?人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 向量的概念與向量的模
一．選擇題（共16小題）
1．設(shè)非零向量a→，b→滿(mǎn)足a→⊥b→，則（　?。?br /> A．|a→|＝|b→| B．a(chǎn)→∥b→ C．|a→|＜|b→| D．|a→?b→|＝|a→+b→|
2．已知直線x+y﹣k＝0（k＞0）與圓x2+y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|OA→+OB→|=|AB→|，那么k的值為（　?。?br /> A．2 B．22 C．2 D．4
3．下列說(shuō)法中正確的是（　　）
A．單位向量都相等
B．若a→，b→滿(mǎn)足|a→|＞|b→|且a→與b→同向，則a→＞b→
C．對(duì)于任意向量a→，b→，必有|a→+b→|≤|a→|+|b→|
D．平行向量不一定是共線向量
4．下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．向量的模是正實(shí)數(shù)
B．共線向量一定是相等向量
C．方向相反的兩個(gè)向量一定是共線向量
D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量終點(diǎn)也必相同
5．已知向量a→=（6t+3，9），b→=（4t+2，8），若（13a→+b→）∥（a→?12b→），則t＝（　　）
A．﹣1 B．?12 C．12 D．1
6．已知向量a→=(?1，2)，b→=(x，6)，且a→∥b→，則|a→?b→|=（　?。?br /> A．5 B．25 C．5 D．4
7．已知向量a→=（1，1），則|a→|＝（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．2
8．已知向量a→，b→滿(mǎn)足|a→|=3，|b→|=4，|a→+b→|=14，則|a→?b→|=（　?。?br /> A．3 B．5 C．6 D．7
9．已知A（0，1），B（2，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|OP→|＝2，則|OA→+OB→+OP→|的最小值為（　　）
A．2?3 B．2+3 C．7+43 D．7﹣43
10．化簡(jiǎn)AB→+BC→?AC→?DC→的結(jié)果是（　?。?br /> A．AD→ B．DB→ C．CD→ D．DC→
11．已知|a→|=1，|b→|=2，a→?b→=1，若a→?c→與b→?c→的夾角為60°，則|c→|的最大值為（　?。?br /> A．72+1 B．3 C．7+1 D．3+1
12．已知a→=(?1，2)，則與a→同方向的單位向量是（　?。?br /> A．(?55，255) B．(?15，25) C．(15，?25) D．(55，?255)
13．下列命題正確的是（　?。?br /> A．若|a→|=0，則a→=0→ B．若|a→|=|b→|，則a→=b→
C．若|a→|=|b→|，則a→∥b→ D．若a→∥b→，則a→=b→
14．稱(chēng)d(a→，b→)=|a→?b→|為兩個(gè)向量a→、b→間的“距離”．若向量a→、b→滿(mǎn)足：①|(zhì)b→|=1；②a→≠b→；③對(duì)任意的t∈R，恒有d(a→，tb→)≥d(a→，b→)則（　?。?br /> A．a(chǎn)→⊥b→ B．a(chǎn)→⊥(a→?b→)
C．b→⊥(a→?b→) D．(a→+b→)⊥(a→?b→)
15．如圖，在正六邊形ABCDEF，點(diǎn)O為其中心，則下列判斷錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．AB→=OC→ B．AB→∥DE→ C．|AD→|=|BE→| D．|AC→|=|BE→|
16．過(guò)點(diǎn)P（4，2）作直線l分別與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OA→|+|OB→|的最小值為（　?。?br /> A．42 B．2+42 C．6+42 D．6
二．多選題（共6小題）
17．△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a→，b→滿(mǎn)足AB→=2a→，AC→=2a→+b→，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．|b→|＝1 B．|a→|＝1 C．a(chǎn)→∥b→ D．（4a→+b→）⊥BC→
18．已知a→與b→均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個(gè)命題：
P1：|a→+b→|＞1?θ∈[0，23π)；
P2：|a→+b→|＞1?θ∈(23π，π]；
P3：|a→?b→|＞1?θ∈[0，π3)；
P4：|a→?b→|＞1?θ∈(π3，π]．
其中正確的命題是（　?。?br /> A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
19．下列說(shuō)法中，正確的是（　?。?br /> A．任意單位向量的模都相等．
B．若A，B是平面內(nèi)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則AB→=BA→
C．若向量a→∥b→，b→∥c→，則a→∥c→
D．零向量與任意向量平行
20．設(shè)a→，b→都是非零向量，則下列四個(gè)條件中，一定能使a→|a→|+b→|b→|=0→成立的是（　　）
A．a(chǎn)→=?2b→ B．a(chǎn)→=2b→ C．a(chǎn)→=b→ D．a(chǎn)→=?b→
21．下列命題不正確的是（　　）
A．單位向量都相等
