三個面的中心分別挖一個邊長1厘米的正方形小孔（如圖5. 72所示），并通過對面，求打孔后剩下部分的體積。

　?。ū本┦械诙谩坝罕毙W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）。
　　講析：打完孔之后，在大正方體正中央就有一個1×1×1的空心小正方體。
　　三個孔的體積是（1×1×4）×3-（1×1×1）×2=10（立方厘米）。
　　所以，打孔后剩下部分的體積是4×4×4—10=54（立方厘米）。
　　例3 一個長、寬、高分別是21厘米、15厘米、12厘米的長方體，從它的上面盡可能大地切下一個正方體，然后從剩余部分中再盡可能大地切下一個正方體，最后再從第二次剩余部分盡可能大地切下一個正方體，剩下的體積是多少立方厘米？
　?。ū本┦械诎藢谩坝罕毙W(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）
　　講析：解本題的關(guān)鍵，是要想到每次以哪個邊長作棱長去切下正方體。實際上，我們可以將三個數(shù)輪換相減，即，在三個數(shù) 21、 15、12中，第一次取最小數(shù)12為棱長切下一個正方體；第二次取大數(shù)與
小數(shù)的差21—12=9為棱長切下一個正方體；第三次取15與9的差為棱長切下一個正方體（如圖5.73）

