?人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 三角函數(shù)二倍角公式
一．選擇題（共7小題）
1．已知角α的頂點在坐標原點O，始邊與x的非負半軸重合，將α的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)π4后經(jīng)過點（3，4），則sin2α＝（　?。?br /> A．?1225 B．?725 C．725 D．2425
2．已知tanα=?25，則1+sin2αcos2α=（　　）
A．1318 B．522 C．?37 D．37
3．黃金分割比值是指將一條線段一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值．我們把滿足上述分割的點稱為該線段的黃金分割點，滿足黃金分割比值的分割稱為黃金分割．女生穿高跟鞋、空調(diào)溫度的設(shè)置、埃菲爾鐵塔的設(shè)計、很多國家國旗上的五角星都和黃金分割息息相關(guān)，也正是因為這個比值才讓人類的設(shè)計產(chǎn)生了一種自然和諧美．已知連接正五邊形的所有對角線能夠形成國旗上的五角星，如圖點D是線段AB的黃金分割點，由此推斷cos144°＝（　?。?br />
A．1?52 B．?5+14 C．1?54 D．?1?58
4．已知銳角α滿足4cos2α＝1+sin2α，則cosα＝（　　）
A．34 B．43 C．53434 D．43434
5．已知sinx?cosx=12，則sin2x的值為（　?。?br /> A．12 B．14 C．34 D．32
6．若tanα＝2，則2cos2α+sin2α＝（　?。?br /> A．34 B．53 C．76 D．65
7．若tanθ=?13，則cos2θ＝（　?。?br /> A．?45 B．?15 C．15 D．45
二．多選題（共1小題）
8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2cos2A?C2+cosB=52，且△ABC的面積為34b2，則角B不可能是（　?。?br /> A．π6 B．π3 C．5π6 D．2π3
三．填空題（共15小題）
9．方程sinx=13+sin2x3tan2x在區(qū)間[0，2π]上的解為　 ?。?br /> 10．計算1?cos270°1+cos40°=　 　．
11．已知：sinα+cosβ=32，則cos2α+cos2β的取值范圍是　 ?。?br /> 12．若cos(α+π12)=13，則sin(2α+2π3)=　 ?。?br /> 13．已知sin(α+π4)=210，則sin2α＝　 ?。?br /> 14．函數(shù)f（x）＝cos2x+cosx的最小值為　 ?。?br /> 15．已知sinA=45，且A∈（π2，3π2），則sin（2A+π3）＝　 ?。?br /> 16．若sin2α﹣sin2α＝0，則cos2α＝　 ?。?br /> 17．已知sin（α+π6）=13，則cos（2π3?2α）的值為　 ?。?br /> 18．函數(shù)f（x）＝sin2x﹣cos2x（x∈R）的最小正周期為　 　，最大值為　 　．
19．若α∈(π2，π)，cos2α=725，則sinαsin(3π2+α)=　 　．
20．已知tan(α?π4)=2，則cos2α的值是　 　．
21．已知sinθ+cosθ=15，且0≤θ≤π，則sin2θ＝　 　，cos2θ＝　 ?。?br /> 22．函數(shù)f（x）＝sinx（sinx+3cosx）在區(qū)間[π4，π2]上的最大值是　 ?。?br /> 23．已知sinθ+cosθ=?13，則sin2θ＝　 ?。?br /> 四．解答題（共6小題）
24．已知f(x)=2sinx4cosx4?23sin2x4+3
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，π]上的最小值并求當(dāng)f（x）取最小值時x的取值．
25．已知函數(shù)f（x）＝sin2x﹣23sin2x+3+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[?π6，π6]時，求f（x）的值域．
26．已知函數(shù)f（x）＝2cosx（sinx+cosx）+α，當(dāng)x∈[0，π2]時，f（x）的最小值為﹣1．
（Ⅰ）求α的值及f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f(α)=23，α∈(π8，3π8)，求cos2α的值．
27．已知函數(shù)f（x）＝cosx2?(sinx2+3cosx2)
（1）當(dāng)x∈[?π2，π2]時，求函數(shù)f（x）值域
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移h（0＜h＜π）個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=π4對稱，求g（x）單調(diào)遞增區(qū)間．
28．已知函數(shù)f(x)=2sin2(π4+x)?3cos2x，x∈[π4，π2]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
29．已知函數(shù)f（x）＝（sinx+cosx）2﹣2sin2x
