?1、最值問題
【最小值問題】
　　例1 外賓由甲地經乙地、丙地去丁地參觀。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中點，原來就各有一位民警值勤。為了保證安全，上級決定在沿途增加值勤民警，并規(guī)定每相鄰的兩位民警（包括原有的民警）之間的距離都相等?，F(xiàn)知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。
　　
　?。ā吨腥A電力杯》少年數(shù)學競賽決賽第一試試題）
　　講析：如圖5.91，現(xiàn)在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各處中點各有一位民警，共有7位民警。他們將上面的線段分為了2個2500米，2個4000米，2個2000米?，F(xiàn)要在他們各自的中間插入若干名民警，要求每兩人之間距離相等，這實際上是要求將2500、4000、2000分成盡可能長的同樣長的小路。
　　由于2500、4000、2000的最大公約數(shù)是500，所以，整段路最少需要的民警數(shù)是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。
　　例2 在一個正方體表面上，三只螞蟻分別處在A、B、C的位置上，如圖5.92所示，它們爬行的速度相等。若要求它們同時出發(fā)會面，那么，應選擇哪點會面最省時？
　?。ê蠎鸦貐^(qū)小學數(shù)學奧林匹克預賽試題）
　　
　　講析：因為三只螞蟻速度相等，要想從各自的地點出發(fā)會面最省時，必須三者同時到達，即各自行的路程相等。
　　我們可將正方體表面展開，如圖5.93，則A、B、C三點在同一平面上。這樣，便將問題轉化為在同一平面內找出一點O，使O到這三點的距離相等且最短。
　　
　　所以，連接A和C，它與正方體的一條棱交于O；再連接OB，不難得出AO=OC=OB。
　　故，O點即為三只螞蟻會面之處。
【最大值問題】
　　例1 有三條線段a、b、c，并且a＜b＜c。判斷：圖5.94的三個梯形中，第幾個圖形面積最大？
　　
　?。ㄈ珖诙谩叭A杯賽”初賽試題）
　　講析：三個圖的面積分別是：
　　
　　三個面積數(shù)變化的部分是兩數(shù)和與另一數(shù)的乘積，不變量是（a＋b＋c）的和一定。其問題實質上是把這個定值拆成兩個數(shù)，求這兩個數(shù)為何值時，乘積最大。由等周長的長方形面積最大原理可知，（a＋b）×c這組數(shù)的值最接近。
　　故圖（3）的面積最大。
　　例2 某商店有一天，估計將進貨單價為90元的某商品按100元售出后，能賣出500個。已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個。為了使這一天能賺得更多利潤，售價應定為每個______元。
　?。ㄅ_北市數(shù)學競賽試題）
　　講析：因為按每個100元出售，能賣出500個，每個漲價1元，其銷量減少10個，所以，這種商品按單價90元進貨，共進了600個。
　　現(xiàn)把600個商品按每份10個，可分成60份。因每個漲價1元，銷量就減少1份（即10個）；相反，每個減價1元，銷量就增加1份。
　　所以，每個漲價的錢數(shù)與銷售的份數(shù)之和是不變的（為60），根據(jù)等周長長方形面積最大原理可知，當把60分為兩個30時，即每個漲價30元，賣出30份，此時有最大的利潤。
　　因此，每個售價應定為90＋30=120（元）時，這一天能獲得最大利潤。


2、最值規(guī)律
　　【積最大的規(guī)律】
　?。?）多個數(shù)的和一定（為一個不變的常數(shù)），當這幾個數(shù)均相等時，它們的積最大。用字母表示，就是
　　如果a1+a2+…+an=b（b為一常數(shù)），
　　那么，當a1=a2=…=an時，a1×a2×…×an有最大值。
　　例如，a1+a2=10，
　　…………→…………；
　　1+9=10→1×9=9；
　　2+8=10→2×8=16；
　　3+7=10→3×7=21；
　　4+6=10→4×6=24；
　　4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75；
　　5+5=10→5×5=25；
　　5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；
　　…………→…………；
　　9+1=10→9×1=9；
　　…………→…………
　　由上可見，當a1、a2兩數(shù)的差越小時，它們的積就越大；只有當它們的差為0，即a1=a2時，它們的積就會變得最大。
　　三個或三個以上的數(shù)也是一樣的。由于篇幅所限，在此不一一舉例。
　　由“積最大規(guī)律”，可以推出以下的結論：
　　結論1 所有周長相等的n邊形，以正n邊形（各角相等，各邊也相等的n邊形）的面積為最大。
　　例如，當n=4時，周長相等的所有四邊形中，以正方形的面積為最大。
　　例題：用長為24厘米的鐵絲，圍成一個長方形，長寬如何分配時，它的面積為最大？
　　解 設長為a厘米，寬為b厘米，依題意得
　　（a+b）×2=24
　　即 a+b=12
　　由積最大規(guī)律，得a=b=6（厘米）時，面積最大為
　　6×6=36（平方厘米）。
　?。ㄗⅲ赫叫问翘厥獾木匦危刺厥獾拈L方形。）
　　結論2 在三度（長、寬、高）的和一定的長方體中，以正方體的體積為最大。
　　例題：用12米長的鐵絲焊接成一個長方體，長、寬、高如何分配，它的體積才會最大？
　　解 設長方體的長為a米，寬為b米，高為c米，依題意得
　?。╝+b+c）×4=12
　　即a+b+c=3
　　由積最大規(guī)律，得a=b=c=1（米）時，長方體體積為最大。最大體積為
　　1×1×1=1（立方米）。
　?。?）將給定的自然數(shù)N，分拆成若干個（不定）的自然數(shù)的和，只有當這些自然數(shù)全是2或3，并且2至多為兩個時，這些自然數(shù)的積最大。
　　例如，將自然數(shù)8拆成若干個自然數(shù)的和，要使這些自然數(shù)的乘積為最大。怎么辦呢？
　　我們可將各種拆法詳述如下：
　　分拆成8個數(shù)，則只能是8個“1”，其積為1。
　　分拆成7個數(shù)，則只能是6個“1”，1個“2”，其積為2。
　　分拆成6個數(shù)，可得兩組數(shù)：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它們的積分別是3和4。
　　分拆成5個數(shù)，可得三組數(shù)：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它們的積分別為4，6，8。
　　分拆成4個數(shù)，可得5組數(shù)：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它們的積分別為5，8，9，12，16。
　　分拆成3個數(shù)，可得5組數(shù)：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它們的積分別為6，10，12，16，18。
　　分拆成2個數(shù)，可得4組數(shù)：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它們的積分別為7，12，15，16。
　　分拆成一個數(shù)，就是這個8。
　　從上面可以看出，積最大的是
　　18=3×3×2。
　　可見，它符合上面所述規(guī)律。
　　用同樣的方法，將6、7、14、25分拆成若干個自然數(shù)的和，可發(fā)現(xiàn)
　　6=3+3時，其積3×3=9為最大；
　　7=3+2+2時，其積3×2×2=12為最大；
　　14=3+3+3+3+2時，其積3×3×3×3×2=162為最大；
　　
　　由這些例子可知，上面所述的規(guī)律是正確的。
　　【和最小的規(guī)律】幾個數(shù)的積一定，當這幾個數(shù)相等時，它們的和相等。用字母表達，就是如果a1×a2×…×an=c（c為常數(shù)），
　　那么，當a1=a2=…=an時，a1+a2+…+an有最小值。
　　例如，a1×a2=9，
　　…………→…………
　　
　　1×9=9→1+9=10；
　　
　　3×3=9→3+3=6；
　　
　　…………→…………
　　由上述各式可見，當兩數(shù)差越小時，它們的和也就越??；當兩數(shù)差為0時，它們的和為最小。
　　例題：用鐵絲圍成一個面積為16平方分米的長方形，如何下料，材料最省？
　　解 設長方形長為a分米，寬為b分米，依題意得a×b=16。
　　要使材料最省，則長方形周長應最小，即a+b要最小。根據(jù)“和最小規(guī)律”，取
　　a=b=4（分米）
　　時，即用16分米長的鐵絲圍成一個正方形，所用的材料為最省。
　　推論 由“和最小規(guī)律”可以推出：在所有面積相等的封閉圖形中，以圓的周長為最小。
　　例如，面積均為4平方分米的正方形和圓，正方形的周長為8分米；而

　　的周長小于正方形的周長。
　　【面積變化規(guī)律】在周長一定的正多邊形中，邊數(shù)越多，面積越大。

為0.433×6=2.598（平方分米）。
　　
方形的面積。
　　推論 由這一面積變化規(guī)律，可以推出下面的結論：
　　在周長一定的所有封閉圖形中，以圓的面積為最大。
　　例如，周長為4分米的正方形面積為1平方分米；而周長為4分米的圓，

