人教版2022屆一輪復習打地基練習三角形的形狀判斷-試卷下載-教習網(wǎng)

?人教版2022屆一輪復習打地基練習三角形的形狀判斷
一．選擇題（共6小題）
1．若α是三角形的一個內角，且sinα+cosα=15，則三角形的形狀為（　?。?br /> A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．無法確定
2．已知△ABC，若對任意k∈R，有|BA→+kCB→|≥|AC→|，則△ABC一定是（　?。?br /> A．直角三角形 B．鈍角三角形
C．銳角三角形 D．以上均有可能
3．下面能得出△ABC為銳角三角形的條件是（　?。?br /> A．sinA+cosA=15 B．tanA+tanB+tanC＞0
C．b＝3，c＝33，B＝30° D．AB→?BC→＜0
4．在△ABC中，若AB→?BC→+AB→2=0，則△ABC的形狀一定是（　　）
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．在△ABC中，acosB=bcosA，則△ABC一定是（　?。?br /> A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
6．在△ABC中，c?a2c=sin2B2（a、b、c分別為角A、B、C的對邊），則△ABC的形狀為（　?。?br /> A．直角三角形
B．等邊三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
二．多選題（共4小題）
7．對于△ABC，有如下判斷，其中正確的是（　　）
A．若sin2A＝sin2B，則△ABC必為等腰三角形
B．若A＞B，則sinA＞sinB
C．若a＝5，b＝3，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個
D．若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，則△ABC必為鈍角三角形
8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinAk=sinB3=sinC4（k為非零實數(shù)），則下列結論正確的是（　?。?br /> A．當k＝5時，△ABC是直角三角形
B．當k＝3時，△ABC是銳角三角形
C．當k＝2時，△ABC是鈍角三角形
D．當k＝1時，△ABC是鈍角三角形
9．下列條件中，能推導出△ABC是鈍角三角形的是（　?。?br /> A．在平面直角坐標系中，A（1，3），B（4，2），C（﹣1，﹣1）
B．tanA+tanB+tanC＞0
C．cos2B﹣cos2C＞sin2A
D．（sinA﹣cosB）?（sinB﹣cosC）?（sinC﹣cosA）＞0
10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b2+c2＝a2+bc，cosB+cosC＝2cosA，則△ABC是（　?。?br /> A．等邊三角形 B．銳角三角形
C．等腰不等邊三角形 D．直角三角形
三．填空題（共11小題）
11．在△ABC中，D是BC的中點，已知∠BAD+∠C＝90°，則△ABC的形狀是　 ?。?br /> 12．△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知2a＝b+c，sin2A＝sinBsinC，則△ABC一定為　 ?。ㄓ谩爸苯侨切巍薄暗冗吶切巍薄暗妊苯侨切巍碧羁眨?br /> 13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosB＝ccosC，則該三角形的形狀是　 ?。ú灰褂谩啊鳌狈柋硎救切危?br /> 14．在△ABC中，已知2a＝b+c，sin2A＝sinBsinC，則△ABC的形狀為　　．
15．在△ABC中，（BC→+BA→）?AC→=|AC→|2，則△ABC的形狀一定是　　
16．△ABC的三個內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，R是△ABC的外接圓半徑，有下列四個條件：
（1）（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab
（2）sinA＝2cosBsinC
（3）b＝acosC，c＝acosB
（4）2R(sin2A?sin2C)=(2a?b)sinB
有兩個結論：甲：△ABC是等邊三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
