?人教版2022屆一輪復習打地基練習 三角函數(shù)中的恒等變換
一．選擇題（共12小題）
1．已知函數(shù)f（x）＝2sinxcosx﹣sin（3π2?2x），則下列說法正確的是（　　）
A．函數(shù)f（x）的周期為2π
B．函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[π8+kπ，5π8+kπ]（k∈Z）
C．將函數(shù)f（x）的圖象向右移動π4個單位后關(guān)于原點對稱
D．當x∈[0，π2]時，f（x）∈[﹣1，2]
2．sin210°+cos270°+3sin10°cos70°的值為（　　）
A．12 B．1 C．14 D．2
3．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，3π2）上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（　?。?br /> A．（0，2] B．（0，12] C．[12，1] D．[12，54]
4．已知函數(shù)f(x)=sinωx?3cosωx（ω＞0，x∈R），若函數(shù)f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有零點，則ω的取值范圍是（　?。?br /> A．[13，23] B．[16，712]
C．[13，23]∪(0，16] D．[16，712]∪(0，112]
5．已知函數(shù)f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x+12cos4x，若α∈（π2，π）且f（α）=22，則α的值是（　?。?br /> A．5π8 B．11π16 C．9π16 D．7π8
6．函數(shù)f(x)=4sinxcosx?1的定義域是（　?。?br /> A．[2kπ+π6，2kπ+π3](k∈Z)
B．[kπ+π6，kπ+π3](k∈Z)
C．[2kπ+π12，2kπ+5π12](k∈Z)
D．[kπ+π12，kπ+5π12](k∈Z)
7．已知函數(shù)f（x）=23sinxcosx+sin2x﹣cos2x，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．f（x）的圖象關(guān)于點（512π，0）對稱
B．f（x）在[π4，π2]上的值域為[3，2]
C．若f（x1）＝f（x2）＝2，則x1﹣x2＝2kπ，k∈Z
D．將f（x）的圖象向右平移π6個單位得g（x）＝﹣2cos2x的圖象
8．若M＝tanα2?sinα+cosα，N＝tanπ8（tanπ8+2），則M和N的大小關(guān)系是（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M和N無關(guān)
9．已知函數(shù)f（x）＝sin2x?3cos2x，將y＝f（x）的圖象向左平移π6個單位長度，再向上平移1個單位長度得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，則g（x）的最大值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．函數(shù)f（x）＝2cos（2x+θ）sinθ﹣sin2（x+θ）（θ為常數(shù)）圖象的一個對稱中心的坐標為（　?。?br /> A．（?π4，0） B．（0，0） C．（π4，0） D．（π6，0）
11．如果sinα1+cosα=12，那么sinα+cosα的值是（　?。?br /> A．75 B．85 C．1 D．2915
12．已知向量a→=（cosπ6，sinπ6），b→=（cos5π6，sin5π6），則|a→?b→|＝（　　）
A．1 B．62 C．3 D．102
二．填空題（共11小題）
13．函數(shù)f（x）＝2cos2x+2sinxcosx在x∈(0，π2)上的值域為　 ?。?br /> 14．設α，β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，則2α﹣β＝　 ?。?br /> 15．已知向量a→=(3sinx，m+cosx)，向量b→=（cosx，﹣m+cosx），函數(shù)f（x）=a→?b→，下列關(guān)于函數(shù)f（x）的結(jié)論中正確的是　 ?。?br /> ①最小正周期為π； ②關(guān)于直線x=π6對稱；
③關(guān)于點(512π，0)中心對稱； ④值域為[32?m2，?12?m2]．