于和它周長相等的正方形面積。
　　【體積變化規(guī)律】在表面積一定的正多面體（各面為正n邊形，各面角和各二面角相等的多面體）中，面數(shù)越多，體積越大。
　　例如，表面積為8平方厘米的正四面體S—ABC（如圖1.30），它每一個面均為正三角形，每個三角形面積為2平方厘米，它的體積約是1.1697立方厘米。而表面積為8平方厘米
　　
長約為1.1546厘米，體積約為1.539立方厘米。顯然，正方體體積大于正四面體體積。
　　　　
　　推論 由這一體積變化規(guī)律，可推出如下結論：
　　在表面積相等的所有封閉體中，以球的體積為最大。
　　例如，表面積為8平方厘米的正四面體，體積約為1.1697立方米；表面積為8平方厘米的正六面體（正方體），體積約為1.539立方厘米；而表面積是8平方厘米的球，體積卻約有2.128立方厘米?？梢娚厦娴慕Y論是正確的。
　　【排序不等式】 對于兩個有序數(shù)組：
　　a1≤a2≤…≤an 及b1≤b2≤…≤bn，
　　則a1b1+a2b2+……+anb抇n（同序）
　　T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n（亂序）≥a1b
　　n+a2bn-1+……+a>nb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n
　　為b1、b2、……、bn的任意一種排列（順序、倒序排列在外），當且僅當a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn時，式中等號成立。）由這一不等式可知，同序積之和為最大，倒序積之和為最小。例題：設有10個人各拿一只水桶，同時到一個水龍頭下接水。水龍頭注滿第一、第二、……九、十個人的桶，分別需要1、2、3、……、9、10分鐘。問：如何安排這10個人的排隊順序，可使每個人所費時間的總和盡可能少？這個總費時至少是多少分鐘？
　　
　　解 設每人水桶注滿時間的一個有序數(shù)組為：1，2，3，……，9，10。
　　打水時，等候的人數(shù)為第二個有序數(shù)組，等候時間最長的人數(shù)排前，這樣組成
　　1，2，3，……，9，10。
　　根據(jù)排序不等式，最小積的和為倒序，即
　　1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1
　　=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2
　　=（10+18+24+28+30）×2
　　=220（分鐘）
　　其排隊順序應為：根據(jù)注滿一桶水所需時間的多少，按從少到多的排法。





















3、最優(yōu)方案與最佳策略
【最優(yōu)方案】
　　例1 某工廠每天要生產甲、乙兩種產品，按工藝規(guī)定，每件甲產品需分別在A、B、C、D四臺不同設備上加工2、1、4、0小時；每件乙產品需分別在A、B、C、D四臺不同設備上加工2、2、0、4小時。已知A、B、C、D四臺設備，每天最多能轉動的時間分別是12、8、16、12小時。生產一件甲產品該廠得利潤200元，生產一件乙產品得利潤300元。問：每天如何安排生產，才能得到最大利潤？
　?。ㄖ袊_北第一屆小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：設每天生產甲產品a件，乙產品b件。由于設備A的轉動時間每天最多為12小時，則有：（2a＋2b）不超過12。
　　又（a＋2b）不超過8，
　　4a不超過16，
　　4b不超過12。
　　由以上四個條件知，
　　當b取1時，a可取1、2、3、4；
　　當b取2時，a可取1、2、3、4；
　　當b取3時，a可取1、2。
　　這樣，就是在以上情況下，求利潤200a＋300b的最大值?？闪斜砣缦拢?br /> 　　
　　所以，每天安排生產4件甲產品，2件乙產品時，能得到最大利潤1400元。
　　例2 甲廠和乙廠是相鄰的兩個服裝廠。它們生產同一規(guī)格的成衣，每個廠的人員和設備都能進行上衣和褲子生產。由于各廠的特點不同，甲廠每月
　　聯(lián)合生產，盡量發(fā)揮各自的特長多生產成衣。那么現(xiàn)在比過去每月能多生產成衣______套。
　?。?989年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）
　　的時間生產上衣。所以，甲廠長于生產褲子，乙廠長于生產上衣。
　　如果甲廠全月生產褲子，則可生產
　　
　　如果乙廠全月生產上衣，則可生產
　　
　　把甲廠生產的褲子與乙廠生產的上衣配成2100套成衣，這時甲廠生產150條褲子的時間可用來生產成套的成衣
　　
　　故現(xiàn)在比過去每月可以多生產60套。
【最佳策略】
　　例1 A、B二人從A開始，輪流在1、2、3、……、1990這1990個數(shù)中劃去一個數(shù)，直到最后剩下兩個數(shù)互質，那么B勝，否則A勝。問：誰能必勝？制勝的策略是什么？
　?。ā吨腥A電力杯》少年數(shù)學競賽試題）
　　講析：將這1990個數(shù)按每兩個數(shù)分為一組；（1、2），（3、4），（5、6），…，（1989、1990）。
　　當A任意在括號中劃去一個時，B就在同一個括號中劃去另一個數(shù)。這樣B就一定能獲勝。
　　例2 桌上放有1992根火柴。甲乙兩人輪流從中任取，每次取得根數(shù)為1根或2根，規(guī)定取得最后一根火柴者勝。問：誰可獲勝？
　?。?992年烏克蘭基輔市小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：因為兩人輪流各取一次后，可以做到只取3根。誰要搶到第1992根，誰就必須搶到第1989根，進而搶到第1986、1983、1980、…、6、3根。
　　誰搶到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以獲勝。
　　后者獲勝的策略是，當先取的人每取一次火柴梗時，他緊接著取一次，每次取的根數(shù)與先取的加起來的和等于3。
　　例3 有分別裝球73個和118個的兩個箱子，兩人輪流在任一箱中任意取球，規(guī)定取得最后一球者為勝。問：若要先取者為獲勝，應如何取？
　?。ㄉ虾Ｊ袛?shù)學競賽試題）
　　講析：先取者應不斷地讓后者在取球之前，使兩箱的球處于平衡狀態(tài)，即每次先取者取之后，使兩箱球保持相等。這樣，先取者一定獲勝。























4、直接思路
　　“直接思路”是解題中的常規(guī)思路。它一般是通過分析、綜合、歸納等方法，直接找到解題的途徑。
　　【順向綜合思路】從已知條件出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關系先選擇兩個已知數(shù)量，提出可以解決的問題；然后把所求出的數(shù)量作為新的已知條件，與其他的已知條件搭配，再提出可以解決的問題；這樣逐步推導，直到求出所要求的解為止。這就是順向綜合思路，運用這種思路解題的方法叫“綜合法”。
　　例1 兄弟倆騎車出外郊游，弟弟先出發(fā)，速度為每分鐘200米，弟弟出發(fā)5分鐘后，哥哥帶一條狗出發(fā)，以每分鐘250米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，見到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時狗跑了多少千米？
　　分析（按順向綜合思路探索）：
　?。?）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，出發(fā)5分鐘的條件，可以求什么？
　　可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離。
　?。?）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，哥哥速度為每分鐘250米，可以求什么？
　　可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少米。
　?。?）通過計算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000米，每分鐘可追上的距離為50米，根據(jù)這兩個條件，可以求什么？
　　可以求出哥哥趕上弟弟所需的時間。
　?。?）狗在哥哥與弟弟之間來回不斷奔跑，看起來很復雜，仔細想一想，狗跑的時間與誰用的時間是一樣的？
　　狗跑的時間與哥哥追上弟弟所用的時間是相同的。
　?。?）已知狗以每分鐘300米的速度，在哥哥與弟弟之間來回奔跑，直到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時間，可以求什么？
　　可以求出這時狗總共跑了多少距離？
　　這個分析思路可以用下圖（圖2.1）表示。
　
　　例2 下面圖形（圖2.2）中有多少條線段？

　　分析（仍可用綜合思路考慮）：
　　我們知道，直線上兩點間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點間的線段叫做基本線段，那么就可以這樣來計數(shù)。
　?。?）左端點是A的線段有哪些？
　　有 AB AC AD AE AF AG共 6條。
　?。?）左端點是B的線段有哪些？
　　有 BC、BD、BE、BF、BG共5條。
　?。?）左端點是C的線段有哪些？
　　有CD、CE、CF、CG共4條。
　?。?）左端點是D的線段有哪些？
　　有DE、DF、DG共3條。
　　（5）左端點是E的線段有哪些？
　　有EF、EG共2條。
　　（6）左端點是F的線段有哪些？
　　有FG共1條。
　　然后把這些線段加起來就是所要求的線段。
　　【逆向分析思路】從題目的問題入手，根據(jù)數(shù)量關系，找出解這個問題所需要的兩個條件，然后把其中的一個（或兩個）未知的條件作為要解決的問題，再找出解這一個（或兩個）問題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題里都是已知的為止，這就是逆向分析思路，運用這種思路解題的方法叫分析法。
　　例1 兩只船分別從上游的A地和下游的B地同時相向而行，水的流速為每分鐘30米，兩船在靜水中的速度都是每分鐘600米，有一天，兩船又分別從A、B兩地同時相向而行，但這次水流速度為平時的2倍，所以兩船相遇的地點比平時相遇點相差60米，求A、B兩地間的距離。
　　分析（用分析思路考慮）：
　?。?）要求A、B兩地間的距離，根據(jù)題意需要什么條件？
　　需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時間。
　?。?）要求兩船的速度和，必要什么條件？
　　兩船分別的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600米，那么不論其水速是否改變，其速度和均為（600+600）米，這是因為順水船速為：船速+水速，逆水船速為：船速-水速，故順水船速與逆水船速的和為：船速+水速+船速-水速=2個船速（實為船在靜水中的速度）
　?。?）要求相遇的時間，根據(jù)題意要什么條件？
　　兩次相遇的時間因為距離相同，速度和相同，所以應該是相等的，這就是說，盡管水流的速度第二次比第一次每分鐘增加了30米，仍不會改變相遇時間，只是改變了相遇地點：偏離原相遇點60米，由此可知兩船相遇的時間為60÷30=2（小時）。
　　此分析思路可以用下圖（圖2.3）表示：

　　例2 五環(huán)圖由內徑為4，外徑為5的五個圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形（陰影部分）的面積都相等（如圖2.4），已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是122.5，求每個小曲邊四邊形的面積（圓周率π取3.14）
　
　　分析（仍用逆向分析思路探索）：
　?。?）要求每個小曲邊四邊形的面積，根據(jù)題意必須知道什么條件？
　　曲邊四邊形的面積，沒有公式可求，但若知道8個小曲邊四邊形的總面積，則只要用8個曲邊四邊形總面積除以8，就可以得到每個小曲邊四邊形的面積了。
　?。?）要求8個小曲邊四邊形的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？
　　8個小曲邊四邊形恰好是圓環(huán)面積兩兩相交重疊一次的部分，因此只要把五個圓環(huán)的總面積減去五個圓環(huán)蓋住的總面積就可以了。
　　（3）要求五個圓環(huán)的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？
　　求出一個圓環(huán)的面積，然后乘以5，就是五個圓環(huán)的總面積。
　　（4）要求每個圓環(huán)的面積，需要什么條件？
　　已知圓環(huán)的內徑（4）和外徑（5），然后按圓環(huán)面積公式求就是了。
　　圓環(huán)面積公式為：
　　S圓環(huán)=π（R2-r2）
　　=π（R＋r）（R－r）
　　其思路可用下圖（圖2.5）表示：

