?人教版2022屆一輪復習打地基練習 數(shù)列遞推公式
一．選擇題（共13小題）
1．已知數(shù)列{an}滿足an+2﹣2an+1+an＝1，且a1＝1，a2＝2，則a10＝（　?。?br /> A．29 B．29﹣1 C．56 D．46
2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝3an﹣4，則a2＝（　?。?br /> A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知：數(shù)列{an}滿足a1＝16，an+1﹣an＝2n，則ann的最小值為（　?。?br /> A．8 B．7 C．6 D．5
4．若數(shù)列an=1n+1+1n+2+?+12n，則a5﹣a4＝（　?。?br /> A．110 B．?110 C．190 D．?1990
5．已知數(shù)列{an}滿足an+1＝sinan，n∈N*，若對任意n∈N*，都an+1≤an，則下列可能成立的是（　　）
A．a(chǎn)1＝1 B．a(chǎn)2＝﹣1 C．a(chǎn)3＝﹣2 D．a(chǎn)4=?12
6．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，Sn+1＝2Sn+1，則S7＝（　?。?br /> A．63 B．127 C．128 D．256
7．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若Sn＝n2+2n，則a2021＝（　?。?br /> A．4043 B．4042 C．4041 D．2021
8．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝an+n，則數(shù)列{an}的通項公式為（　　）
A．a(chǎn)n=n2+n2 B．a(chǎn)n=n2?n2
C．a(chǎn)n=n2?n+22 D．a(chǎn)n=n2?n+1
9．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，若an+1=an2+an，Sm=2a1a1+1+2a2a2+1+?+2amam+1，若Sm＜2020，則正整數(shù)m的最大值為（　　）
A．1009 B．1010 C．2019 D．2020
10．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，Sn＝Sn﹣1+3an﹣1（n＞1，n∈N*），則S4＝（　　）
A．80 B．86 C．240 D．243
11．已知函數(shù)f（x）＝axm+bx（a、b、m∈R，a≠0）的圖象關(guān)于y軸對稱，在點x＝1處的切線方程為y＝2x﹣1，數(shù)列{an}各項均為正值，且a1＝m，a2＝2m，且anan?1=f（an+1an）（n＞1），則a6＝（　?。?br /> A．1210 B．1215 C．23116 D．24716
12．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn+1＝2an，則使不等式a12+a22+…+an2＜86成立的n的最大值為（　?。?br /> A．3 B．4 C．5 D．6
13．在數(shù)列{an}中，a2＝3，a3＝5，且an+2＝2an+1﹣an，則a6＝（　?。?br /> A．9 B．11 C．13 D．15
二．填空題（共16小題）
14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝﹣n2+2n+λ，（n∈N*），若{an}為遞減數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是　 ?。?br /> 15．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝1，an+1＝3Sn，則an＝　 ?。?br /> 16．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，且當n≥5時，an+1＝a1a2…an﹣1，若數(shù)列{bn}滿足對任意n∈N*，有bn＝a1a2…an﹣a12﹣a22﹣…﹣an2，則b5＝　 　；當n≥5時，bn＝　 　．
17．若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1=1+an1?an（n∈N+），則可得該數(shù)列的前2011項的乘積a1?a2?a3…a2010?a2011＝　 ?。?br /> 18．已知數(shù)列{an}為正項數(shù)列，a1＝1，Sn為an的前n項和，且滿足1+Sn2＝an+1+Sn，則分別以1，Sn，an+1為三邊邊長的三角形有一內(nèi)角為定值　 　，{an}的通項公式為　 　．
19．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，滿足Sn=2n?1，則其通項公式為 　 　．
20．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2，則an＝　 ?。?br /> 21．已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n+k，則實數(shù)k＝　 ?。?br /> 22．已知數(shù)列{an}滿足a1=?3，an+1=an?33an+1，則{an}的前10項和為　 　．
23．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，滿足a1＝2，3Sn＝（n+m）an，m∈R，且anbn＝n．則a2＝　 ??；若存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，則實數(shù)λ的最小值為　 ?。?br /> 24．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，且對任意n∈N+，an+2≤an+3?2n，an+1≥2an+1恒成立，則an＝　 ?。?br /> 25．數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝a2＝﹣2，an+2＝an+1﹣an，an+bn∈{1，2，7}，bn∈{1，4，5}，則（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+???+b2021﹣a2021＝　 　．