B．若a→與b→是共線向量，b→與c→是共線向量，則a→與c→是共線向量
C．|a→+b→|＝|a→?b→|，則a→⊥b→
D．若a→與b→單位向量，則|a→|＝|b→|
22．已知非零向量a→，b→，下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．若a→=b→，則|a→|＝|b→|
B．若a→，b→為單位向量，則a→=b→
C．若|a→|＞|b→|且a→與b→同向，則a→＞b→
D．|a→+b→|≤|a→|+|b→|
三．填空題（共16小題）
23．平面向量ai→滿(mǎn)足：|ai→|=1(i=0，1，2，3)，且i=13 ai→=0→．則|a0→+a1→+a2→|+|a0→+a1→+a3→|+|a0→+a2→+a3→|的取值范圍為 　 ?。?br /> 24．向量a→與b→的夾角為60°，若a→=（0，2），|b→|＝1，則|a→+2b→|＝　 ?。?br /> 25．已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，AB→=a→，BC→=b→，AC→=c→，則|a→+b→+c→|=　 ?。?br /> 26．已知向量a→，b→滿(mǎn)足|a→|=6，b→=(?2，2)，且|λa→+μb→|=0(λμ≠0)，則|λμ|的值為 　 ?。?br /> 27．設(shè)向量a→，b→滿(mǎn)足|a→|=2，a→?b→=32，|a→+b→|=22，則|b→|＝　 　．
28．已知夾角為π3的單位向量a→，b→，則|2a→?3b→|＝　 ?。?br /> 29．已知a→、b→為兩個(gè)向量，給出以下4個(gè)條件：
①|(zhì)a→|＝|b→|；②a→與b→的方向相反；③|a→|＝0或|b→|＝0；④a→與b→都是單位向量．
由條件　 　一定可以得到a→與b→平行．
30．已知a→=(?1，3)，b→=(1，t)，若(a→?2b→)⊥a→，則|a→+b→|＝　 ?。?br /> 31．平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，則向量DF→的模長(zhǎng)是　 　．
32．如圖所示的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中：
（1）有且僅有兩個(gè)向量的模相等，則這兩個(gè)向量分別是 　 　，它們的模都等于 　 ??；
（2）存在著共線向量，則這些共線向量分別是 　 　，它們的模的和等于 　 　．

33．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，記AB→=a→，BC→=b→，AC→=c→，則|a→+2b→?3c→|＝　 　．
34．已知a→=（﹣3，4），則與a→方向相同的單位向量的坐標(biāo)為　 ?。?br /> 35．已知向量a→=（m，2），b→=（1，﹣1），|a→?b→|＝|a→|+|b→|，則實(shí)數(shù)m＝　 ?。?br /> 36．已知向量a→=(2，?1)，b→=(4，m)，且a→∥b→，則|a→+2b→|=　 　．
37．已知△ABC中，AB＝1，AC＝3，cosA=14，點(diǎn)E在直線BC上，且滿(mǎn)足BE→=AB→+lAC→（l∈R），則|AE→|＝　 ?。?br /> 38．若菱形?ABCD的邊長(zhǎng)為2，則?|AB→?CB→?DC→|＝　 ?。?br /> 四．解答題（共3小題）
39．已知|a→|＝2，|b→|＝3，|a→?b→|=7．
（1）求a→與b→的夾角大??；
（2）求|a→+2b→|的值．
40．如圖，在△ABC中，設(shè)AB→=a，AC→=b，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)恰為P．
（Ⅰ）若AP→=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對(duì)角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比S平行四邊形ANPMS△ABC．

41．若向量a→，b→，3a→?2b→的起點(diǎn)為同一點(diǎn)，證明這三個(gè)向量的終點(diǎn)在一條直線上．

人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 向量的概念與向量的模
參考答案與試題解析
一．選擇題（共16小題）
1．設(shè)非零向量a→，b→滿(mǎn)足a→⊥b→，則（　　）
A．|a→|＝|b→| B．a(chǎn)→∥b→ C．|a→|＜|b→| D．|a→?b→|＝|a→+b→|
【分析】由非零向量a→，b→滿(mǎn)足a→⊥b→，得a→?b→=0，從而得到|a→?b→|＝|a→+b→|．
【解答】解：∵非零向量a→，b→滿(mǎn)足a→⊥b→，
∴a→?b→=0，
∴a→2?2a→?b→+b→2=a→2+2a→?b→+b→2，
∴|a→?b→|＝|a→+b→|．
故選：D．
2．已知直線x+y﹣k＝0（k＞0）與圓x2+y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|OA→+OB→|=|AB→|，那么k的值為（　?。?br /> A．2 B．22 C．2 D．4
【分析】根據(jù)當(dāng)|OA→+OB→|=|AB→|時(shí)，O，A，B三點(diǎn)為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，可知OA⊥OB，然后根據(jù)圖形可知直線（2，0）點(diǎn)，從而可求出k的值．
【解答】解：當(dāng)|OA→+OB→|=|AB→|時(shí)，O，A，B三點(diǎn)為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，可知OA⊥OB，