請你選取給定的四個條件中的兩個為條件，兩個結論中的一個為結論，寫出一個你認為正確的命題　 ?。?br /> 17．在△ABC中，若acosA＝bcosB，且a2+b2＝ab+c2，則△ABC的形狀為　 ?。?br /> 18．在△ABC中，若tanAtanB=sinAsinB，則△ABC的形狀是　 ?。?br /> 19．已知三角形ABC的三邊長為a，b，c滿足a+b＝10，ab＝18，c＝8，則此三角形為　　三角形．（填寫形狀）
20．已知△ABC中，sinA+cosA=15，則三角形ABC的形狀是　　．
21．在△ABC中，給出下列四個結論：
（1）若sinA＝sinB，則△ABC是等腰三角形；
（2）若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰三角形；
（3）若asinA=bsinB=c，則△ABC是直角三角形；
（4）若sinA＞sinB，則A＞B．
其中結論正確的序號是　　．
四．解答題（共1小題）
22．已知α是△ABC的一個內角，且sinα+cosα=15，
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）求sinαcosα+sin2α1?tanα的值．

人教版2022屆一輪復習打地基練習三角形的形狀判斷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共6小題）
1．若α是三角形的一個內角，且sinα+cosα=15，則三角形的形狀為（　?。?br /> A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．無法確定
【分析】把所給的等式兩邊平方，得2sinαcosα＜0，在三角形中，只能cosα＜0，只有鈍角cosα＜0，故α為鈍角，三角形形狀得判．
【解答】解：∵（sinα+cosα）2=125，∴2sinαcosα=?2425，
∵α是三角形的一個內角，則sinα＞0，
∴cosα＜0，
∴α為鈍角，∴這個三角形為鈍角三角形．
故選：A．
2．已知△ABC，若對任意k∈R，有|BA→+kCB→|≥|AC→|，則△ABC一定是（　?。?br /> A．直角三角形 B．鈍角三角形
C．銳角三角形 D．以上均有可能
【分析】圖中BC′的長度就是|BA→+kCB→|，要使不等式成立，則|AC|必須是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C為直角．
【解答】解：當k為任意實數(shù)時，那么kCB→的方向有可能向左，也可能向右．長度也是不確定的，
圖中BC′的長度就是|BA→+kCB→|，可以看出，當BC′垂直CB時，|BA→+kCB→|有最小值，要使不等式成立，
則|AC|必須是BC′的最小值，即AC垂直BC，故角C為直角，
故選：A．

3．下面能得出△ABC為銳角三角形的條件是（　?。?br /> A．sinA+cosA=15 B．tanA+tanB+tanC＞0
C．b＝3，c＝33，B＝30° D．AB→?BC→＜0
【分析】由平方，運用同角的平方關系，即可判斷A；運用兩角和的正切公式，即可判斷B；
由正弦定理，解得C，A，即可判斷C；由向量的數(shù)量積的定義，即可判斷D．
【解答】解：對于A．sinA+cosA=15平方可得，sin2A+cos2A+2sinAcosA=125，即有2sinAcosA=?2425＜0，則sinA＞0，cosA＜0，A為鈍角，則A不滿足；
對于B．由于tan（A+C）=tanA+tanC1?tanAtanC=?tanB，即有tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC＞0，
即tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，則為銳角三角形，則B滿足；
對于C．運用正弦定理，可得，sinC=csinBb=33×123=32，則C＝60°或120°，則A＝90°或30°，則C不滿足；
對于D.AB→?BC→=cacos（π﹣B）＜0，即cosB＞0，B為銳角，則D不滿足．
故選：B．
4．在△ABC中，若AB→?BC→+AB→2=0，則△ABC的形狀一定是（　　）
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【分析】由條件求得AB→?AC→=0，可得AB→⊥AC→，故∠A=π2，由此可得△ABC的形狀．
【解答】解：在△ABC中，AB→?BC→+AB→2=AB→?（AB→+BC→）=AB→?AC→=0，∴AB→⊥AC→，
∴∠A=π2，則△ABC為直角三角形，
故選：B．