26．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，2Sn＝an+1+1，則Sn＝　 ?。?br /> 27．已知數(shù)列{an}，a1＝1，an+1＝an+2n﹣1（n∈N*），則an＝　 　．
28．數(shù)學家斐波那契（1770～1250），以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列“：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233．…，在實際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕花，萬壽簡等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理及化學等領(lǐng)域也有著廣泛的應用．已知斐波那契數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝1，an+2＝an+1+an，若a2+a3+a5+a7+a9+?+a59＝ak，則k＝　 　．
29．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2+n，則a1+a3+a5+a7+a9＝　 　．
三．解答題（共7小題）
30．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其滿足：Sn＝2an﹣n．
（1）試求a1的值；
（2）證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和公式．
31．已知數(shù)列{an}滿足，a2＝3，Snn=an+12，n∈N*．
（1）求a1，a3的值；
（2）數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求其通項公式；
（3）證明：存在無窮多個三邊成等比互不相似的三角形，其邊長為an1，an2，an3．
32．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2+n，n∈N，數(shù)列{bn}滿足an＝4log2bn+3，n∈N．
（1）求an，bn；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn．
33．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，n∈N*，a1＝1，a2=32，a3=54，且當n≥2時，4Sn+2+5Sn＝8Sn+1+Sn﹣1．
（Ⅰ）求a4的值；
（Ⅱ）證明：{an+1?12an}為等比數(shù)列．
34．已知數(shù)列{an}滿足a1=78，且an+1=12an+13，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項公式．
35．已知數(shù)列{an}滿足2an＝3an+1﹣an+2，a2﹣a1＝1．
（1）證明：數(shù)列{an+1﹣an}是等比數(shù)列；
（2）若a1=12，求數(shù)列{an}的通項公式．
36．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an﹣an﹣1﹣2n＝0（n≥2，n∈N）．
（1）寫出a2、a3的值（只寫結(jié)果）并求出數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=1an+1+1an+2+1an+3+?+1a2n，若對任意的正整數(shù)n，當m∈[﹣1，1]時，不等式t2?2mt+16＞bn恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

人教版2022屆一輪復習打地基練習 數(shù)列遞推公式
參考答案與試題解析
一．選擇題（共13小題）
1．已知數(shù)列{an}滿足an+2﹣2an+1+an＝1，且a1＝1，a2＝2，則a10＝（　?。?br /> A．29 B．29﹣1 C．56 D．46
【分析】由an+2﹣2an+1+an＝1得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝1，即數(shù)列{an+1﹣an}是1為公差的等差數(shù)列，再結(jié)合已知條件，累加求和即可得到a10的值．
【解答】解：∵an+2﹣2an+1+an＝1，
∴（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝1，
又a1＝1，a2＝2，a2﹣a1＝1，
∴數(shù)列{an+1﹣an}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴an+1﹣an＝n，
∴a10＝（a10﹣a9）+（a9﹣a8）+…+（a2﹣a1）+a1
＝9+8+7+…+2+1+1
=(1+9)×92+1
＝46．
故選：D．
2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝3an﹣4，則a2＝（　?。?br /> A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求解首項，然后求解即可．
【解答】解：數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝3an﹣4，
當n＝1時，S1＝3a1﹣4，解得a1＝2，
n＝2時，a1+a2＝3a2﹣4，解得a2＝3
故選：B．
3．已知：數(shù)列{an}滿足a1＝16，an+1﹣an＝2n，則ann的最小值為（　?。?br /> A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝4，…，an+1﹣an＝2n，這n個式子相加，就有an+1＝16+n（n+1），故ann=n+16n?1，由此能求出ann的最小值．
【解答】解：a2﹣a1＝2，
a3﹣a2＝4，
…
an+1﹣an＝2n，
這n個式子相加，就有
an+1＝16+n（n+1），
即an＝n（n﹣1）+16＝n2﹣n+16，
∴ann=n+16n?1，
用均值不等式，知道它在n＝4的時候取最小值7．
故選：B．
4．若數(shù)列an=1n+1+1n+2+?+12n，則a5﹣a4＝（　?。?br /> A．110 B．?110 C．190 D．?1990
