1．已知函數(shù)f（x）＝Asin（wx+φ）（A，w，φ是常數(shù)，A＞0，w＞0，0＜φ＜π2）的部分圖象如圖所示．為了得到函數(shù)f（x）的圖象，可以將函數(shù)y=2sinx的圖象（ ）
A．先向右平移π6個單位長度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的12，縱坐標(biāo)不變
B．先向左平移π6個單位長度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變
C．先向左平移π3個單位長度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變
D．先向左平移π3個單位長度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的12，縱坐標(biāo)不變
2．函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜π2）的部分圖象如圖所示，為了得到f（x）的圖象，則只要將g（x）＝cs2x的圖象（ ）
A．向左平移π12個單位長度
B．向右平移π12個單位長度
C．向左平移π6個單位長度
D．向右平移π6個單位長度
3．為了得到函數(shù)y=sin2x+3cs2x的圖象，可以將函數(shù)y=3sin2x?cs2x的圖象作這樣的平移變換得到（ ）
A．向左π6B．向左π4C．向右π2D．向右π3
4．要得到函數(shù)y＝sin（2x+π3）的圖象，只需將函數(shù)y＝sin2x的圖象（ ）
A．向左平移π3個單位B．向左平移π6個單位
C．向右平移π3個單位D．向右平移π6個單位
5．把函數(shù)f（x）＝Asin（2x?π6）（A≠0）的圖象向右平移π4個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x﹣m）（m＞0）是偶函數(shù)，則實數(shù)m的最小值是（ ）
A．5π12B．5π6C．π6D．π12
6．函數(shù)f(x)=cs(2x+φ)(|φ|＜π2)圖象向右平移π6個單位長度，所得圖象關(guān)于原點對稱，則f（x）在[?π3，π3]上的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．[?π3，π12]B．[?π3，0]C．[?π4，π4]D．[π12，π3]
7．將函數(shù)f（x）＝sinxcsx﹣1的圖象向右平移π6個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．[?π3+kπ，π3+kπ]（k∈Z）B．[π4+kπ，π2+kπ]（k∈Z）
C．[?π4+kπ，π4+kπ]（k∈Z）D．[?π12+kπ，5π12+kπ]（k∈Z）
8．要得到函數(shù)y=sin(2x?π3)的圖象，只需將函數(shù)y＝sin2x的圖象（ ）
A．向左平移π6個單位長度B．向右平移π6個單位長度
C．向左平移π3個單位長度D．向右平移π3個單位長度
9．函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f（x）圖象向右平移1個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（﹣4）+g（15）＝（ ）
A．3B．32C．2D．12
10．將函數(shù)f（x）＝sinx的圖象向左平移π6個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列說法不正確的是（ ）
A．函數(shù)g（x）的最小正周期為4π
B．函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ?4π3，4kπ+2π3]（k∈Z）
C．直線x=2π3是函數(shù)g（x）圖象的一條對稱軸
D．函數(shù)g（x）圖象的一個對稱中心為點（2π3，0）
二．填空題（共14小題）
11．函數(shù)f（x）＝sin（2x?π3）的圖象向左平移π3個單位后與函數(shù)g（x）的圖象重合，寫出所有真命題的序號 ．
①g（x）的一個周期為4π；
②g（x）的圖象關(guān)于x=?5π12對稱；
③x=5π6是g（x）的一個零點；
④g（x）在（?5π12，π12）上嚴(yán)格遞減．
12．函數(shù)f(x)=sin(2x+π3)的最小正周期T＝ ，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象．若函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）的最大值為2，則φ的值可以為 ．
13．若將函數(shù)f（x）＝cs（φ+π6）sinωx+csωxsin（φ+π6）（ω＞0，|φ|≤π2）的圖像向右平移π6ω個單位得到g（x）圖像，且g（x）圖像過點(0，12)，若關(guān)于x的方程g（x）＝﹣1在[π6，π]上恰有一個實數(shù)解，則ω的取值范圍是 ．
14．把曲線C1：y＝sin（ωx）（ω＞0）向右平移π6個單位后得到曲線C2，若曲線C2的所有對稱中心與曲線C1的所有對稱中心重合，則ω的最小值為 ．
15．函數(shù)f（x）＝sinx的圖象向左平移π6個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列函數(shù)g（x）的結(jié)論：
①一條對稱軸方程為x=7π6；
②點(5π6，0)時對稱中心；
③在區(qū)間(0，π3)上為單調(diào)增函數(shù)；
④函數(shù)g（x）在區(qū)間[π2，π]上的最小值為?12．
其中所有正確的結(jié)論為 .（寫出正確結(jié)論的序號）
16．要得到函數(shù)y＝cs（2x+3）的圖象，只要將函數(shù)y＝cs2x的圖象，向 移動 個單位．
17．將函數(shù)f（x）＝2cs2（πx+π3）﹣1的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度，最后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)設(shè)為g（x），則g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的所有零點的和為 ．
18．函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ)(ω＞0，?π2＜（ω＞0，?π2＜φ＜π2）的部分圖象如圖所示，則f（x）的圖象可由函數(shù)g（x）＝2sinωx的圖象至少向右平移 個單位得到．
19．把函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的12（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象上所有點向左平行移動π3個單位長度，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，則g（x）＝ ．
20．將函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移π12個單位長度，再將圖象上每個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼?2倍，則所得圖象的函數(shù)解析式為 ．