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ） A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，其對應(yīng)的三邊分別為a、b、c．若f（A8）=62，AB→?AC→=12，a=27，且b＜c，求b、c的長．

人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 三角函數(shù)二倍角公式
參考答案與試題解析
一．選擇題（共7小題）
1．已知角α的頂點在坐標原點O，始邊與x的非負半軸重合，將α的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)π4后經(jīng)過點（3，4），則sin2α＝（　?。?br /> A．?1225 B．?725 C．725 D．2425
【分析】由已知可得sin（α?π4）=45，再由sin2α＝cos（π2?2α）＝cos2（π4?α），展開二倍角的余弦求解．
【解答】解：由題意，sin（α?π4）=45，
∴sin2α＝cos（π2?2α）＝cos2（π4?α），
=1?2sin2(π4?α)=1?2sin2(α?π4)=1?2×(45)2=?725．
故選：B．
2．已知tanα=?25，則1+sin2αcos2α=（　　）
A．1318 B．522 C．?37 D．37
【分析】根據(jù)題意，利用1+sin2αcos2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαcos2α?sin2α=tan2α+1+2tanα1?tan2α求解即可．
【解答】解：1+sin2αcos2α=sin2α+cos2α+2sinαcosαcos2α?sin2α=tan2α+1+2tanα1?tan2α，
將tanα=?25代入上式，得原式=(?25)2+1?451?(?25)2=4+25?2025?4=921=37．
故選：D．
3．黃金分割比值是指將一條線段一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值．我們把滿足上述分割的點稱為該線段的黃金分割點，滿足黃金分割比值的分割稱為黃金分割．女生穿高跟鞋、空調(diào)溫度的設(shè)置、埃菲爾鐵塔的設(shè)計、很多國家國旗上的五角星都和黃金分割息息相關(guān)，也正是因為這個比值才讓人類的設(shè)計產(chǎn)生了一種自然和諧美．已知連接正五邊形的所有對角線能夠形成國旗上的五角星，如圖點D是線段AB的黃金分割點，由此推斷cos144°＝（　　）

A．1?52 B．?5+14 C．1?54 D．?1?58
【分析】由正五邊形得每個角108°，以正五邊形臨邊構(gòu)成的等腰三角形底角是36°，根據(jù)五角星對稱性得等腰三角形CAD中兩底角為72°，可得cos72°，從而得到cos144°的值．
【解答】解：正五邊形得每個角(5?2)×180°5=108°，
∴以正五邊形臨邊構(gòu)成的等腰三角形底角是36°，得∠ACD＝36°，
∴等腰△CAD中兩底角為72°，
∴cos72°=12ADAC=12ADBD=12×5?12=5?14，
∴cos144°＝2cos272°﹣1=?5+14．
故選：B．
4．已知銳角α滿足4cos2α＝1+sin2α，則cosα＝（　?。?br /> A．34 B．43 C．53434 D．43434
【分析】由題意利用二倍角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得cosα的值．
【解答】解：∵銳角α滿足4cos2α＝1+sin2α，∴4（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）＝（cosα+sinα）2，
整理可得3cosα＝5sinα，即 tanα=sinαcosα=35，再根據(jù) sin2α+cos2α＝1，
求得cosα=53434，
故選：C．
5．已知sinx?cosx=12，則sin2x的值為（　?。?br /> A．12 B．14 C．34 D．32
【分析】將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式即可求解．
【解答】解：∵sinx?cosx=12，
∴兩邊平方，可得：1﹣2sinxcosx＝1﹣sin2x=14，
∴解得：sin2x=34．
故選：C．
6．若tanα＝2，則2cos2α+sin2α＝（　?。?br /> A．34 B．53 C．76 D．65
【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求解．
【解答】解：∵tanα＝2，
∴2cos2α+sin2α=2cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α
=2+2tanαtan2α+1=2+2×222+1=65．
故選：D．
7．若tanθ=?13，則cos2θ＝（　?。?br /> A．?45 B．?15 C．15 D．45
【分析】由已知利用倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求值．
【解答】解：∵tanθ=?13，
∴cos2θ=cos2θ?sin2θcos2θ+sin2θ=1?tan2θ1+tan2θ=1?191+19=45．
故選：D．