5．在△ABC中，acosB=bcosA，則△ABC一定是（　?。?br /> A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】利用正弦定理asinA=bsinB=2R與二倍角的正弦即可判斷三角形的形狀．
【解答】解：∵在△ABC中acosB=bcosA，
∴ab=cosBcosA，又由正弦定理asinA=bsinB=2R得：ab=sinAsinB，
∴sinAsinB=cosBcosA，
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A＝π﹣2B，
∴A＝B或A+B=π2．
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故選：D．
6．在△ABC中，c?a2c=sin2B2（a、b、c分別為角A、B、C的對邊），則△ABC的形狀為（　?。?br /> A．直角三角形
B．等邊三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】由倍角公式化簡已知可得1?cosB2=c?a2c，結合余弦定理可得ac=a2+c2?b22ac，可得：a2+b2＝c2，即可判定得解．
【解答】解：∵c?a2c=sin2B2，
∴1?cosB2=c?a2c，
∵cosB=ac，又由余弦定理可得cosB=a2+c2?b22ac，
∴可得：a2+b2＝c2，
∴三角形為以∠C為直角的直角三角形．
故選：A．
二．多選題（共4小題）
7．對于△ABC，有如下判斷，其中正確的是（　?。?br /> A．若sin2A＝sin2B，則△ABC必為等腰三角形
B．若A＞B，則sinA＞sinB
C．若a＝5，b＝3，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個
D．若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，則△ABC必為鈍角三角形
【分析】對于A，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進行判斷；對于B，根據(jù)正弦定理即可判斷證明；對于C，利用余弦定理即可得解；對于D，根據(jù)正弦定理去判斷．
【解答】解：對于A，若sin2A＝sin2B，則2A＝kπ+（﹣1）k?2B，（k∈Z），當k＝0時，A＝B，△ABC為等腰三角形；當k＝1時，A=π2?B，△ABC為直角三角形，故不正確，
對于B，使用正弦定理證明．若A＞B，則a＞b，由正弦定理asinA=bsinB=2R，得2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB成立．故正確；
對于C，由余弦定理可得：b=52+c2?2×5×c×12=3，可得c2﹣5c+16＝0，△＜0，方程無解，故錯誤；
對于D，若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，則：1﹣sin2A+1﹣sin2B﹣1+sin2C＞1，可得sin2A+sin2B＜sin2C，則根據(jù)正弦定理得a2+b2＜c2，可得C為鈍角，可得△ABC是鈍角三角形，故正確；
綜上，正確的判斷為，B和D．
故選：BD．
8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinAk=sinB3=sinC4（k為非零實數(shù)），則下列結論正確的是（　?。?br /> A．當k＝5時，△ABC是直角三角形
B．當k＝3時，△ABC是銳角三角形
C．當k＝2時，△ABC是鈍角三角形
D．當k＝1時，△ABC是鈍角三角形
【分析】由題意根據(jù)正弦定理，余弦定理逐一判斷各個選項即可得解．
【解答】解：對于A，當k＝5時，sinA5=sinB3=sinC4，根據(jù)正弦定理不妨設a＝5m，b＝3m，c＝4m，顯然△ABC是直角三角形；
對于B，當k＝3時，sinA3=sinB3=sinC4，根據(jù)正弦定理不妨設a＝3m，b＝3m，c＝4m，
顯然△ABC是等腰三角形，a2+b2﹣c2＝9m2+9m2﹣16m2＝2m2＞0，
說明∠C為銳角，故△ABC是銳角三角形；
對于C，當k＝2時，sinA2=sinB3=sinC4，根據(jù)正弦定理不妨設a＝2m，b＝3m，c＝4m，
可得a2+b2﹣c2＝4m2+9m2﹣16m2＝﹣3m2＜0，說明∠C為鈍角，故△ABC是鈍角三角形；
對于D，當k＝1時，sinA1=sinB3=sinC4，根據(jù)正弦定理不妨設a＝m，b＝3m，c＝4m，
此時a+b＝c，不等構成三角形，故命題錯誤．
故選：ABC．
9．下列條件中，能推導出△ABC是鈍角三角形的是（　?。?br /> A．在平面直角坐標系中，A（1，3），B（4，2），C（﹣1，﹣1）