21．已知函數(shù)f（x）＝（x+α）csx為奇函數(shù)，則a＝ ；現(xiàn)將函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移π2個單位，得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)記為g（x），那么其解析式g（x）＝ ；且函數(shù)g（x）圖象的對稱中心為 ．
22．已知函數(shù)y＝cs（3π2+πx），x∈[56，t）（t＞56）既有最小值也有最大值，則實數(shù)t的取值范圍是 ．
23．若將函數(shù)f(x)=cs(2x+π12)的圖象向左平移π8個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列說法正確的是 ．
①g（x）的最小正周期為π；
②g（x）在區(qū)間[0，π2]上單調(diào)遞減；
③x=π12不是函數(shù)g（x）圖象的對稱軸；
④g（x）在[?π6，π6]上的最小值為?12．
24．已知函數(shù)f（x）＝sinωxcsωx+sin2ωx?12（ω＞0），若對滿足f（x1）=22，f(x2)=?22的x1，x2，有|x1﹣x2|最小值為π2．若將其圖象沿x軸向右平移π4個單位，再將得到的圖象各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝g（x）的解析式為 ．
三．解答題（共8小題）
25．已知函數(shù)f（x）=3sinωxcsωx﹣cs2ωx（ω＞0）周期是π2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，再向左平移π6個單位，最后將整個函數(shù)圖象向上平移32個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若π6≤x≤2π3時，|g（x）﹣m|＜2恒成立，求m得取值范圍．
26．函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|?|＜π）的一段圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)y＝f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移π8個單位，得到y(tǒng)＝g（x）的圖象，求直線y=6與函數(shù)y=2g(x)的圖象在（0，π）內(nèi)所有交點的坐標(biāo)．
27．設(shè)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的最高點D的坐標(biāo)為（π8，2），由最高點D運動到相鄰最低點時，函數(shù)圖形與x的交點的坐標(biāo)為（3π8，0）；
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）當(dāng)x∈[?π4，π4]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值以及分別取得最大值和最小值時相應(yīng)的自變量x的值．
（3）將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移π4個單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求函數(shù)y＝g（x）的單調(diào)減區(qū)間及對稱中心．
28．設(shè)函數(shù)f(x)=2sinx2csx2+23cs2x2?3(x∈R)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值，并指出取得最大值時x的值；
（2）將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）表達(dá)式和單調(diào)遞增區(qū)間．
29．先將函數(shù)y=2sin(2x+π6)?3sin2x圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)f（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若α，β滿足f(α)?f(β)=423，且α+β=π4，設(shè)g(x)=32sin(x+α)?sin(x+β)cs2x，求函數(shù)g（x）在x∈[?π4，π4]上的最大值．
30．已知：向量a→=(2csx4，2sinx4)，b→=(sinx4，?3sinx4)，函數(shù)f(x)=a→?b→+3
（1）求函數(shù)y＝f（x）的最小正周期及最值；
（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后，再向左平移23π得到函數(shù)y＝g（x），判斷函數(shù)y＝g（x）的奇偶性，并說明理由．
31．設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(ωx?π3)，其中0＜ω＜3．若f(π6)=0．
（1）求ω；
（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移π4個單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求g（x）在[?π4，3π4]上的最小值．
32．已知向量a→=(sinx，3cs(32π?x))，b→=(sin(π2?x)，cs(π2+x))，函數(shù)f(x)=a→?b→?32．
（1）求f（x）的最小正周期及f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）若先將f（x）的圖象上每個點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后再向左平移π3個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)y=g(x)?15在區(qū)間[﹣π，3π]內(nèi)的所有零點之和．
人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 三角函數(shù)圖像變換
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．已知函數(shù)f（x）＝Asin（wx+φ）（A，w，φ是常數(shù)，A＞0，w＞0，0＜φ＜π2）的部分圖象如圖所示．為了得到函數(shù)f（x）的圖象，可以將函數(shù)y=2sinx的圖象（ ）
A．先向右平移π6個單位長度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的12，縱坐標(biāo)不變
B．先向左平移π6個單位長度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變
C．先向左平移π3個單位長度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變
D．先向左平移π3個單位長度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的12，縱坐標(biāo)不變
【分析】首先根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式，進一步利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：根據(jù)函數(shù)的圖象得到A=2，