由圖可知直線過(guò)（2，0）點(diǎn)，此時(shí)k＝2，
故選：A．

3．下列說(shuō)法中正確的是（　?。?br /> A．單位向量都相等
B．若a→，b→滿(mǎn)足|a→|＞|b→|且a→與b→同向，則a→＞b→
C．對(duì)于任意向量a→，b→，必有|a→+b→|≤|a→|+|b→|
D．平行向量不一定是共線向量
【分析】向量是既有大小，又有方向的量，所以A，B錯(cuò)誤；平行向量又稱(chēng)共線向量，故D錯(cuò)誤．由向量的三角形法則和三角形的三邊關(guān)系知D正確．
【解答】解：A選項(xiàng)，單位向量的模相等，但方向可以不同，故錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，向量是既有大小，又有方向的量，不能比較大小，故錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由向量的三角形法則和三角形兩邊之和大于第三邊得|a→+b→|≤|a→|+|b→|，故正確；
D選項(xiàng)，平行向量又稱(chēng)共線向量，故錯(cuò)誤；
故選：C．
4．下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．向量的模是正實(shí)數(shù)
B．共線向量一定是相等向量
C．方向相反的兩個(gè)向量一定是共線向量
D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量終點(diǎn)也必相同
【分析】由向量的概念逐一判定即可得結(jié)論．
【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)閨0→|=0，不是正實(shí)數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，共線向量是方向相同或相反的向量，但模的大小不確定，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，共線向量是方向相同或相反的向量，故方向相反的兩個(gè)向量一定是共線向量，故C正確；
對(duì)于D，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量方向相同或相反，長(zhǎng)度也不一定相同，故終點(diǎn)不一定相同，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
5．已知向量a→=（6t+3，9），b→=（4t+2，8），若（13a→+b→）∥（a→?12b→），則t＝（　?。?br /> A．﹣1 B．?12 C．12 D．1
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示和共線定理，列方程求出t的值．
【解答】解：向量a→=（6t+3，9），b→=（4t+2，8），
所以13a→+b→=（6t+3，11），
a→?12b→=（4t+2，5）．
又（13a→+b→）∥（a→?12b→），
所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，
解得t=?12．
故選：B．
6．已知向量a→=(?1，2)，b→=(x，6)，且a→∥b→，則|a→?b→|=（　　）
A．5 B．25 C．5 D．4
【分析】利用向量共線定理、模的計(jì)算公式即可得出．
【解答】解：∵向量a→=(?1，2)，b→=(x，6)，且a→∥b→，
∴﹣6﹣2x＝0，解得x＝﹣3．
∴a→?b→=（2，﹣4），
則|a→?b→|=22+(?4)2=25．
故選：B．
7．已知向量a→=（1，1），則|a→|＝（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．2
【分析】根據(jù)向量a→的坐標(biāo)即可得出|a→|的值．
【解答】解：∵a→=(1，1)，
∴|a→|=2．
故選：B．
8．已知向量a→，b→滿(mǎn)足|a→|=3，|b→|=4，|a→+b→|=14，則|a→?b→|=（　　）
A．3 B．5 C．6 D．7
【分析】根據(jù)向量的模即可求出．
【解答】解：∵|a→|=3，|b→|=4，|a→+b→|=14，
∴|a→+b→|2＝|a→|2+|b→|2+2a→?b→，
即14＝9+16+2a→?b→，
∴2a→?b→=?11．
∴|a→?b→|2＝|a→|2+|b→|2﹣2a→?b→=9+16+11＝36，
∴|a→?b→|=6，
故選：C．
9．已知A（0，1），B（2，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|OP→|＝2，則|OA→+OB→+OP→|的最小值為（　?。?br /> A．2?3 B．2+3 C．7+43 D．7﹣43
【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|OP→|＝2，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（2cosθ，2sinθ），寫(xiě)出OA→+OB→+OP→的坐標(biāo)表示，根據(jù)向量坐標(biāo)表示模長(zhǎng)求解，其中通過(guò)三角函數(shù)的最值解得模長(zhǎng)的最值．
【解答】解：由|OP→|＝2可知，點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，
則設(shè)P（2cosθ，2sinθ），
∴OA→+OB→+OP→=（2+2cosθ，1+2sinθ），
∴|OA→+OB→+OP→|=(2+2cosθ)2+(1+2sinθ)2=7+42cosθ+4sinθ=7+43sin(θ+φ)（其中tanφ=2）．