B．tanA+tanB+tanC＞0
C．cos2B﹣cos2C＞sin2A
D．（sinA﹣cosB）?（sinB﹣cosC）?（sinC﹣cosA）＞0
【分析】對于A選項，由題意可得A為三角形最大角，由余弦定理可得cosA＜0，可得A為鈍角，即可判斷；對于B選項，由tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC＞0，不妨設A、B為銳角，則可得tanC＞0，可得C也為銳角，可知△ABC為銳角三角形，即可判斷；對于C選項，利用同角三角函數(shù)基本關系式可得a2+b2＜c2，進而可知C為鈍角，即可判斷；對于D選項，取A＝B＝C＝60°，滿足條件，但△ABC為銳角三角形，不能推導出△ABC是鈍角三角形，即可判斷．
【解答】解：對于A選項，|AB|=10，|AC|＝25，|BC|=34，
則|BC|＞|AC|＞|AB|，由余弦定理可得cosA=10+20?342×10×25＜0，可得A為鈍角，故A正確；
對于B選項，由于tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC＞0，
由于△ABC中至少有兩個銳角，不妨設A、B為銳角，
則tanAtanB＞0，可得tanC＞0，
所以C為銳角，進而可知△ABC為銳角三角形，故B錯誤；
對于C選項，cos2B﹣cos2C＝1﹣sin2B﹣（1﹣sin2C）＝sin2C﹣sin2B＞sin2A，
即a2+b2＜c2，進而可知C為鈍角，能推導出△ABC是鈍角三角形，故C正確；
對于D選項，取A＝B＝C＝60°，滿足（sinA﹣cosB）?（sinB﹣cosC）?（sinC﹣cosA）＞0，
但△ABC為銳角三角形，不能推導出△ABC是鈍角三角形，故D錯誤．
故選：AC．
10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b2+c2＝a2+bc，cosB+cosC＝2cosA，則△ABC是（　?。?br /> A．等邊三角形 B．銳角三角形
C．等腰不等邊三角形 D．直角三角形
【分析】由題意和余弦定理求出cosA的值，由A的范圍和特殊角的余弦值求出A，進而根據(jù)已知可得cosB+cos（2π3?B）＝1，可得sin（B+π6）＝1，進而解得A＝B＝C，即可得解．
【解答】解：因為b2+c2＝a2+bc，
所以由余弦定理得，cosA=b2+c2?a22bc=bc2bc=12，
又0＜A＜π，
則A=π3，
因為cosB+cosC＝2cosA＝1．
所以cosB+cos（2π3?B）＝cosB?12cosB+32sinB＝1，即：sin（B+π6）＝1，
所以B+π6=π2，可得B=π3，
所以C＝B＝A=π3，即△ABC是等邊三角形．
故選：AB．
三．填空題（共11小題）
11．在△ABC中，D是BC的中點，已知∠BAD+∠C＝90°，則△ABC的形狀是　等腰或直角三角形　．
【分析】根據(jù)題意，設∠BAD＝α，∠B＝β，可得∠C＝90°﹣α，∠CAD＝90°﹣β，在三角形ABD和三角形ADC中，分別根據(jù)正弦定理表示出BD：AD及CD：AD，由D為BC中點，得到BD＝CD，從而得到兩比值相等，列出關于α和β的關系式，利用誘導公式及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡后，得到sin2α＝sin2β，由α和β的范圍，可得出α＝β或α+β＝90°，由α＝β根據(jù)等角對等邊可得AD＝BD＝CD，根據(jù)三角形一邊上的中線等于這邊的一半可得三角形ABC為直角三角形；由α+β＝90°，可得AD與BC垂直，又D為BC中點，故AD垂直平分BC，故AB＝AC，此時三角形ABC為等腰三角形．
【解答】解：根據(jù)題意，∵∠BAD+∠C＝90°，
∴∠CAD+∠B＝180°﹣（∠BAD+∠C）＝90°，
設∠BAD＝α，∠B＝β，則∠C＝90°﹣α，∠CAD＝90°﹣β，
在△ABD和△ACD中，根據(jù)正弦定理得：sinα：sinβ＝BD：AD，
sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）＝CD：AD，
又D為BC中點，∴BD＝CD，
∴sinα：sinβ＝sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）＝cosβ：cosα，
∴sinαcosα＝sinβcosβ，即sin2α＝sin2β，
∴2α＝2β或2α+2β＝180°，
∴α＝β或α+β＝90°，
∴BD＝AD＝CD或AD⊥CD，
∴∠BAC＝90°或AB＝AC，
∴△ABC為直角三角形或等腰三角形．
故答案為：等腰或直角三角形