14×2πω=7π12?π3，解得ω＝2，
由于2×π3+φ=kπ，0＜φ＜π2，
解得φ=π3．
故f（x）=2sin(2x+π3)，
所以要得到函數(shù)f（x）的圖象，只需將函數(shù)y=2sinx的圖象向左平移π3個單位，橫坐標(biāo)縮短為原來的12，縱坐標(biāo)不變即可．
故選：D．
2．函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜π2）的部分圖象如圖所示，為了得到f（x）的圖象，則只要將g（x）＝cs2x的圖象（ ）
A．向左平移π12個單位長度
B．向右平移π12個單位長度
C．向左平移π6個單位長度
D．向右平移π6個單位長度
【分析】先利用圖象求三角函數(shù)的解析式：由圖知，A＝1，T＝π，則ω=2πT=2ππ=2，又f（π3）＝0，即φ＝kπ?2π3（k∈Z），又|φ|＜π2，所以φ=π3，
再由三角函數(shù)圖象的平移及誘導(dǎo)公式得：將g（x）＝cs2x的圖象向右平移π12個單位長度得y＝cs2（x?π12）＝cs（2x?π6）＝sin（2x+π3）＝f（x），得解
【解答】解：由圖知：A＝1，由T4=7π12?π3=π4，即T＝π，則ω=2πT=2ππ=2，
又f（π3）＝0，即sin（2π3+φ）＝0，所以2π3+φ＝kπ，即φ＝kπ?2π3（k∈Z），
又|φ|＜π2，
所以φ=π3，
即f（x）＝sin（2x+π3），
將g（x）＝cs2x的圖象向右平移π12個單位長度得y＝cs2（x?π12）＝cs（2x?π6）＝sin（2x+π3）＝f（x），
故選：B．
3．為了得到函數(shù)y=sin2x+3cs2x的圖象，可以將函數(shù)y=3sin2x?cs2x的圖象作這樣的平移變換得到（ ）
A．向左π6B．向左π4C．向右π2D．向右π3
【分析】根據(jù)已知條件，以及三角函數(shù)兩角和、兩角差公式，分別得到原函數(shù)與目標(biāo)函數(shù)，再結(jié)合平移變換法則，即可求解．
【解答】解：由題意可得，y=3sin2x?cs2x=2(32sin2x?12cs2x)=2sin(2x?π6)，
設(shè)f(x)=2sin(2x?π6)，
y=sin2x+3cs2x=2(12sin2x+32cs2x)=2sin(2x+π3)，
設(shè)g(x)=2sin(2x+π3)，
設(shè)g(x)是由f(x)平移φ個單位得到，
則2sin[2(x+φ)?π6+2kπ]=2sin(2x+π3)，k∈Z
∴2x+2φ?π6=2x+π3，即φ=π4+kπ，
∴當(dāng)k＝0時，φ=π4，
∴根據(jù)左加右減原則，g(x)是由f(x)向左平移π4個單位得到，
故選：B．
4．要得到函數(shù)y＝sin（2x+π3）的圖象，只需將函數(shù)y＝sin2x的圖象（ ）
A．向左平移π3個單位B．向左平移π6個單位
C．向右平移π3個單位D．向右平移π6個單位
【分析】由條件根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．
【解答】解：由于函數(shù)y＝sin（2x+π3）＝sin2（x+π6），
∴將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移π6個單位長度，可得函數(shù)y＝sin（2x+π3）的圖象，
故選：B．
5．把函數(shù)f（x）＝Asin（2x?π6）（A≠0）的圖象向右平移π4個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x﹣m）（m＞0）是偶函數(shù)，則實數(shù)m的最小值是（ ）
A．5π12B．5π6C．π6D．π12
【分析】先根據(jù)左加右減求出g（x）的解析式，再根據(jù)正余弦型函數(shù)若是偶函數(shù)，則在y軸上有最值，令g（0﹣m）＝±A，即可求出m的值．
【解答】解：把函數(shù)f（x）＝Asin（2x?π6）（A≠0）的圖象向右平移π4個單位長度，
可得函數(shù)g（x）=Asin(2(x?π4)?π6)=?Acs(2x?π6)．
若函數(shù)g（x﹣m）（m＞0）是偶函數(shù)，則g（0﹣m）＝﹣Acs（﹣2m?π6）＝±A，
∴cs（2m+π6）＝±1，所以2m+π6=kπ，k∈Z．
∵m＞0，∴k＝1時，m=5π12最?。?br>故選：A．
6．函數(shù)f(x)=cs(2x+φ)(|φ|＜π2)圖象向右平移π6個單位長度，所得圖象關(guān)于原點對稱，則f（x）在[?π3，π3]上的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．[?π3，π12]B．[?π3，0]C．[?π4，π4]D．[π12，π3]
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系結(jié)合函數(shù)關(guān)于原點對稱的性質(zhì)求出φ的值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．
【解答】解：函數(shù)f(x)=cs(2x+φ)(|φ|＜π2)圖象向右平移π6個單位長度，
得到y(tǒng)＝cs[2（x?π6）+φ]＝cs（2x+φ?π3），所得圖象關(guān)于原點對稱，
則φ?π3=kπ+π2，得φ＝kπ+5π6，k∈Z，
∵|φ|＜π2，
∴當(dāng)k＝﹣1時，φ=?π6，
則f（x）＝cs（2x?π6），
由2kπ﹣π≤2x?π6≤2kπ，k∈Z，
得kπ?512≤x≤kπ+π12，k∈Z，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?512，kπ+π12]，k∈Z，
∵x∈[?π3，π3]，
∴當(dāng)k＝0時，?512≤x≤π12，
即?π3≤x≤π12，
即f（x）在[?π3，π3]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[?π3，π12]，
故選：A．
7．將函數(shù)f（x）＝sinxcsx﹣1的圖象向右平移π6個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．[?π3+kπ，π3+kπ]（k∈Z）B．[π4+kπ，π2+kπ]（k∈Z）
C．[?π4+kπ，π4+kπ]（k∈Z）D．[?π12+kπ，5π12+kπ]（k∈Z）
【分析】直接利用三角函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinxcsx﹣1=12sin2x?1，的圖象向右平移π6個單位長度后得到函數(shù)g（x）=12sin(2x?π3)?1的圖象．
令：?π2+2kπ≤2x?π3≤2kπ+π2（k∈Z），
解得?π12+kπ≤x≤kπ+5π12（k∈Z），
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[?π12+kπ，kπ+5π12]（k∈Z）．
故選：D．
8．要得到函數(shù)y=sin(2x?π3)的圖象，只需將函數(shù)y＝sin2x的圖象（ ）
A．向左平移π6個單位長度B．向右平移π6個單位長度
C．向左平移π3個單位長度D．向右平移π3個單位長度
【分析】利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