【分析】利用an=1n+1+1n+2+?+12n，直接代入計算a5﹣a4．
【解答】解：∵an=1n+1+1n+2+?+12n，
∴a5﹣a4=?15+19+110=190，
故選：C．
5．已知數(shù)列{an}滿足an+1＝sinan，n∈N*，若對任意n∈N*，都an+1≤an，則下列可能成立的是（　?。?br /> A．a(chǎn)1＝1 B．a(chǎn)2＝﹣1 C．a(chǎn)3＝﹣2 D．a(chǎn)4=?12
【分析】先利用導數(shù)法證明出：當x≥0時，恒有x≥sinx，再由題設(shè)條件推導出：對于任意的n∈N*恒有sinan≤an，從而有an≥0，即可得到正確選項．
【解答】解：令f（x）＝x﹣sinx，則f′（x）＝1﹣cosx≥0，
∴f（x）在x∈R時單調(diào)遞增，
又f（0）＝0，
∴當x≥0時，恒有f（x）≥0，即當x≥0時，恒有x≥sinx，
∵an+1≤an，an+1＝sinan，n∈N*，
∴sinan≤an，可得an≥0，則滿足條件的只有選項A，
故選：A．
6．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，Sn+1＝2Sn+1，則S7＝（　?。?br /> A．63 B．127 C．128 D．256
【分析】（通解）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出a2，推出數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，然后求解S7．
（優(yōu)解）推出Sn+1+1＝2（Sn+1），說明數(shù)列{Sn+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，然后求解即可．
【解答】解：（通解）Sn+1＝2Sn+1中，令n＝1，得S2＝3，所以a2＝2．
由Sn+1＝2Sn+1得Sn+2＝2Sn+1+1，兩式相減得an+2＝2an+1，即an+2an+1=2．又a1=1，a2a1=2，
所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以S7=1?271?2=127．
（優(yōu)解）：因為Sn+1＝2Sn+1，所以Sn+1+1＝2（Sn+1），
又S1+1＝a1+1＝2，所以數(shù)列{Sn+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以Sn+1=2n，
故Sn=2n?1，S7=27?1=127．
故選：B．
7．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若Sn＝n2+2n，則a2021＝（　?。?br /> A．4043 B．4042 C．4041 D．2021
【分析】根據(jù)題意，有a2021＝S2021﹣S2020，計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}中Sn＝n2+2n，
則a2021＝S2021﹣S2020＝（20212+2×2021）﹣（20202+2×2020）＝4043，
故選：A．
8．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝an+n，則數(shù)列{an}的通項公式為（　　）
A．a(chǎn)n=n2+n2 B．a(chǎn)n=n2?n2
C．a(chǎn)n=n2?n+22 D．a(chǎn)n=n2?n+1
【分析】直接利用疊加法，求出數(shù)列的通項公式．
【解答】解：數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝an+n，
當n≥2時，an﹣an﹣1＝n﹣1，
an﹣1﹣an﹣2＝n﹣2，
…，
a2﹣a1＝1，
利用疊加法，整理得an﹣a1＝1+2+…+n﹣1=(n?1)(n?1+1)2=n2?n2，
所以an=n2?n+22（首項符合通項），
則an=n2?n+22．
故選：C．
9．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，若an+1=an2+an，Sm=2a1a1+1+2a2a2+1+?+2amam+1，若Sm＜2020，則正整數(shù)m的最大值為（　?。?br /> A．1009 B．1010 C．2019 D．2020
【分析】由已知數(shù)列遞推式可得an+1＝an（an+1）≥6，則1an+1=1an(an+1)=1an?1an+1，得到1an+1=1an?1an+1，即1a1+1+1a2+1+?+1an+1=（1a1?1a2）+（1a2?1a3）+…+（1an?1an+1）=12?1an+1∈（0，12），再由anan+1=1?1an+1，得到Sm＝2m﹣2（12?1am+1）＝2m﹣1+2am+1＜2m﹣1+13=2m?23，結(jié)合Sm＜2020，即可求得正整數(shù)m的最大值．
【解答】解：由a1＝2，an+1＝an2+an，得an+1＝an（an+1）≥6，
∴1an+1=1an(an+1)=1an?1an+1，
∴1an+1=1an?1an+1，
則1a1+1+1a2+1+?+1an+1=（1a1?1a2）+（1a2?1a3）+…+（1an?1an+1）=12?1an+1∈（0，12），
∵anan+1=1?1an+1，
∴Sm=2(a1a1+1+a2a2+1+?+amam+1)=2m﹣2（12?1am+1）＝2m﹣1+2am+1＜2m﹣1+13=2m?23，
∵Sm＜2020，
∴2m?23＜2020，
∴m＜1010+13，
∴正整數(shù)m的最大值為1010，
故選：B．
10．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，Sn＝Sn﹣1+3an﹣1（n＞1，n∈N*），則S4＝（　　）
A．80 B．86 C．240 D．243
【分析】根據(jù)遞推公式求出a2＝6，即可得到數(shù)列{an}是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列，根據(jù)求和公式即可求出．
【解答】解：a1＝2，Sn＝Sn﹣1+3an﹣1，
當n＝2時，S2＝S1+3a1＝4a1＝8，
∴a2＝S2﹣S1＝8﹣2＝6，
∴a2a1=3，
∴Sn﹣Sn﹣1＝3an﹣1，
∴an＝3an﹣1，
∴數(shù)列{an}是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