二．多選題（共1小題）
8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2cos2A?C2+cosB=52，且△ABC的面積為34b2，則角B不可能是（　?。?br /> A．π6 B．π3 C．5π6 D．2π3
【分析】由已知利用二倍角公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡可得sinAsinC=34，利用三角形的面積公式，正弦定理結(jié)合sinB≠0，可求sinB的值，結(jié)合范圍B∈（0，π），可求B=π3，2π3，又由已知可得cosB=52?2cos2A?C2≥12，從而可求B=π3．
【解答】解：因為2cos2A?C2+cosB=52，
可得1+cos（A﹣C）+cosB＝1+cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝1+cosAcosC+sinAsinC﹣cosAcosC+sinAsinC=52，可得sinAsinC=34，
因為△ABC的面積為34b2=12acsinB，可得34sin2B=12sinAsinCsinB，
由于sinB≠0，
可得34sinB=12sinAsinC=12×34=38，解得sinB=32，
因為B∈（0，π），
所以B=π3，2π3，
又因為cosB=52?2cos2A?C2≥52?2=12，
所以B=π3．
故選：ACD．
三．填空題（共15小題）
9．方程sinx=13+sin2x3tan2x在區(qū)間[0，2π]上的解為　π6或5π6?。?br /> 【分析】先利用商數(shù)關(guān)系、倍角公式等將方程化簡成一個三角函數(shù)的三角方程，然后求解．
【解答】解：原方程右邊=13+sin2x3sin2xcos2x=1+cos2x3=2?2sin2x3，
故原方程可化為：sinx=2?2sin2x3，即2sin2x+3sinx﹣2＝0，
解得sinx=12或sinx=?2(舍)，
故sinx=12，又∵x∈[0，2π]，
∴x=π6或5π6．
故答案為：π6或5π6．
10．計算1?cos270°1+cos40°=　12?。?br /> 【分析】利用二倍角公式，誘導(dǎo)公式即可化簡求解．
【解答】解：1?cos270°1+cos40°=1?1+cos140°21+cos40°=1?cos140°2(1+cos40°)=1+cos40°2(1+cos40°)=12．
故答案為：12．
11．已知：sinα+cosβ=32，則cos2α+cos2β的取值范圍是　[?32，32]?。?br /> 【分析】由已知利用二倍角公式化簡可求cos2α+cos2β＝3（cosβ﹣sinα），由cosβ=32?sinα，得sinα的范圍，從而可求cosβ?sinα=32?2sinα∈[?12，12]，進而得解．
【解答】解：∵sinα+cosβ=32，
∴cos2α+cos2β＝1﹣2sin2α+2cos2β﹣1＝2（sinα+cosβ）（cosβ﹣sinα）＝3（cosβ﹣sinα），
∵由sinα+cosβ=32，得，cosβ=32?sinα，易得：sinα∈[12，1]，
∴cosβ?sinα=32?2sinα∈[?12，12]，
∴cos2α+cos2β∈[?32，32]．
故答案為：[?32，32]．
12．若cos(α+π12)=13，則sin(2α+2π3)=　?79　．
【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式即可求解．
【解答】解：因為2α+2π3=2(α+π12)+π2，
則sin(2α+2π3)=cos2(α+π12)=2cos2(α+π12)?1=?79．
故答案為：?79．
13．已知sin(α+π4)=210，則sin2α＝　?2425　．
【分析】由題意利用兩角和差的三角公式、二倍角公式，計算求得結(jié)果．
【解答】解：因為sin(α+π4)=210，可得sinα+cosα=15，所以sin2α+1=125，解得sin2α=?2425，
故答案為：?2425．
14．函數(shù)f（x）＝cos2x+cosx的最小值為　?98?。?br /> 【分析】利用二倍角公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，求解函數(shù)的最小值即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝cos2x+cosx＝2cos2x+cosx﹣1，
當(dāng)cosx=?14時，函數(shù)取得最小值：2×(?14)2?14?1=?98．
故答案為：?98．
15．已知sinA=45，且A∈（π2，3π2），則sin（2A+π3）＝　?24+7350?。?br /> 【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosA，再利用二倍角公式求得sin2A、cos2A的值，再利用兩角和的正弦公式，計算求得sin（2A+π3）的值．
【解答】解：∵已知sinA=45，且A∈（π2，3π2），∴cosA=?1?sin2A=?35，
∴sin2A＝2sinAcosA=?2425，cos2A＝2cos2A﹣1=?725，
則sin（2A+π3）＝sin2Acosπ3+cos2Asinπ3=?2425×12?725×32=?24+7350，
故答案為：?24+7350．