16．若方程cos2x﹣cosx+a＝0在x∈[π4，4π3]上有且僅有兩不同解，則實數(shù)a的范圍為　 　．
17．若3sin2α+2sin2β＝2sinα，則sin2α+cos2β的取值范圍是　 ?。?br /> 18．已知函數(shù)f（x）=3cos2x+sin2x，則f（x） 的最小正周期是　 ?。?br /> 19．函數(shù)f(x)=cosxsin(x+π3)?3cos2x+34在閉區(qū)間[?π4，π4]上的最小值是　 　．
20．設f（x）＝sinxcosx+3cos2x，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是　 ?。?br /> 21．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若sinBsinC=12+cosCc，則sinC﹣sinB的取值范圍為　 ?。?br /> 22．下列函數(shù)中周期是2的函數(shù)是　 　
①y＝2cos2πx﹣1②y＝sinπx+cosπx③y=tan(π2x+π3)④y＝sinπxcosπx．
23．f（x）=sin2x1+cos2x+cos2x1+sin2x的值域為　 ?。?br /> 三．解答題（共4小題）
24．已知函數(shù)f（x）=3sinωxsin（π2+ωx）﹣cos2ωx?12（ω＞0），其圖象兩相鄰對稱軸間的距離為π2．
（I）求ω的值；
（II）討論函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)性．
25．已知向量a→=（3cosx，cosx），b→=（0，sinx），c→=（sinx，cosx），d→=（sinx，sinx）．
（1）當x=π4時，求向量a→與b→的夾角θ；
（2）求c→?d→取得最大值時x的值；
（3）設函數(shù)f（x）＝（a→?b→）?(c→+d→)，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移s個單位長度，向上平移t個長度單位（s，t＞0）后得到函數(shù)g（x）的圖象，且g（x）＝2sin2x+1；令m→=（s，t），求|m→|的最小值．
26．在△ABC中，求證：S△ABC=a22(cotB+cotC)．
27．已知x0，x0+π2是函數(shù)f（x）＝cos2（ωx?π6）﹣sin2ωx（ω＞0）的兩個相鄰的零點．
（Ⅰ）若對任意x∈[?2π3，0]，f（x）﹣m≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程433f（x）﹣n＝1在x∈[?π3，π6]上有兩個不同的解，求實數(shù)n的取值范圍．

人教版2022屆一輪復習打地基練習 三角函數(shù)中的恒等變換
參考答案與試題解析
一．選擇題（共12小題）
1．已知函數(shù)f（x）＝2sinxcosx﹣sin（3π2?2x），則下列說法正確的是（　　）
A．函數(shù)f（x）的周期為2π
B．函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[π8+kπ，5π8+kπ]（k∈Z）
C．將函數(shù)f（x）的圖象向右移動π4個單位后關(guān)于原點對稱
D．當x∈[0，π2]時，f（x）∈[﹣1，2]
【分析】函數(shù)f（x）＝2sinxcosx﹣sin（3π2?2x）＝sin2x+cos2x=2sin(2x+π4)，由此利用三角函數(shù)的性質(zhì)能求出結(jié)果．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝2sinxcosx﹣sin（3π2?2x）＝sin2x+cos2x=2sin(2x+π4)，
∴f（x）的最小正周期T=2π2=π，故A錯誤；
由?π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，得?3π8+kπ≤x≤π8+kπ，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[?3π8+kπ，π8+kπ]，（k∈Z），故B錯誤；
將函數(shù)f（x）的圖象向右移動π4個單位后得到f（x?π4）=2sin(2x?π4)，
不關(guān)于原點對稱，故C錯誤；
∵2π4∈[π4，5π4]，∴當2x+π4=π2，
即x=π8時，函數(shù)f（x）取得最大值是2，
當2x+π4=5π4，即x=π2時，函數(shù)f（x）取得最小值2sin5π4=?1，