12．△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知2a＝b+c，sin2A＝sinBsinC，則△ABC一定為　等邊三角形?。ㄓ谩爸苯侨切巍薄暗冗吶切巍薄暗妊苯侨切巍碧羁眨?br /> 【分析】利用正弦定理化簡sin2A＝sinBsinC，得到a2＝bc，與2a＝b+c聯(lián)立得到a＝b＝c，可得出三角形ABC為等邊三角形．
【解答】解：由正弦定理化簡sin2A＝sinBsinC，得到a2＝bc，
又2a＝b+c，即a=b+c2，
∴a2=(b+c)24=bc，即（b+c）2＝4bc，
∴（b﹣c）2＝0，即b＝c，
∴2a＝b+c＝b+b＝2b，即a＝b，
∴a＝b＝c，
則△ABC為等邊三角形．
故答案為：等邊三角形
13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosB＝ccosC，則該三角形的形狀是　等腰或直角三角形?。ú灰褂谩啊鳌狈柋硎救切危?br /> 【分析】已知等式利用正弦定理化簡，再利用二倍角的正弦函數(shù)公式變形，利用正弦函數(shù)的性質得到B＝C或B+C＝90°，即可確定出三角形ABC的形狀．
【解答】解：利用正弦定理化簡ccosC＝bcosB，得：sinCcosC＝sinBcosB，即12sin2C=12sin2B，
∴sin2C＝sin2B，
∴2C＝2B，或2C+2B＝180°，即B＝C，或B+C＝90°，
則△ABC為等腰或直角三角形．
故答案為：等腰或直角三角形．
14．在△ABC中，已知2a＝b+c，sin2A＝sinBsinC，則△ABC的形狀為　等邊三角形?。?br /> 【分析】利用正弦定理化簡sin2A＝sinBsinC，得到a2＝bc，與2a＝b+c聯(lián)立得到a＝b＝c，可得出三角形ABC為等邊三角形．
【解答】解：由正弦定理化簡sin2A＝sinBsinC，得到a2＝bc，
又2a＝b+c，即a=b+c2，
∴a2=(b+c)24=bc，即（b+c）2＝4bc，
∴（b﹣c）2＝0，即b＝c，
∴2a＝b+c＝b+b＝2b，即a＝b，
∴a＝b＝c，
則△ABC為等邊三角形．
故答案為：等邊三角形
15．在△ABC中，（BC→+BA→）?AC→=|AC→|2，則△ABC的形狀一定是　直角三角形　
【分析】由（BC→+BA→）?AC→=（BC→+BA→）?（BC→?BA→）=BC→2?BA→2=|AC→|2，可判斷．
【解答】解：△ABC中，（BC→+BA→）?AC→=（BC→+BA→）?（BC→?BA→）
=BC→2?BA→2=|AC→|2，
∴a2+c2＝b2，
∴AB⊥AC，
則△ABC的形狀一定是直角三角形
故答案為：直角三角形
16．△ABC的三個內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，R是△ABC的外接圓半徑，有下列四個條件：
（1）（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab
（2）sinA＝2cosBsinC
（3）b＝acosC，c＝acosB
（4）2R(sin2A?sin2C)=(2a?b)sinB
有兩個結論：甲：△ABC是等邊三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
請你選取給定的四個條件中的兩個為條件，兩個結論中的一個為結論，寫出一個你認為正確的命題?。?）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙　．
【分析】若（1）（2）→甲，由（1）利用平方差及完全平方公式變形得到關于a，b及c的關系式，利用余弦定理表示出cosC，把得到的關系式代入求出cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C為60°，再利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡（2）中的等式，得到sin（B﹣C）＝0，由B和C為三角形的內角，得到B﹣C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值得到B＝C，從而得到三角形為等邊三角形；
若（2）（4）→乙，利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡（2）中的等式，得到sin（B﹣C）＝0，由B和C為三角形的內角，得到B﹣C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值得到B＝C，再利用正弦定理化簡（4）中的等式，得到a=2b，利用勾股定理的逆定理得到∠A為直角，從而得到三角形為等腰直角三角形；