∴min=7?43=2?3．
故選：A．
10．化簡(jiǎn)AB→+BC→?AC→?DC→的結(jié)果是（　?。?br /> A．AD→ B．DB→ C．CD→ D．DC→
【分析】利用向量加法的三角形法則AB→+BC→=AC→，代入要求的式子化簡(jiǎn)，以及?DC→=CD→，從而得到正確選項(xiàng)．
【解答】解：∵AB→+BC→=AC→，
∴AB→+BC→?AC→?DC→=?DC→=CD→
故選：C．
11．已知|a→|=1，|b→|=2，a→?b→=1，若a→?c→與b→?c→的夾角為60°，則|c→|的最大值為（　?。?br /> A．72+1 B．3 C．7+1 D．3+1
【分析】利用向量的數(shù)量積公式得＜a→，b→＞=π3，以∠AOB的角平分線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出C點(diǎn)的軌跡方程(x?3)2+y2=1，求圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離．
【解答】解：|a→|＝1，|b→|＝2，a→?b→=|a→||b→|cos＜a→，b→＞=1，
∴cos＜a→，b→＞=12，∴＜a→，b→＞=π3，設(shè)a→=OA→，b→=OB→，c→=OC→，
以∠AOB的角平分線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（32，12），B（3，﹣1），設(shè)C（x，y），
cos＜a→?c→，b→?c→＞=(x?32)(x?3)+(y?12)(y+1)(x?32)2+(y?12)2×(x?3)2+(y+1)2=12，
整理得(x?3)2+y2=1，∴C點(diǎn)的軌跡為圓，圓心坐標(biāo)為（3，0），
∴|c→|=x2+y2，其最大值為1+3．
故選：D．
12．已知a→=(?1，2)，則與a→同方向的單位向量是（　?。?br /> A．(?55，255) B．(?15，25) C．(15，?25) D．(55，?255)
【分析】由與a→同方向的單位向量是a→|a→|計(jì)算即可求得結(jié)論．
【解答】解：因?yàn)閍→=(?1，2)，所以|a→|=5
所以與a→同方向的單位向量是a→|a→|=15（﹣1，2）＝（?55，255）．
故選：A．
13．下列命題正確的是（　?。?br /> A．若|a→|=0，則a→=0→ B．若|a→|=|b→|，則a→=b→
C．若|a→|=|b→|，則a→∥b→ D．若a→∥b→，則a→=b→
【分析】根據(jù)零向量的定義即可判斷出A正確，根據(jù)相等向量的定義即可判斷B錯(cuò)誤，根據(jù)共線向量的定義即可判斷C，D都錯(cuò)誤．
【解答】解：根據(jù)零向量的定義知，若|a→|=0，則a→=0→，∴A正確；
向量由長(zhǎng)度和方向確定，長(zhǎng)度相同而方向不同的兩向量不相等，∴B錯(cuò)誤；
長(zhǎng)度相同，而方向不在同一直線的兩向量不平行，∴C錯(cuò)誤；
互相平行的兩向量的長(zhǎng)度不一定相同，從而這兩向量不一定相等，∴D錯(cuò)誤．
故選：A．
14．稱(chēng)d(a→，b→)=|a→?b→|為兩個(gè)向量a→、b→間的“距離”．若向量a→、b→滿(mǎn)足：①|(zhì)b→|=1；②a→≠b→；③對(duì)任意的t∈R，恒有d(a→，tb→)≥d(a→，b→)則（　?。?br /> A．a(chǎn)→⊥b→ B．a(chǎn)→⊥(a→?b→)
C．b→⊥(a→?b→) D．(a→+b→)⊥(a→?b→)
【分析】由題意知 b→的終點(diǎn)在單位圓上，由d（a→，tb→）≥d（a→，b→）恒成立得|AC→|≥|BA→|恒成立，從而 BA→⊥OB→ 即（a→?b→）⊥b→．
【解答】解：如圖：∵|b→|＝1，
∴b→的終點(diǎn)在單位圓上，
用OB→ 表示b→，用OA→ 表示 a→，用 BA→表示 a→?b→，
設(shè) OC→=tb→，
∴d（a→，tb→）＝|AC→|，d（a→，b→）＝|BA→|，
由d（a→，tb→）≥d（a→，b→）恒成立得，
|AC→|≥|BA→|恒成立，
∴BA→⊥OB→，（a→?b→）⊥b→，
故選：C．

15．如圖，在正六邊形ABCDEF，點(diǎn)O為其中心，則下列判斷錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．AB→=OC→ B．AB→∥DE→ C．|AD→|=|BE→| D．|AC→|=|BE→|
【分析】根據(jù)題意，作出正六邊形ABCDEF，設(shè)其邊長(zhǎng)為a，結(jié)合向量的定義依次分析選項(xiàng)，即可得答案．
【解答】解：如圖正六邊形ABCDEF，設(shè)其邊長(zhǎng)為a，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A、由正六邊形的性質(zhì)可得AB與OC平行且相等，則有AB→=OC→，故A正確；
對(duì)于B、由正六邊形的性質(zhì)可得AB與DE平行，即AB→∥DE→，故B正確；
對(duì)于C、在正六邊形ABCDEF中，AD與BE均過(guò)中心O，則有AD＝BE＝2a，即有|AD→|＝|BE→|，故C正確；
對(duì)于D、在正六邊形ABCDEF中，AC=3a，BE＝2a，則|AC→|≠|(zhì)BE→|，故D錯(cuò)誤；
故選：D．

16．過(guò)點(diǎn)P（4，2）作直線l分別與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OA→|+|OB→|的最小值為（　?。?br /> A．42 B．2+42 C．6+42 D．6
【分析】由題意可得直線的斜率k＜0，設(shè)出直線方程，求出A，B的坐標(biāo)，可得到|OA|+|OB|，進(jìn)而利用基本不等式求出最值．