【解答】解：把函數(shù)y＝sin2x的圖象向右平移π6個單位長度，可得到函數(shù)y＝sin（2x?π3）的圖象，
故選：B．
9．函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）+B的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f（x）圖象向右平移1個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（﹣4）+g（15）＝（ ）
A．3B．32C．2D．12
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)圖象平移關(guān)系求出g（x）的解析式，代入進行求解即可．
【解答】解：由圖象知函數(shù)的最大值是1.5，最小值為0.5，
即A+B＝1.5，﹣A+B＝0.5，得A＝0.5，B＝1，
函數(shù)的周期T＝4﹣0＝4，即T=2πω=4，得ω=π2，
即f（x）＝0.5sin（π2x+φ）+1，
由圖象知f（1）＝0.5sin（π2+φ）+1＝1.5，
得0.5sin（π2+φ）＝0.5，
即sin（π2+φ）＝1，
得π2+φ=π2+2kπ，k∈Z，
得φ＝2kπ，
f（x）＝0.5sin（π2x+2kπ）+1＝0.5sin（π2x）+1，
將函數(shù)f（x）圖象向右平移1個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，
即g（x）＝f（x﹣1），
則則g（﹣4）+g（15）＝f（﹣5）+f（14）＝0.5sin[（π2×（﹣5））+1]+0.5sin（π2×14）+1
＝0.5sin（?π2））+1+0.5sin（7π）+1
＝2﹣0.5=32，
故選：B．
10．將函數(shù)f（x）＝sinx的圖象向左平移π6個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍，得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列說法不正確的是（ ）
A．函數(shù)g（x）的最小正周期為4π
B．函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ?4π3，4kπ+2π3]（k∈Z）
C．直線x=2π3是函數(shù)g（x）圖象的一條對稱軸
D．函數(shù)g（x）圖象的一個對稱中心為點（2π3，0）
【分析】由已知利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換可求函數(shù)解析式g（x）＝sin（12x+π6），進而根據(jù)正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐項分析即可得解．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinx的圖象向左平移π6個單位長度，得到y(tǒng)＝sin（x+π6），
再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得g（x）＝sin（12x+π6），
對于A，函數(shù)g（x）的最小正周期為T=2π12=4π，故正確；
對于B，令2kπ?π2≤12x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得4kπ?4π3≤x≤4kπ+2π3，k∈Z，可得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ?4π3，4kπ+2π3]（k∈Z），故正確；
對于C，令12x+π6=2kπ+π2，k∈Z，解得x＝4kπ+2π3，k∈Z，當(dāng)k＝0時，可得g（x）的一條對稱軸為x=2π3，故正確；
對于D，g（2π3）＝sin（12×2π3+π6）＝sinπ2=1≠0，故錯誤．
故選：D．
二．填空題（共14小題）
11．函數(shù)f（x）＝sin（2x?π3）的圖象向左平移π3個單位后與函數(shù)g（x）的圖象重合，寫出所有真命題的序號 ①②③ ．
①g（x）的一個周期為4π；
②g（x）的圖象關(guān)于x=?5π12對稱；
③x=5π6是g（x）的一個零點；
④g（x）在（?5π12，π12）上嚴(yán)格遞減．
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移變換求出g（x）的解析式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可．
【解答】解：由題意函數(shù)f（x）＝sin（2x?π3）的圖象向左平移π3個單位后，
得函數(shù)g（x）＝sin[2（x+π3）?π3]＝sin（2x+π3），
故T=2π2=π，g（x）的最小正周期是π，
∴4π是g（x）的一個周期，∴①正確；
由2x+π3=kπ+π2，解得：x=π12+kπ2，k∈Z，
當(dāng)k＝﹣1時，x=?5π12，∴②正確；
令2x+π3=kπ，解得：x=?π6+kπ2（k∈Z），
令k＝2，則x=5π6，即x=5π6是g（x）的一個零點，∴③正確；
由2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，
解得：kπ+π12≤x≤kπ+7π12，
故g（x）在[kπ+π12，kπ+7π12]上單調(diào)遞增，∴④錯誤，
故答案為：①②③．
12．函數(shù)f(x)=sin(2x+π3)的最小正周期T＝ π ，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象．若函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）的最大值為2，則φ的值可以為 π2 ．
【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出結(jié)論．
【解答】解：函數(shù)f(x)=sin(2x+π3)的最小正周期T=2π2=π，
將函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度，
得到函數(shù)g（x）＝sin（2x+2φ+π3）的圖象．
若函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）＝sin（2x+π3）﹣sin（2x+2φ+π3）的最大值為2，
則當(dāng) sin（2x+π3）＝1時，sin（2x+2φ+π3）＝﹣1，
則 2φ＝（2k﹣1）?π，k∈Z．
令k＝1，可得φ=π2，
故答案為：π；π2．
13．若將函數(shù)f（x）＝cs（φ+π6）sinωx+csωxsin（φ+π6）（ω＞0，|φ|≤π2）的圖像向右平移π6ω個單位得到g（x）圖像，且g（x）圖像過點(0，12)，若關(guān)于x的方程g（x）＝﹣1在[π6，π]上恰有一個實數(shù)解，則ω的取值范圍是 [43，103） ．
【分析】由題意利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得ω的取值范圍．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝cs（φ+π6）sinωx+csωxsin（φ+π6）＝sin（ωx+φ+π6），（ω＞0，|φ|≤π2）；
若將f（x）的圖像向右平移π6ω個單位得到g（x）圖像，
