?人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 扇形計(jì)算公式
一．選擇題（共6小題）
1．已知扇形的面積為4，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的周長(zhǎng)為（　?。?br /> A．2 B．4 C．6 D．8
2．一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)與面積的數(shù)值都是6，這個(gè)扇形圓心角的弧度數(shù)是（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知扇形AOB的周長(zhǎng)為10，面積為6，則該扇形的圓心角為（　　）
A．3 B．43或3 C．34 D．34或3
4．若扇形的圓心角為23π，半徑為3，則此扇形的面積為（　?。?br /> A．π B．54π C．33π D．239π
5．已知弧長(zhǎng)為πcm的弧所對(duì)的圓心角為π4，則這條弧所在的扇形面積為（　?。ヽm2
A．π2 B．π C．2π D．4π
6．已知扇形面積為4，周長(zhǎng)為8，則該扇形的圓心角為（　?。┗《龋?br /> A．4 B．3 C．2 D．1
二．多選題（共1小題）
7．下列選項(xiàng)正確的是（　?。?br /> A．sin(52π+α)=cosα
B．74πrad=315°
C．若α終邊上有一點(diǎn)P（5，﹣3），則sinα=?35
D．若一扇形弧長(zhǎng)為2，圓心角為90°，則該扇形的面積為π2
三．填空題（共17小題）
8．已知扇形的周長(zhǎng)為8，扇形的圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的面積是　 　．
9．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式；弧田面積=12（弦×矢+矢2）．弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中，“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為2π3，半徑等于4m的弧田，則矢是　 　m，所得弧田面積是　 　m2．

10．如圖OPQ是半徑為1，圓心角為90°的扇形，扇形內(nèi)接矩形ABCD，且OA＝OD，則四邊形ABCD面積的最大值為 　 ?。?br />
11．已知扇形的圓心角為π3，弧長(zhǎng)是πcm，則扇形的面積是　 　cm2．
12．已知扇形的弧長(zhǎng)為6，圓心角弧度數(shù)為3，則其面積為　 ?。?br /> 13．已知半徑為3的扇形面積為32π，則這個(gè)扇形的圓心角為　 ?。?br /> 14．已知扇形的周長(zhǎng)是12，面積是8，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 　 ?。?br /> 15．迷你KTV是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場(chǎng)中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中AB＝AE=32，∠A＝∠B＝∠E＝90°，曲線段CD是圓心角為90°的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為S，周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則SL的最大值為 　 　.（本題中取π＝3進(jìn)行計(jì)算）

16．若扇形的弧長(zhǎng)和半徑都為2，則此扇形的面積為　 ?。?br /> 17．某設(shè)計(jì)師為天文館設(shè)計(jì)科普宣傳圖片，其中有一款設(shè)計(jì)圖如圖所示.QRT是一個(gè)以點(diǎn)O為圓心、QT長(zhǎng)為直徑的半圓，QT＝23dm.QST的圓心為P，PQ＝PT＝2dm．QRT與QST所圍的灰色區(qū)域QRTSQ即為某天所見的月亮形狀，則該月亮形狀的面積為　 　dm2．

18．已知一扇形的圓心角為60°，半徑為2cm，則扇形的面積是　 　cm2．
19．如圖，C為半圓內(nèi)一點(diǎn)，O為圓心，直徑AB長(zhǎng)為2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，將△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′，點(diǎn)C′在OA上，則邊BC掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為　 　cm2．

20．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田（由圓弧和其所對(duì)弦所圍成）面積的計(jì)算公式：弧田面積=12（弦×矢+矢2）、公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于圓弧的最高點(diǎn)到弦的距離，如圖，弧田是由圓弧AB和其所對(duì)弦AB圍成的圖形，若弧田的弧AB長(zhǎng)為8π3，弧所在的圓的半徑為4，則利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計(jì)算出來的面積與實(shí)際面積之差為 　 ?。?br />
21．已知扇形的半徑與面積都為2，則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)是　 ?。?br /> 22．已知圓錐的側(cè)面積為4πcm2，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑是　 　cm，母線長(zhǎng)為　 　cm．
23．已知半徑為r的扇形OAB的面積為1，周長(zhǎng)為4，則r＝　 ?。?br /> 24．以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德國機(jī)械工程專家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名．一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機(jī)等都有應(yīng)用勒洛三角形．如圖，已知某勒洛三角形的一段弧AB的長(zhǎng)度為π，則該勒洛三角形的面積為　 ?。?br />
四．解答題（共7小題）
25．古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯曾說：“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美，哪里就有發(fā)現(xiàn)……”，對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要組成部分，比如圓，正多邊……，請(qǐng)解決以下問題：
（1）魏晉時(shí)期，我國古代數(shù)學(xué)家劉微在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)n變得很大時(shí)，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，求sin3°的近似值（結(jié)果保留π）．
（2）正n邊形的邊長(zhǎng)為a，內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，求證：R+r=a2tanπ2n．