【解答】解：設(shè)直線的斜率為k，則直線l的方程為：y﹣2＝k（x﹣4），整理可得：kx﹣y+2﹣4k＝0，
因?yàn)橹本€l與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，所以k＜0，
令x＝0，得y＝2﹣4k，所以B（0，2﹣4k），
令y＝0，得到x＝4?2k，所以A（4?2k，0），
所以|OA|+|OB|＝2﹣4k+4?2k=6+（﹣4k?2k）≥6+28=6+42，
當(dāng)且僅當(dāng)﹣4k=?2k時(shí)取等號(hào)，
∴|OA|+|OB|的最小值為6+42，
故選：C．
二．多選題（共6小題）
17．△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a→，b→滿(mǎn)足AB→=2a→，AC→=2a→+b→，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．|b→|＝1 B．|a→|＝1 C．a(chǎn)→∥b→ D．（4a→+b→）⊥BC→
【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算，向量垂直的充要條件，向量的模，判斷A、B、C、D的結(jié)論．
【解答】解：由題意，BC→=AC→?AB→=（2a→+b）﹣2a→=b→，則|b→|＝2，故A錯(cuò)誤；
|2a→|＝2|a→|＝2，所以|a→|＝1，故B正確；
因?yàn)锳B→=2a→，BC→=b→，故a→，b→不平行，故C錯(cuò)誤；
設(shè)B，C中點(diǎn)為D，則AB→+AC→=2AD→，且AD→⊥BC→，
而2AD→=2a→+（2a→+b→）＝4a→+b→，
所以（4a→+b→）⊥BC→，故D正確．
故選：BD．
18．已知a→與b→均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個(gè)命題：
P1：|a→+b→|＞1?θ∈[0，23π)；
P2：|a→+b→|＞1?θ∈(23π，π]；
P3：|a→?b→|＞1?θ∈[0，π3)；
P4：|a→?b→|＞1?θ∈(π3，π]．
其中正確的命題是（　?。?br /> A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【分析】根據(jù)題意，由|a→+b→|＞1可得出cosθ＞?12，然后可求出θ的范圍；由|a→?b→|＞1可得出cosθ＜12，然后即可求出θ的范圍，這樣即可得出正確的命題．
【解答】解：∵a→，b→均為單位向量，且?jiàn)A角為θ，
∴由|a→+b→|＞1，得a→2+2a→?b→+b→2=2+2cosθ＞1，
∴cosθ＞?12，且θ∈[0，π]，∴θ∈[0，2π3)；
由|a→?b→|＞1，得a→2+b→2?2a→?b→=2?2cosθ＞1，
∴cosθ＜12，且θ∈[0，π]，∴θ∈(π3，π]，
∴正確的命題是P1，P4．
故選：AD．
19．下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
A．任意單位向量的模都相等．
B．若A，B是平面內(nèi)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則AB→=BA→
C．若向量a→∥b→，b→∥c→，則a→∥c→
D．零向量與任意向量平行
【分析】根據(jù)單位向量的模為1可判斷A；根據(jù)AB→與BA→是相反向量可判斷B；根據(jù)b→=0→可判斷C；根據(jù)“規(guī)定0→與任意向量平行”可判斷D．
【解答】解：∵單位向量的模為1，∴A對(duì)；
∵AB→與BA→是相反向量，∴B錯(cuò)；
若b→=0→，則a→與c→不一定共線，∴C錯(cuò)；
教材中規(guī)定“0→與任意向量平行”，∴D對(duì)．
故選：AD．
20．設(shè)a→，b→都是非零向量，則下列四個(gè)條件中，一定能使a→|a→|+b→|b→|=0→成立的是（　?。?br /> A．a(chǎn)→=?2b→ B．a(chǎn)→=2b→ C．a(chǎn)→=b→ D．a(chǎn)→=?b→
【分析】根據(jù)題意可知，向量a→，b→的方向相反，然后即可得出正確的選項(xiàng)．
【解答】解：∵a→|a→|+b→|b→|=0→，
∴a→|a→|=?b→|b→|，
∴a→與b→的方向相反，
∴AD正確．
故選：AD．
21．下列命題不正確的是（　?。?br /> A．單位向量都相等
B．若a→與b→是共線向量，b→與c→是共線向量，則a→與c→是共線向量
C．|a→+b→|＝|a→?b→|，則a→⊥b→
D．若a→與b→單位向量，則|a→|＝|b→|
【分析】根據(jù)相等向量和單位向量的定義即可判斷命題A錯(cuò)誤，命題D正確；b→=0→，a→，c→不共線時(shí)，命題B錯(cuò)誤；對(duì)|a→+b→|=|a→?b→|兩邊平方進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出a→?b→=0，然后得出命題C正確，這樣即可得出正確的選項(xiàng)．
【解答】解：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蚩赡懿煌?，所以單位向量不能都相等，∴命題A錯(cuò)誤；
若b→=0→，且a→，c→不共線，仍滿(mǎn)足a→與b→是共線向量，b→與c→是共線向量，∴命題B錯(cuò)誤；
∵|a→+b→|=|a→?b→|，∴(a→+b→)2=(a→?b→)2，∴a→?b→=0，∴a→⊥b→，∴命題C正確；
若a→與b→是單位向量，則|a→|=|b→|=1，∴命題D正確．
故選：AB．
22．已知非零向量a→，b→，下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．若a→=b→，則|a→|＝|b→|