16．若sin2α﹣sin2α＝0，則cos2α＝　1，?35?。?br /> 【分析】化簡已知可得sinα（2cosα﹣sinα）＝0，可得sinα＝0或tanα＝2，分類討論利用二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．
【解答】解：因為sin2α﹣sin2α＝2sinαcosα﹣sin2α＝0，即sinα（2cosα﹣sinα）＝0，
所以sinα＝0或tanα＝2，
當(dāng)sinα＝0時，cos2α＝cos2α﹣sinα2＝1；
當(dāng)tanα＝2時，cos2α＝cos2α﹣sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=1?41+4=?35．
故答案為：1，?35．
17．已知sin（α+π6）=13，則cos（2π3?2α）的值為　?79?。?br /> 【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可計算求解．
【解答】解：∵sin（α+π6）=13，
∴cos（2π3?2α）＝cos[π﹣2（π6+α）]＝﹣cos2（π6+α）＝2sin2（π6+α）﹣1=?79．
故答案為：?79．
18．函數(shù)f（x）＝sin2x﹣cos2x（x∈R）的最小正周期為　π　，最大值為　1?。?br /> 【分析】利用二倍角的余弦公式化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的周期性，得出結(jié)論．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x（x∈R）的最小正周期為2π2=π，
顯然，它的最大值為1，
故答案為：π；1．
19．若α∈(π2，π)，cos2α=725，則sinαsin(3π2+α)=　34?。?br /> 【分析】利用二倍角的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知可求tanα的值，利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可得解．
【解答】解：因為α∈(π2，π)，cos2α=725=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α，
整理可得tan2α=916，可得tanα=?34，
則sinαsin(3π2+α)=sinα?cosα=?tanα=34．
故答案為：34．
20．已知tan(α?π4)=2，則cos2α的值是　?45?。?br /> 【分析】由已知展開兩角差的正切求得tanα，然后化弦為切求得cos2α．
【解答】解：由tan(α?π4)=2，得tanα?tanπ41+tanα?tanπ4=2，
即tanα?11+tanα=2，解得tanα＝﹣3．
∴cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=1?91+9=?45．
故答案為：?45．
21．已知sinθ+cosθ=15，且0≤θ≤π，則sin2θ＝　?2425　，cos2θ＝　?725?。?br /> 【分析】將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式可得sin2θ的值，進而可求sinθ﹣cosθ的值，利用二倍角的余弦公式即可求解cos2θ的值．
【解答】解：因為sinθ+cosθ=15，
所以，兩邊平方，可得1+sin2θ=125，解得sin2θ=?2425＜0，
又0≤θ≤π，
所以sinθ﹣cosθ=(sinθ?cosθ)2=1?2sinθcosθ=1?(?2425)=75，
所以cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ＝（cosθ﹣sinθ）（cosθ+sinθ）＝（?75）×15=?725．
故答案為：?2425，?725．
22．函數(shù)f（x）＝sinx（sinx+3cosx）在區(qū)間[π4，π2]上的最大值是　32　．
【分析】利用二倍角的正弦與余弦將f（x）＝sin2x+3sinxcosx轉(zhuǎn)化為f（x）＝sin（2x?π6）+12，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得在區(qū)間[π4，π2]上的最大值．
【解答】解：∵f（x）＝sin2x+3sinxcosx
=1?cos2x2+32sin2x
＝sin（2x?π6）+12．
又x∈[π4，π2]，
∴2x?π6∈[π3，5π6]，
∴sin（2x?π6）∈[12，1]，
∴sin（2x?π6）+12∈[1，32]．
即f（x）∈[1，32]．
故f（x）在區(qū)間[π4，π2]上的最大值為32．
故答案為：32．
23．已知sinθ+cosθ=?13，則sin2θ＝　?89?。?br /> 【分析】將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式，即可得到結(jié)論．
【解答】解：因為sinθ+cosθ=?13，
兩邊平方，可得sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+sin2θ=19，
可得sin2θ=?89．
故答案為：?89．
四．解答題（共6小題）
24．已知f(x)=2sinx4cosx4?23sin2x4+3