則g（x）＝sin[ω（x?π6ω）+φ+π6]＝sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|≤π2）；
且g（x）圖像過點(0，12)，則g（0）＝sinφ=12，
∴φ=π6+2kπ，或φ=5π6+2kπ，k∈Z，
因為|φ|≤π2，所以，φ=π6，g（x）＝sin（ωx+π6）．
若關(guān)于x的方程g（x）＝﹣1在[π6，π]上恰有一個實數(shù)解，
即y＝sin（ωx+π6）的圖象和直線y＝﹣1，在[π6，π]上恰有一個交點．
因為ω＞0，則π6（ω+1）≤ωx+π6≤π（ω+16），
故2nπ?π2＜π6（ω+1）≤2nπ+3π2①，
且 2nπ+3π2≤π（ω+16）＜2nπ+7π2，n∈Z②，
且①②中的等號不能同時成立．
解①可得，12n﹣4＜ω≤12n+8，
解②可得，2n+43≤ω＜2n+103．
令n＝0，可得43≤ω＜103，
故答案為：[43，103）．
14．把曲線C1：y＝sin（ωx）（ω＞0）向右平移π6個單位后得到曲線C2，若曲線C2的所有對稱中心與曲線C1的所有對稱中心重合，則ω的最小值為 6 ．
【分析】由正弦函數(shù)的圖象特點可得π6=k?πω，k∈N+，∴ω＝6k，k∈N+，從而ω最小值為6．
【解答】解：∵正弦函數(shù)的對稱中心每隔半個周期出現(xiàn)，
又曲線C1：f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）向右平移π6個單位后得曲線C2，
曲線C2的對稱中心與曲線C1的所有對稱中心重合，
∴曲線至少移動半個周期，
∴π6=k?πω，k∈N+，∴ω＝6k，k∈N+，∴ω最小值為6．
故答案為：6．
15．函數(shù)f（x）＝sinx的圖象向左平移π6個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列函數(shù)g（x）的結(jié)論：
①一條對稱軸方程為x=7π6；
②點(5π6，0)時對稱中心；
③在區(qū)間(0，π3)上為單調(diào)增函數(shù)；
④函數(shù)g（x）在區(qū)間[π2，π]上的最小值為?12．
其中所有正確的結(jié)論為 ②③④ .（寫出正確結(jié)論的序號）
【分析】首先利用函數(shù)的圖象的平移變換求出函數(shù)g（x）的解析式，進一步利用函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的對稱性的應(yīng)用判定①②③④的結(jié)論．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinx的圖象向左平移π6個單位得到函數(shù)g（x）＝sin（x+π6）的圖象，
對于①：當(dāng)x=7π6時，g(7π6)=sin(7π6+π6)=sin4π3=?32，故①錯誤；
②當(dāng)x=5π6時，g（5π6）＝sinπ＝0故函數(shù)關(guān)于(5π6，0)對稱，故②正確；
③當(dāng)x∈(0，π3)，時，x+π6∈(π6，π2)，故函數(shù)在區(qū)間(0，π3)上為單調(diào)增函數(shù)，故③正確；
④當(dāng)x∈[π2，π]時，x+π6∈[2π3，7π6]，所以sin(x+π6)∈[?12，32]故函數(shù)的最小值為?12，故④正確．
故答案為：②③④．
16．要得到函數(shù)y＝cs（2x+3）的圖象，只要將函數(shù)y＝cs2x的圖象，向 左 移動 32 個單位．
【分析】直接利用三角函數(shù)圖象的平移變換的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：函數(shù)y＝cs2x，向左平移32個單位，得到y(tǒng)＝cs[2（x+32）]＝cs（2x+3）的圖象．
故答案為：左，32．
17．將函數(shù)f（x）＝2cs2（πx+π3）﹣1的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度，最后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)設(shè)為g（x），則g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的所有零點的和為 23 ．
【分析】根據(jù)條件得到g（x）的解析式，然后令g（x）＝0，求出g（x）在[﹣1，1]上的零點即可．
【解答】解：由題意可得g（x）=cs(πx?π3)，
令g（x）＝0，則πx?π3=kπ+π2(k∈Z)，
所以x=k+56(k∈Z)，
所以g（x）在[﹣1，1]上的零點為56和?16，
所以56+?16=23，
故答案為：23．
18．函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ)(ω＞0，?π2＜（ω＞0，?π2＜φ＜π2）的部分圖象如圖所示，則f（x）的圖象可由函數(shù)g（x）＝2sinωx的圖象至少向右平移 π6 個單位得到．
【分析】利用函數(shù)的圖象確定周期T的值，利用周期公式確定ω，再根據(jù)圖象過點（5π12，2），確定φ的值，即可求函數(shù)f（x）的解析式，由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換可得結(jié)論．
【解答】解：由圖象可得，3T4=5π12?（?π3），解得T＝π，
由T=2πω=π，得ω＝2．
因為圖象過點（5π12，2），
所以2sin（2×5π12+φ）＝2，
則5π6+φ＝2kπ+π2，得φ＝2kπ?π3，k∈Z，
由?π2＜φ＜π2，得φ=?π3，
f（x）＝2sin（2x?π3），
所以將g（x）＝2sin2x的圖象向右平移π6個單位得到函數(shù)f（x）＝2sin（2x?π3）．
故答案為：π6．
19．把函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的12（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象上所有點向左平行移動π3個單位長度，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，則g（x）＝ sin（2x+2π3） ．
【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
【解答】解：把函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的12（縱坐標(biāo)不變），可得y＝sin2x的圖象；
再把所得圖象上所有點向左平行移動π3個單位長度，得到函數(shù)y＝g（x）＝sin（2x+2π3）的圖象，
故g（x）的解析式為g（x）＝sin（2x+2π3），
故答案為：sin（2x+2π3）．
20．將函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移π12個單位長度，再將圖象上每個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼?2倍，則所得圖象的函數(shù)解析式為 y＝sin（4x+π6） ．
【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
【解答】解：將函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移π12個單位長度，可得y＝2sin（2x+π6）的圖象；