B．若a→，b→為單位向量，則a→=b→
C．若|a→|＞|b→|且a→與b→同向，則a→＞b→
D．|a→+b→|≤|a→|+|b→|
【分析】利用相等向量的定義判斷A，利用單位向量的定義判斷B，利用向量不能比較大小判斷C，利用三角形法則判斷D．
【解答】解：對(duì)于A，若a→=b→，則兩向量的大小相等，方向相同，故|a→|＝|b→|成立，故A對(duì)，
對(duì)于B，若a→，b→都是單位向量，兩向量的方向不定，故a→=b→不成立，故B錯(cuò)，
對(duì)C，∵兩向量不能比較大小，故C錯(cuò)，
對(duì)于D，根據(jù)平面向量的三角形法則，|a→+b→|≤|a→|+|b→|成立，故D對(duì)，
故選：AD．
三．填空題（共16小題）
23．平面向量ai→滿(mǎn)足：|ai→|=1(i=0，1，2，3)，且i=13 ai→=0→．則|a0→+a1→+a2→|+|a0→+a1→+a3→|+|a0→+a2→+a3→|的取值范圍為 　[23，4]?。?br /> 【分析】由題意知向量a1→，a2→，a3→對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，B，C在單位圓上，且△ABC為等邊三角形，且|a0→+a1→+a2→|+|a0→+a1→+a3→|+|a0→+a2→+a3→|=|a0→?a1→|+|a0→?a2→||a0→?a3→|，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的E點(diǎn)到點(diǎn)A、B、C的距離的和，即|EA|+|EB|+|EC|，再利用不等式的性質(zhì)及三角形的性質(zhì)求解．
【解答】解：∵向量ai→滿(mǎn)足：|ai→|=1(i=0，1，2，3)，且i=13 ai→=0→，
∴向量a1→，a2→，a3→對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，B，C在單位圓上，且△ABC為等邊三角形，
且|a0→+a1→+a2→|+|a0→+a1→+a3→|+|a0→+a2→+a3→|=|a0→?a1→|+|a0→?a2→||a0→?a3→|，
即圓上的E點(diǎn)到點(diǎn)A、B、C的距離的和，即|EA|+|EB|+|EC|，
若點(diǎn)E不與A、B、C重合，不妨設(shè)E在AC上，
則|EA|+|EC|＞|AC|，|EB|＞|AB|，|EA|+|EB|+|EC|＞|AC|+|AB|，
故點(diǎn)E在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，|EA|+|EB|+|EC|≥|AC|+|AB|，
又∵△ABC為單位圓的內(nèi)接等邊三角形，∴|AC|＝|AB|=3，
∴|EA|+|EB|+|EC|≥23，
由余弦定理可得|AC|2＝|EA|2+|EC|2﹣2|EA|?|EC|cos∠AEC，且∠AEC=2π3，
即3＝|EA|2+|EC|2+|EA|?|EC|＝（|EA|+|EC|）2﹣|EA|?|EC|，
即|EA|?|EC|＝（|EA|+|EC|）2﹣3≤14（|EA|+|EC|）2，
即|EA|+|EC|≤2（當(dāng)且僅當(dāng)|EA|＝|EC|，即點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，等號(hào)成立），
又∵|EB|≤|BD|＝2，
∴|EA|+|EB|+|EC|≤4（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)E是AC、AB或BC的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立），
∴|a0→+a1→+a2→|+|a0→+a1→+a3→|+|a0→+a2→+a3→|的取值范圍為[23，4]，
故答案為：[23，4]．

24．向量a→與b→的夾角為60°，若a→=（0，2），|b→|＝1，則|a→+2b→|＝　23?。?br /> 【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，求出a→?b→的值，再求向量的模長(zhǎng)即可．
【解答】解：由題意得，|a→|＝2，|b→|＝1，向量a→與b→的夾角為60°，
∴a→?b→=2×1×cos60°＝1，
∴|a→+2b→|=a→2+4a→?b→+4b→2
=22+4×1+4×12
＝23．
故答案為：23．
25．已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，AB→=a→，BC→=b→，AC→=c→，則|a→+b→+c→|=　22?。?br /> 【分析】由題意可得a→?b→=0，|a→|＝|b→|＝1，|c→|=2，c→=a→+b→，再根據(jù)|a→+b→+c→|=|2a→+2b→|，利用求向量的模的方法，計(jì)算求得結(jié)果．
【解答】解：由題意可得a→⊥b→，∴a→?b→=0，再根據(jù)題意可得 c→=a→+b→，
則|a→+b→+c→|=|2a→+2b→|＝2?(a→+b→)2=2a2+2a→?b→+b→2
＝21+0+1=22，
故答案為 22．
26．已知向量a→，b→滿(mǎn)足|a→|=6，b→=(?2，2)，且|λa→+μb→|=0(λμ≠0)，則|λμ|的值為 　13?。?br /> 【分析】由|λa→+μb→|=0(λμ≠0)可轉(zhuǎn)化為λa→+ub→=0→，從而可得|λ|?|a→|＝|u|?|b→|，從而求得．
【解答】解：∵|λa→+μb→|=0(λμ≠0)，
∴λa→+ub→=0→，
即λa→=?ub→，
即|λ|?|a→|＝|u|?|b→|，
又∵|a→|＝6，|b→|=(?2)2+22=2，
∴6?|λ|＝2?|u|，即|λ||μ|=13，