∴S4=2(1?34)1?3=80．
故選：A．
11．已知函數(shù)f（x）＝axm+bx（a、b、m∈R，a≠0）的圖象關(guān)于y軸對稱，在點x＝1處的切線方程為y＝2x﹣1，數(shù)列{an}各項均為正值，且a1＝m，a2＝2m，且anan?1=f（an+1an）（n＞1），則a6＝（　?。?br /> A．1210 B．1215 C．23116 D．24716
【分析】f′（x）＝maxm﹣1+b，根據(jù)題意可得b＝0，f′（1）＝ma+b＝2，f（1）＝a+b＝1，可得f（x）＝x2．可得anan?1=f（an+1an）=(an+1an)2（n＞1），an＞0．即可得出．
【解答】解：f′（x）＝maxm﹣1+b，
∵函數(shù)f（x）＝axm+bx（a、b、m∈R，a≠0）的圖象關(guān)于y軸對稱，在點x＝1處的切線方程為y＝2x﹣1，
∴b＝0，f′（1）＝ma+b＝2，f（1）＝a+b＝1，
解得b＝0，a＝1，m＝2．
∴f（x）＝x2．
∴a1＝m＝2，a2＝2m＝4，
且anan?1=f（an+1an）=(an+1an)2（n＞1），an＞0．
∴a2a1=(a3a2)2，解得a3＝42，同理可得：a4＝448，a5＝48128，a6＝41632768=24716．
故選：D．
12．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn+1＝2an，則使不等式a12+a22+…+an2＜86成立的n的最大值為（　?。?br /> A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列{an}滿足Sn+1＝2an分析可得數(shù)列{an}的通項公式，進而可得an2＝4n﹣1，分析可得數(shù)列{an2}是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列前n項和公式分析可得13（4n﹣1）＜86，變形可得4n＜259，結(jié)合n的范圍即可得n的最大值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿足Sn+1＝2an，
當n＝1時，2a1＝1+1，得a1＝1，
當n≥2時，2（an﹣an﹣1）＝Sn﹣Sn﹣1＝an，即an＝2an﹣1，
分析可得：an＝2n﹣1，
又∵a1＝1滿足上式，
則an＝2n﹣1，
則an2＝4n﹣1，
則數(shù)列{an2}是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，
則S＝a12+a22+…+an2=1(1?4n)1?4=13（4n﹣1），
若a12+a22+…+an2＜86，則有13（4n﹣1）＜86，
變形可得：4n＜259，
又由n∈N*，則n≤4，即n的最大值為4；
故選：B．
13．在數(shù)列{an}中，a2＝3，a3＝5，且an+2＝2an+1﹣an，則a6＝（　?。?br /> A．9 B．11 C．13 D．15
【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出數(shù)列是等差數(shù)列，求出公差，然后求解a6即可．
【解答】解：因為an+2＝2an+1﹣an，所以an+2﹣an+1＝an+1﹣an，所以數(shù)列{an+1﹣an}是等差數(shù)列．
因為a2＝3，a3＝5，所以a1＝1，d＝2，所以a6＝a1+5d＝11．
故選：B．
二．填空題（共16小題）
14．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝﹣n2+2n+λ，（n∈N*），若{an}為遞減數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是?。ī?，+∞）?。?br /> 【分析】由數(shù)列的Sn公式求出a1、a2以及當n≥2時，an的表達式，據(jù)此得到λ+1＞﹣1，然后求出λ的取值范圍．
【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列中Sn＝﹣n2+2n+λ，（n∈N*），則a1＝S1＝λ+1，
當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣2n+3，其中a2＝S2﹣S1＝﹣1，
易得當n≥2時，有a2＞a3＞……＞an，
若{an}為遞減數(shù)列，必有λ+1＞﹣1，解得λ＞﹣2，
即實數(shù)λ的取值范圍是（﹣2，+∞）．
故答案為：（﹣2，+∞）．
15．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝1，an+1＝3Sn，則an＝　1，n=13?4n?2，n≥2，n∈N+?。?br /> 【分析】運用數(shù)列的遞推式：當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可得到所求通項．
【解答】解：a1＝1，an+1＝3Sn，n∈N+，
當n≥2時，an＝3Sn﹣1，
由an＝Sn﹣Sn﹣1，可得
an+1﹣an＝3an，
即為an+1＝4an，
由于a2＝3a1＝3，
則an＝a2qn﹣2＝3?4n﹣2，
綜上可得，
an=1，n=13×4n?2，n≥2，n∈N+，
故答案為：1，n=13?4n?2，n≥2，n∈N+．
16．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，且當n≥5時，an+1＝a1a2…an﹣1，若數(shù)列{bn}滿足對任意n∈N*，有bn＝a1a2…an﹣a12﹣a22﹣…﹣an2，則b5＝　65　；當n≥5時，bn＝　70﹣n?。?br /> 【分析】在bn＝a1a2…an﹣a12﹣a22﹣…﹣an2中，令n＝5代入數(shù)據(jù)計算即可求出b5．由bn＝a1a2…an﹣a12﹣a22﹣…﹣an2中構(gòu)造出bn+1＝a1a2…anan+1﹣a12﹣a22﹣…﹣an2﹣an+12，兩式相減，并化簡整理，可以判斷出當n≥5時，數(shù)列{bn}的各項組成等差數(shù)列．利用等差數(shù)列通項公式求解即可．
【解答】解：由已知，b5＝a1a2…a5﹣a12﹣a22﹣…﹣a52
＝1×2×3×4×5﹣（12+22+32+42+52）
＝120﹣55
＝65．
當n≥5時，由an+1＝a1a2…an﹣1，移向得出a1a2…an＝an+1+1 ①
∵bn＝a1a2…an﹣a12﹣a22﹣…﹣an2，②