　　所以，剩下的體積是
　　21×15×12-（123+93+63)=107（立方厘米）。













39、解應(yīng)用題的公式
　　【和差問題公式】
　?。ê?差）÷2=較大數(shù)；
　?。ê?差）÷2=較小數(shù)。
　　【和倍問題公式】
　　和÷（倍數(shù)+1）=一倍數(shù)；
　　一倍數(shù)×倍數(shù)=另一數(shù)，
　　或 和-一倍數(shù)=另一數(shù)。
　　【差倍問題公式】
　　差÷（倍數(shù)-1）=較小數(shù)；
　　較小數(shù)×倍數(shù)=較大數(shù)，
　　或 較小數(shù)+差=較大數(shù)。
　　【平均數(shù)問題公式】
　　總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)。
　　【一般行程問題公式】
　　平均速度×?xí)r間=路程；
　　路程÷時間=平均速度；
　　路程÷平均速度=時間。
　　【反向行程問題公式】反向行程問題可以分為“相遇問題”（二人從兩地出發(fā)，相向而行）和“相離問題”（兩人背向而行）兩種。這兩種題，都可用下面的公式解答：
　　（速度和）×相遇（離）時間=相遇（離）路程；
　　相遇（離）路程÷（速度和）=相遇（離）時間；
　　相遇（離）路程÷相遇（離）時間=速度和。
　　【同向行程問題公式】
　　追及（拉開）路程÷（速度差）=追及（拉開）時間；
　　追及（拉開）路程÷追及（拉開）時間=速度差；
　?。ㄋ俣炔睿磷芳埃ɡ_）時間=追及（拉開）路程。
　　【列車過橋問題公式】
　?。蜷L+列車長）÷速度=過橋時間；
　?。蜷L+列車長）÷過橋時間=速度；
　　速度×過橋時間=橋、車長度之和。
　　【行船問題公式】
　?。?）一般公式：
　　靜水速度（船速）+水流速度（水速）=順?biāo)俣龋?br /> 　　船速-水速=逆水速度；
　?。?biāo)俣?逆水速度）÷2=船速；
　?。?biāo)俣?逆水速度）÷2=水速。
　?。?）兩船相向航行的公式：
　　甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=甲船靜水速度+乙船靜水速度
　　（3）兩船同向航行的公式：
　　后（前）船靜水速度-前（后）船靜水速度=兩船距離縮?。ɡ螅┧俣?。
　　（求出兩船距離縮小或拉大速度后，再按上面有關(guān)的公式去解答題目）。
　　【工程問題公式】
　　（1）一般公式：
　　工效×工時=工作總量；
　　工作總量÷工時=工效；
　　工作總量÷工效=工時。
　　（2）用假設(shè)工作總量為“1”的方法解工程問題的公式：
　　1÷工作時間=單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾；
　　1÷單位時間能完成的幾分之幾=工作時間。
　?。ㄗ⒁猓河眉僭O(shè)法解工程題，可任意假定工作總量為2、3、4、5……。特別是假定工作總量為幾個工作時間的最小公倍數(shù)時，分?jǐn)?shù)工程問題可以轉(zhuǎn)化為比較簡單的整數(shù)工程問題，計算將變得比較簡便。）
　　【盈虧問題公式】
　?。?）一次有余（盈），一次不夠（虧），可用公式：
　?。ㄓ?虧）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)。
　　例如，“小朋友分桃子，每人10個少9個，每人8個多7個。問：有多少個小朋友和多少個桃子？”
　　解（7+9）÷（10-8）=16÷2
　　=8（個）………………人數(shù)
　　10×8-9=80-9=71（個）………………………桃子
　　或8×8+7=64+7=71（個）（答略）
　　（2）兩次都有余（盈），可用公式：
　?。ù笥?小盈）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)。
　　例如，“士兵背子彈作行軍訓(xùn)練，每人背45發(fā)，多680發(fā)；若每人背50發(fā)，則還多200發(fā)。問：有士兵多少人？有子彈多少發(fā)？”
　　解（680-200）÷（50-45）=480÷5
　　=96（人）
　　45×96+680=5000（發(fā)）
　　或50×96+200=5000（發(fā)）（答略）
　?。?）兩次都不夠（虧），可用公式：
　?。ù筇?小虧）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)。
　　例如，“將一批本子發(fā)給學(xué)生，每人發(fā)10本，差90本；若每人發(fā)8本，則仍差8本。有多少學(xué)生和多少本本子？”
　　解（90-8）÷（10-8）=82÷2
　　=41（人）
　　10×41-90=320（本）（答略）
　　（4）一次不夠（虧），另一次剛好分完，可用公式：
　　虧÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)。
　?。ɡ裕?br /> 　?。?）一次有余（盈），另一次剛好分完，可用公式：
　　盈÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)。
　?。ɡ裕?br /> 　　【雞兔問題公式】
　?。?）已知總頭數(shù)和總腳數(shù)，求雞、兔各多少：
　?。偰_數(shù)-每只雞的腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（每只兔的腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）=兔數(shù)；
　　總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)。
　　或者是（每只兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù)）÷（每只兔腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）=雞數(shù)；
　　總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。
　　例如，“有雞、兔共36只，它們共有腳100只，雞、兔各是多少只？”