若（3）（4）→乙，利用正弦定理化簡（4）中的等式，得到a=2b，利用勾股定理的逆定理得到∠A為直角，再利用正弦定理化簡（3）中的兩等式，分別表示出sinA，兩者相等再利用二倍角的正弦函數(shù)公式，得到sin2B＝sin2C，由B和C都為三角形的內角，可得B＝C，從而得到三角形為等腰直角三角形．三者選擇一個即可．
【解答】解：由（1）（2）為條件，甲為結論，得到的命題為真命題，理由如下：
證明：由（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，變形得：
a2+b2+2ab﹣c2＝3ab，即a2+b2﹣c2＝ab，
則cosC=a2+b2?c22ab=12，又C為三角形的內角，
∴C＝60°，
又sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝2cosBsinC，
即sinBcosC﹣cosBsinC＝sin（B﹣C）＝0，
∵﹣π＜B﹣C＜π，
∴B﹣C＝0，即B＝C，
則A＝B＝C＝60°，
∴△ABC是等邊三角形；
以（2）（4）作為條件，乙為結論，得到的命題為真命題，理由為：
證明：化簡得：sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC＝2cosBsinC，
即sinBcosC﹣cosBsinC＝sin（B﹣C）＝0，
∵﹣π＜B﹣C＜π，
∴B﹣C＝0，即B＝C，
∴b＝c，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，
代入2R(sin2A?sin2C)=(2a?b)sinB得：
2R?（a24R2?c24R2）＝（2a﹣b）?b2R，
整理得：a2﹣b2=2ab﹣b2，即a2=2ab，
∴a=2b，
∴a2＝2b2，又b2+c2＝2b2，
∴a2＝b2+c2，
∴∠A＝90°，
則三角形為等腰直角三角形；
以（3）（4）作為條件，乙為結論，得到的命題為真命題，理由為：
證明：由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，
代入2R(sin2A?sin2C)=(2a?b)sinB得：
2R?（a24R2?c24R2）＝（2a﹣b）?b2R，
整理得：a2﹣b2=2ab﹣b2，即a2=2ab，
∴a=2b，
∴a2＝2b2，又b2+c2＝2b2，
∴a2＝b2+c2，
∴∠A＝90°，
又b＝acosC，c＝acosB，
根據(jù)正弦定理得：sinB＝sinAcosC，sinC＝sinAcosB，
∴sinBcosC=sinCcosB，即sinBcosB＝sinCcosC，
∴sin2B＝sin2C，又B和C都為三角形的內角，
∴2B＝2C，即B＝C，
則三角形為等腰直角三角形．
故答案為：（1）（2）→甲或（2）（4）→乙或（3）（4）→乙
17．在△ABC中，若acosA＝bcosB，且a2+b2＝ab+c2，則△ABC的形狀為　等邊三角形或直角三角形?。?br /> 【分析】把acosA＝bcosB由正弦定理化邊為角，可得A＝B或A+B=π2；由a2+b2＝ab+c2結合余弦定理可得C=π3．從而可得△ABC的形狀．
【解答】解：由acosA＝bcosB，結合正弦定理可得，2sinAcosA＝2sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，
又A，B為三角形兩內角，∴2A＝2B或2A+2B＝π，
∴A＝B或A+B=π2；
又a2+b2＝ab+c2，∴c2＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣2abcosC，
則cosC=12，∵C∈（0，π），∴C=π3．
∴△ABC的形狀為等邊三角形或直角三角形．
故答案為：等邊三角形或直角三角形．
18．在△ABC中，若tanAtanB=sinAsinB，則△ABC的形狀是　等腰三角形?。?br /> 【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式，誘導公式化簡已知等式可得sin（π2?B）＝sin（π2?A），由已知可求范圍π2?A∈（?π2，π2），π2?B∈（?π2，π2），從而可求π2?B=π2?A，即A＝B，即可判斷三角形的形狀．
【解答】解：若tanAtanB=sinAsinB，則：sinAcosBsinBcosA=sinAsinB，
因為A，B為三角形內角，sinA≠0，sinB≠0，
可得cosBcosA=1，即cosB＝cosA，
可得sin（π2?B）＝sin（π2?A），
因為A，B∈（0，π），
可得：π2?A∈（?π2，π2），π2?B∈（?π2，π2），