∴bn+1＝a1a2…anan+1﹣a12﹣a22﹣…﹣an2﹣an+12③
③﹣②得bn+1﹣bn＝a1a2…anan+1﹣a1a2…an﹣an+12
＝a1a2…an（an+1﹣1）﹣an+12 （將①式代入）
＝（an+1+1）（an+1﹣1）﹣an+12＝an+12﹣1﹣an+12
＝﹣1
∴當n≥5時，數(shù)列{bn}的各項組成等差數(shù)列，
∴bn＝b5+（n﹣5）×（﹣1）＝65﹣（n﹣5）＝70﹣n．
故答案為：65 70﹣n
17．若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1=1+an1?an（n∈N+），則可得該數(shù)列的前2011項的乘積a1?a2?a3…a2010?a2011＝　3　．
【分析】先由遞推關(guān)系式，分析得到數(shù)列{an}的規(guī)律．即數(shù)列是以4為循環(huán)的數(shù)列，再求解．
【解答】解：由遞推關(guān)系式，得an+2=1+an+11?an+1=1+1+an1?an1?1+an1?an=?1an，
則an+4=?1an+2=?1?1an=an．
∴{an}是以4為循環(huán)的一個數(shù)列．
由計算，得a1＝2，a2=?3，a3=?12，a4=13，a5＝2，…
∴a1a2a3a4＝1，
∴a1?a2…a2010?a2011＝1×a2009?a2010?a2011＝a1?a2?a3＝3．
故答案是3
18．已知數(shù)列{an}為正項數(shù)列，a1＝1，Sn為an的前n項和，且滿足1+Sn2＝an+1+Sn，則分別以1，Sn，an+1為三邊邊長的三角形有一內(nèi)角為定值　π3　，{an}的通項公式為　an=34sin2[π3×(12)n?2]?。?br /> 【分析】設(shè)以an為邊長的對角為θ，利用余弦定理求出cosθ的值，結(jié)合θ的取值范圍可求得θ的值；考慮∠ABC=π3，BC＝1，A1、A2、A3?An為射線BA上的點，滿足BAn＝Sn，分析得出∠CAnB=12n?1?π3，然后在△An﹣1BC中利用正弦定理可求得an的表達式．
【解答】解：設(shè)以an為邊長的對角為θ，由余弦定理可得cosθ=1?Sn2?an+12Sn=12，
0＜θ＜π，故θ=π3；
如下圖所示：

考慮＝1，A1、A2、A3?An為射線BA上的點，滿足BAn＝Sn，
由余弦定理可得CAn2=BC2+BAn2?2BC?BAn?cosπ3=1+Sn2﹣Sn＝an+1，
∴CAn=an+1，
∵BC＝A1B＝1，∠ABC=π3，
∴△A1BC為等邊三角形，則∠BA1C=π3，
當n≥2時，An﹣1An=BAn?BAn?1=Sn?Sn?1=an=CAn?1，
則△CAn﹣1An為等腰三角形，
所以，∠CAnB=12∠CAn?2B=12n?1∠CA1B=12n?1?π3，
在△An﹣1BC中，由正弦定理可得ansinπ3=1sin(12n?2?π3)，
因此an=34sin2(12n?2?π3)．
故答案為：π3；an=34sin2(12n?2?π3)．
19．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，滿足Sn=2n?1，則其通項公式為 　an＝2n﹣1?。?br /> 【分析】求出數(shù)列的首項，利用an＝Sn﹣Sn﹣1，求解數(shù)列的通項公式即可．
【解答】解：數(shù)列{an}的前n項和Sn，滿足Sn=2n?1，S1＝1，
an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，（n≥2），又a1＝1，
所以數(shù)列的通項公式為：an＝2n﹣1，
故答案為：an＝2n﹣1．
20．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2，則an＝　6n﹣3?。?br /> 【分析】根據(jù)題意，當n＝1時，a1＝S1，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，求出an的表達式，驗證可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2，
當n＝1時，a1＝S1＝3，
當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n2﹣3（n﹣1）2＝6n﹣3，
a1＝3符合an＝6n﹣3，
故an＝6n﹣3；
故答案為：6n﹣3．
21．已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n+k，則實數(shù)k＝　﹣1?。?br /> 【分析】根據(jù)題意，求出數(shù)列{an}的前三項，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得關(guān)于k的不等式，解可得k的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n+k，
則a1＝S1＝3+k，
a2＝S2﹣S1＝（9+k）﹣（3+k）＝6，
a3＝S3﹣S2＝（27+k）﹣（9+k）＝18，
則有（3+k）×18＝36，解可得k＝﹣1；
故答案為：﹣1．
22．已知數(shù)列{an}滿足a1=?3，an+1=an?33an+1，則{an}的前10項和為　?3?。?br /> 【分析】利用遞推思想依次求出數(shù)列的前5項，得到數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列，由此能求出數(shù)列{an}的前63項和．
【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足a1=?3，an+1=an?33an+1，
∴a2=?3?33?(?3)+1=3，a3＝0，a4=?3，
∴數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，
∵則{an}的前10項和為：?3．
故答案為：?3．
23．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，滿足a1＝2，3Sn＝（n+m）an，m∈R，且anbn＝n．則a2＝　6?。蝗舸嬖趎∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，則實數(shù)λ的最小值為　13?。?br /> 【分析】先由題設(shè)條件求得m，再由3Sn＝（n+2）an①?3Sn+1＝（n+3）an+1②，兩式相減整理得：an+1an=n+2n，再利用累乘法求得an，進而求得bn，然后構(gòu)造數(shù)列{Bn}（Bn＝T2n﹣Tn），利用其單調(diào)性求得其最小值，即可求得滿足題意的λ．