　　解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；
　　36-14=22（只）……………………………雞。
　　解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………雞；
　　36-22=14（只）…………………………兔。
　?。ù?略）
　?。?）已知總頭數(shù)和雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)雞的總腳數(shù)比兔的總腳數(shù)多時，可用公式
　?。恐浑u腳數(shù)×總頭數(shù)-腳數(shù)之差）÷（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)；
　　總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)
　　或（每只兔腳數(shù)×總頭數(shù)+雞兔腳數(shù)之差）÷（每只雞的腳數(shù)+每只免的腳數(shù)）=雞數(shù)；
　　總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。（例略）
　?。?）已知總數(shù)與雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)兔的總腳數(shù)比雞的總腳數(shù)多時，可用公式。
　?。恐浑u的腳數(shù)×總頭數(shù)+雞兔腳數(shù)之差）÷（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)；
　　總頭數(shù)-兔數(shù)=雞數(shù)。
　　或（每只兔的腳數(shù)×總頭數(shù)-雞兔腳數(shù)之差）÷（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=雞數(shù)；
　　總頭數(shù)-雞數(shù)=兔數(shù)。（例略）
　　（4）得失問題（雞兔問題的推廣題）的解法，可以用下面的公式：
　?。?只合格品得分?jǐn)?shù)×產(chǎn)品總數(shù)-實得總分?jǐn)?shù)）÷（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）=不合格品數(shù)?；蛘呤强偖a(chǎn)品數(shù)-（每只不合格品扣分?jǐn)?shù)×總產(chǎn)品數(shù)+實得總分?jǐn)?shù)）÷（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）=不合格品數(shù)。
　　例如，“燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產(chǎn)一個合格品記4分，每生產(chǎn)一個不合格品不僅不記分，還要扣除15分。某工人生產(chǎn)了1000只燈泡，共得3525分，問其中有多少個燈泡不合格？”
　　解一 （4×1000-3525）÷（4+15）
　　=475÷19=25（個）
　　解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）
　?。?000-18525÷19
　　=1000-975=25（個）（答略）
　　（“得失問題”也稱“運玻璃器皿問題”，運到完好無損者每只給運費××元，破損者不僅不給運費，還需要賠成本××元……。它的解法顯然可套用上述公式。）
　?。?）雞兔互換問題（已知總腳數(shù)及雞兔互換后總腳數(shù)，求雞兔各多少的問題），可用下面的公式：
　　〔（兩次總腳數(shù)之和）÷（每只雞兔腳數(shù)和）+（兩次總腳數(shù)之差）÷（每只雞兔腳數(shù)之差）〕÷2=雞數(shù)；
　　〔（兩次總腳數(shù)之和）÷（每只雞兔腳數(shù)之和）-（兩次總腳數(shù)之差）÷（每只雞兔腳數(shù)之差）〕÷2=兔數(shù)。
　　例如，“有一些雞和兔，共有腳44只，若將雞數(shù)與兔數(shù)互換，則共有腳52只。雞兔各是多少只？”
　　解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2
　　=20÷2=10（只）……………………………雞
　　〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2
　　=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）
　　【植樹問題公式】
　?。?）不封閉線路的植樹問題：
　　間隔數(shù)+1=棵數(shù)；（兩端植樹）
　　路長÷間隔長+1=棵數(shù)。
　　或 間隔數(shù)-1=棵數(shù)；（兩端不植）
　　路長÷間隔長-1=棵數(shù)；
　　路長÷間隔數(shù)=每個間隔長；
　　每個間隔長×間隔數(shù)=路長。
　?。?）封閉線路的植樹問題：
　　路長÷間隔數(shù)=棵數(shù)；
　　路長÷間隔數(shù)=路長÷棵數(shù)
　　=每個間隔長；
　　每個間隔長×間隔數(shù)=每個間隔長×棵數(shù)=路長。
　　（3）平面植樹問題：
　　占地總面積÷每棵占地面積=棵數(shù)
　　【求分率、百分率問題的公式】
　　比較數(shù)÷標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=比較數(shù)的對應(yīng)分（百分）率；
　　增長數(shù)÷標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=增長率；
　　減少數(shù)÷標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=減少率。
　　或者是
　　兩數(shù)差÷較小數(shù)=多幾（百）分之幾（增）；
　　兩數(shù)差÷較大數(shù)=少幾（百）分之幾（減）。
　　【增減分（百分）率互求公式】
　　增長率÷（1+增長率）=減少率；
　　減少率÷（1-減少率）=增長率。
　　
比甲丘面積少幾分之幾？”
　　解 這是根據(jù)增長率求減少率的應(yīng)用題。按公式，可解答為
　　