∴當x∈[0，π2]時，f（x）∈[﹣1，2]，故D正確．
故選：D．
2．sin210°+cos270°+3sin10°cos70°的值為（　?。?br /> A．12 B．1 C．14 D．2
【分析】利用三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式即可求解．
【解答】解：sin210°+cos270°+3sin10°cos70°
＝sin210°+cos2（60°+10°）+3sin10°cos（60°+10°）
＝sin210°+（12cos10°?32sin10°）2+3sin10°（12cos10°?32sin10°）
＝sin210°+（12cos10°）2?34?sin210°
=14（cos210°+sin210°）
=14．
故選：C．
3．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）在（π，3π2）上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（　?。?br /> A．（0，2] B．（0，12] C．[12，1] D．[12，54]
【分析】利用積化和差公式化簡2sinφcos（ωx+φ）＝sin（ωx+2φ）﹣sinωx．可將函數(shù)化為y＝Asin（ωx+φ）的形式，在（π，3π2）上單調(diào)遞減，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，建立關(guān)系可求ω的取值范圍．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+2φ）﹣2sinφcos（ωx+φ）（ω＞0，φ∈R）．
化簡可得：f（x）＝sin（ωx+2φ）﹣sin（ωx+2φ）+sinωx
＝sinωx，
由π2+2kπ≤ωx≤2kπ+3π2，（k∈Z）上單調(diào)遞減，
得：π2ω+2kπω≤x≤2kπω+3π2ω，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：[2kπω+π2ω，2kπω+3π2ω]，（k∈Z）．
∵在（π，3π2）上單調(diào)遞減，
可得：2kπω+π2ω≤π2kπω+3π2ω≥3π2?2k+12≤ω4k3+1≥ω，（k∈Z）．
∵ω＞0，
當k＝0時，
可得：12≤ω≤1．
考查選項，故選C．
4．已知函數(shù)f(x)=sinωx?3cosωx（ω＞0，x∈R），若函數(shù)f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有零點，則ω的取值范圍是（　?。?br /> A．[13，23] B．[16，712]
C．[13，23]∪(0，16] D．[16，712]∪(0，112]
【分析】先利用輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的零點求出零點的表達式，結(jié)合已知零點的范圍可求．
【解答】解：f（x）＝sinωx?3cosωx＝2sin（ωx?π3），
令f（x）＝0得ωx?π3=kπ，
所以x=kπ+π3ω，k∈Z，
因為f（x）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)沒有零點，
所以kπ+π3ω≤π且kπ+4π3ω≥2π，
解得k+13≤ω≤23+k2，
令k＝0得13≤ω≤23
k＝﹣1得?23≤ω≤16，
因為ω＞0，
所以ω的取值范圍[13，23]∪（0，16]．
故選：C．
5．已知函數(shù)f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x+12cos4x，若α∈（π2，π）且f（α）=22，則α的值是（　　）
A．5π8 B．11π16 C．9π16 D．7π8
【分析】利用二倍角公式和和角公式化簡f（x），根據(jù)f（α）=22得出α的表達式即可得出α的值．
【解答】解：f（x）＝cos2xsin2x+12cos4x=12sin4x+12cos4x=22sin（4x+π4），
∴f（α）=22sin（4α+π4）=22，
∴4α+π4=π2+2kπ，即α=π16+kπ2，k∈Z．
∵α∈（π2，π），
∴α=π16+π2=9π16．
故選：C．
6．函數(shù)f(x)=4sinxcosx?1的定義域是（　?。?br /> A．[2kπ+π6，2kπ+π3](k∈Z)
B．[kπ+π6，kπ+π3](k∈Z)
C．[2kπ+π12，2kπ+5π12](k∈Z)