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，π]上的最小值并求當(dāng)f（x）取最小值時x的取值．
【分析】利用倍角公式和兩角差的正弦公式化簡解析式，再分析所得三角函數(shù)的性質(zhì)．
【解答】解：（1）由題意得，f(x)=2sinx4cosx4?23sin2x4+3=sinx2+3（1﹣2sin2x4）＝sinx2+3cosx2
＝2sin（x2+π3）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π12=4π，
（2）由0≤x≤π得，π3≤x2+π3≤5π6，
∴當(dāng)x2+π3=5π6時，f（x）取得最小值1，此時x＝π；
即x＝π時，f（x）取最小值是1．
25．已知函數(shù)f（x）＝sin2x﹣23sin2x+3+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[?π6，π6]時，求f（x）的值域．
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換公式化簡得f（x）＝2sin（2x+π3）+1，再利用三角函數(shù)的周期公式，即可算出f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[?π6，π6]得2x+π3∈[0，2π3]，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)算出sin（2x+π3）∈[0，1]，即可得到函數(shù)f（x）的值域．
【解答】解：（1）∵f（x）＝sin2x﹣23sin2x+3+1＝sin2x+3cos2x+1＝2sin（2x+π3）+1，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π2=π；
（2）∵x∈[?π6，π6]可得2x+π3∈[0，2π3]，
∴sin（2x+π3）∈[0，1]，可得2sin（2x+π3）+1∈[1，3]，
由此可得f（x）＝2sin（2x+π3）+1的值域為[1，3]．
26．已知函數(shù)f（x）＝2cosx（sinx+cosx）+α，當(dāng)x∈[0，π2]時，f（x）的最小值為﹣1．
（Ⅰ）求α的值及f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f(α)=23，α∈(π8，3π8)，求cos2α的值．
【分析】（Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin（2x+π4）+a+1，由x∈[0，π2]，可得范圍2x+π4∈[π4，5π4]，可求2sin（2x+π4）∈[﹣1，2]，結(jié)合f（x）min＝﹣1+a+1＝﹣1，可求a的值，進而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解．
（Ⅱ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（2α+π4）的值，進而根據(jù)兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算求解．
【解答】解：（Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）＝2cosx（sinx+cosx）+a＝2sinxcosx+2cos2x+a＝sin2x+cos2x+a+1=2sin（2x+π4）+a+1，
∵x∈[0，π2]，2x+π4∈[π4，5π4]，
∴2sin（2x+π4）∈[﹣1，2]，
∵f（x）min＝﹣1+a+1＝﹣1，
∴a＝﹣1，
∴f（x）=2sin（2x+π4），
由2kπ?π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，可解得kπ?3π8≤x≤kπ+π8，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ?3π8，kπ+π8]，（k∈Z）；
（Ⅱ）∵f(α)=23，α∈(π8，3π8)，
∴sin（2α+π4）=13，2α+π4∈（π2，π），
∴cos（2α+π4）=?223，
∴cos2α＝cos[（2α+π4）?π4]＝cos（2α+π4）cosπ4+sin（2α+π4）sinπ4=2?46．
27．已知函數(shù)f（x）＝cosx2?(sinx2+3cosx2)
（1）當(dāng)x∈[?π2，π2]時，求函數(shù)f（x）值域
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移h（0＜h＜π）個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=π4對稱，求g（x）單調(diào)遞增區(qū)間．
【分析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為 sin（x+π3）+32，根據(jù)x的范圍求出f（x）的值域．