26．如圖，半徑為1的扇形圓心角為π3，一個(gè)矩形的一邊在扇形的半徑上，求此矩形的最大面積．
27．已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為8π9+4，圓心角為80°，求這個(gè)扇形的面積．
28．如圖，某游樂園的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，其兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)B及點(diǎn)C處，且園內(nèi)有一條平行于AO的小路CD．已知某人從C沿CD走到D用了8分鐘，從D沿DB走到B用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米．
（1）求△CDB的面積；
（2）求該扇形的半徑OA的長(zhǎng)．

29．如圖，在扇形OPQ中，半徑OP＝1，圓心角∠POQ=π3，A是半徑OP上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形OPQ，且OA＝OD．
（1）若∠BOP＝α，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）求矩形ABCD面積的最大值．

30．某公司擬設(shè)計(jì)一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過點(diǎn)AD的兩條線段圍成．設(shè)圓弧AB、CD所在圓的半徑分別為f（x）、R米，圓心角為θ（弧度）．
（1）若θ=π3，r1＝3，r2＝6，求花壇的面積；
（2）設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮花壇邊緣（實(shí)線部分）的裝飾問題，已知直線部分的裝飾費(fèi)用為60元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為90元/米，預(yù)算費(fèi)用總計(jì)1200元，問線段AD的長(zhǎng)度為多少時(shí)，花壇的面積最大？

31．已知扇形的圓心角是α（α＞0），半徑為R．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)l．
（2）若扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？

人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 扇形計(jì)算公式
參考答案與試題解析
一．選擇題（共6小題）
1．已知扇形的面積為4，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的周長(zhǎng)為（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由題意利用扇形的面積公式可求扇形的半徑，利用弧長(zhǎng)公式可求弧長(zhǎng)，即可得解扇形的周長(zhǎng)．
【解答】解：根據(jù)題意知扇形的面積s＝4，扇形圓心角的弧度數(shù)θ＝2，
∵s=12θR2，可得：4=12×2×R2，解得R＝2，
∵l＝θR＝2×2＝4，
∴扇形的周長(zhǎng)為l+2R＝4+2×2＝8．
故選：D．
2．一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)與面積的數(shù)值都是6，這個(gè)扇形圓心角的弧度數(shù)是（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先根據(jù)扇形面積公式S=12lr，求出r＝2，再根據(jù)α=lr求出α．
【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為α，根據(jù)扇形面積公式S=12lr得6=12×6×r，
∴r＝2，
又扇形弧長(zhǎng)公式l＝r?α，
∴α=lr=3．
故選：C．
3．已知扇形AOB的周長(zhǎng)為10，面積為6，則該扇形的圓心角為（　?。?br /> A．3 B．43或3 C．34 D．34或3
【分析】設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，根據(jù)題意列方程組求出l、r的值，即可求出扇形的圓心角．
【解答】解：如圖所示，