　　【一步倒推思路】順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯(lián)系，不可分割的。在解題時，兩種思路常常協(xié)同運用，一般根據(jù)問題先逆推第一步，再根據(jù)應用題的條件順推，使雙方在中間接通，我們把這種思路叫“一步倒推思路”。這種思路簡明實用。
　　例1 一只桶裝滿10千克水，另外有可裝3千克和7千克水的兩只空桶，利用這三只桶，怎樣才能把10千克水分為5千克的兩份？
　　分析（用一步倒推思路考慮）：
　　（1）逆推第一步：把10千克水平分為5千克的兩份，根據(jù)題意，關鍵是要找到什么條件？
　　因為有一只可裝3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用3＋2=5，就可以把水分成5千克一桶，所以關鍵是要先倒出一個2千克水。
　?。?）按條件順推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，這時10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，這時7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，這時10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，這時7千克桶里無水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下 2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原有1千克水），只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因為原有2千克水，這時也正好是5千克水了。
　　其思路可用下圖（圖2.6和圖2.7）表示：
　　問題：
　
　
　　例2 今有長度分別為1、2、3……9厘米的線段各一條，可用多少種不同的方法，從中選用若干條線段組成正方形？
　　分析（仍可用一步倒推思路來考慮）：
　?。?）逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用若干條線段組成正方形必須的條件是什么？
　　根據(jù)題意，必須知道兩個條件。一是確定正方形邊長的長度范圍，二是每一種邊長有幾種組成方法。
　?。?）從條件順推。
　?、僖驗榫艞l線段的長度各不相同，所以用這些線段組成的正方形至少要7條，最多用了9條，這樣就可以求出正方形邊長的長度范圍為（1+2+……

　?、诋斶呴L為7厘米時，各邊分別由1+6、2+5、3+4及7組成，只有一種組成方法。
　?、郛斶呴L為8厘米時，各邊分別由1+7、2+6、3+5及8組成，也只有一種組成方法。
　?、墚斶呴L為9厘米時，各邊分別由1+8、2+7、3+6及9；1＋8、2＋7、4+5及9；2＋7、3＋6、4+5及9；1＋8、3＋6、4＋5及9；1＋8、2+7、3＋6及4＋5共5種組成方法。
　　⑤當邊長為10厘米時，各邊分別由1+9、2＋8、3＋7及4＋6組成，也只有一種組成方法。
　?、莓斶呴L為11厘米時，各邊分別由2+9、 3＋8、4＋7及5+6組成，也只有一種組成方法。
　?、迣⑸鲜龈鞣N組成法相加，就是所求問題了。
　　此題的思路圖如下（圖2.8）：
　　問題：

　　【還原思路】從敘述事情的最后結果出發(fā)利用已知條件，一步步倒著推理，直到解決問題，這種解題思路叫還原思路。解這類問題，從最后結果往回算，原來加的用減、原來減的用加，原來乘的用除，原來除的用乘。運用還原思路解題的方法叫“還原法”。
　　例1 一個數(shù)加上2，減去3，乘以4，除以5等于12，你猜這個數(shù)是多少？
　　分析（用還原思路考慮）：
　　從運算結果12逐步逆推，這個數(shù)沒除以5時應等于多少？沒乘以4時應等于多少？不減去3時應等于多少？不加上2時又是多少？這里分別利用了加與減，乘與除之間的逆運算關系，一步步倒推還原，直找到答案。
　　其思路圖如下（圖2.9）：
　　條件：

　　例2 李白街上走，提壺去打酒；遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。試問酒壺中，原有多少酒？
　　分析（用還原思路探索）：
　　李白打酒是我國民間自古以來廣為流傳的一道用打油詩敘述的著名算題。題意是：李白提壺上街買酒、喝酒，每次遇到酒店，便將壺中的酒量增添1倍，而每次見到香花，便飲酒作詩，喝酒1斗。這樣他遇店、見花經過3次，便把所有的酒全喝光了。問：李白的酒壺中原有酒多少？
　　下面我們運用還原思路，從“三遇店和花，喝光壺中酒”開始推算。
　　見花前——有1斗酒。
　　第三次：見花后——壺中酒全喝光。
　　第三次：遇店前——壺中有酒半斗。
　　
　　
　　第一次：見花前——壺中有酒為第二次遇店前的再加1斗。
　　遇店前——壺中有酒為第一次見花前的一半。
　　其思路圖如下

　　【假設思路】在自然科學領域內，一些重要的定理、法則、公式等，常常是在“首先提出假設、猜想，然后再進行檢驗、證實”的過程中建立起來的。數(shù)學解題中，也離不開假設思路，尤其是在解比較復雜的題目時，如能用“假設”的辦法去思考，往往比其他思路簡捷、方便。我們把先提出假設、猜想，再進行檢驗、證實的解題思路，叫假設思路。
　　例1 中山百貨商店，委托運輸隊包運1000只花瓶，議定每只花瓶運費0.4元，如果損壞一只，不但不給運費，而且還要賠償損失5.1元。結果運輸隊獲得運費382.5元。問：損壞了花瓶多少只？
　　分析（用假設思路考慮）：
　?。?）假設在運輸過程中沒有損壞一個花瓶，那么所得的運費應該是多少？
　　0.4×1000=400（元）。
　?。?）而實際只有383.5元，這當中的差額，說明損壞了花瓶，而損壞一只花瓶，不但不給運費，而且還要賠償損失5.1元，這就是說損壞一只花瓶比不損壞一只花瓶的差額應該是多少元？
　　0.4＋5.1=5.5（元）
　?。?）總差額中含有一個5.5元，就損壞了一只花瓶，含有幾個5.5元，就是損壞了幾只花瓶。由此便可求得本題的答案。
　　例2 有100名學生在車站準備乘車去離車站600米的烈士紀念館搞活動，等最后一人到達紀念館45分鐘以后，再去離紀念館900米的公園搞活動?，F(xiàn)在有中巴和大巴各一輛，它們的速度分別是每分鐘300米和150米，而中巴和大巴分別可乘坐10人和25人，問最后一批學生到達公園最少需要多少時間？
　　分析（用假設思路思索）；
　　假設從車站直接經烈士紀念館到公園，則路程為（600＋900）米。把在最后1人到達紀念館后停留45分鐘，假設為在公園停留45分鐘，則問題將大大簡化。
　?。?）從車站經烈士紀念館到達公園，中巴、大巴往返一次各要多少時間？
　　中巴：（600+900）÷300×2=10（分鐘）
　　大巴：（600+900）÷150×2=20（分鐘）
　?。?）中巴和大巴在20分鐘內共可運多少人？
　　中巴每次可坐10人，往返一次要10分鐘，故20分鐘可運20人。
　　大巴每次可坐25人，往返一次要20分鐘，故20分鐘可運25人。
　　所以在20分鐘內中巴、大巴共運45人。
　　（3）中巴和大巴 20分鐘可運 45人，那么 40分鐘就可運45×2=90（人），100人運走90人還剩下10人，還需中巴再花10分鐘運一次就夠了。
　　（4）最后可求出最后一批學生到達公園的時間：把運90人所需的時間，運10人所需的時間，和在紀念館停留的時間相加即可。
　　【消去思路】對于要求兩個或兩個以上未知數(shù)的數(shù)學題，我們可以想辦法將其中一個未知數(shù)進行轉化，進而消去一個未知數(shù)，使數(shù)量關系化繁為簡，這種思路叫消去思路，運用消去思路解題的方法叫消去法。二元一次方程組的解法，就是沿著這條思路考慮的。
　　例1 師徒兩人合做一批零件，徒弟做了6小時，師傅做了8小時，一共做了312個零件，徒弟5小時的工作量等于師傅2小時的工作量，師徒每小時各做多少個零件？
　　分析（用消去思路考慮）：
　　這里有師、徒每小時各做多少個零件兩個未知量。如果以徒弟每小時工作量為1份，把師傅的工作量用徒弟的工作量來代替，那么師傅8小時的工作量相當于這樣的幾份呢？很明顯，師傅2小時的工作量相當于徒弟5小時的工作量，那么8小時里有幾個2小時就是幾個5小時工作量，這樣就把師傅的工作量換成了徒弟的工作量，題目里就消去了師傅工作量這個未知數(shù)；然后再看312個零件里包含了多少個徒弟單位時間里的工作量，就是徒弟應做多少個。求出了徒弟的工作量，根據(jù)題中師博工作量與徒弟工作量的倍數(shù)關系，也就能求出師傅的工作量了。
　　例2 小明買2本練習本、2枝鉛筆、2塊橡皮，共用0.36元，小軍買4本練習本、3枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.60元，小慶買5本練習本、4枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.75元，問練習本、鉛筆、橡皮的單價各是多少錢？
　　分析（用消去法思考）：
　　這里有三個未知數(shù)，即練習本、鉛筆、橡皮的單價各是多少錢？我們要同時求出三個未知數(shù)是有困難的。應該考慮從三個未知數(shù)中先去掉兩個未知數(shù)，只留下一個未知數(shù)就好了。
　　如何消去一個未知數(shù)或兩個未知數(shù)？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通過擴大或縮小若干倍，使它們之間有兩個相同的數(shù)量，再用加減法即可消去，本題把小明小軍、小慶所購買的物品排列如下：
　　小明 2本 2枝 2塊 0.36元
　　小軍 4本 3枝 2塊 0.60元
　　小慶 5本 4枝 2塊 0.75元
　　現(xiàn)在把小明的各數(shù)分別除以2，可得到1本練習本、1枝鉛筆、1塊橡皮共0.18元。
　　接著用小慶的各數(shù)減去小軍的各數(shù)，得1本練習本、1枝鉛筆為0.15元。
　　再把小明各數(shù)除以2所得的各數(shù)減去上數(shù)，就消去了練習本、鉛筆兩個未知數(shù)，得到1塊橡皮0.03元，采用類似的方法可求出練習本和鉛筆的單價。
　　【轉化思路】解題時，如果用一般方法暫時解答不出來，就可以變換一種方式去思考，或改變思考的角度，或轉化為另外一種問題，這就是轉化思路。運用轉化思路解題就叫轉化法。
　　
各養(yǎng)兔多少只？
　　分析（用轉化思路思索）：
　　題中數(shù)量關系比較復雜，兩個分率的標準量不同，為了簡化數(shù)量關系，