百分之幾？”
　　解 這是由減少率求增長率的應(yīng)用題，依據(jù)公式，可解答為
　　　
　　【求比較數(shù)應(yīng)用題公式】
　　標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×分（百分）率=與分率對應(yīng)的比較數(shù)；
　　標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×增長率=增長數(shù)；
　　標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×減少率=減少數(shù)；
　　標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×（兩分率之和）=兩個數(shù)之和；
　　標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×（兩分率之差）=兩個數(shù)之差。
　　【求標(biāo)準(zhǔn)數(shù)應(yīng)用題公式】
　　比較數(shù)÷與比較數(shù)對應(yīng)的分（百分）率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)；
　　增長數(shù)÷增長率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)；
　　減少數(shù)÷減少率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)；
　　兩數(shù)和÷兩率和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)；
　　兩數(shù)差÷兩率差=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)；
　　【方陣問題公式】
　?。?）實心方陣：（外層每邊人數(shù)）2=總?cè)藬?shù)。
　　（2）空心方陣：
　?。ㄗ钔鈱用窟吶藬?shù)）2-（最外層每邊人數(shù)-2×層數(shù)）2=中空方陣的人數(shù)。
　　或者是
　?。ㄗ钔鈱用窟吶藬?shù)-層數(shù)）×層數(shù)×4=中空方陣的人數(shù)。
　　總?cè)藬?shù)÷4÷層數(shù)+層數(shù)=外層每邊人數(shù)。
　　例如，有一個3層的中空方陣，最外層有10人，問全陣有多少人？
　　解一 先看作實心方陣，則總?cè)藬?shù)有
　　10×10=100（人）
　　再算空心部分的方陣人數(shù)。從外往里，每進一層，每邊人數(shù)少2，則進到第四層，每邊人數(shù)是
　　10-2×3=4（人）
　　所以，空心部分方陣人數(shù)有
　　4×4=16（人）
　　故這個空心方陣的人數(shù)是
　　100-16=84（人）
　　解二 直接運用公式。根據(jù)空心方陣總?cè)藬?shù)公式得
　　（10-3）×3×4=84（人）
　　【利率問題公式】利率問題的類型較多，現(xiàn)就常見的單利、復(fù)利問題，介紹其計算公式如下。
　?。?）單利問題：
　　本金×利率×?xí)r期=利息；
　　本金×（1+利率×?xí)r期）=本利和；
　　本利和÷（1+利率×?xí)r期）=本金。
　　年利率÷12=月利率；
　　月利率×12=年利率。
　?。?）復(fù)利問題：
　　本金×（1+利率）存期期數(shù)=本利和。
　　例如，“某人存款2400元，存期3年，月利率為10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”
　　解 （1）用月利率求。
　　3年=12月×3=36個月
　　2400×（1+10．2％×36）
　　=2400×1．3672
　　=3281．28（元）
　?。?）用年利率求。
　　先把月利率變成年利率：
　　10．2‰×12=12．24％
　　再求本利和：
　　2400×（1+12．24％×3）
　　=2400×1．3672
　　=3281．28（元）（答略）
　?。◤?fù)利率問題例略）

