D．[kπ+π12，kπ+5π12](k∈Z)
【分析】可看出，要使得f（x）有意義，則需滿足4sinxcosx﹣1≥0，從而得出sin2x≥12，解出x的范圍即可．
【解答】解：要使f（x）有意義，則4sinxcosx﹣1≥0，即2sin2x﹣1≥0；
∴sin2x≥12；
∴π6+2kπ≤2x≤5π6+2kπ，k∈Z；
∴kπ+π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)；
∴f（x）的定義域是[kπ+π12，kπ+5π12](k∈Z)．
故選：D．
7．已知函數(shù)f（x）=23sinxcosx+sin2x﹣cos2x，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．f（x）的圖象關(guān)于點（512π，0）對稱
B．f（x）在[π4，π2]上的值域為[3，2]
C．若f（x1）＝f（x2）＝2，則x1﹣x2＝2kπ，k∈Z
D．將f（x）的圖象向右平移π6個單位得g（x）＝﹣2cos2x的圖象
【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡f（x），得到f(x)=2sin(2x?π6)，再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行判斷即可．
【解答】解：f(x)=3sin2x?cos2x=2sin(2x?π6)，
A選項，f(5π12)=2sin(5π6?π6)=3≠0，所以A選項錯誤．
B選項，當x∈[π4，π2]時，2x?π6∈[π3，5π6]，f（x）∈[1，2]，所以B選項錯誤．
C選項，因為f（x）的最小正周期為π，所以x1﹣x2＝kπ，k∈Z，所以C選項錯誤．
D選項，f(x?π6)=2sin[2(x?π6)?π6]=?2cos2x，所以D選項正確．
故選：D．
8．若M＝tanα2?sinα+cosα，N＝tanπ8（tanπ8+2），則M和N的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M和N無關(guān)
【分析】使用同角三角函數(shù)的關(guān)系及二倍角公式化簡M，N，再進行比較．
【解答】解：M=sinα2cosα2?2sinα2cosα2+cosα=2sin2α2+cosα＝1﹣cosα+cosα＝1；
∵tanπ4=2tanπ81?tan2π8=1，∴tan2π8+2tanπ8=1．∴N＝tan2π8+2tanπ8=1．
∴M＝N．
故選：C．
9．已知函數(shù)f（x）＝sin2x?3cos2x，將y＝f（x）的圖象向左平移π6個單位長度，再向上平移1個單位長度得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，則g（x）的最大值為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把三角函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)g（x）的關(guān)系式，最后求出函數(shù)的最值．
【解答】解：由題意得數(shù)f（x）＝sin2x?3cos2x，
=2sin(2x?π3)，
將y＝f（x）的圖象向左平移π6個單位長度得到函數(shù)：
y=2sin[2(x+π6)?π3]=2sin2x，
再將函數(shù)y＝2sin2x向上平移1個單位長度得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，
即g（x）＝2sin2x+1，
所以當x＝kπ+π4（k∈Z）時，g（x）max＝3，
故選：C．
10．函數(shù)f（x）＝2cos（2x+θ）sinθ﹣sin2（x+θ）（θ為常數(shù)）圖象的一個對稱中心的坐標為（　?。?br /> A．（?π4，0） B．（0，0） C．（π4，0） D．（π6，0）
【分析】由sin2（x+θ）＝sin[（2x+θ）+θ]，展開兩角和的正弦，進一步利用兩角差的正弦化簡得f（x）＝﹣sin2x，由2x＝kπ求得x的值得答案．
【解答】解：f（x）＝2cos（2x+θ）sinθ﹣sin2（x+θ）
＝2cos（2x+θ）sinθ﹣sin[（2x+θ）+θ]
＝2cos（2x+θ）sinθ﹣sin（2x+θ）cosθ﹣cos（2x+θ）sinθ
＝cos（2x+θ）sinθ﹣sin（2x+θ）cosθ＝﹣sin2x．
由2x＝kπ，得x=kπ2，k∈Z．
∴f（x）圖象的一個對稱中心的坐標為（0，0）．
故選：B．