再將圖象上每個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼?2倍，
則所得圖象的函數(shù)解析式y(tǒng)＝sin（4x+π6），
故答案為：y＝sin（4x+π6）．
21．已知函數(shù)f（x）＝（x+α）csx為奇函數(shù)，則a＝ 0 ；現(xiàn)將函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移π2個單位，得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)記為g（x），那么其解析式g（x）＝ ﹣xsinx ；且函數(shù)g（x）圖象的對稱中心為 （kπ，0）． ．
【分析】由題意可得設(shè)g（x）＝x+a，則g（x）為奇函數(shù)，有g(shù)（﹣x）＝﹣x+a＝﹣g（x）＝﹣（x+a），從而解得a的值．由f（x）＝xcsx，根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x），由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)g（x）圖象的對稱中心．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝（x+α）csx為奇函數(shù)，csx為偶函數(shù)，
∴設(shè)g（x）＝x+a，則g（x）為奇函數(shù)，
∴g（﹣x）＝﹣x+a＝﹣g（x）＝﹣（x+a），從而解得：a＝0．
∴f（x）＝xcsx，
∴將函數(shù)f（x）的圖象沿x軸向左平移π2個單位，得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)記為g（x），那么其解析式g（x）＝xcs（x+π2）＝﹣xsinx，
∴由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)g（x）圖象的對稱中心為：（kπ，0）．
故答案為：0，﹣xsinx，（kπ，0）．
22．已知函數(shù)y＝cs（3π2+πx），x∈[56，t）（t＞56）既有最小值也有最大值，則實數(shù)t的取值范圍是 32＜t≤136，或t＞52 ．
【分析】由已知可求范圍7π3≤32π+πx＜tπ+32π，當(dāng)3π＜tπ+32π≤136π，即 32＜t≤136時，有最大值cs（ 7π3π）=12，最小值cs（3π）＝﹣1，當(dāng)tπ+32π＞4π，即t＞52，有最大值cs（4π）＝1，最小值cs（3π）＝﹣1，即可得出答案．
【解答】解：因為：x∈[56，t），（t＞56），
所以：56π≤πx＜tπ，可得：56π+3π2≤3π2+πx＜3π2+tπ，可得：7π3≤3π2+πx＜tπ+3π2，
若函數(shù)y＝cs（3π2+πx），x∈[56，t）（t＞56）既有最小值也有最大值，
當(dāng)3π＜tπ+3π2≤113π，即：32＜t≤136時，有最大值cs（7π3）=12，最小值cs（3π）＝﹣1，
當(dāng)tπ+3π2＞4π，即t＞52，有最大值cs（4π）＝1，最小值cs（3π）＝﹣1，
綜上所述，32＜t≤136，或t＞52．
故答案為：32＜t≤136，或t＞52．
23．若將函數(shù)f(x)=cs(2x+π12)的圖象向左平移π8個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列說法正確的是 ①③④ ．
①g（x）的最小正周期為π；
②g（x）在區(qū)間[0，π2]上單調(diào)遞減；
③x=π12不是函數(shù)g（x）圖象的對稱軸；
④g（x）在[?π6，π6]上的最小值為?12．
【分析】由題意利用函數(shù)y＝cs（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
【解答】解：∵將函數(shù)f(x)=cs(2x+π12)的圖象向左平移π8個單位長度，
得到函數(shù)g（x）＝cs（2x+π4+π12）＝cs（2x+π3）的圖象，
故g（x）的最小正周期為2π2=π，故①正確；
當(dāng)x∈[0，π2]，2x+π3∈[π3，4π3]，函數(shù)g（x）沒有單調(diào)性，故②錯誤；
令x=π12，求得g（x）＝0，故x=π12不是函數(shù)g（x）圖象的對稱軸，故③正確；
當(dāng)x∈[?π6，π6]，2x+π3∈[0，2π3]，當(dāng)2x+π3=2π3時，g（x）取得最小值為?12，故④正確，
故答案為：①③④．
24．已知函數(shù)f（x）＝sinωxcsωx+sin2ωx?12（ω＞0），若對滿足f（x1）=22，f(x2)=?22的x1，x2，有|x1﹣x2|最小值為π2．若將其圖象沿x軸向右平移π4個單位，再將得到的圖象各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝g（x）的解析式為 g（x）=22sin（x?3π4） ．
【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得ω，再利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
【解答】解：已知函數(shù)f（x）＝sinωxcsωx+sin2ωx?12=12sin2ωx?12cs2ωx=22sin（2ωx?π4），
若對滿足f（x1）=22，f(x2)=?22的x1，x2，
由|x1﹣x2|最小值為T2=12?2π2ω=π2，
∴ω＝1，f（x）=22sin（2x?π4）．
若將其圖象沿x軸向右平移π4個單位，可得y=22sin（2x?π2?π4）=22sin（2x?3π4），
再將得到的圖象各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)y＝g（x）的解析式為g（x）=22sin（x?3π4），
故答案為：g（x）=22sin（x?3π4）．
三．解答題（共8小題）
25．已知函數(shù)f（x）=3sinωxcsωx﹣cs2ωx（ω＞0）周期是π2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）將f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，再向左平移π6個單位，最后將整個函數(shù)圖象向上平移32個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若π6≤x≤2π3時，|g（x）﹣m|＜2恒成立，求m得取值范圍．
【分析】（Ⅰ）由題意利用三角恒等變換，化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得ω，可得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的恒成立問題，可得[g（x）﹣2]max＜m＜[g（x）+2]min．再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
【解答】解：（Ⅰ）∵f(x)=3sinωxcsωx?cs2ωx=32sin2ωx?12(cs2ωx+1)
=sin(2ωx?π6)?12，
由T=2π2ω=π2，解得ω＝2，
所以，f(x)=sin(4x?π6)?12．
∵2kπ?π2≤4x?π6≤2kπ+π2，
∴2kπ?π3≤4x≤2kπ+2π3，