可得π2?B=π2?A，
可得A＝B，即△ABC的形狀是等腰三角形．
故答案為：等腰三角形．
19．已知三角形ABC的三邊長為a，b，c滿足a+b＝10，ab＝18，c＝8，則此三角形為　直角　三角形．（填寫形狀）
【分析】對原式進行變形，發(fā)現(xiàn)三邊的關系符合勾展定理的逆定理，從而可判定其形狀．
【解答】解：∵（a+b）2﹣2ab
＝100﹣36
＝64，
∴c2＝64，
∴a2+b2＝c2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案為：直角．
20．已知△ABC中，sinA+cosA=15，則三角形ABC的形狀是　鈍角三角形?。?br /> 【分析】結合已知兩邊同時平方后，結合三角函數(shù)值的符合即可判斷A的范圍，即可．
【解答】解：∵sinA+cosA=15，
兩邊同時平方可得，1+2sinAcosA=125，
∴sinAcosA=?1225＜0，
∴sinA＞0，cosA＜0即A為鈍角，
故答案為：鈍角三角形
21．在△ABC中，給出下列四個結論：
（1）若sinA＝sinB，則△ABC是等腰三角形；
（2）若acosA＝bcosB，則△ABC是等腰三角形；
（3）若asinA=bsinB=c，則△ABC是直角三角形；
（4）若sinA＞sinB，則A＞B．
其中結論正確的序號是 ?。?）（3）（4）　．
【分析】直接利用三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦定理的應用，三角形形狀的判定（1）（2）（3）（4）的結論．
【解答】解：（1）若sinA＝sinB，利用正弦定理：2RsinA＝2RsinB，整理得a＝b，則△ABC是等腰三角形，故（1）正確；
（2）若acosA＝bcosB，利用正弦定理：整理得：sinAcosA＝sinBcosB，故sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或A+B=π2，則△ABC是等腰三角形或直角三角形，故（2）錯誤；
（3）若asinA=bsinB=c=csinC，所以C=π2，則△ABC是直角三角形，故（3）正確；
（4）若sinA＞sinB，整理得：2RsinA＞2RsinB，則a＞b，則A＞B，故（4）正確．
故答案為：（1）（3）（4）．
四．解答題（共1小題）
22．已知α是△ABC的一個內角，且sinα+cosα=15，
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）求sinαcosα+sin2α1?tanα的值．
【分析】（Ⅰ）α是三角形的一個內角，利用sinα+cosα=15∈（0，1），可知此三角形是鈍角三角形．
（Ⅱ）已知等式記作①，將已知等式左右兩邊平方，左邊利用同角三角函數(shù)間的基本關系sin2x+cos2x＝1化簡，得出2sinxcosx的值，小于0，可得出sinx大于0，cosx小于0，然后利用完全平方公式化簡（sinx﹣cosx）2，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡，并將2sinxcosx的值代入，開方得到sinx﹣cosx的值，記作②，可得出cosx﹣sinx的值；聯(lián)立①②組成方程組，求出方程組的解得到sinx與cosx的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系弦化切求出tanx的值，將sinx，cosx及tanx的值代入所求的式子中，化簡后即可求出所求式子的值．
【解答】解：（Ⅰ）解：∵α是三角形的一個內角，
∴sinα＞0，
又sinα+cosα=15，
∴（sinα+cosα）2＝1+2sinα?cosα=125，
∴2sinα?cosα=?2425＜0，sinα＞0，
∴cosα＜0，
∴α為鈍角，
∴此三角形是鈍角三角形．
（Ⅱ）∵0＜x＜π，sinx+cosx=15①，
∴（sinx+cosx）2=125，即sin2x+2sinxcosx+cos2x＝1+2sinxcosx=125，
∴2sinxcosx=?2425＜0，即sinx＞0，cosx＜0，
∴（sinx﹣cosx）2＝sin2x﹣2sinxcosx+cos2x＝1﹣sin2x=4925，
∴sinx﹣cosx=75②，
則cosx﹣sinx=?75；
聯(lián)立①②解得：sinx=45，cosx=?35，
∴tanx=sinxcosx=?43，
則 sinxcosx+sin2x1?tanx=45×(?35)?(45)21?(?43)=?1225．

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