只呢？這時兩人養(yǎng)的總只數(shù)該是多少只呢？假設后的數(shù)量關系，兩人養(yǎng)的總只數(shù)應是：100-16×3=52（只）

　　
　　分析（用轉化思路分析）：
　　本題求和，題中每個分數(shù)的分子都是1，分母是幾個連續(xù)自然數(shù)的和，好像不能把每個分數(shù)分成兩個分數(shù)相減，然后相加抵消一些數(shù)。但是只要我們按等差數(shù)列求和公式，求出分母就會發(fā)現(xiàn)，可將上面各分數(shù)的分母轉化為兩個連續(xù)自然數(shù)積的形式。
　　
　　所以例題可以轉化為：
　　
　　然后再相加，抵消中間的各個分數(shù)即可。
　　【類比思路】類比就是從一個問題想到了相似的另一個問題。例如從等差數(shù)列求和公式想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長方體體積公式等等；類比是一個重要的思想方法，也是解題的一種重要思路。
　　例1 有一個掛鐘，每小時敲一次鐘，幾點鐘就敲幾下，鐘敲6下，5秒鐘敲完；鐘敲12下，幾秒敲完？
　　分析（用類比思路探討）：
　　有人會盲目地由倍數(shù)關系下結淪，誤認為10秒鐘敲完，那就完全錯了。其實此題只要運用類比思路，與植樹問題聯(lián)系起來想一想就通了：一條線路植樹分成幾段（株距），如果不包括兩個端點，共需植（n-1）棵樹，如果包括兩個端點，共需植樹（n＋1）棵，把鐘點指數(shù)看作是一棵棵的樹，把敲的時間看作棵距，此題就迎刃而解了。
　　例2 從時針指向4點開始，再經過多少分鐘，時針正好與分鐘重合。
　　分析（用類比思路討論）：
　　本題可以與行程問題進行類比。如圖2.11，如果用時針1小時所走的一格作為路程單位，那么本題可以重新敘述為：已知分針與時針相距4格，分

如果分針與時針同時同向出發(fā)，問：分針過多少分鐘可追上時針？這樣就與行程問題中的追及問題相似了。4為距離差，速度差為，重合的時間，就是追上的時間。

　　【分類思路】把一個復雜的問題，依照某種規(guī)律，分解成若干個較簡單的問題，從而使問題得到解決，這就是分類思路。這種思路在解決數(shù)圖形個數(shù)問題中經常用到。
　　例1 如圖2.12，共有多少個三角形？

　　分析（用分類思路考慮）：
　　這樣的圖直接去數(shù)有多少個三角形，要做到能不重復，又不遺漏，是比較困難的。怎么辦？可以把圖中所有三角形按大小分成幾類，然后分類去數(shù)，再相加就是總數(shù)了。本題根據(jù)條件，可以分為五類（如圖2.13）。

　　例2 如圖2.14，象棋棋盤上一只小卒過河后沿著最短的路走到對方“將”處，這小卒有多少種不同的走法？
　　分析（運用分類思路分析）：
　　小卒過河后，首先到達A點，因此，題目實際上是問：從A點出發(fā)，沿最短路徑有多少種走法可以到達“將”處，所謂最短，是指不走回頭路。
　　因為“將”直接相通的是P點和K點，所以要求從A點到“將”處有多少種走法，就必須是求出從A到P和從A到K各有多少種走法。

　　分類。一種走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一種走法。
　　二種走法：從A到H有兩種走法。
　　三種走法：從A到M及從A到I各有三種走法。
　　其他各類的走法：因為從A到M、到I各有3種走法，所以從A到N就有3＋3＝6種走法了，因為從A到I有3種走法，從A到D有1種走法，所以從A到J就有3＋1=4種走法了；P與N、J相鄰，而A到N有6種走法，A到J有4種走法，所以從A到P就有6+4=10種走法了；同理K與J、E相鄰，而A到J有4種走法，到E有1種走法，所以A到K就有4+1=5種走法。
　　再求從A到“將”處共有多少種走法就非常容易了。
　　【等量代換思路】有些題的數(shù)量關系十分隱蔽，如果用一般的分析推理，難于找出數(shù)量之間的內在聯(lián)系，求出要求的數(shù)量。那么我們就根據(jù)已知條件與未知條件相等的關系，使未知條件轉化為已知條件，使隱蔽的數(shù)量關系明朗化，促使問題迎刃而解。這種思路叫等量代換思路。
　　例1 如圖2.15的正方形邊長是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙三角形的面積比甲三角形大6平方厘米，求CE長多少厘米？

　　分析（用等量代換思路思考）：
　　按一般思路，要求CE的長，必須知道乙三角形的面積和高，而這兩個條件都不知道，似乎無法入手。用等量代換思路，我們可以求出三角形ABE的面積，從而求出CE的長，怎樣求這個三角形的面積呢？設梯形為丙：
　　已知 乙=甲+6
　　丙+甲=6×6=36
　　用甲+6代換乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42
　　即三角形ABE的面積等于42平方厘米，這樣，再來求CE的長就簡單了。
　　例2 有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑白兩色棋子。第一

這三堆棋子集中一起，問白子占全部棋子的幾分之幾？
　　分析（用等量代換的思路來探討）：
　　這道題數(shù)量關系比較復雜，如果我們把第一堆里的黑子和第二堆的白子對換一下，那么這個問題就簡單多了。出現(xiàn)了下面這個等式。
　　第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）
　　=第三堆（白子+黑子） （這里指的棋子數(shù)）
　　
份，則第二堆（全部黑子）為3份，這樣就出現(xiàn)了每堆棋子為3份，3堆棋子的總份數(shù)自然就出來了。而第三堆黑子占了2份，白子自然就只有3—2=1份了。第一堆換成了全部白子，所以白子總共是幾份也可求出。最后去解決白子占全部棋子的幾分之幾就非常容易了。
　　【對應思路】分數(shù)、百分數(shù)應用題的特點是一個數(shù)量對應著一個分率，也就是一個數(shù)量相當于單位“1”的幾分之幾，這種關系叫做對應關系。找對應關系的思路，我們把它叫做對應思路。
　　例1 有一塊菜地和一塊麥地，菜地的一半和麥地的三分之一放在一起是91公畝，麥地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公畝，那么，菜地是幾公畝？
　　分析（用對應思路分析）：
　　這是一道復雜的分數(shù)應用題，我們不妨用對應思路去思索。如能找出91公畝、84公畝的對應分率，此題就比較容易解決了。但題中有對應分率兩個，究竟相當于總公畝數(shù)的幾分之幾呢？這是解題的關鍵。而我們一時還弄不清楚，現(xiàn)將條件排列起來尋找。
　
　　　
可求出總公畝數(shù)是
　　　
　　求出總公畝數(shù)后，我們仍未找到菜地或麥地占總公畝數(shù)的幾分之幾，故還不能直接求出菜地或麥地的公畝數(shù)。但我們把條件稍作組合，就可以求出
　
　　
　　分析到這一步，那么再去求菜地有多少公畝，則就變成了一道很簡單的分數(shù)應用題了。
　　例2 蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管，要灌滿一池水，單開甲管需要3小時，單開丙管需要5小時，要排完一池水，單開乙管