∴kπ2?π12≤x≤kπ2+π6，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ2?π12，kπ2+π6]，k∈Z．
（Ⅱ）將f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，可得y＝sin（2x?π6）?12的圖象；
再向左平移π6個單位，可得y＝sin（2x+π6）?12的圖象
最后將整個函數(shù)圖象向上平移32個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，
∴g(x)=sin(2x+π6)+1．
因為|g（x）﹣m|＜2恒成立，所以，g（x）﹣2＜m＜g（x）+2．
因為當(dāng)x∈[π6，2π3]時，g（x）﹣2＜m＜g（x）+2恒成立，
所以，只需[g（x）﹣2]max＜m＜[g（x）+2]min．
當(dāng)x∈[π6，2π3]時，y＝g（x）為單調(diào)減函數(shù)，
所以，g(x)max=g(π6)=1+1=2，g(x)min=g(2π3)=1?1=0，
從而[g（x）﹣2]max＝0，[g（x）+2]min＝2，即 0＜m＜2，
所以，m的取值范圍是（0，2）．
26．函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|?|＜π）的一段圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)y＝f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移π8個單位，得到y(tǒng)＝g（x）的圖象，求直線y=6與函數(shù)y=2g(x)的圖象在（0，π）內(nèi)所有交點的坐標(biāo)．
【分析】（1）由已知圖象求出振幅，周期和相位，得到解析式；
（2）利用三角函數(shù)的圖形變換，結(jié)合圖象得到交點坐標(biāo)．
【解答】解：（1）由圖知A＝2，T＝π，于是ω=2πT=2
將y＝2sin 2x的圖象向左平移π12，
得y＝2sin（2x+φ）的圖象．
于是φ＝2?π12=π6，
∴f（x）＝2sin（2x+π6）．
（2）依題意得
g（x）＝2sin[2（x?π8）+π6]
．＝2sin（2x?π12）．
故y=2g（x）＝22sin（2x?π12）．
由y=6y=22sin(2x?π12)
得sin（2x?π12）=32．…（8分）
∴2x?π12=π3+2kπ或2x?π12=2π3+2kπ（k∈Z），
∴x=5π24+kπ或x=3π8+kπ（k∈Z）．
∵x∈（0，π），
∴x=5π24或x=3π8．…（11分）
∴交點坐標(biāo)為（5π24，6），（3π8，6）．
27．設(shè)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的最高點D的坐標(biāo)為（π8，2），由最高點D運動到相鄰最低點時，函數(shù)圖形與x的交點的坐標(biāo)為（3π8，0）；
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）當(dāng)x∈[?π4，π4]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值以及分別取得最大值和最小值時相應(yīng)的自變量x的值．
（3）將函數(shù)y＝f（x）的圖象向右平移π4個單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求函數(shù)y＝g（x）的單調(diào)減區(qū)間及對稱中心．
【分析】（1）由已知可求T，利用周期公式可求ω，由函數(shù)經(jīng)過點D的坐標(biāo)為（π8，2），可得2×π8+φ=π2+2kπ，k∈Z，結(jié)合范圍|φ|＜π2，可求φ=π4，即可得解函數(shù)的解析式．
（2）由已知可求2x+π4∈[?π4，3π4]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)f（x）的最大值和最小值以及分別取得最大值和最小值時相應(yīng)的自變量x的值．
（3）利用三角函數(shù)平移變換可求g（x）＝2sin[2（x?π4）+π4]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，對稱性即可得解．
【解答】解：（1）∵由最高點D（π8，2）運動到相鄰最低點時，函數(shù)圖形與x軸的交點為（3π8，0），
所以周期的四分之一即T4=3π8?π8=π4，∴T＝π，又T=2πω=π，∴ω＝2，
因為函數(shù)經(jīng)過點D的坐標(biāo)為（π8，2），代入函數(shù)解析式得2sin（2×π8+φ）＝2，
所以2×π8+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ+π4，k∈Z，
又|φ|＜π2，
所以φ=π4，
∴函數(shù)的解析式為f（x）＝2sin（2x+π4）
（2）由（1）知f（x）＝2sin（2x+π4），當(dāng)x∈[?π4，π4]，2x+π4∈[?π4，3π4]
所以2x+π4=?π4，即x=?π4時；函數(shù)f（x）有最小值?2，
2x+π4=π2，即x=π8時；函數(shù)f（x）有最大值2．
（3）由題意g（x）＝f（x?π4）＝2sin[2（x?π4）+π4]，
∴g（x）＝2sin（2x?π4）因為正弦函數(shù)y＝sinx的減區(qū)間是[2kπ+π2，2kπ+3π2]，k∈Z
所以有2kπ+π2≤2x?π4≤2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8，k∈Z，
故函數(shù)g（x）的減區(qū)間為[kπ+3π8，kπ+7π8]，k∈Z，
令2x?π4=kπ，k∈Z，解得：x=12kπ+π8，k∈Z，
可得函數(shù)y＝g（x）的對稱中心為（12kπ+π8，0），k∈Z．
28．設(shè)函數(shù)f(x)=2sinx2csx2+23cs2x2?3(x∈R)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值，并指出取得最大值時x的值；
（2）將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）表達(dá)式和單調(diào)遞增區(qū)間．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出周期T，再求出函數(shù)的最大值和取得最大值時x的值即可；
（2）求出g（x）的解析式，解不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．
【解答】解：（1）由題意f（x）＝sinx+3csx＝2sin（x+π3），故周期T＝2π，
當(dāng)x＝2kπ+π6（k∈Z）時，f（x）max＝2；
（2）由題意可知g（x）＝2sin（x2+π3），
由2kπ?π2≤x2+π3≤2kπ+π2，解得4kπ?5π3≤x≤4kπ+π3，k∈Z，
故g（x）的遞增區(qū)間是[4kπ?5π3，4kπ+π3]（k∈Z）．
29．先將函數(shù)y=2sin(2x+π6)?3sin2x圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)f（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若α，β滿足f(α)?f(β)=423，且α+β=π4，設(shè)g(x)=32sin(x+α)?sin(x+β)cs2x，求函數(shù)g（x）在x∈[?π4，π4]上的最大值．