40、解一般題用得較多的技巧
　　【巧換角度】 從多種角度去思考、分析復(fù)合應(yīng)用題，不僅可找到多種解題方法，而且還可找到比較巧妙的解法。例如：
　　“挖一段56米長的水溝，每天挖7米，已經(jīng)挖了5天。照這樣計算，剩下的還要挖幾天？”
　　按一般思考角度，可先求剩下的長度，再求要挖的天數(shù)。如果能換一個角度，先求共要挖的天數(shù)，再求還要挖的天數(shù)，那么解答起來就既簡便，又巧妙了：
　　56÷7-5=8-5
　　=3（天）
　　

了多少名女隊員？”
　　如按一般的思考角度，應(yīng)抓住“女隊員人數(shù)”去尋找解法和答案?？墒沁@在小學(xué)的知識范圍內(nèi)，顯然有一定困難，題目似乎是無法可解的。但是，只要轉(zhuǎn)換一個角度，從“男隊員人數(shù)”方面去思考、分析，前景就“柳暗花明了”：
　　
所以男隊員人數(shù)是
　　
　　
在有的男女隊員總數(shù)便是
　　
　　于是，轉(zhuǎn)進來的女隊員人數(shù)便是
　　250-240=10（名）
　　【巧妙替換】 有些應(yīng)用題，已給的條件常出現(xiàn)兩種或更多種不同屬性的量，并且在不同量之間存在有換算關(guān)系。這時，暫用其中的一種量去替換另一種量，有時候往往會給題目的解答，帶來不少方便。例如
　　“工地用5輛大車和4輛小車一次共運來水泥42.5噸，已知每輛大車比每輛小車多運4噸，每輛大車和每輛小車各運來水泥多少噸？”
　　題目中有兩個未知數(shù)，解答起來有一定困難。但運用替換方法，把4輛小車換成大車，題目的解答就變得比較容易：
　　設(shè)每輛小車都多運4噸，那么小車運的噸數(shù)就和大車同樣多了（也就是將小車都轉(zhuǎn)換為大車了）。這時，4輛小車就會共增加運量
　　4×4=16（噸）
　　總共運的噸數(shù)就會增加到
　　42.5＋16=58.5（噸）。
　　這58.5噸便是（5＋4）輛大車運的水泥數(shù)，所以，每輛大車運來的水泥便是
　　58.5÷（5＋4）=58.5÷9
　　=6.5（噸）
　　每輛小車運來的水泥便是
　　6.5-4＝2.5（噸）
　　顯然，將大車轉(zhuǎn)換為小車（即將小車去替換大車解題），也是可以的。
　　又如，“買3千克奶糖的錢與買4.8千克水果糖的價錢相等。買4千克巧克力的錢與買6千克奶糖的錢相等。那么，買9千克巧克力的錢可買水果糖多少千克？”
　　題目的條件中沒有具體的錢數(shù)，可用替換方法去解。但巧克力與水果糖不能直接替換，需要通過奶糖這一中間的“媒介”去進行替換。
　　解題方法可以是：
　　（1）6千克奶糖是3千克奶糖的多少倍？
　　6÷3=2（倍）
　?。?）6千克奶糖可換多少水果糖？
　　4.8×2=9.6（千克）
　?。?）1千克巧克力的錢可買多少水果糖？
　　9.6÷4=2.4（千克）
　?。?）9千克巧克力的錢可以買多少水果糖？
　　2.4×9=21.6（千克）
　　列成綜合算式便是
　　4.8×（6÷3）÷4×9=4.8×2÷4×9
　　=9.6÷4×9
　　=21.6（千克）（答略）
　　【巧用等量關(guān)系】 有些應(yīng)用題已知條件間的關(guān)系比較復(fù)雜。但是，如果能從這些復(fù)雜的關(guān)系中，找到一種合適的等量關(guān)系，則常?？墒箚栴}較簡捷地解答出來。這是一種力求尋找和巧用最佳等量關(guān)系的解題方法。例如