11．如果sinα1+cosα=12，那么sinα+cosα的值是（　?。?br /> A．75 B．85 C．1 D．2915
【分析】根據(jù)已知和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出sinα+cosα的值．
【解答】解：由sinα1+cosα=12得到：2sinα＝1+cosα，而sin2α+cos2α＝1，聯(lián)立解得sinα＝0（舍去）或sinα=45，所以cosα=35
則sinα+cosα=45+35=75
故選：A．
12．已知向量a→=（cosπ6，sinπ6），b→=（cos5π6，sin5π6），則|a→?b→|＝（　?。?br /> A．1 B．62 C．3 D．102
【分析】將向量a→和b→化簡，求得a→?b→，即可求得|a→?b→|的值．
【解答】解：a→=（cosπ6，sinπ6）＝（32，12），
b→=（cos5π6，sin5π6）＝（﹣cosπ6，sinπ6）＝（?32，12），
a→?b→=（3，0）
∴|a→?b→|=3．
故選：C．
二．填空題（共11小題）
13．函數(shù)f（x）＝2cos2x+2sinxcosx在x∈(0，π2)上的值域為　(0，2+1]?。?br /> 【分析】利用倍角公式將f（x）＝2cos2x+2sinxcosx化為：f（x）＝1+cos2x+sin2x=2sin（2x+π4）+1，x∈(0，π2)從而可求得其置于
【解答】解：∵f（x）＝2cos2x+2sinxcosx
＝1+cos2x+sin2x
=2sin（2x+π4）+1，
又0＜x＜π2，
∴π4＜2x+π4＜5π4，
∴?22＜sin（2x+π4）≤1，
∴0＜2sin（2x+π4）+1≤2+1，
即0＜f（x）≤2+1．
故答案為：(0，2+1]．
14．設α，β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，則2α﹣β＝　π2?。?br /> 【分析】由三角函數(shù)公式化簡可得sin（α﹣β）＝sin（π2?α），由角的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性可得．
【解答】解：∵α，β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，
∴sinαcosα=1+sinβcosβ，∴sinαcosβ＝cosα+cosαsinβ，
∴sinαcosβ﹣cosαsinβ＝cosα，
∴sin（α﹣β）＝cosα＝sin（π2?α），
∵α，β∈（0，π2），∴α﹣β∈（?π2，π2），
∴π2?α∈（0，π2），
∵函數(shù)y＝sinx在x∈（?π2，π2）單調(diào)遞增，
∴由sin（α﹣β）＝sin（π2?α）可得α﹣β=π2?α，
變形可得2α﹣β=π2
故答案為：π2．
15．已知向量a→=(3sinx，m+cosx)，向量b→=（cosx，﹣m+cosx），函數(shù)f（x）=a→?b→，下列關(guān)于函數(shù)f（x）的結(jié)論中正確的是?、佗凇。?br /> ①最小正周期為π； ②關(guān)于直線x=π6對稱；
③關(guān)于點(512π，0)中心對稱； ④值域為[32?m2，?12?m2]．
【分析】根據(jù)向量的運算求出f（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：向量a→=(3sinx，m+cosx)，向量b→=（cosx，﹣m+cosx），
函數(shù)f（x）=a→?b→=3sinxcosx+cos2x﹣m2=32sin2x+12cos2x+12?m2=sin（2x+π6）+12?m2，
①最小正周期T=2π2=π．
②當x=π6時，sin（2x+π6）＝1，∴f（x）關(guān)于直線x=π6對稱；
③當x=5π12時，sin（2x+π6）=12?m2，∴f（x）關(guān)于點(5π12，12?m2)中心對稱．
④∵sin（2x+π6）值域為[﹣1，1]，即﹣1≤sin（2x+π6）≤1，
f（x）＝sin（2x+π6）+12?m2，
可得﹣1+12?m2≤sin（2x+π6）+12?m2≤1+12?m2，即f（x）∈[?12?m2，32?m2]．
∴f（x）的值域為[?12?m2，32?m2]．
故答案為：①②．
16．若方程cos2x﹣cosx+a＝0在x∈[π4，4π3]上有且僅有兩不同解，則實數(shù)a的范圍為　(?2，?34]∪(2?12，14)?。?br /> 【分析】方程cos2x﹣cosx+a＝0在x∈π4，4π3]上有且僅有兩不同解，轉(zhuǎn)化為：（cosx?12）2=14?a兩不同解，根據(jù)交點問題討論可得答案．