【分析】（1）利用兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡，再由三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律可得f（x）的解析式；
（2）根據(jù)條件求出cs（α﹣β），利用三角函數(shù)的積化和差進行轉(zhuǎn)化，然后利用弦化切，最后利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進行求解即可．
【解答】解：（1）函數(shù)y=2sin(2x+π6)?3sin2x=2（32sin2x+12cs2x）?3sin2x＝cs2x，
函數(shù)圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得y＝2cs2x的圖象，
再將所得到的圖象橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得y＝2csx的圖象；
所以函數(shù)f（x）＝2csx．
（2）因為f(α)?f(β)=423，
所以2csα?2csβ=423，即csαcsβ=23，
又α+β=π4，
則cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ=23?sinαsinβ=22，
得sinαsinβ=?26，
cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ=23?26=26，
g(x)=32sin(x+α)?sin(x+β)cs2x=?322[cs(2x+α+β)?cs(α?β)]cs2x=?322cs(2x+π4)+322×26cs2x
=?322×22(cs2x?sin2x)+12cs2x=?32(cs2x?sin2x?2sinxcsx)+12(sin2x+cs2x)cs2x
=?cs2x+2sin2x+3sinxcsxcs2x=2tan2x+3tanx﹣1，
設(shè)t＝tanx，當(dāng)x∈[?π4，π4]時，﹣1≤t≤1，
則函數(shù)g（x）等價為y＝2t2+3t﹣1，對稱軸為t=?32×2=?34，
則當(dāng)t＝1時，函數(shù)取得最大值，此時最大值為y＝2+3﹣1＝4，
即函數(shù)g（x）在x∈[?π4，π4]上的最大值為4．
30．已知：向量a→=(2csx4，2sinx4)，b→=(sinx4，?3sinx4)，函數(shù)f(x)=a→?b→+3
（1）求函數(shù)y＝f（x）的最小正周期及最值；
（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后，再向左平移23π得到函數(shù)y＝g（x），判斷函數(shù)y＝g（x）的奇偶性，并說明理由．
【分析】（1）利用兩個向量數(shù)量積公式、兩角和差的正弦公式化簡函數(shù)y＝f（x）的解析式為2sin（x2+π3），由此求出它的最小正周期和最小值．
（2）第一次變換后得到y(tǒng)＝2sin（x4+π3）的圖象，第二次變換后得到y(tǒng)＝2csx4的圖象，再由偶函數(shù)的定義判斷它為偶函數(shù)．
【解答】解：（1）∵函數(shù)y＝f（x）=a→?b→+3=sinx2?2 3sin2x4+3=sinx2+3csx2=2sin（x2+π3），
故函數(shù)y＝f（x）的最小正周期為2π12=4π，最小值為﹣2．
（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后，得到函數(shù)y＝2sin（x4+π3）的圖象，
再向左平移23π得到函數(shù)y＝2sin[14(x+2π3)+π3]＝2sin（x4+π2）＝2csx4的圖象，
故函數(shù)y＝g（x）＝2csx4，定義域為R，
因為g（﹣x）＝2cs（?x4 ）＝2 csx4=g（x），
故函數(shù)y＝g（x）是偶函數(shù)．
31．設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(ωx?π3)，其中0＜ω＜3．若f(π6)=0．
（1）求ω；
（2）將函數(shù)y＝f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移π4個單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求g（x）在[?π4，3π4]上的最小值．
【分析】（1）將f(π6)=0代入，結(jié)合0＜ω＜3構(gòu)造一個關(guān)于ω的不等式、方程的混合組，解出ω即可．
（2）先根據(jù)圖象的平移變換與伸縮變換的規(guī)律，求出y＝g（x）的解析式，再利用“整體思想”結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1）因為f（x）=3sin(ωx?π3)，且f(π6)=0，所以ωπ6?π3=kπ，k∈Z．
故ω＝6k+2，k∈Z．又0＜ω＜3，所以ω＝2．
（2）由（1）得f（x）=3sin(2x?π3)．
所以g（x）=3sin（x?π12），
因為x∈[?π4，3π4]，所以x?π12∈[?π3，2π3]，
所以，當(dāng)x?π12=?π3，即x=?π4時，g（x）取得最小值?32．
32．已知向量a→=(sinx，3cs(32π?x))，b→=(sin(π2?x)，cs(π2+x))，函數(shù)f(x)=a→?b→?32．
（1）求f（x）的最小正周期及f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）若先將f（x）的圖象上每個點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后再向左平移π3個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)y=g(x)?15在區(qū)間[﹣π，3π]內(nèi)的所有零點之和．
【分析】（1）首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程．
（2）利用函數(shù)的圖象的平移變換求出函數(shù)g（x）的關(guān)系式，最后利用函數(shù)的圖象和零點的關(guān)系求出結(jié)果．
【解答】解：（1）f(x)=sinx?sin(π2?x)+3cs(3π2?x)?cs(π2+x)?32，
=sinx?csx+3(?sinx)?(?sinx)?32，
=12sin2x+32(1?cs2x)?32，
=sin(2x?π3).T=2π2=π，
由2x?π3=π2+kπ，k∈Z，
得x=5π12+kπ2，k∈Z
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
對稱軸方程為x=512π+kπ2，k∈Z．
（2）依題意可得g（x）＝sinx，由g(x)?15=0得sinx=15，
由圖可知，sinx=15在[﹣π，3π]上有4個零點：x1，x2，x3，x4，
根據(jù)對稱性有x1+x22=π2，x3+x42=5π2，
從而所有零點和為x1+x2+x3+x4＝6π．

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