設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，
由題意可得2r+l=1012lr=6，
解得l=6r=2或l=4r=3，
當(dāng)l＝6，r＝2時(shí)，扇形的圓心角為α=lr=3；
當(dāng)l＝4，r＝3時(shí)，扇形的圓心角為α=lr=43；
所以該扇形的圓心角為43或3．
故選：B．
4．若扇形的圓心角為23π，半徑為3，則此扇形的面積為（　　）
A．π B．54π C．33π D．239π
【分析】利用扇形的面積公式可求扇形的面積．
【解答】解：∵扇形的圓心角為2π3，半徑為3，
∴扇形的面積S=12×（3）2×2π3=π．
故選：A．
5．已知弧長(zhǎng)為πcm的弧所對(duì)的圓心角為π4，則這條弧所在的扇形面積為（　　）cm2
A．π2 B．π C．2π D．4π
【分析】先求出圓半徑r=ππ4=4（cm），由此能求出這條弧所在的扇形面積．
【解答】解：弧長(zhǎng)為πcm的弧所對(duì)的圓心角為π4，
∴圓半徑r=ππ4=4（cm），
∴這條弧所在的扇形面積為S=12lr=12×π×4=2π（cm2）．
故選：C．
6．已知扇形面積為4，周長(zhǎng)為8，則該扇形的圓心角為（　?。┗《龋?br /> A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由題意列方程組可出半徑r和弧長(zhǎng)l，代入α=lr計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，
則由題意可得12lr＝4且2r+l＝8，解得l＝4，r＝2，
∴扇形的圓心角α=lr=2．
故選：C．
二．多選題（共1小題）
7．下列選項(xiàng)正確的是（　?。?br /> A．sin(52π+α)=cosα
B．74πrad=315°
C．若α終邊上有一點(diǎn)P（5，﹣3），則sinα=?35
D．若一扇形弧長(zhǎng)為2，圓心角為90°，則該扇形的面積為π2
【分析】利用誘導(dǎo)公式判斷選項(xiàng)A，由弧度制與角度制的互化，即可判斷選項(xiàng)B，由三角函數(shù)的定義，即可判斷選項(xiàng)C，由扇形的面積公式，即可判斷選項(xiàng)D．
【解答】解：sin(52π+α)=sin(12π+α)=cosα，故A正確；
74πrad=74×180°=315°，故B正確；
若α終邊上有一點(diǎn)P（5，﹣3），則sinα=?352+(?3)2=?33434，故C不正確；
若一扇形弧長(zhǎng)為2，圓心角為90°，則該扇形的半徑為4π，面積為12×2×4π=4π，故D不正確．
故選：AB．
三．填空題（共17小題）
8．已知扇形的周長(zhǎng)為8，扇形的圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的面積是　4?。?br /> 【分析】設(shè)出扇形的半徑，求出扇形的弧長(zhǎng)，利用周長(zhǎng)公式，求出半徑，然后求出扇形的面積．
【解答】解：設(shè)扇形的半徑為：R，所以，2R+2R＝8，所以R＝2，扇形的弧長(zhǎng)為：4，半徑為2，
扇形的面積為：S=12×4×2＝4
故答案為：4
9．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式；弧田面積=12（弦×矢+矢2）．弧田（如圖）由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中，“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為2π3，半徑等于4m的弧田，則矢是　2　m，所得弧田面積是　43+2　m2．

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用直角三角形的邊角關(guān)系求出矢和弦的值，代入公式計(jì)算求值即可．
【解答】解：如圖所示，由題意可得：∠AOB=2π3，OA＝4，
在Rt△AOD中，可得：∠AOD=π3，∠DAO=π6，OD=12AO=12×4＝2，
可得：矢＝4﹣2＝2，
由AD＝AO?sinπ3=4×32=23，
可得：弦＝2AD＝43，
所以：弧田面積=12（弦×矢+矢2）=12×（43×2+22）＝43+2．
故答案為：2，43+2．

10．如圖OPQ是半徑為1，圓心角為90°的扇形，扇形內(nèi)接矩形ABCD，且OA＝OD，則四邊形ABCD面積的最大值為 　2?1?。?br />
【分析】BC＝2OC?sinα＝2sinα，（α∈（0，π4））．由對(duì)稱性可得：△OAD為等邊三角形，設(shè)OE∩AD＝F，則F為AD的中點(diǎn)，可得OF=12BC．DC＝OCcosα﹣OF，可得矩形ABCD面積S＝BC?DC，利用倍角公式、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【解答】解：由題意，如圖所示，作∠POQ的角平分線OE交圓弧于E點(diǎn)，
可得BC＝2OC?sinα＝2sinα，α∈（0，π4），
由對(duì)稱性可得：△OAD為等腰三角形，設(shè)OE∩AD＝F，則F為AD的中點(diǎn)，
∴OF=12BC＝sinα，
∴DC＝OCcosα﹣OF＝cosα?AFtan45°=cosα﹣sinα，
∴矩形ABCD面積S＝BC?DC
＝2sinα（cosα﹣sinα）
＝sin2α﹣（1﹣cos2α）
=2sin（2α+π4）﹣1．
∴當(dāng)2α+π4=π2，即α=π8時(shí)，S取得最大值2?1．
故答案為：2?1．