　　“甲乙二人需要做同樣多的零件數(shù)，甲比乙每天多做5個，乙因病中途休息了3天，所以8天后甲做的零件數(shù)剛好是乙做的零件數(shù)的2倍。求這時甲乙二人各做的零件個數(shù)?！?br /> 　　由題中的條件，可以得到兩組等量關(guān)系：
　　甲每天做的個數(shù)-乙每天做的個數(shù)=5………①
　　甲8在做的個數(shù)=乙8天后做的個數(shù)×2………②
　　設(shè)甲每天做x個，則乙每天做（x-5）個；
　　設(shè)乙每天做x個，則甲每天做（x+5）個。
　　設(shè)元列方程以后，若使用等量關(guān)系①，很明顯，方程的解答是比較繁瑣的，因為分?jǐn)?shù)需要通分。于是，我們便選擇等量關(guān)系②來列方程解題：
　　設(shè)乙每天做零件x個，則甲每天做零件（x＋5）個。于是，有方程
　　（x+5）×8=2×（8-3）x
　　
　　進而可知，甲每天做的是 20+5=25（個）
　　8天后甲做的是 25×8=200（個），
　　8天后乙做的是 20×（8-3）=100（個）
　　（答略）
　　　　
36名學(xué)生到乙校學(xué)習(xí)，則甲乙兩校學(xué)生人數(shù)相等。甲乙兩校原來各有學(xué)生多少？”
　　在題目中，可以找到三組等量關(guān)系：
　　甲校原來人數(shù)-乙校后來人數(shù)=36…………①
　　甲校原來人數(shù)-36=乙校原來人數(shù)+36…………②
　　
　　經(jīng)過比較，利用等量關(guān)系①列方程解題，顯然比較簡便：
　　設(shè)兩校共有x人，可得方程為
　　　
　　
　　
　　乙校原有720-396=324（人） （答略）
　　在利用等量關(guān)系解題時，有時候通過“單位1”，可以找到最巧妙的解法。比方下面的這一道工程問題：
　　“一項工程，甲獨做24天完成，丙獨做40天完成，甲、乙、丙三人合做，10天可以完成。這項工程如果由乙來獨做，多少天可以完成？”
　　在題目條件中，我們可以得到下面的兩組等量關(guān)系：
　　乙工效=三人工效和-（甲+乙）的工效…………①
　　乙工效×工時=工作總量…………………………②
　　然后，通過巧用“單位1”，還可找到更好的辦法：
　　設(shè)乙獨做，x天可以完成。若把整個工程看作“單位1”，那么乙每天
　
　　
　
　
　　
　　所以，其解答就比較簡便、快速而巧妙了：
　　設(shè)乙單獨做，x天可以完成，則有
　　
　　
　　即乙獨做30天可以完成。（答略）
【巧用直覺思維】 有些題目的條件和結(jié)構(gòu)比較特殊，常常不需要把全部條件用于計算解題，而只要根據(jù)其特殊性，經(jīng)過一次或兩次計算，就能將題目解答出來。這是“巧用直覺思維”的解法。例如
　　“從同一個地點步行到火車站，甲要40分鐘，乙要30分鐘。甲比乙先走5分鐘，乙出發(fā)后，要走多少分鐘才能追上甲？”
　　
　
　　
　　若巧用直覺思維解答，可以這樣去思考、解答：
　　甲先走5分鐘，他比乙會晚到火車站5分鐘。那么，追及時，應(yīng)是乙在路程的中心點追上，故可直接用30÷2=15（分鐘），求得題目的答案。（答略）
　　又如，“工廠運來一批煤，計劃每天燒3噸，可以燒12天。實際上每天比原計劃節(jié)約0.6噸，實際上比原計劃可多燒多少天？”
　　巧用直覺思維，可以這樣思考：實際每天節(jié)約煤0.6噸，相當(dāng)于實際每