順序，循環(huán)各開水管，每次每管開一小時，問多少時間后水開始溢出水池？
　　分析（用對應思路考慮）：
　　本題數(shù)量關系復雜，但仍屬分數(shù)應用題，所以仍可用對應思路尋找解題途徑。
　　首先要找出甲、丙兩管每小時灌水相當于一池水的幾分之幾，乙、丁兩管每小時排水相當于一池水的幾分之幾，然后才能計算。
　　一池水→“1”
　　
　　通過轉化找到了對應分率就容易計算了。假設甲、乙、丙、丁四個水管按順序各開1小時，共開4小時，池內灌進的水是全池的：
　　
　　加上池內原有的水，池內有水：
　　
　　
也就是20小時以后，池內有水
?
　　
　　
水池了，因此20小時后，只需再灌水
　　
　　所以這時甲管不要開1小時，只要開
　
　　
總共是多少時間后水開始溢出水池不就一目了然了嗎？
5、整數(shù)的拆分
【不連續(xù)加數(shù)拆分】
　　例1 將一根長144厘米的鐵絲，做成長和寬都是整數(shù)的長方形，共有______種不同的做法？其中面積最大的是哪一種長方形？
　?。?992年“我愛數(shù)學”邀請賽試題）
　　講析：做成的長方形，長與寬的和是
　　144÷2=72（厘米）。
　　因為72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36，
　　所以，一共有36種不同的做法。
　　比較以上每種長方形長與寬的積，可發(fā)現(xiàn)：當長與寬都是36厘米時，面積最大。
　　例2將1992表示成若干個自然數(shù)的和，如果要使這些數(shù)的乘積最大，這些自然數(shù)是______。
　?。?992年武漢市小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：若把一個整數(shù)拆分成幾個自然數(shù)時，有大于4的數(shù)，則把大于4的這個數(shù)再分成一個2與另一個大于2的自然數(shù)之和，則這個2與大于2的這個數(shù)的乘積肯定比它大。又如果拆分的數(shù)中含有1，則與“乘積最大”不符。
　　所以，要使加數(shù)之積最大，加數(shù)只能是2和3。
　　但是，若加數(shù)中含有3個2，則不如將它分成2個3。因為2×2×2=8，而3×3=9。
　　所以，拆分出的自然數(shù)中，至多含有兩個2，而其余都是3。
　　而1992÷3=664。故，這些自然數(shù)是664個3。
　　例3把50分成4個自然數(shù)，使得第一個數(shù)乘以2等于第二個數(shù)除以2；第三個數(shù)加上2等于第四個數(shù)減去2，最多有______種分法。
　?。?990年《小學生報》小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：設50分成的4個自然數(shù)分別是a、b、c、d。
　　因為a×2=b÷2，則b=4a。所以a、b之和必是5的倍數(shù)。
　　那么，a與b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。
　　又因為c＋2=d-2，即d=c＋4。所以c、d之和加上4之后，必是2的倍數(shù)。
　　則c、d可取的數(shù)組有：
　　（40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。
　　由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7，
　　得出符合條件的a、b、c、d一組為（8、32、3、7）。
　　同理得出另外三組為：（6、24、8、12），（4、16、13、17），（2、8、18、22）。
　　所以，最多有4種分法。
【連續(xù)加數(shù)拆分】
　　例1 把945寫成連續(xù)自然數(shù)相加的形式，有多少種？
　?。ǖ谝粚谩靶旅绫毙W數(shù)學競賽試題）
　　講析：因為945=35×5×7，它共有（5+1）×（1+1）×（1+1）=16（個）奇約數(shù)。
　　所以，945共能分拆成16-1=15（種）不同形式的連續(xù)自然數(shù)之和。
　　例2 幾個連續(xù)自然數(shù)相加，和能等于1991嗎？如果能，有幾種不同的答案？寫出這些答案；如果不能，說明理由。
　?。ㄈ珖谖鍖谩稄男蹟?shù)學》邀請賽試題）
　　講析：1991=11×181，它共有（1＋1）×（1+1）=4（個）奇約數(shù)。
　　所以，1991可以分成幾個連續(xù)自然數(shù)相加，并且有3種答案。
　　由1991=1×1991得：
　　1991=995＋996。
　　由1991=11×181得：
　　
　　
　　…+（80+101）
　　=80＋81＋……＋100＋101。


6、整除及數(shù)字整除特征
　　【數(shù)字整除特征】
　　例1 42□28□是99的倍數(shù)，這個數(shù)除以99所得的商是__。
　?。ㄉ虾Ｊ械谖鍖眯W數(shù)學競賽試題）
　　講析：能被99整除的數(shù)，一定能被9和11整除。
　　設千位上和個位上分別填上數(shù)字a、b，則：各位上數(shù)字之和為[16+（a+b）]。要使原數(shù)能被9整除，必須使[16+（a+b）]是9的倍數(shù)，即（a+b）之和只能取2或11。
　　又原數(shù)奇位上的數(shù)字和減去偶位上數(shù)字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原數(shù)能被11整除，必須使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍數(shù)。經驗證，（b-a-8）是11的倍數(shù)不合。
　　所以a-b=3。
　　又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。
　　從而很容易求出商為427284÷99=4316。
　　例2 某個七位數(shù)1993□□□能同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是__。
　?。?993年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）
　　講析：因為2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍數(shù)是2520。
　　而1993000÷2520=790余2200。
　　于是再加上（2520-2200）=320時，就可以了。所以最后三位數(shù)字依次是3、2、0。
　　例3 七位數(shù)175□62□的末位數(shù)字是__的時候，不管千位上是0到9中的哪一個數(shù)字，這個七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。
　?。ㄉ虾Ｊ械谖鍖眯W數(shù)學競賽試題）
　　講析：設千位上和個位上的數(shù)字分別是a和b。則原數(shù)奇位上各數(shù)字和與偶位上各數(shù)字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。
　　要使原數(shù)是11的倍數(shù)，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍數(shù)。
　　則有 b-a=8，或者a-b=3。
　?、佼?b-a=8時，b可取9、8；
　　②當 a-b=3時，b可取6、5、4、3、2、1、0。
　　所以，當這個七位數(shù)的末位數(shù)字取7時，不管千位上數(shù)字是幾，這個七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。
　　例4 下面這個四十一位數(shù)
　　55……5□99……9
　　（其中5和9各有20個）能被7整除，那么中間方格內的數(shù)字是__。
　?。?991年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）
　　講析：注意到111111÷7=15873，所以555555與999999也能被7整除。則18個5或18個9組成的數(shù)，也能被7整除。
　　要使原四十一位數(shù)能被7整除，只需55□99這個五位數(shù)是7的倍數(shù)。
　　容易得出，中間方格內的數(shù)字是6。
　　【整除】
　　例1 一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，適合這些條件的最小數(shù)是______。
　?。ㄌ旖蚴械谝粚谩拔覑蹟?shù)學”邀請賽試題）
　　講析：所求這個數(shù)分別除以3和7時，余數(shù)相同。
　　3和7的最小公倍數(shù)為21。所以這個數(shù)是23。經檢驗，23除以5商4余3，23是本題的答案。
　　例2 一個整數(shù)在3600到3700之間，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。這個整數(shù)是__。
　?。ā冬F(xiàn)代小學數(shù)學》邀請賽試題）
　　講析：所求整數(shù)分別除以3、5、7以后，余數(shù)各不相同。但仔細觀察可發(fā)現(xiàn)，當把這個數(shù)加上4以后，它就能同時被3、5、7整除了。
　　因為3、5和7的最小公倍數(shù)是105。
　　3600÷105=34余30，105-30=75，
　　所以，當3600加上75時，就能被3、5和7整除了。即所求這個整數(shù)是3675。
　　例3 在一個兩位數(shù)中間插入一個數(shù)字，就變成了一個三位數(shù)。如52中間插入4后變成542。有些兩位數(shù)中間插入某個數(shù)字后變成的三位數(shù)，是原兩位數(shù)的9倍。這樣的兩位數(shù)共有__個。
　?。ㄖ心系貐^(qū)小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：因為插入一個數(shù)字后，所得的三位數(shù)是原兩位數(shù)的9倍，且個位數(shù)字相同。則原兩位數(shù)的個位數(shù)字一定是0或5。
　　又插入的一個數(shù)字，必須小于個位數(shù)字，否則新三位數(shù)就不是原兩位數(shù)的9倍了。因此原二位數(shù)的個位不能為0，而一定是5。
　　結合被9整除的數(shù)字特征，不難找到符合要求的兩位數(shù)有45、35、25和15共4個。
　　例4 a是一個自然數(shù)，已知a與a+1的各位數(shù)字之和都能被7整除，那么這樣的自然數(shù)a最小是__。（1993年全國小學數(shù)學奧林匹克總決賽第一試試題）
　　講析：a與a+1的各位數(shù)字之和都是7的倍數(shù)。則a的個位數(shù)字一定是9。因為如果個位上不是9時，若a的各位數(shù)字之和是7的倍數(shù)，則a+1的各位數(shù)字之和除以7以后，肯定余1。
　　只有當a的個位上是9時，a+1之后，個位上滿十后向前一位進一，a+1的個位數(shù)字和才有可能是7的倍數(shù)。
　　聯(lián)想到69，69+1=70，經適當調整可得，符合條件的最小數(shù)a是69999。
　　例5 一個自然數(shù)被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一個商是a[見圖5.43（1）]，又知這個自然數(shù)被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一個商是2a[見圖5.43（2）]，求這個自然數(shù)。
　?。ū本┦械诰艑谩坝罕毙W數(shù)學競賽試題）

　　講析：可從最后的商步步向前推算。
　　由圖5.43（1）可得：第二次商是（8a+7）；第一次商是8×（8a+7）+1=64a+57；所求的自然數(shù)是8×（64a+57）+1=512a+457
　　由圖5.43（2）得，所求的自然數(shù)是578a+259
　　所以，512a+457=578a+259。
　　解得a=3。
　　故，這個自然數(shù)是512×3+457=1993。
　　例6 某住宅區(qū)有十二家住戶。他們的門牌號分別是1、2、3、……、12。他們的電話號碼依次是十二個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每戶的電話號碼都能被這戶的門牌號整除。已知這些電話號碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號是9的這一家的電話號碼也能被13整除。問這一家的電話號碼是什么數(shù)？
　?。?993年全國小學數(shù)學奧林匹克總決賽第二試試題）
　　講析：設這十二家住戶的電話號碼依次是a+1、a+2、a+3、……，a+12。
　　因為每戶的電話號碼都能被自己家的門牌號整除，所以數(shù)a能同時被1、2、3、……、12整除。
　　而1、2、3、……、12的最小公倍數(shù)是27720，所以六位數(shù)中，能同時被1、2、3、……12整除的最小自然數(shù)是27720×4=110880
　　現(xiàn)在考慮第九戶人家的電話號碼能被13整除問題。
　　因為110880÷13，余數(shù)是12；27720÷13，余數(shù)是4。
　　也就是在110889的基礎上，再加上n個27720之后的和，能被13整除的數(shù)，就是所求的數(shù)。
　　即12+4n，是13的倍數(shù)。
　　顯然，當n=10時，12+4n是13的倍數(shù)。
　　所以，門牌號碼是9的這家電話號碼是：
　　110889+27720×10=388089。
