【解答】解：由題意：方程cos2x﹣cosx+a＝0在x∈[π4，4π3]上有且僅有兩不同解，
可得：（cosx?12）2=14?a兩不同解，
∴14?a＞0，即a＜14
∴cosx?12=14?a
則cosx=14?a+12或cosx=?14?a+12
∵x∈[π4，4π3]上
∴cosx∈[﹣1，22]，
由y＝cosx圖象可知，①cosx=14?a+12只有一個交點．
那么cosx=?14?a+12只有一個交點．
可得：12≤14?a+12≤22且?12＜?14?a+12≤12，
解得：a≥34，
∵a＜14
∴a無解．
當②cosx=14?a+12沒有交點時
那么cosx=?14?a+12有兩個交點．
可得：14?a+12＞22且﹣1＜?14?a+12≤?12．
解得：?2＜a≤?34或a＞2?12，
∵a＜14
∴實數(shù)a的范圍為：(?2，?34]∪[2?12，14)
故答案為：(?2，?34]∪[2?12，14)
17．若3sin2α+2sin2β＝2sinα，則sin2α+cos2β的取值范圍是　?。?br /> 【分析】因為3sin2α+2sin2β＝2sinα，∴2sin2β＝2sinα﹣3sin2α∈[0，2]，解得sinα∈[0，23]，再把cos2β?lián)Q成sinα后利用二次函數(shù)求值域可得．
【解答】解：因為3sin2α+2sin2β＝2sinα，∴2sin2β＝2sinα﹣3sin2α∈[0，2]，解得sinα∈[0，23]，
∴sin2α+cos2β＝sin2a+1﹣sin2β＝sin2α+1﹣（sinα?32sin2α）=52sin2α﹣sinα+1=52（sinα?15）2+910，
∴sinα∈[0，23]，∴sin2α+cos2β∈[910，139]．
故答案為：[910，139]．
18．已知函數(shù)f（x）=3cos2x+sin2x，則f（x） 的最小正周期是　π?。?br /> 【分析】利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為2cos（2x?π6），由此求得最小正周期．
【解答】解：函數(shù)y=3cos2x+sin2x＝2（32cos2x+12sin2x）＝2cos（2x?π6），
故函數(shù)的最小正周期為：2π2=π，
故答案為 π．
19．函數(shù)f(x)=cosxsin(x+π3)?3cos2x+34在閉區(qū)間[?π4，π4]上的最小值是　﹣1　．
【分析】首先通過三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，最后求出函數(shù)的最值．
【解答】解：f(x)=cosxsin(x+π3)?3cos2x+34，
＝cosx（12sinx+32cosx）?3cos2x+34，
=14sin2x?34cos2x，
=12sin(2x?π3)，
由于：?π4≤x≤π4，
則：?5π6≤2x?π3≤π6，
則函數(shù)的取值范圍為：?12≤f(x)≤14，
則函數(shù)的最小值為：?12．
故答案為：?12
20．設f（x）＝sinxcosx+3cos2x，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是　[kπ+π12，kπ+7π12]，（k∈Z）?。?br /> 【分析】推導出f（x）＝sin（2x+π3）+32，由此能求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
【解答】解：∵f（x）＝sinxcosx+3cos2x
=12sin2x+32cos2x+32
＝sin（2x+π3）+32，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
∴π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+π12，kπ+7π12]，（k∈Z）．
故答案為：[kπ+π12，kπ+7π12]，（k∈Z）．
21．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若sinBsinC=12+cosCc，則sinC﹣sinB的取值范圍為?。ī?，1）　．
【分析】把已知等式變形，得到2sinB?sinC2sinC=cosCc，然后分C=π2和C≠π2討論，當C≠π2時，再分C＞π2和C＜π2討論求解sinC﹣sinB的取值范圍．