　
　　
　　再如，“有一只底面半徑為30厘米的圓柱形水桶，桶中有一段半徑為10厘米的圓柱形鋼材浸沒在水中。當(dāng)鋼材從水桶中取出時，桶里的水下降了5厘米。這段鋼材有多長？”
　　按一般方法解，必須先求鋼材的體積（即下降的水的體積），再求鋼材底面積，然后求鋼材的長。這是很麻煩、很費時的。若用直覺思維思考、解答，可以設(shè)想一下鋼材底面積同水面積的關(guān)系，再找出鋼材長與水面下降部分的關(guān)系，便可不用求積，而直接求出鋼材的長度：
　　根據(jù)水面半徑30厘米和鋼材底面半徑10厘米，可知它們的關(guān)系是：鋼
　

妙的解答方法：
　　5×9=45（厘米） （答略）
【巧妙放縮】 有些應(yīng)用題，由于條件和問題的特殊情況，從直接給出的已知條件中不容易找到簡捷的解題途徑。這時，我們不妨把某一個已知條件擴大或縮小一定的倍數(shù)，促使其他條件相應(yīng)地發(fā)生變化，由此往往能找到簡單的解法。例如
　　“5千克大米的價錢相當(dāng)于0.8千克食油的價錢，如果2元錢可買2.5千克大米，那么8元錢可買多少千克食油？”
　　按一般方法解答，需要先求出5千克大米的價錢是多少，再求出0.8千克食油的價錢，然后求出每千克食油的價錢，進而才可求出8元錢可買的食油的數(shù)量。
　　若采用“放縮方法”，可把其中一個條件放大幾倍來思考：將2元錢買2.5千克大米這一條件放大4倍，可知8元錢可買10千克大米。因為5千克大米的價錢相當(dāng)于0.8千克食油的價錢，所以，10千克大米的價錢可買食油0.8×2=1.6（千克），即8元錢可買食油1.6千克。（答略）
　　有些典型應(yīng)用題，也可以用“放縮方法”去解答，從而較快、較巧妙地找出它的答案。例如
　　“雞兔同籠，共頭48個，共足114只。問：雞兔各有多少只？”
　　如果把雞和兔的足數(shù)縮小2倍，則雞的足數(shù)和頭數(shù)相等，兔的足數(shù)為頭數(shù)的2倍。這時，雞和兔的總足數(shù)與總頭數(shù)（總只數(shù)）的差數(shù)，就是兔子的只數(shù)，故可這樣解答：
　　114÷2-48=9（只）……………兔數(shù)
　　48-9=39（只）…………………雞數(shù) （答略）
　　上面兩例，是單純用放大，或單純用縮小的辦法解答的。但有些較復(fù)雜的應(yīng)用題，就既要用“放大法”，又需用“縮小法”，才能使問題正確而快速地解答出來。
　　例如
　　“甲乙兩個商店去年平均每月的利潤，甲店比乙店多5萬元。已知甲店