7、運用圖形間的等量關系
　　【應用弦圖解題】 我國古代有種圖形叫做“弦圖”（如圖4.56所示），有的數(shù)學家應用它成功地證明了“勾股定理”。

　　我國宋代著名數(shù)學家楊輝，在他著的《田畝比類乘除捷法》一書中，提出了這樣一個問題：
　　有一塊長方形田，面積為864平方步（“步”是古代長度單位，1里=300步，1步=5尺），已知長比寬少12步，問：它的長、寬共是多少步？
　　楊輝在該書上出示了一個弦圖（如圖4.57），他是用四個面積為864
　

共是60步。顯然，這樣運用弦圖來解答題目，是十分高明和十分巧妙的！
　　有些競賽題也可以用弦圖來巧解。第一屆“華羅庚金杯賽”中，就兩次出現(xiàn)了應用弦圖來解答的題目。尤其是那一道決賽題：
　　
平方米。鋸下的木條面積是多少平方米？”

　　仿楊輝的解法，可假定剩下4塊長方形木塊，并利用它拼成了一個“弦圖”，如圖4.58。于是可知，大正方形的面積為
　　
　　
　
　　
　　【解縱橫交錯的復雜題】 把同樣大小的長方形有規(guī)律地縱橫交錯地放在一起，常常需要根據(jù)長、寬關系，找出等量關系來解答題目。例如

　　如圖4.59，這是由同樣大小的紙片擺成的圖形，小紙片寬12厘米，求陰影部分的總面積。
　　由圖可知，5個紙片的長=3個紙片的長+3個紙片的寬，所以
　　2個紙片長=3個紙片寬
　　1個紙片長=12×3÷2
　　=18（厘米）
　　進而可知，每個陰影部分的小正方形的邊長為18-12=6（厘米）
　　陰影部分的總面積便是
　　6×6×3=108（平方厘米）
　　又如，“有9個長方形，它們的長、寬分別相等，用它們拼成的大長方形（如圖4.60）的面積是45平方厘米，求大長方形的周長?！?br />
　　解題的關鍵，是求出一個小長方形的長和寬。由5個小長方形的寬等于

形重新分割為5個小正方形，小正方形的邊長，正好是小長方形的寬（如圖4.61）。所以，5個小正方形面積之和，就是四個小正方形的面積之和，即5個小正方形面積為
　　45÷9×4=20（平方厘米）
　　每個小正方形的面積為
　　20÷5=4（平方厘米）
　　顯然，每個小正方形的邊長（即小長方形的寬）為2厘米，小長方形的長便是
　　
　　進而便可求得大長方形的周長為
　?。?.5×4＋（2.5＋2）］×2=29（厘米）。
　　此外，題目還可這樣解答：

　　因為小長方形寬的5倍等于長的4倍，所以，可用（4與5的最小公倍數(shù)）20個小長方形拼成一個大的正方形（如圖4.62）。大正方形面積是
　　
　　它的邊長便是10厘米，則小正方形的長為
　　10÷4=2.5（厘米）
　　小正方形的寬為
　　10÷5=2（厘米）
　　于是，原來的大長方形的周長就是
　?。?.5×4＋2.5＋2）×2=29（厘米）。
　　【用面積線段比的關系解題】 利用面積比與線段比之間的等量關系，常常能使復雜問題簡單化。例如
　
　　
為什么成立？
　　由圖中可以看出，△PBC和△ABC是同底的兩個三角形，所以
　　
　　
　　

　　又如，第一屆“華羅庚金杯賽”上有過一道這樣的題目：

　　“如圖4.64，一個長方形地面被兩條直線分成四個長方形，其中三個的面積是20公畝、25公畝和30公畝，另一個（圖中陰影部分）長方形的面積是多少公畝？”
　　圖中可見，右邊兩個長方形是長相同的長方形，它們的面積比等于它們寬的比；同樣，左邊兩個長方形也是長相同的長方形，它們的面積比，也等于它們寬的比。
　　設陰影部分面積為x公畝，由于左右兩組長方形面積之比，都等于相同的寬之比，所以
　　
　　即另一個（陰影部分）長方形面積為37.5公畝。





















8、運算法則或方法
　　【四則運算法則】整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的加、減、乘、除四則運算法則，見小學數(shù)學課本，此處略。
　　【四則運算順序】見小學數(shù)學課本，略。
　　【繁分數(shù)化簡方法】繁分數(shù)化簡的方法，一般有以下兩種方法。
　?。?）利用分數(shù)基本性質，把繁分數(shù)的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍數(shù)，從而化簡繁分數(shù)。
　　
　?。?）利用分數(shù)與除法的關系，將繁分數(shù)化簡。這是因為繁分數(shù)實際上是分數(shù)除法的另一種表示形式的緣故。例如
　　
　　【求連分數(shù)的值的方法】由數(shù)列a0，a1，……及b1，b2，……所組成的表達式
　　　
　　稱為“連分數(shù)”。它可簡記為
　　　
　　　

為連分數(shù)的值。
　　連分數(shù)有兩種，一是有限連分數(shù)，二是無限連分數(shù)。例如，
　　
　　求有限連分數(shù)的值，也稱化簡連分數(shù)，它的化簡方法與繁分數(shù)的化簡方法基本相同。一般是從最下面的分母運算開始，逐步向上計算。例如上面的這個有限連分數(shù)：
　　
　　求無限連分數(shù)的值，就是求它的有限層的值作為它的近似值。當層次愈多時，就愈接近它的值。
　　注意：繁分數(shù)和連分數(shù)，都不是“分數(shù)”定義里所定義的一種分數(shù)。
　　
分解為兩個單位分數(shù)的和，可按以下步驟去完成：
　　　　
的任意兩個約數(shù)a1，a2；
　?。?）擴分：將單位分數(shù)的分子、分母同乘以兩約數(shù)的和（a1+a2），

　　（3）拆分：將擴分后所得的分數(shù)，按照同分母分數(shù)相加的法則反過來

　　（4）約分：將拆開后的兩個分數(shù)約分，便得到兩個單位分數(shù)。
　　
　　注意：（1）因大于1的自然數(shù)的約數(shù)有時不止2個，有多個，從中任取兩個約數(shù)的取法也有多種，只要每次取出的兩個約數(shù)之間不成比例，則將一個單位分數(shù)拆成兩個單位分數(shù)的和的結果也各不相同。
　　例如，15的約數(shù)有1，3，5，15四個，從中任取兩個的取法有（1，3）、（1，5）、（1，15）、（3，5）、（3，15）、（5，15）六種，而?。?，3）和（5，15）、（1，5）和（3，15）是成比例

　　（2）若要將單位分數(shù)拆成兩個相等的單位分數(shù)之和，那只要在擴分時，分子、分母同乘以分母的任何一個約數(shù)的2倍或乘以2即可。
　　
　　
拆成n個單位分數(shù)的和的方法和步驟與拆成兩個單位分數(shù)的方法和步驟相同，不同點只在擴分時，分子、分母同乘以分母A的n個約數(shù)的和（a1+a2+…+an）。
　　
　　解∵15=3×5
　　∴15的約數(shù)有1，3，5，15。
　　
　　
　
有限個分數(shù)的和的形式。
　　【近似數(shù)的加減法】在一般情況下，近似數(shù)相加減，和或差精確到哪一位，與已知數(shù)中精確度最低的一個相同。計算法則有以下三條：
　?。?）確定結果精確到哪一個數(shù)位（已知數(shù)中精確度最低的精確到了哪一個數(shù)位，則計算的結果就精確到這個數(shù)位）；
　?。?）把已知數(shù)中超過這一最低精確度這個數(shù)位的數(shù)字，四舍五入到這個數(shù)位的下一位；
　?。?）進行計算，并且把算得的數(shù)的末位數(shù)字四舍五入。
　　例如，求近似數(shù)25.4、0.456、8.738和56的和。
　　
　　25.4+0.456+8.738+56≈91
　　又如，求近似數(shù)0.095減0.002153的差。
　　解：
　　　　
　　0.095-0.002153≈0.093
　　【近似數(shù)的乘除法】在一般情況下，近似數(shù)相乘除，積或者商取幾個有效數(shù)字，與已知數(shù)中有效數(shù)字最少的相同。具體法則有以下三條：
　?。?）確定結果有多少個有效數(shù)字（已知數(shù)中有效數(shù)字最少的有多少個，結果就取同樣多個有效數(shù)字）；
　?。?）把已知數(shù)中有效數(shù)字的個數(shù)多的，四舍五入到只比結果中有效數(shù)字的個數(shù)多一個；
　?。?）進行計算（除法要比結果多算出一位），并把算得的數(shù)四舍五入到應該有的有效數(shù)字的個數(shù)。
　　例如，（1）求近似數(shù)26.79與0.26的積。（2）求近似數(shù)9.7除以近似數(shù)25.78的商。
　　
　　
　　因24只有兩個有效數(shù)字，故可把各數(shù)分別四舍五入到三個有效數(shù)字以后去計算；得出中間結果仍保留三個有效數(shù)字，即比法則規(guī)定的多保留一個；得出最后的結果，再四舍五入到兩個有效數(shù)字。
　　
　　再如，量得一個圓的周長約是3.73厘米，求這個圓的直徑。
　　題目要求直徑長度，需用“3.73÷π”去計算。其中3.73是近似數(shù)，有三個有效數(shù)字；π是個準確數(shù)，它有任意多個有效數(shù)字，計算時，π取四個有效數(shù)字：
　　解3.73÷π≈3.73÷3.142≈1.19（厘米）
　　答：這個圓的直徑約是1.19厘米。
　　【近似數(shù)混合運算方法】近似數(shù)的混合運算，要分步來做。運算的中間步驟的計算結果，所保留的數(shù)字要比加、減、乘、除計算法則規(guī)定的多取一個。例如，作近似數(shù)的混合計算：
　　57.71÷5.14+3.18×1.16-4.6307×1.6。
　　解原式=11.23+3.689-7.41
　　≈7.5
　　說明：（1）57.71÷5.14，3.18×1.16，4.6307×1.6，所得的中間結果11.23，3.689，7.41，都比法則規(guī)定應當取的有效數(shù)字多取了一個。
　　（2）11.23+3.689-7.41是加減法，各數(shù)中精確度最低的是7.41，這個數(shù)實際上只有兩個有效數(shù)字，就是只精確到十分位。因此，最后求得的結果應當四舍五入到十分位，得7.5。
　　又如，“有一塊梯形土地，量得上底約為68.73米，下底約為104.20米，高約為9.57米。求這塊土地的面積。
　
　　≈86.47×9.57
　　≈828（平方米）（答略）
　　說明：（1）68.73+104.20，所得的中間結果172.93，精確到0.01，沒有多取的數(shù)位。