11．已知扇形的圓心角為π3，弧長(zhǎng)是πcm，則扇形的面積是　3π2　cm2．
【分析】由題意求出扇形的半徑，然后求出扇形的面積．
【解答】解：因?yàn)樯刃蔚膱A心角為π3，弧長(zhǎng)是πcm，
所以：圓的半徑為：ππ3=3，
所以：扇形的面積為：12×π×3=3π2cm2．
故答案為：3π2．
12．已知扇形的弧長(zhǎng)為6，圓心角弧度數(shù)為3，則其面積為　6　．
【分析】先求出半徑，再利用扇形面積公式即可求解．
【解答】解：半徑r=l|α|=63=2，
根據(jù)扇形面積公式S=12|α|r2=12×3×22=6，
故答案為：6．
13．已知半徑為3的扇形面積為32π，則這個(gè)扇形的圓心角為　π3?。?br /> 【分析】直接利用弧長(zhǎng)、半徑、圓心角公式，求出扇形圓心角的弧度數(shù)．
【解答】解：由題意可知，S扇形=32π，r＝3．
∴S扇形=12?α?r2，
即12?α?32=32π，
解得α=π3；
∴這個(gè)扇形的圓心角為π3．
故答案為：π3．
14．已知扇形的周長(zhǎng)是12，面積是8，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 　1或4?。?br /> 【分析】設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為 l，然后，建立等式，求解l、r，最后，求解圓心角即可．
【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為 l，
則l+2r＝12，S=12lr＝8，
∴解得r＝2，l＝8或r＝4，l＝4，
可得α=lr=1或4．
故答案為：1或4．
15．迷你KTV是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場(chǎng)中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中AB＝AE=32，∠A＝∠B＝∠E＝90°，曲線段CD是圓心角為90°的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為S，周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則SL的最大值為 　12?315　.（本題中取π＝3進(jìn)行計(jì)算）

【分析】設(shè)圓弧的半徑為r，表示出L，S．構(gòu)造函數(shù)SL=12?9?r212?r，把12﹣r看成整體進(jìn)行變形，利用基本不等式求最值．
【解答】解：設(shè)圓弧的半徑為r（0＜r＜32），則BC＝ED=32?r，CD=π2r=3r2．
所以周長(zhǎng)L＝AB+BC+CD+DE+EA＝6?12r，面積S=[(32)2?r2]+12×r×3r2=94?r24．
所以SL=12?9?r212?r=12??(12?r)2+24(12?r)?13512?r=12?12?[(12?r)+13512?r]≤12?12?2(12?r)?13512?r=12?315．
當(dāng)且僅當(dāng)12?r=13512?r，r=12?315時(shí)等號(hào)成立．
故答案為：12?315．
16．若扇形的弧長(zhǎng)和半徑都為2，則此扇形的面積為　2?。?br /> 【分析】根據(jù)扇形的面積=12×弧長(zhǎng)×半徑求出即可．
【解答】解：∵扇形的弧長(zhǎng)和半徑都為2，
∴S扇形=12lr=12×2×2＝2，
故答案為：2．
17．某設(shè)計(jì)師為天文館設(shè)計(jì)科普宣傳圖片，其中有一款設(shè)計(jì)圖如圖所示.QRT是一個(gè)以點(diǎn)O為圓心、QT長(zhǎng)為直徑的半圓，QT＝23dm.QST的圓心為P，PQ＝PT＝2dm．QRT與QST所圍的灰色區(qū)域QRTSQ即為某天所見的月亮形狀，則該月亮形狀的面積為　3+π6　dm2．

【分析】連接PO，可得PO⊥QT，由題意可得sin∠QPO=32，可求∠QPO，∠QPT的值，進(jìn)而由圖利用扇形的面積公式即可計(jì)算得解．
【解答】解：連接PO，可得PO⊥QT，
因?yàn)閟in∠QPO=QOPQ=32，
所以∠QPO=π3，∠QPT=2π3，
所以月牙泉的面積為S=12×π×（3 ）2﹣（12×22×2π3?12×23×1）=3+π6dm2．
故答案為：3+π6．