故答案為：13．
27．設(shè)向量a→，b→滿(mǎn)足|a→|=2，a→?b→=32，|a→+b→|=22，則|b→|＝　1?。?br /> 【分析】根據(jù)向量的公式：|a→+b→|2=a→2+2a→?b→+b→2，直接代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：由于|a→+b→|2=a→2+2a→?b→+b→2=4+3+b→2=8，
∴|b→|＝1．
故答案為：1．
28．已知夾角為π3的單位向量a→，b→，則|2a→?3b→|＝　7?。?br /> 【分析】根據(jù)條件可求出a→?b→=12，然后根據(jù)|2a→?3b→|=(2a→?3b→)2進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出|2a→?3b→|的值．
【解答】解：∵|a→|=|b→|=1，＜a→，b→＞=π3，
∴a→?b→=12，
∴|2a→?3b→|=(2a→?3b→)2=4a→2?12a→?b→+9b→2=4?6+9=7．
故答案為：7．
29．已知a→、b→為兩個(gè)向量，給出以下4個(gè)條件：
①|(zhì)a→|＝|b→|；②a→與b→的方向相反；③|a→|＝0或|b→|＝0；④a→與b→都是單位向量．
由條件?、冖邸∫欢梢缘玫絘→與b→平行．
【分析】根據(jù)向量的平行以及單位向量即可判斷．
【解答】解：長(zhǎng)度相等或都是單位向量不能得到a∥b→，但方向相反或其中一個(gè)為零向量可以說(shuō)明a∥b→，
故答案為：②③．
30．已知a→=(?1，3)，b→=(1，t)，若(a→?2b→)⊥a→，則|a→+b→|＝　5?。?br /> 【分析】由已知列式求得t，得到a→+b→的坐標(biāo)，由模的公式得答案．
【解答】解：由a→=(?1，3)，b→=(1，t)，得a→?2b→=（﹣3，3﹣2t），
若(a→?2b→)⊥a→，則﹣1×（﹣3）+3（3﹣2t）＝0，解得t＝2，
∴b→=(1，2)，則a→+b→=(0，5)，
∴|a→+b→|＝5．
故答案為：5．
31．平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，則向量DF→的模長(zhǎng)是　7?。?br /> 【分析】可畫(huà)出圖形，根據(jù)條件可得出DF→=12AB→?34AD→，然后根據(jù)|DF→|=(12AB→?34AD→)2進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出答案．
【解答】解：如圖，∵ABCD是平行四邊形，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，

∴DF→=DA→+12AE→=?AD→+12(AB→+12AD→)=12AB→?34AD→，且AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，
∴|DF→|=(12AB→?34AD→)2=14AB→2+916AD→2?34AB→?AD→=1+9?34×2×4×12=7．
故答案為：7．
32．如圖所示的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，則在這6個(gè)向量中：
（1）有且僅有兩個(gè)向量的模相等，則這兩個(gè)向量分別是 　CH→，AE→　，它們的模都等于 　10?。?br /> （2）存在著共線向量，則這些共線向量分別是 　DG→，HF→　，它們的模的和等于 　52?。?br />
【分析】結(jié)合圖像分別求出模相等的向量以及共線向量即可．
【解答】解：（1）有且僅有兩個(gè)向量的模相等，則這兩個(gè)向量分別是 CH→，AE→，它們的模都等于 10；
（2）存在著共線向量，則這些共線向量分別是 DG→，HF→，它們的模的和等于 52
33．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，記AB→=a→，BC→=b→，AC→=c→，則|a→+2b→?3c→|＝　5　．
【分析】可以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，然后可求出a→，b→，c→的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出a→+2b→?3c→的坐標(biāo)，從而可求出|a→+2b→?3c→|的值．
【解答】解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：

a→=(1，0)，b→=(0，1)，c→=(1，1)，
∴a→+2b→?3c→=(?2，?1)，
∴|a→+2b→?3c→|=5．
故答案為：5．
34．已知a→=（﹣3，4），則與a→方向相同的單位向量的坐標(biāo)為　(?35，45)?。?br /> 【分析】可知a→|a→|為與a→方向相同的單位向量，然后即可根據(jù)a→的坐標(biāo)得出這個(gè)單位向量的坐標(biāo)．
【解答】解：∵a→=(?3，4)，
∴與a→方向相同的單位向量的坐標(biāo)為：a→|a→|=a→5=(?35，45)．
故答案為：(?35，45)．
35．已知向量a→=（m，2），b→=（1，﹣1），|a→?b→|＝|a→|+|b→|，則實(shí)數(shù)m＝　﹣2?。?br /> 【分析】對(duì)|a→?b→|=|a→|+|b→|兩邊平方進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出a→?b→=?|a→||b→|，從而得出a→與b→反向，然后可設(shè)a→=λb→，從而可得出m=λ?λ=2，然后解出m即可．
【解答】解：∵|a→?b→|=|a→|+|b→|，