果四舍五入到三個有效數(shù)字，得828。
　　【預定精確度的計算法則】已給出計算結果所要求達到的精確度，要求確定原始數(shù)據(jù)的精確度，通常稱其為“預定精確度的計算”。
　　預定精確度的計算法則，一般有：
　?。?）預定結果的精確度用有效數(shù)字給出的問題。
　　如果預定結果有n個有效數(shù)字，那么原始數(shù)據(jù)一般取到n+1個有效數(shù)字。
　　例如，圓形面積大約是140平方米，要使算出的結果具有兩個有效數(shù)字，那么測量半徑r應達到怎樣的精確度？π應取幾個有效數(shù)字的近似值？
　　解：為了使面積S具有兩個有效數(shù)字，π和r就都要有三個有效數(shù)字。因為
　　
　　r應該有一位整數(shù)，所以測量半徑時，應該精確到0.01米。
　　π應該取三個有效數(shù)字的近似值--3.14。
　　（2）對于加法和減法，由于計算結果的精確度是按小數(shù)的位數(shù)來確定的，所以當預定結果的精確度用有效數(shù)字個數(shù)給出，那么就要先估計出和或差里最高一位數(shù)在哪一位上。
　　例如，梯形上底a約50米，下底b約60米，高h約40米。測量時，應達到怎樣的精確度，才能使算出的面積S有兩個有效數(shù)字？
　　
　　要使S有兩個有效數(shù)字，則（a+b）與h都應該有三個有效數(shù)字。所以，測量h應精確到0.1米，而測量上底和下底，只需要精確到1米（因a+b有三個整數(shù)數(shù)位。）
　　在實際測量時，a、b、h都有兩個整數(shù)數(shù)位，測量工具一樣，因此常采用相同的精確度。
　　【一般驗算方法】
　　（1）加減法的驗算方法。
　　加法的驗算方法有二：一是利用加法交換律，把加數(shù)位置交換后再相加，所得的結果必須與原計算的結果相同，說明計算才是正確的。二是利用加法和減法的逆運算關系，把所得的和減去一個加數(shù)，所得的差必須等于另一個加數(shù)，計算才是正確的。
　　減法的驗算也有兩種方法：一是利用加減互逆的關系進行驗算，把所得的差與減數(shù)相加，所得的和必須等于被減數(shù)，計算才是正確的。二是利用被減數(shù)、減數(shù)、差三者之間的關系進行驗算，用被減數(shù)減去差，所得的結果必須等于減數(shù)，計算才是正確的。
　?。?）乘除法的驗算方法。
　　乘法有兩種驗算方法：①利用乘法交換律進行驗算，把因數(shù)位置交換后再相乘，所得的結果必須和原來的計算結果相同，計算才是正確的。②利用乘除互逆關系，把所得的積除以一個因數(shù)，結果必須等于另一個因數(shù)，計算才是正確的。
　　除法也有兩種驗算方法：①利用乘除互逆關系，把除數(shù)和商相乘（如有余數(shù)，還要加上余數(shù)），所得的結果必須等于被除數(shù)，計算才是正確的。②利用被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)之間的關系，把被除數(shù)減去余數(shù)所得的差（沒有余數(shù)的不必去減），除以商，所得的結果必須等于除數(shù)，計算才是正確的。
　　（3）四則混合運算式題的驗算。
　　四則混合運算式題的驗算，雖然可采用上述加、減、乘、除法的驗算方法去驗算，但非常麻煩，不如采用重算的辦法。由于計算中最易錯的是運算順序、分小數(shù)互化等，所以重算可分三步走：①檢查運算順序；②檢查分小數(shù)互化情況；③檢查每步計算結果是否正確。
　?。?）解方程、解比例的驗算方法。
　　解方程、解比例的驗算，可將求得的解代入原方程或原比例，看等號兩邊的數(shù)值是否相等。
　?。?）應用題的驗算方法。
　　應用題的驗算可以采用下面三種方法：
　?、儆谩耙活}多解”驗算。有多種解法的應用題，可用不同的解法去再解一遍。若解得的結果一致，說明解法是正確的。
　　②用“還原法”驗算。將計算結果作為題目中的已知條件，根據(jù)其數(shù)量關系，若算得其他已知條件和數(shù)據(jù)都是成立的（即能“還原”），則表明題目的解法是正確的。
　　③用分析、估算方法驗算。根據(jù)生活經驗等，可知：求總數(shù)，結果不應小于部分數(shù)；求人數(shù)、植樹棵樹等，得數(shù)通常為整數(shù)；計算出油率、合格率等，得數(shù)不會大于100％；計算各種速度、農作物單位面積產量，得數(shù)應基本符合實際情況；……否則，題目的解答便可能是錯誤的。
　　不過，分析、估算辦法只能檢驗出大致的情況，大致情況檢驗出來后，還得用其他方法驗算。
　　【棄九驗算法】利用被9除所得余數(shù)的性質，對四則運算進行檢驗的一種方法，稱為“棄九驗算法”，簡稱“棄九法”。
　　用“棄九法”驗算，首先要找出一個數(shù)的“去九數(shù)”（或稱“棄九數(shù)”）。把一個數(shù)各位數(shù)字相加，如果和大于9，又再將和的各位數(shù)字相加，直到和是一個一位數(shù)（和是9的要減去9得0），這個數(shù)我們便稱它為原數(shù)的“去九數(shù)”。例如
　　8693：8+6+9+3=26-→2+6=8（去九數(shù)是8）；
　　721：7+2+1=10-→1+0=1（去九數(shù)是1）。
　　去九數(shù)也可以這樣得到：把一個數(shù)中的數(shù)字9，或者相加得9的幾個數(shù)字都劃去，將剩下來的數(shù)字相加，得到一個小于9的數(shù)，這個數(shù)就是原數(shù)的去九數(shù)。
　　例如：

　　“棄九驗算法”也可以說，是利用“去（棄）九數(shù)”去進行驗算的一種驗算方法。例如，驗算下面的加減法，可先求出等號左右每個數(shù)的去九數(shù)，然后將等號左邊的去九數(shù)相加減，若去九數(shù)的和（或差），與等號右邊和（或差）的去九數(shù)不相等，則可以肯定，原來的計算是錯誤的。例如
　　　　
　?。ㄈ绻麅蓚€加數(shù)的去九數(shù)之和大于9，則應減去9）
　　所以，可以肯定，原式的計算是錯誤的。的確，正確的答案是70168。
　　假如最后的兩個去九數(shù)之和或差，與等號右邊和（或差）的去九數(shù)相等，那么在一般情況下，可以認為原來的計算大致沒有錯誤。例如

　　所以，可以認為原來的計算大致沒有錯誤。
　　減法的驗算如
　　　　
　　所以，可以肯定，原計算是錯誤的。事實上，原式的差應該是146410。
　　用棄九法驗算乘法如下面的兩個例子：
　?。?）

　　可以肯定，原來的計算是錯誤的。確實，正確的答案應該是716478。
　?。?）
　
　　可以認為，這道題大致沒有錯誤。
　　用棄九法驗算除法，可利用下面的關系式來進行：
　　除數(shù)×商=被除數(shù)；
　　除數(shù)×商+余數(shù)=被除數(shù)。
　　例如：
　?。?）

　　可以認為，這道題的計算大致沒有錯誤。
　?。?）

　　可以認為，這道題的計算，大致沒有錯誤。
　　不難發(fā)現(xiàn)，棄九驗算法是既方便，又有趣的。但當棄九數(shù)的等式相等時，為什么要說“在一般情況下”，“可以認為”原式的計算”大致沒有錯誤”呢？請看下面幾個數(shù)的去九數(shù)：

　　這就是說，當幾個數(shù)的數(shù)字相同，僅僅是0的個數(shù)不同；或者是數(shù)字順序顛倒；或者小數(shù)點的位置不同時，它的去九數(shù)卻是相同的。這樣就會導致用棄九法驗算，不能查出去九數(shù)雖相同，而數(shù)的實際大小卻并不相同的情況。這一點，在使用棄九法驗算時，我們必須特別注意。
　　盡管有以上這種情況，但一般說來，棄九驗算法還是一個有特色、有趣味的和比較好的驗算方法。
　　【速算方法】（見第一部分“（五）數(shù)學公式”中的“速算公式”及第四部分中的“速算技巧”。）
　　【名數(shù)化、聚方法】
　?。?）名數(shù)的化法。把高級單位的單名數(shù)或復名數(shù)，化成低級單位的單名數(shù)的方法，叫做“名數(shù)的化法”。計算時，用進率乘以高級單位的數(shù)，再加上低級單位的數(shù)。
　　例如，把6米32厘米化成以厘米為單位的數(shù)：
　　因為厘米和米之間的進率是100，所以，解法是
　　100×6+32=632（厘米），
　　即6米32厘米=632厘米。
　?。?）名數(shù)的聚法。把低級單位的單名數(shù)聚成高級單位的單名數(shù)或復名數(shù)的方法，叫做“名數(shù)的聚法”。計算時，用低級單位的數(shù)除以進率，所得的商就是高級單位的數(shù)，余數(shù)就是低級單位的數(shù)。
　　例如，把5700千克聚成以噸和千克為單位的復名數(shù)。
　　因為噸和千克之間的進率是1000，所以解法是
　　5700÷1000=5……700
　　∴5700千克=5噸700千克。