（2）根據(jù)y＝Asin（ωx+?）的圖象變換規(guī)律求得g（x）＝sin（x﹣h+π3）+32，由g（x）的圖象關(guān)于直線x=π4對稱，可得π4?h+π3=kπ+π2，k∈z，求出h的值，可得g（x）的解析式為g（x）＝sin（x+π4）+32，令2kπ?π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數(shù)的增區(qū)間．
【解答】解：（1）f（x）＝cosx2?(sinx2+3cosx2)=12sinx+32?（1+cosx）＝sin（x+π3）+32．
∵當(dāng)x∈[?π2，π2]，∴x+π3∈[?π6，5π6]，∴sin（x+π3）∈[?12，1]，
∴f（x）的值域為[3?12，3+22]．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移h（0＜h＜π）個單位，得到函數(shù)g（x）＝sin（x﹣h+π3）+32的圖象．
再由g（x）的圖象關(guān)于直線x=π4對稱，可得π4?h+π3=kπ+π2，k∈z．
即 h＝﹣kπ+π12，∴h=π12，故函數(shù)g（x）＝sin（x+π4）+32．
令2kπ?π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈z，求得 2kπ?3π4≤x≤2kπ+π4，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ?3π4，2kπ+π4]，k∈z．
28．已知函數(shù)f(x)=2sin2(π4+x)?3cos2x，x∈[π4，π2]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【分析】（1）先利用二倍角公式化簡，再利用差角的正弦函數(shù)化簡函數(shù)，可得f(x)=1+2sin(2x?π3)，根據(jù)已知角的范圍，確定2x?π3∈[π6，2π3]，從而得解；
（2）根據(jù)）2x?π3∈[π6，2π3]，可得2x?π3∈[π6，π2]時，函數(shù)單調(diào)增，2x?π3∈[π2，2π3]時，函數(shù)單調(diào)減，故可解．
【解答】解：（1）由題意，函數(shù)可化為：f(x)=1+sin2x?3cos2x=1+2sin(2x?π3)
∵x∈[π4，π2]
∴2x?π3∈[π6，2π3]
∴sin(2x?π3)∈[12，1]
∴f（x）∈[2，3]
∴f（x）的最大值和最小值分別為3，2；
（2）∵2x?π3∈[π6，2π3]
∴2x?π3∈[π6，π2]時，函數(shù)單調(diào)增，2x?π3∈[π2，2π3]時，函數(shù)單調(diào)減．
∴函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為[π4，5π12]，函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為[5π12，π]
29．已知函數(shù)f（x）＝（sinx+cosx）2﹣2sin2x
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ） A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，其對應(yīng)的三邊分別為a、b、c．若f（A8）=62，AB→?AC→=12，a=27，且b＜c，求b、c的長．
【分析】（I）將f（x）展開并運用二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡整理，可得f（x）=2sin（2x+π4），再利用正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式，即可得到f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）將A8代入（I）中的關(guān)系式，解出A=π3．根據(jù)AB→?AC→=12列式，可得bc＝24，再根據(jù)余弦定理結(jié)合配方解出b+c＝10，由此即可解出b、c的長．
【解答】解：（Ⅰ）f （x）＝sin2x+2sincosx+cos2x﹣2sin2x＝﹣sin2x+cos2x+sin2x
＝sin2x+cos2x=2sin（2x+π4），
令π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ（k∈Z），解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ（k∈Z），
∴f （x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[π8+kπ，5π8+kπ]（k∈Z）． …（6分）
（Ⅱ）f （A8）=2sin（A4+π4）=62，即sin（A4+π4）=32，
∴A4+π4=π3或2π3，即A=π3或5π3（不符合題意，舍去）．
由AB→?AC→=c?b?cosA＝12和cosA=12，得bc＝24．①
∵a=27，cosA=b2+c2?a22bc=12，
∴將bc＝24代入，化簡并解之可得b2+c2＝52．
∵b2+c2+2bc＝（b+c）2＝100，b＞0，c＞0，
∴b+c＝10，②
聯(lián)解①②，解之得b＝4、c＝6或b＝6、c＝4
∵b＜c，∴b＝6、c＝4不合題意，舍去
可得 b、c 的長分別為4，6． …（12分）

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