【解答】解：由sinBsinC=12+cosCc，得2sinB?sinC2sinC=cosCc，
①當C=π2時，B=π6，此時sinC﹣sinB=12；
②當C≠π2時，c=2sinCcosC2sinB?sinC＞0．
若C＞π2，則2sinB﹣sinC＜0，
∴0＜sinB＜sinC2，
∴sinC2＜sinC?sinB＜sinC，
若C＜π2，則2sinB﹣sinC＞0，
∴sinC2＜sinB≤1．
此時sinC﹣1≤sinC﹣sinB＜sinC2，即﹣1＜sinC?sinB＜12．
綜上，﹣1＜sinC﹣sinB＜1．
故答案為：（﹣1，1）．
22．下列函數(shù)中周期是2的函數(shù)是?、冖邸?br /> ①y＝2cos2πx﹣1②y＝sinπx+cosπx③y=tan(π2x+π3)④y＝sinπxcosπx．
【分析】利用二倍角公式，和角的三角函數(shù)公式分別化簡，再利用周期公式可求．
【解答】解：對于①y＝cos2πx，∴T=2π2π=1；
對于②y=2sin(πx+π4)，∴T=2ππ=2；
對于③T=ππ2=2；
對于④y=12sin2πx，∴T=2π2π=1；
故答案為②③
23．f（x）=sin2x1+cos2x+cos2x1+sin2x的值域為　[23，1]　．
【分析】設a＝sin2x，b＝cos2x；則a+b＝1；且a≥0，b≥0；原題可以轉(zhuǎn)化為求b1+a+a1+b的取值范圍；再結(jié)合基本不等式即可求解．
【解答】解：設a＝sin2x，b＝cos2x；
則a+b＝1；且a≥0，b≥0；
則原題可以轉(zhuǎn)化為求b1+a+a1+b的取值范圍；
又b1+a+a1+b=a(1+a)+b(1+b)(1+a)(1+b)=a+b+a2+b21+a+b+ab=1+a2+b22+ab=1+(a+b)2?2ab2+ab=62+ab?2；
∵a+b＝1≥2ab?0≤ab≤14；
∴b1+a+a1+b∈[23，1]；
∴f（x）∈[23，1]；
故答案為：[23，1]．
三．解答題（共4小題）
24．已知函數(shù)f（x）=3sinωxsin（π2+ωx）﹣cos2ωx?12（ω＞0），其圖象兩相鄰對稱軸間的距離為π2．
（I）求ω的值；
（II）討論函數(shù)f（x）在[0，π]上的單調(diào)性．
【分析】（I）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）＝sin（2ωx?π6）﹣1，由已知可求周期，利用周期公式可求ω的值．
（II）由（I）可得：f（x）＝sin（2x?π6）﹣1，可求2x?π6∈[?π6，11π6]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性分類討論即可得解．
【解答】解：（I）f(x)=3sinωxcosωx?cos2ωx+12?12=32sin2ωx?12cos2ωx?1=sin(2ωx?π6)?1，
因為圖象兩相鄰對稱軸間距為π2，
所以T＝π=2π2ω，解得ω＝1．
（II）由（I）可得：f（x）＝sin（2x?π6）﹣1，
當x∈[0，π]時，2x?π6∈[?π6，11π6]，
當2x?π6∈[?π6，π2）時f（x）單調(diào)遞增，此時x∈[0，π3），
當2x?π6∈[π2，3π2）時f（x）單調(diào)遞減，此時x∈[π3，5π6），
當2x?π6∈[3π2，11π6]時f（x）單調(diào)遞增，此時x∈[5π6，π]，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，π3），[5π6，π]，單調(diào)遞減區(qū)間為[π3，5π6）．
25．已知向量a→=（3cosx，cosx），b→=（0，sinx），c→=（sinx，cosx），d→=（sinx，sinx）．
（1）當x=π4時，求向量a→與b→的夾角θ；
（2）求c→?d→取得最大值時x的值；
（3）設函數(shù)f（x）＝（a→?b→）?(c→+d→)，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移s個單位長度，向上平移t個長度單位（s，t＞0）后得到函數(shù)g（x）的圖象，且g（x）＝2sin2x+1；令m→=（s，t），求|m→|的最小值．
【分析】（1）當x=π4時，利用cosθ=a→?b→|a|?|b|，即可求向量向量a→與b→的夾角θ；
（2）化簡 c→?d→的表達式，通過相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解其最大值；