18．已知一扇形的圓心角為60°，半徑為2cm，則扇形的面積是　2π3　cm2．
【分析】由題意利用扇形的面積計(jì)算公式即可得出．
【解答】解：由題意可得，扇形的圓心角α=π3，半徑r＝2cm，
所以扇形的面積S=12r2α=12×22×π3=2π3cm2．
故答案為：2π3．
19．如圖，C為半圓內(nèi)一點(diǎn)，O為圓心，直徑AB長(zhǎng)為2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，將△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′，點(diǎn)C′在OA上，則邊BC掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為　π4　cm2．

【分析】根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出兩個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，
∴∠B′OC′＝60°，△BCO＝△B′C′O，
∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，
∴∠B′OB＝120°，
∵AB＝2cm，
∴OB＝1cm，OC′=12，
∴B′C′=32，
∴S扇形B′OB=120π×12360=π3，
S扇形C′OC=120π×14360=π12，
∴陰影部分面積＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π3?π12=π4；
故答案為：π4．
20．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田（由圓弧和其所對(duì)弦所圍成）面積的計(jì)算公式：弧田面積=12（弦×矢+矢2）、公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于圓弧的最高點(diǎn)到弦的距離，如圖，弧田是由圓弧AB和其所對(duì)弦AB圍成的圖形，若弧田的弧AB長(zhǎng)為8π3，弧所在的圓的半徑為4，則利用九章算術(shù)中的弧田面積公式計(jì)算出來的面積與實(shí)際面積之差為 　83+2?16π3?。?br />
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用直角三角形的邊角關(guān)系求出矢和弦的值，代入公式計(jì)算求值即可．
【解答】解：如圖所示，由題意可得：∠AOB=8π34=2π3，OA＝4，
在Rt△AOD中，可得：∠AOD=π3，∠DAO=π6，OD=12AO=12×4＝2，
可得：矢＝4﹣2＝2，
由AD＝AO?sinπ3=4×32=23，
可得：弦＝2AD＝43，
所以：弧田面積=12（弦×矢+矢2）=12×（43×2+22）＝43+2．
實(shí)際面積=12×8π3×4?12×43×2=16π3?43．
所以43+2?16π3+43=83+2?16π3．
故答案是：83+2?16π3．

21．已知扇形的半徑與面積都為2，則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)是　1?。?br /> 【分析】設(shè)扇形的圓心角為α，由此求出弧長(zhǎng)和面積，列方程求得α的值．
【解答】解：設(shè)扇形的圓心角為α，則弧長(zhǎng)l＝2α，
所以扇形的面積為：
S=12rl=12×2×2α＝2，
解得α＝1．
故答案為：1．
22．已知圓錐的側(cè)面積為4πcm2，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑是　2　cm，母線長(zhǎng)為　22　cm．
【分析】設(shè)圓錐的母線為l，底面半徑為r，利用扇形的面積公式可求l，根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖半圓的弧長(zhǎng)，可求r的值，即可得解．
【解答】解：圓錐的側(cè)面積為4πcm2，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，
設(shè)圓錐的母線為l，底面半徑為r，
則12πl(wèi)2＝4πcm2，解得l＝22cm，
由于圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖半圓的弧長(zhǎng)，即2πr＝πl(wèi)＝22π，
解得r=2．
故答案為：2，22．
23．已知半徑為r的扇形OAB的面積為1，周長(zhǎng)為4，則r＝　1?。?br /> 【分析】設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為r，由扇形的面積和周長(zhǎng)列方程組求出r和α的值．
【解答】解：設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為r，
所以該扇形的面積為S=12αr2＝1，…①
周長(zhǎng)為2r+αr＝4；…②
由①②解得r＝1，α＝2．
故答案為：1．
24．以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德國機(jī)械工程專家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名．一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機(jī)等都有應(yīng)用勒洛三角形．如圖，已知某勒洛三角形的一段弧AB的長(zhǎng)度為π，則該勒洛三角形的面積為　9π?932?。?br />
【分析】設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，由題意可得π3a=π，進(jìn)而求出a的值，再求出扇形ACB的面積和等邊三角形ABC的面積，從而求出該勒洛三角形的面積．
【解答】解：設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，
則π3a=π，解得a＝3，
所以弧AB與AC，BC圍成的扇形的面積為16×πa2=32π，
所以該勒洛三角形的面積S=3×32π?2×12×3×332=9π?932．
故答案為：9π?932．
四．解答題（共7小題）
25．古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯曾說：“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美，哪里就有發(fā)現(xiàn)……”，對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要組成部分，比如圓，正多邊……，請(qǐng)解決以下問題：
（1）魏晉時(shí)期，我國古代數(shù)學(xué)家劉微在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)n變得很大時(shí)，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，求sin3°的近似值（結(jié)果保留π）．
（2）正n邊形的邊長(zhǎng)為a，內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，求證：R+r=a2tanπ2n．