9、約數(shù)與倍數(shù)
【約數(shù)問題】
　　例1 用1155個同樣大小的正方形拼成一個長方形，有______種不同的拼法。（上海市第五屆小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：不論拼成怎樣的長方形，它們的面積都是1155。
　　而長方形的面積等于長乘以寬。所以，只要將1155分成兩個整數(shù)的積，看看有多少種方法。一般來說，約數(shù)都是成對地出現(xiàn)。
　　1155的約數(shù)共有16個。
　　16÷2=8（對）。
　　所以，有8種不同的拼法。
　　例2 說明：360這個數(shù)的約數(shù)有多少個？這些約數(shù)之和是多少？
　?。ㄈ珖谌龑谩叭A杯賽”決賽第一試試題）
　　講析：將360分解質因數(shù)，得
　　360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。
　　所以，360的約數(shù)個數(shù)是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（個）
　　這24個約數(shù)的和是：
　　
　　例3 一個數(shù)是5個2，3個3，2個5，1個7的連乘積。這個數(shù)當然有許多約數(shù)是兩位數(shù)，這些兩位的約數(shù)中，最大的是幾？
　?。ㄈ珖谝粚谩叭A杯賽”決賽第一試試題）
　　講析：這個數(shù)是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。
　　把兩位數(shù)從99、98、……開始，逐一進行分解：
　　99=3×3×11； 98=2×7×7；
　　97是質數(shù)； 96=2×2×2×2×2×3。
　　發(fā)現(xiàn)，96是上面數(shù)的約數(shù)。
　　所以，兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是96。
　　例4 有8個不同約數(shù)的自然數(shù)中，最小的一個是______。
　　（北京市第一屆“迎春杯”小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：一個自然數(shù)N，當分解質因數(shù)為：
　　
　　
　　因為8=1×8=2×4=2×2×2，
　　所以，所求自然數(shù)分解質因數(shù)，可能為：
　　27，或23×3，或2×3×5，……
　　不難得出，最小的一個是24。
【倍數(shù)問題】
　　例1 6枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高，如果分別用1分、2分、5分硬幣疊成的三個圓柱體一樣高，這些硬幣的幣值為4元4角2分，那么這三種硬幣總共有______枚。
　?。ㄉ虾Ｊ械谖鍖眯W數(shù)學競賽試題）
　　講析：因為6枚1分的硬幣與5枚2分的一樣高，所以36枚1分的硬幣與30枚2分的一樣高。
　　6枚2分的硬幣與5枚5分的一樣高，所以30枚2分的硬幣與25枚5分的一樣高。
　　因此，36枚1分的硬幣高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它們共有：
　　1×36+2×30+5×25=221（分）。
　　4元4角2分=442（分），442÷221=2。
　　所以，1分的硬幣共36×2=72（枚），2分的硬幣共30×2=60（枚），5分的硬幣共25×2=50（枚），即總共有182枚。
　　例2 從1、2、……、11、12中至多能選出______個數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的2倍。
　　（1990年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）
　　講析：1、3、5、7、9、11是奇數(shù)，不可能是任何整數(shù)的2倍。剩下的數(shù)有2、4、6、8、10、12六個數(shù)，且6是3的2倍，10是5的2倍。如取2，則4、8、12就都不能取；如取4，則2、8不能取，故只可取12；如取8，則2、4不能取，故只可取8。所以至多能選取8個數(shù)。
　　例3 小明的兩個衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1、2、3、……13。如果從這兩個口袋中各拿出一張卡片來計算它們所寫兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積，那么，其中能被6整除的乘積共有______個。
　?。ū本┦械诰艑谩坝罕毙W數(shù)學競賽試題）
　　講析：因為6=2×3，所以能被6整除的因數(shù)中，至少含有一個2和一個3。
　　當一邊取6，另一邊取1、2、……、13時均成立，有13個積；
　　當一邊取7、8、9、10、11、12、13，另一邊取12時，有7個積；
　　當一邊取10，另一邊取9時，有1個積。
　　所以，不相等的乘積中，被6整除的共有：
　　13+7+1=21（個）。
　　例4 設a與b是兩個不相等的自然數(shù)。如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么a與b之和可以有______種不同的值。
　　（北京市第九屆“迎春杯”小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：因為72=23×32，它共有約數(shù)
　?。?+1）×（2+1）=12（個）
　　這12個約數(shù)，每個約數(shù)與72的最小公倍數(shù)都是72，a、b之和有12種不同的值；
　　當a=22×32=36時，b可取23=8或23×3=24，a、b之和有2種不同的值；
　　當a=23×3=24時，b可取32=9或2×32=18，a、b之和有2種不同的值。
　　當a=2×32=18時；b可取23=8，a、b之和有1種不同的值。
　　所以，滿足條件的a與b之和共有17種不同的值。





10、余數(shù)問題
　　【求余數(shù)】
　　　　
　?。?990年江蘇宜興市第五屆小學生數(shù)學競賽試題）
　　
一組，就可得到331組，尚余4個6。
　　而6666÷7=952……2。所以，原式的余數(shù)是2。
　　例2 9437569與8057127的乘積被9除，余數(shù)是__。
　?。ā冬F(xiàn)代小學數(shù)學》邀請賽試題）
　　講析：一個數(shù)被9除的余數(shù)與這個數(shù)各位數(shù)字之和被9除的余數(shù)是一樣的。
　　9437569各位數(shù)字之和除以9余7；8057127各位數(shù)字之和除以9余3。
　　7×3=21，21÷9=2……3。
　　所以，9437569與8057127的乘積被9除，余數(shù)是3。
　　例3 在1、2、3、4、……、1993、1994這1994個數(shù)中，選出一些數(shù)，使得這些數(shù)中的每兩個數(shù)的和都能被26整除，那么這樣的數(shù)最多能選出_______個。
　?。?994年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）
　　講析：可將1、2、3、……、1994這1994個數(shù)，分別除以26。然后，按所得的余數(shù)分類。
　　要使兩個數(shù)的和是26的倍數(shù)，則必須使這兩個數(shù)分別除以26以后，所得的余數(shù)之和等于26。
　　但本題要求的是任意兩個數(shù)的和都是26的倍數(shù)，故26的倍數(shù)符合要求。這樣的數(shù)有1994÷26=76（個）……余18（個）。但被26除余13的數(shù)，每兩個數(shù)的和也能被26整除，而余數(shù)為13的數(shù)共有77個。
　　所以，最多能選出77個。
　　【同余問題】
　　例1 一個整數(shù)，除300、262、205，得到相同的余數(shù)（余數(shù)不為0）。這個整數(shù)是_____。
　?。ㄈ珖谝粚谩叭A杯賽”初賽試題）
　　講析：如果一個整數(shù)分別除以另兩個整數(shù)之后，余數(shù)相同，那么這個整數(shù)一定能整除這兩個數(shù)的差。因此，問題可轉化為求（300—262）和（262—205）的最大公約數(shù)。
　　不難求出它們的最大公約數(shù)為19，即這個整數(shù)是19。
　　例2 小張在計算有余數(shù)的除法時，把被除數(shù)113錯寫成131，結果商比原來多3，但余數(shù)恰巧相同。那么該題的余數(shù)是多少？（1989年上海市小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：被除數(shù)增加了131-113=18，余數(shù)相同，但結果的商是3，所以，除數(shù)應該是18÷3=6。又因為113÷6的余數(shù)是5，所以該題的余數(shù)也是5。
　　例3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡覺，明天再說。夜里，一只猴子偷偷起來，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡覺；第二只猴子起來，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡覺。第三、四、五只猴子也都這樣做。問：最初至少有______個桃子。
　?。ü枮I市小學數(shù)學競賽試題）
　　講析：因為第一只猴子把桃5等分后，還余1個桃；以后每只猴子來時，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1個桃子。于是，我們可設想，如果另加進4個桃子，則連續(xù)五次可以分成5等份了。
　　加進4個桃之后，這五只猴每次分桃時，不再吃掉一個，只需5等份后，拿走一份。
　　因為4與5互質，每次的4份能分成5等份，這說明每次等分出的每一份桃子數(shù)，也能分成5等份。這樣，這堆桃子就能連續(xù)五次被5整除了。所以，這堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121（個）。
　　例4 在1、2、3、……、30這30個自然數(shù)中，最多能取出______個數(shù)，使取出的這些數(shù)中，任意兩個不同的數(shù)的和都不是7的倍數(shù)。
　?。ㄉ虾Ｊ械谖鍖眯W數(shù)學競賽試題）
　　講析：我們可將1到30這30個自然數(shù)分別除以7，然后按余數(shù)分類。
　　余數(shù)是0：7、14、21、28
　　余數(shù)是1：1、8、15、22、29
　　余數(shù)是2：2、9、16、23、30
　　余數(shù)是3：3、10、17、24
　　余數(shù)是4：4、11、18、25
　　余數(shù)是5：5、12、19、26
　　余數(shù)是6：6、13、20、27
　　要使兩數(shù)之和不是7的倍數(shù)，必須使這兩個數(shù)分別除以7所得的余數(shù)之和不等于7。
　　所以，可以取余數(shù)是1、2、3的數(shù)，不取余數(shù)是4、5、6的數(shù)。而余數(shù)為0的數(shù)只取一個。
　　故最多可以取15個數(shù)。



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