（3）通過三角變換求出函數(shù)g（x）的表達式，與g（x）＝2sin2x+1對照比較，得到m→=（s，t），即可求|m→|的最小值．
【解答】解：（1）當x=π4時，向量a→=（3cosx，cosx）＝（62，22 ），b→=（0，sinx）＝（0，22），
∴a→?b→=（62，22 ）?（0，22）=12，
而|a→|=(62)2+(22)2=2，|b→|=0+(22)2=22，
∴cosθ=a→?b→|a|?|b|=122×22=12，即θ=π3；
（2）c→?d→=（sinx，cosx）?（sinx，sinx）
＝sin2x+sinxcosx
=1?cos2x2+12sin2x
=12+12（sin2x﹣cos2x）
=12+22sin（2x?π4）．
∴當2x?π4=π2+2kπ即x=3π8+kπ，（k∈Z）時，c→?d→取得最大值2+12；
（3）f（x）＝（a→?b→）?(c→+d→)
＝（3cosx，cosx﹣sinx）?（2sinx，cosx+sinx）
＝23sinxcosx+cos2x﹣sin2x
=3sin2x+cos2x
＝2sin（2x+π6）．
g（x）＝f（x﹣s）+t＝2sin[2（x﹣s）+π6]+t＝2sin（2x﹣2s+π6）+t＝2sin2x+1，
∴t＝1，s=π12+kπ，（k∈Z）
∴|m→|=s2+t2=(π12+kπ)2+1，
∴當k＝0時，∴|m→|min=(π12)2+1=π2+14412．
26．在△ABC中，求證：S△ABC=a22(cotB+cotC)．
【分析】由三角形面積公式可得S△ABC=12absinC，且由正弦定理可得：sinB=b2R，sinA=a2R，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，化簡等式右邊可證等于左邊，從而得證．
【解答】解：∵S△ABC=12absinC，且由正弦定理可得：sinB=b2R，sinA=a2R，
∴a22(cotB+cotC)=a22(cosBsinB+cosCsinC)=a22cosBsinC+cosCsinBsinBsinC=a22sinAsinBsinC=a2sinBsinC2sinA=a2×b2R×sinC2×a2R=12absinC＝S△ABC．
得證．
27．已知x0，x0+π2是函數(shù)f（x）＝cos2（ωx?π6）﹣sin2ωx（ω＞0）的兩個相鄰的零點．
（Ⅰ）若對任意x∈[?2π3，0]，f（x）﹣m≤0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程433f（x）﹣n＝1在x∈[?π3，π6]上有兩個不同的解，求實數(shù)n的取值范圍．
【分析】（I）先利用和差角公式，輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式可求T，然后結(jié)合不等式的恒成立與最值關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化可求；
（II）原方程可轉(zhuǎn)化為2sin（2x+π3）＝n+1，?π3≤x≤π6，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝2sin（2x+π3），?π3≤x≤π6，要求n的范圍，轉(zhuǎn)化為求解g（x）的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求．
【解答】解：（I）f（x）=12+12cos（2ωx?π3）?12（1﹣cos2ωx），
=12[12cos2ωx+32sin2ωx）+cos2ωx]，
=12（32sin2ωx+32cos2ωx），
=12sin（2ωx+π3），
由題意得T=2π2ω=π
故ω＝1，f（x）=12sin（2x+π3），
因為對任意x∈[?2π3，0]，f（x）﹣m≤0恒成立，
所以m≥f（x）max，
因為x∈[?2π3，0]，所以2x+π3∈[?π，π3]，
故﹣1≤sin（2x+π3）≤32，
故函數(shù)f（x）的最小值34，
所以m≥34，即m的取值范圍[34，+∞）；
（II）原方程可化為433?32sin(2x+π3)=n+1，
即2sin（2x+π3）＝n+1，?π3≤x≤π6，
令g（x）＝2sin（2x+π3），?π3≤x≤π6，
因為?π3≤x≤π6，
所以?π3≤2x+π3≤2π3，
因為程433f（x）﹣n＝1在x∈[?π3，π6]上有兩個不同的解，
所以3≤n+1＜2，
故3?1≤n＜1，
所以n的取值范圍[3?1，1）．

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