【解答】解：∵a1＝2，3Sn＝（n+m）an，m∈R，
∴當n＝1時，有3S1＝（1+m）a1，即6＝2（m+1），解得：m＝2，
∴3Sn＝（n+2）an①，
又3Sn+1＝（n+3）an+1②，
由②﹣①整理得：an+1an=n+2n，
∴a2a1=31，a3a2=42，a4a3=53，…，an?1an?2=nn?2，anan?1=n+1n?1，
累乘可得an＝n（n+1）（n≥2），經(jīng)檢驗a1＝2符合上式，
∴an＝n（n+1），a2＝6；
∵anbn＝n，∴bn=1n+1，
令Bn＝T2n﹣Tn=1n+2+1n+3+?+12n+1，
則Bn+1﹣Bn=3n+4(2n+2)(2n+3)(n+2)＞0，
∴數(shù)列{Bn}為遞增數(shù)列，Bn≥B1=13，
∵存在n∈N*，使得λ+Tn≥T2n成立，
∴λ≥B1=13，故實數(shù)λ的最小值為13．
故答案為：6；13．
24．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，且對任意n∈N+，an+2≤an+3?2n，an+1≥2an+1恒成立，則an＝　2n﹣1?。?br /> 【分析】由an+1≥2an+1恒成立，利用放縮法可得an≥2n﹣1；利用an+2≤an+3?2n可得an≤2n﹣1；從而求得．
【解答】解：∵an+1≥2an+1恒成立，
∴an+1+1≥2（an+1）恒成立，
∴an+1≥2（an﹣1+1）≥4（an﹣2+1）≥…≥2n﹣1（a1+1），
即an+1≥2n，故an≥2n﹣1；
而an+2≥2an+1+1≥2（2an+1）+1＝4an+3，
而an+2≤an+3?2n，
故4an+3≤an+3?2n，
故an≤2n﹣1；
故an＝2n﹣1，
故答案為：2n﹣1．
25．數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝a2＝﹣2，an+2＝an+1﹣an，an+bn∈{1，2，7}，bn∈{1，4，5}，則（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+???+b2021﹣a2021＝　6739　．
【分析】由已知條件求出數(shù)列{an}的前8項，得到數(shù)列{an}的周期性an+6＝an，進而得到bn+6＝bn且b1＝b2＝4，b3＝1，b4＝b5＝5，b6＝1，b7＝b8＝4，再利用周期性求出數(shù)列{an}前2021項的和，以及數(shù)列{bn}的前2021項的和，從而求出結(jié)果．
【解答】解：由a1＝a2＝﹣2，得a3＝a2﹣a1＝0，a4＝a3﹣a2＝2，a4＝a5＝2，a6＝0，a7＝a8＝﹣2，
易得：an+6＝an，bn+6＝bn且b1＝b2＝4，b3＝1，b4＝b5＝5，b6＝1，b7＝b8＝4，
∴a1+a2+???+a2021＝336（a1+a2+???+a6）+a1+a2+???+a5＝0，
又∴b1+b2+???+b2021＝336（b1+b2+???+b6）+b1+b2+???+b5＝336×20+19＝6739，
∴（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+???+b2021﹣a2021＝6739．
故答案為：6739．
26．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，2Sn＝an+1+1，則Sn＝　12（3n﹣1+1）　．
【分析】通過數(shù)列的遞推關(guān)系式，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列是等比數(shù)列，然后求解即可．
【解答】解：數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，2Sn＝an+1+1，2Sn﹣1＝an+1，（n≥2）
所以2an＝an+1﹣an，即3an＝an+1，（n≥2）
所以數(shù)列{an}是從第二項起，以1為首項，3為公比的等比數(shù)列．2S1＝a2+1，可得a2＝1，
n≥2時：Sn=1(1?3n?1)1?3+1=12（3n﹣1+1）
Sn=1，n=112(3n?1+1)，n≥2，
所以Sn=12（3n﹣1+1）．
故答案為：12（3n﹣1+1）．
27．已知數(shù)列{an}，a1＝1，an+1＝an+2n﹣1（n∈N*），則an＝　2n﹣1?。?br /> 【分析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，疊加法的應用求出結(jié)果．
【解答】解：數(shù)列{an}，a1＝1，an+1＝an+2n﹣1（n∈N*），
所以an?an?1=2n?2，an?1?an?2=2n?3，…，a2?a1=20，
所以an?a1=20+21+?+2n?2=1×(2n?1?1)2?1=2n?1?1，
所以an=2n?1．
故答案為：2n﹣1．
28．數(shù)學家斐波那契（1770～1250），以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列“：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233．…，在實際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕花，萬壽簡等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理及化學等領(lǐng)域也有著廣泛的應用．已知斐波那契數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝1，an+2＝an+1+an，若a2+a3+a5+a7+a9+?+a59＝ak，則k＝　60?。?br /> 【分析】利用an+2＝an+1+an將a2+a3+a5+a7+a9+?+a59＝ak進行轉(zhuǎn)化，即可得到答案．
【解答】解：因為斐波那契數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝1，an+2＝an+1+an，
所以a2+a3+a5+a7+a9+?+a59
＝a4+a5+a7+a9+?+a59
＝a6+a7+a9+?+a59
＝???