元？”
　　
　
　　　　
　　根據(jù)這一新條件解題，還難很快發(fā)現(xiàn)其數(shù)量關(guān)系，這時不妨把這個條件再縮小2倍，于是得到
　　
　　這樣得到的新條件中，就可以清楚地看出，甲店比乙店每月多的5萬元，也就是甲店比乙店多的那個
　　
　　于是，甲店每月的利潤數(shù)便是
　　
　　乙店每月的利潤數(shù)便是
　　6.25-5=1.25（萬元） （答略）
　　還有比這更復(fù)雜一些的問題，可結(jié)合其他解法來運用“放縮方法”，使問題得到解答。例如下面的這道英國名題——“第三牧場的牛數(shù)問題（實際上也是個牛頓問題）”：
　　“有三個牧場，場上的牧草長得同樣的茂盛和同樣的快，它的面積分別
　　
　　二牧場飼養(yǎng)21頭牛，可維持9個星期。假若第三牧場飼養(yǎng)的牛，在該場要維持18個星期，那么，這牧場應(yīng)養(yǎng)牛多少頭？”（注：草料是邊吃邊生長的。）
　　按照“牛頓問題”的解法來死套，是很難找到解法的。不過，當(dāng)我們運用“放縮法”，假定三個牧場面積同樣大，這一道在三個牧場牧牛群的復(fù)雜題目，就會變成在同一牧場牧牛群的簡單題目了。這是因為題目中已交代：三牧場牧草同樣的茂盛，并且長得同樣的快。
　　
倍數(shù)），則
　　第一牧場可以有牛
　　
　　第二牧場可以有牛
　　21×（120÷10）=252（頭）（仍是9個星期可以吃完）
　　那么，第三牧場是多少頭牛18個星期可以吃完呢？
　　這一道用放大了的假定數(shù)據(jù)編成的題目，還可以改編成一道與它同解的應(yīng)用題：
　　“有一個牧場，養(yǎng)牛432頭，4個星期可以吃完全部草料。若養(yǎng)牛252頭，則9個星期可以吃完全部草料。如果要在18個星期內(nèi)吃完這牧場里的全部草料，那么，它應(yīng)該養(yǎng)牛多少頭呢？（草料是邊吃邊生長的）”
　　這是一道簡單點的“牛頓問題”，可用“牛頓問題”的解法解答如下：
　　因為432頭牛4星期吃的草料，等于432×4=1728（頭牛一星期吃的草料）
　　252頭牛9星期吃的草料，等于
　　252×9=2268（頭牛一星期吃的草料）
　　而4星期吃完與9星期吃完，要相差
　　2268-1728=540（頭牛一星期吃的草料）
　　顯然，這多出的草料，是
　　9-4=5（個星期）
　　之內(nèi)新長出的草料。所以，牧場一個星期長出的草料是
　　540÷5=108（頭牛一星期吃的草料）
　　因此，這牧場最初有的草料是
　　（432-108）×4=1296（頭牛吃一星期的草料）
　　現(xiàn)在，這1296頭牛吃一星期的草料，要求能維持18個月，則能飼養(yǎng)的牛數(shù)就只能是
　　1296÷18=72（頭）
　　但這牧場的草料是不斷生長的，還必須用108頭牛來吃掉每個星期新長出的草料，所以，能飼養(yǎng)的牛數(shù)總共是
　　72＋108=180（頭）
　　不過，這還只是假定這牧場為120英畝所得的結(jié)果。實際上第三牧場面積只有24英畝，比假定數(shù)縮小了
　　120÷24=5（倍）
　　故第三牧場飼養(yǎng)的牛數(shù)，也應(yīng)比這180頭縮小5倍。于是可知，第三牧場飼養(yǎng)的牛數(shù)便是
　　180÷5=36（頭） （答略）
　　這道題的解答，顯然是得益于“放縮方法”，將復(fù)雜題轉(zhuǎn)化為基本題以后，才找到其解答的。

相關(guān)教案

奧數(shù)五年級下冊 第2講：消去法解題（二） 教案：

這是一份奧數(shù)五年級下冊 第2講：消去法解題（二） 教案，共10頁。教案主要包含了教學(xué)重點，教學(xué)難點，教學(xué)準(zhǔn)備，教學(xué)過程等內(nèi)容，歡迎下載使用。

奧數(shù)五年級上冊 第3講：消去法解題（一） 教案：

這是一份奧數(shù)五年級上冊 第3講：消去法解題（一） 教案，共8頁。教案主要包含了教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點，教學(xué)難點，教學(xué)準(zhǔn)備，教學(xué)過程等內(nèi)容，歡迎下載使用。

小學(xué)奧數(shù)題型與解題思路第41講~第60講含解析教案：

這是一份小學(xué)奧數(shù)題型與解題思路第41講~第60講含解析教案，共81頁。教案主要包含了一元一次方程解法，分式方程解法，加法交換律，加法結(jié)合律，直角三角形旋轉(zhuǎn)，直角梯形旋轉(zhuǎn)，半圓旋轉(zhuǎn)，點與線的計數(shù)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)教案 更多

小學(xué)奧數(shù)題型與解題思路第11講~第20講含解析教案

小學(xué)奧數(shù)題型與解題思路第11講~第20講含解析教案
小學(xué)奧數(shù)題型與解題思路第1講~第10講含解析教案

小學(xué)奧數(shù)題型與解題思路第1講~第10講含解析教案
【講義】五年級 奧數(shù)《舉一反三》 第21講 假設(shè)法解題

【講義】五年級 奧數(shù)《舉一反三》 第21講 假設(shè)法解題
【講義】六年級 奧數(shù)《舉一反三》 第21講“不變量”解題

【講義】六年級 奧數(shù)《舉一反三》 第21講“不變量”解題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
競賽專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部