【分析】（1）將一個(gè)單位元分成120個(gè)扇形，這120個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，然后結(jié)合扇形面積公式可求；
（2）結(jié)合銳角三角函數(shù)定義及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可證明．
【解答】（1）解：將一個(gè)單位元分成120個(gè)扇形，每個(gè)扇形的圓心角為3°，
因?yàn)檫@120個(gè)扇形對(duì)應(yīng)的等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，
所以120×12×1×1×sin3°=60sin3°≈π，
所以sin3°≈π60；
（2）證明：設(shè)O為內(nèi)切圓的圓心，OA，OB分別為內(nèi)切圓半徑，則OB＝r，OA＝R，
所以θ=πn，AB=12a，
Rt△OAB中，sinθ=ABOA，即sinπn=12aR，
所以R=a2sinπn，
此時(shí)cosθ=OBOA，即cosπn=rR，
所以r＝R?cosπn=acosπn2sinπn，
所以R+r=a2sinπn+acosπn2sinπn=a(1+cosπn)2sinπn=2acos2π2n4sinπ2ncosπ2n=a2tanπ2n．

26．如圖，半徑為1的扇形圓心角為π3，一個(gè)矩形的一邊在扇形的半徑上，求此矩形的最大面積．
【分析】如圖先用所給的角將矩形的面積表示出來，建立三角函數(shù)模型，再根據(jù)所建立的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【解答】解：如圖，在Rt△OCB中，設(shè)∠COB＝α，則OB＝cosα，BC＝sinα，
在Rt△OAD中，DAOA=tan60°=3，所以O(shè)A=33DA=33sinα．
∴AB＝OB﹣OA＝cosα?33sinα．
設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S＝AB?BC＝（cosα?33sinα）sinα
＝sinαcosα?33sin2α
=12sin2α+36cos2α?36
=33（32sin2α+12cos2α）?36
=33sin（2α+π6）?36．
由于0＜α＜π3，所以當(dāng)2α+π6=π2，即α=π6時(shí)，S最大=33?36=36．
因此，當(dāng)α=π6時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為36．

27．已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為8π9+4，圓心角為80°，求這個(gè)扇形的面積．
【分析】設(shè)扇形的半徑為r，面積為S，利用已知條件求出弧長(zhǎng)與半徑，然后求出扇形面積．
【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r，面積為S，由已知，扇形的圓心角為80°，即為4π9，
∴扇形的弧長(zhǎng)為4π9r，由已知得：4π9r+2r=8π9+4，
∴解得：r＝2，
∴S=12?4π9r2=8π9．
故扇形的面積是8π9．
28．如圖，某游樂園的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，其兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)B及點(diǎn)C處，且園內(nèi)有一條平行于AO的小路CD．已知某人從C沿CD走到D用了8分鐘，從D沿DB走到B用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米．
（1）求△CDB的面積；
（2）求該扇形的半徑OA的長(zhǎng)．

【分析】（1）由題意可得CD＝400（米），DB＝300（米），∠CDB＝120°，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解△CDB的面積S的值．
（2）設(shè)扇形的半徑為r，連結(jié)CO，可得∠CDO＝60°，在△CDO中，利用余弦定理即可解得該扇形半徑OA的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）由題意CD＝400（米），DB＝300（米），∠CDB＝120°，
可得△CDB的面積S=12×300×400×sin120°＝300003（平方米），
所以△CDB的面積為300003平方米．
（2）設(shè)扇形的半徑為r，連結(jié)CO，
由題意∠CDO＝60°，
在△CDO中，OC2＝CD2+OD2﹣2 CD?OD?cos60°，
即r2＝4002+（r﹣300） 2﹣2×400×（r﹣300）×12，
解得r＝370（米），
則該扇形半徑OA的長(zhǎng)為370米．