＝a58+a59
＝a60
＝ak，
所以k＝60．
故答案為：60．
29．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2+n，則a1+a3+a5+a7+a9＝　50?。?br /> 【分析】由Sn＝n2+n可得Sn﹣1＝（n﹣1）2+n﹣1（n≥2），兩式相減得an＝2n，驗證n＝1時適合，從而可得答案．
【解答】解：∵Sn＝n2+n，①
∴Sn﹣1＝（n﹣1）2+n﹣1（n≥2），②
①﹣②得：an＝2n（n≥2），
又a1＝S1＝2，適合上式，
∴an＝2n，
∴a1+a3+a5+a7+a9＝2（1+3+5+7+9）＝50，
故答案為：50．
三．解答題（共7小題）
30．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其滿足：Sn＝2an﹣n．
（1）試求a1的值；
（2）證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和公式．
【分析】（1）直接利用賦值法的應用求出a1＝1．
（2）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應用和等比數(shù)列的定義和構(gòu)造新數(shù)列的應用求出數(shù)列為等比數(shù)列．
（3）利用（2）的結(jié)論和分組法的應用求出數(shù)列的和．
【解答】解：（1）當n＝1時，S1＝a1＝2a1﹣1，解得a1＝1．
（2）由于Sn＝2an﹣n．①，
則Sn+1＝2an+1﹣（n+1）②，
②﹣①得：an+1+1＝2（an+1），
所以數(shù)列{an+1}是以a1+1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
（3）由（2）得：an+1=2×2n?1=2n，
所以an=2n?1．
故Sn＝a1+a2+a3+…+an＝21+22+23+…+2n﹣n=2(2n?1)2?1?n=2n+1﹣2﹣n．
31．已知數(shù)列{an}滿足，a2＝3，Snn=an+12，n∈N*．
（1）求a1，a3的值；
（2）數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求其通項公式；
（3）證明：存在無窮多個三邊成等比互不相似的三角形，其邊長為an1，an2，an3．
【分析】（1）由數(shù)列{an}滿足，a2＝3，Snn=an+12，n∈N*．利用系數(shù)代定法能求出a1，a3．
（2）推導出a1＝1，Sn=n(an+1)2=n(a1+an)2，得到數(shù)列{an}是首項a1＝1，公差d＝3﹣1＝2的等差數(shù)列，由此能求出{an}的通項公式
（3）作如下構(gòu)造：an1=（2k+3）2，an2=（2k+3）（2k+5），an3=（2k+5）2，其中k∈N*，它們依次為數(shù)列{an}中的第2k2+6k+5，2k2+8k+8，2k2+10k+13項，用反證法證明存在無窮多個三邊成等比互不相似的三角形，其邊長為an1，an2，an3．
【解答】解：（1）解：∵數(shù)列{an}滿足，a2＝3，Snn=an+12，n∈N*．
∴a11=a1+12，解得a1＝1．
1+3+a33=a3+12，解得a3＝5．
（2）解：∵數(shù)列{an}滿足，a2＝3，Snn=an+12，n∈N*．
∴a1＝1，∴Sn=n(an+1)2=n(a1+an)2，
∴數(shù)列{an}是首項a1＝1，公差d＝3﹣1＝2的等差數(shù)列，
∴{an}的通項公式為an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．
（3）證明：作如下構(gòu)造：an1=（2k+3）2，an2=（2k+3）（2k+5），an3=（2k+5）2，其中k∈N*，
它們依次為數(shù)列{an}中的第2k2+6k+5，2k2+8k+8，2k2+10k+13項，
它們成等比數(shù)列，且an1＜an2＜an3．a(chǎn)n1+an2＞an3．
∴它們能組成三角形，這樣的三角形有無窮個，
下面用反證法證明其中任意兩個三角形△A1B1C1和△A2B2C2不相似，
若△A1B1C1∽△A2B2C2，且kk≠k2，
則(2k1+3)(2k1+5)(2k1+3)2=(2k2+3)(2k2+5)(2k2+3)2，
整理，得2k1+52k1+3=2k2+52k2+3，∴k1＝k2，這與條件k1≠k2矛盾，
∴存在無窮多個三邊成等比互不相似的三角形，其邊長為an1，an2，an3．
32．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n2+n，n∈N，數(shù)列{bn}滿足an＝4log2bn+3，n∈N．
（1）求an，bn；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn．
【分析】（1）利用數(shù)列的和，直接求解數(shù)列an，利用遞推關(guān)系式求解bn；
（2）利用錯位相減法求解數(shù)列{anbn}的前n項和Tn．
【解答】解：（1）由Sn=2n2+n可得，當n＝1時，a1＝S1＝3，
當n≥2時，an=Sn?Sn?1=2n2+n?2(n?1)2?(n?1)=4n?1，
而n＝1，a1＝4﹣1＝3適合上式，
故an＝4n﹣1，
又∵an＝4log2bn+3＝4n﹣1，
∴bn=2n?1 …（6分）
（2）由（1）知anbn=(4n?1)2n?1，
Tn=3×20+7×2+?+(4n?1)?2n?1，
2Tn=3×2+7×22+?+(4n?5)?2n?1+(4n?1)?2n，
∴Tn=(4n?1)?2n?[3+4(2+22+?+2n?1)]
=(4n?1)?2n?[3+4?2(1?2n?1)1?2]
＝（4n﹣1）?2n﹣[3+4（2n﹣2）]
＝（4n﹣5）?2n+5．…（12分）
33．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，n∈N*，a1＝1，a2=32，a3=54，且當n≥2時，4Sn+2+5Sn＝8Sn+1+Sn﹣1．
（Ⅰ）求a4的值；
（Ⅱ）證明：{an+1?12an}為等比數(shù)列．
【分析】（Ⅰ）當n＝2時，4S4+5S2＝8S3+S1，代入即可得出解得a4．
（Ⅱ）由4Sn+2+5Sn＝8Sn+1+Sn﹣1（n≥2），得4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1＝4Sn+1﹣4Sn（n≥2），即4an+2+an＝4an+1（n≥2）．當n＝1時，也滿足上述關(guān)系，進而證明結(jié)論．
【解答】解：（Ⅰ）當n＝2時，4S4+5S2＝8S3+S1，
即4×(1+32+54+a4)+5×(1+32)=8×(1+32+54)+1，
解得a4=78．（6分）
（Ⅱ）證明：由4Sn+2+5Sn＝8Sn+1+Sn﹣1（n≥2），
得4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1＝4Sn+1﹣4Sn（n≥2），
即4an+2+an＝4an+1（n≥2）．
當n＝1時，有4a3+a1=4×54+1=6=4a，∴4an+2+an＝4an+1，
∴an+2?12an+1an+1?12an=4an+2?2an+14an+1?2an=4an+1?an?2an+14an+1?2an=2an+1?an2(2an+1?an)=12，
∴數(shù)列{an+1?12an}是以a2?12a1=1為首項，12為公比的等比數(shù)列．（12分）
34．已知數(shù)列{an}滿足a1=78，且an+1=12an+13，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項公式．
【分析】化簡可得an+1?23=12（an?23），從而可得數(shù)列{an?23}是以524為首項，12為公比的等比數(shù)列，從而解得．
【解答】解：∵an+1=12an+13，
∴an+1?23=12（an?23），
又∵a1?23=524＞0，
∴數(shù)列{an?23}是以524為首項，12為公比的等比數(shù)列，
∴an?23=524?12n?1=512?12n，
故an=23+512?12n．
35．已知數(shù)列{an}滿足2an＝3an+1﹣an+2，a2﹣a1＝1．
（1）證明：數(shù)列{an+1﹣an}是等比數(shù)列；
（2）若a1=12，求數(shù)列{an}的通項公式．
【分析】（1）先由題設(shè)得到：an+2﹣an+1＝2（an+1﹣an），再由a2﹣a1＝1即可證明結(jié)論；
（2）先由（1）得到：an+1﹣an＝2n﹣1，再由累加法求得an．
【解答】（1）證明：∵2an＝3an+1﹣an+2，
∴an+2﹣an+1＝2（an+1﹣an），
又a2﹣a1＝1，
∴數(shù)列{an+1﹣an}是首項為1，公比為2等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可得：an+1﹣an＝2n﹣1，a1=12，
∴an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n﹣2+2n﹣3+…+20+a1=1?2n?11?2+12=2n﹣1?12，n≥2，
又a1=12，也適合上式，
∴an＝2n﹣1?12．
36．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an﹣an﹣1﹣2n＝0（n≥2，n∈N）．
（1）寫出a2、a3的值（只寫結(jié)果）并求出數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=1an+1+1an+2+1an+3+?+1a2n，若對任意的正整數(shù)n，當m∈[﹣1，1]時，不等式t2?2mt+16＞bn恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．
【分析】（1）由題設(shè)知a2＝6，a3＝12，an﹣an﹣1＝2n，an﹣1﹣an﹣2＝2（n﹣1），…，a3﹣a2＝2×3，a2﹣a1＝2×2，所以an﹣a1＝2[n+（n﹣1）+…+3+2]，由此可知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n（n+1）．
（2）由題設(shè)條件可推出bn=1an+1+1an+2+1an+3+?+1a2n=1(2n+1n)+3，令f(x)=2x+1x(x≥1)，則f′(x)=2?1x2，當x≥1時，f'（x）＞0恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，故f（x）min＝f（1）＝3，(bn)max=16，
要使對任意的正整數(shù)n，當m∈[﹣1，1]時，不等式t2?2mt+16＞bn恒成立，則須使t2?2mt+16＞(bn)max=16，即t2﹣2mt＞0，對?m∈[﹣1，1]恒成立，由此可知實數(shù)t的取值范圍．
【解答】解：（1）∵a1＝2，an﹣an﹣1﹣2n＝0（n≥2，n∈N）∴a2＝6，a3＝12（2分）
當n≥2時，an﹣an﹣1＝2n，an﹣1﹣an﹣2＝2（n﹣1），…，a3﹣a2＝2×3，a2﹣a1＝2×2，
∴an﹣a1＝2[n+（n﹣1）+…+3+2]，
∴an=2[n+(n?1)+?+3+2+1]=2n(n+1)2=n(n+1)（5分）
當n＝1時，a1＝1×（1+1）＝2也滿足上式，
∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝n（n+1）（6分）
（2）bn=1an+1+1an+2++1a2n=1(n+1)(n+2)+1(n+2)(n+3)++12n(2n+1)=1(n+1)?1(n+2)+1(n+2)?1(n+3)++12n?1(2n+1)=1(n+1)?1(2n+1)=n2n2+3n+1=1(2n+1n)+3（8分）
令f(x)=2x+1x(x≥1)，則f′(x)=2?1x2，當x≥1時，f'（x）＞0恒成立
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函數(shù)，故當x＝1時，f（x）min＝f（1）＝3
即當n＝1時，(bn)max=16（11分）
要使對任意的正整數(shù)n，當m∈[﹣1，1]時，不等式t2?2mt+16＞bn恒成立，
則須使t2?2mt+16＞(bn)max=16，
即t2﹣2mt＞0，
對?m∈[﹣1，1]恒成立，
∴t2?2t＞0t2+2t＞0，解得，t＞2或t＜?2，
∴實數(shù)t的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）（14分）

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