29．如圖，在扇形OPQ中，半徑OP＝1，圓心角∠POQ=π3，A是半徑OP上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形OPQ，且OA＝OD．
（1）若∠BOP＝α，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）求矩形ABCD面積的最大值．

【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用求出AB的長(zhǎng)；
（2）利用矩形的面積和三角函數(shù)關(guān)系式的變換的和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：（1）∵∠POQ=π3且OA＝OD，
∴△AOD為等邊三角形，
∴∠DAO=π3，
又四邊形ABCD為矩形，∠DAB=π2，
∴∠BAP=π6
在扇形OPQ中，半徑OP＝1．
過B作OP的垂線，垂足為N，
∴BN＝OBsinα＝sinα，
在△ABN中，AB=BNsin∠BAP=BNsinπ6=2sinα
（2）矩形ABCD面積S＝|AB∥AD|，設(shè)∠BOP＝α，
由（1）可知|AB|＝2sinα，|BN|=sinα，|ON|=|OB|cosα=cosα，|AN|=|AB|cosπ6=3sinα，
∴|OA|=|ON|?|AN|=cosα?3sinα，
S扇ABCD=|AB|?|AD|=|AB|?|OA|=2sinα(cosα?3sinα)=sin2α+3cos2α?3，
=2sin(2α+π3)?3，
∵α∈(0，π3)，
∴2α+π3∈(π3，π)，
∴當(dāng)2α+π3=π2，
即α=π12時(shí)，矩形ABCD面積取最大值，
最大值為2?3．
30．某公司擬設(shè)計(jì)一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示），該扇環(huán)是由以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過點(diǎn)AD的兩條線段圍成．設(shè)圓弧AB、CD所在圓的半徑分別為f（x）、R米，圓心角為θ（弧度）．
（1）若θ=π3，r1＝3，r2＝6，求花壇的面積；
（2）設(shè)計(jì)時(shí)需要考慮花壇邊緣（實(shí)線部分）的裝飾問題，已知直線部分的裝飾費(fèi)用為60元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為90元/米，預(yù)算費(fèi)用總計(jì)1200元，問線段AD的長(zhǎng)度為多少時(shí)，花壇的面積最大？

【分析】（1）設(shè)花壇的面積為S平方米.S=12r22θ?12r12θ，即可得出結(jié)論；
（2）記r2﹣r1＝x，則0＜x＜10，所以S=12(403?43x)x=?23(x?5)2+503，x∈(0，10)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)花壇的面積為S平方米.S=12r22θ?12r12θ?（2分）
=12×36×π3?12×9×π3=92π(m2)?（4分）
答：花壇的面積為92π(m2)；…（5分）
（2）AB的長(zhǎng)為r1θ米，CD的長(zhǎng)為r2θ米，線段AD的長(zhǎng)為（r2﹣r1）米
由題意知60?2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）＝1200
即4（r2﹣r1）+3（r2θ+r1θ）＝40*…（7分）
S=12r22θ?12r12θ=12(r2θ+r1θ)(r2?r1)?（9分）
由*式知，r2θ+r1θ=403?43(r2?r1)?（11分）
記r2﹣r1＝x，則0＜x＜10
所以S=12(403?43x)x=?23(x?5)2+503，x∈(0，10)?（13分）
當(dāng)x＝5時(shí)，S取得最大值，即r2﹣r1＝5時(shí)，花壇的面積最大．…（15分）
答：當(dāng)線段AD的長(zhǎng)為5米時(shí)，花壇的面積最大．…（16分）
31．已知扇形的圓心角是α（α＞0），半徑為R．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)l．
（2）若扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？
【分析】（1）由已知結(jié)合扇形的面積公式即可直接求解；
（2）結(jié)合扇形周長(zhǎng)可得l與R的關(guān)系，然后結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求扇形面積的最大值及此時(shí)的α．
【解答】解：（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)l＝αR=π3×10=10π3cm；
（2）由題意得l+2R＝20，
則S=12lR=（10﹣R）R＝﹣R2+10R，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)R＝5時(shí)，扇形面積取得最大值25，
又l＝20﹣2R＝10，α=lR=2．

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