∴|a→?b→|2=(|a→|+|b→|)2，即a→2+b→2?2a→?b→=a→2+b→2+2|a→||b→|，
∴a→?b→=?|a→||b→|，
∴＜a→，b→＞=π，
∴a→與b→反向，設(shè)a→=λb→，λ＜0，則（m，2）＝λ（1，﹣1），
∴m=λ?λ=2，解得m＝﹣2．
故答案為：﹣2．
36．已知向量a→=(2，?1)，b→=(4，m)，且a→∥b→，則|a→+2b→|=　55　．
【分析】根據(jù)a→∥b→可得出m的值，從而可得出a→+2b→的坐標(biāo)表示，進(jìn)一步即可計(jì)算出|a→+2b→|．
【解答】解：由a→∥b→，得2m＝（﹣1）×4，解得m＝﹣2，所以a→+2b→=（10，﹣5），
故|a→+2b→|=102+(?5)2=55．
故答案為：55．
37．已知△ABC中，AB＝1，AC＝3，cosA=14，點(diǎn)E在直線BC上，且滿(mǎn)足BE→=AB→+lAC→（l∈R），則|AE→|＝　10?。?br /> 【分析】根據(jù)題意即可得出AE→=2AB→?AC→，然后根據(jù)|AE→|=(2AB→?AC→)2進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出|AE→|的值．
【解答】解：∵BE→=AE→?AB→=AB→+lAC→，
∴AE→=2AB→+lAC→，且B，E，C三點(diǎn)共線，
∴2+l＝1，l＝﹣1，
∴AE→=2AB→?AC→，且AB=1，AC=3，cosA=14，
∴|AE→|=(2AB→?AC→)2=4AB→2+AC→2?4AB→?AC→=4+9?4×1×3×14=10．
故答案為：10．
38．若菱形?ABCD的邊長(zhǎng)為2，則?|AB→?CB→?DC→|＝　2?。?br /> 【分析】根據(jù)相反向量的定義和向量加法的幾何意義即可求出答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，
∴|AB→?CB→?DC→|=|AB→+BC→+CD→|=|AD→|=2．
故答案為：2．
四．解答題（共3小題）
39．已知|a→|＝2，|b→|＝3，|a→?b→|=7．
（1）求a→與b→的夾角大??；
（2）求|a→+2b→|的值．
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
（2）根據(jù)向量長(zhǎng)度與向量數(shù)量積的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．
【解答】解：（1）∵|a→?b→|=7．
∴平方得a→2﹣2a→?b→+b→2＝7
即4﹣2a→?b→+9＝7，a→?b→=3，
則cos＜a→，b→＞=a→?b→|a→||b→|=32×3=12，
則求a→與b→的夾角大小為π3．
（2）|a→+2b→|2=a→2+4a→?b→+4b→2＝4+12+36＝52，
則|a→+2b→|=52=213．
40．如圖，在△ABC中，設(shè)AB→=a，AC→=b，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)恰為P．
（Ⅰ）若AP→=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對(duì)角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比S平行四邊形ANPMS△ABC．

【分析】（Ⅰ）已知AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)恰為P．可得AP→=AR→+AC→2，AR→=AQ→+AB→2，AQ→=12AP→，消去AR→，AQ→，即可求解；
（Ⅱ）AB，AC為鄰邊，AP為對(duì)角線，作平行四邊形ANPM其面積和三角形ABC的面積可以用公式s=12absinC，這個(gè)公式進(jìn)行求解，再根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論很容易進(jìn)行求解；
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，設(shè)AB→=a，AC→=b，
AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)恰為P．
AP→=AR→+AC→2，AR→=AQ→+AB→2，AQ→=12AP→，消去AR→，AQ→
∵AP→=λa+μb，
可得AP→=12（AQ→+AB→2）+12AC→=14×12AP→+14AB→+12AC→，
可得AP→=27AB→+47AC→=λa→+μb→，
∴λ=27μ=47；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對(duì)角線，作平行四邊形ANPM，
∵得AP→=27AB→+47AC→，
∴S平行四邊形ANPMS平行四邊形ABC=|AN|?|AM|?sin∠CAB12|AB|?|AC|?sin∠CAB=2?|AN||AB|?|AM||AC|=2×27×47=1649；

41．若向量a→，b→，3a→?2b→的起點(diǎn)為同一點(diǎn)，證明這三個(gè)向量的終點(diǎn)在一條直線上．
【分析】可設(shè)OA→=a→，OB→=b→，OC→=3a→?2b→，從而可得出AB→=b→?a→，AC→=2(a→?b→)，從而得出AB→，AC→共線，進(jìn)而得出A，B，C三點(diǎn)共線．
【解答】證明：如圖，設(shè)OA→=a→，OB→=b→，OC→=3a→?2b→，

∴b→?a→=AB→，(3a→?2b→)?a→=2(a→?b→)=AC→，
∴AC→=?2AB→，
∴AB→，AC→共線，有公共點(diǎn)A，
∴A，B，C三點(diǎn)共線，即這三個(gè)向量的終點(diǎn)在一條直線上．

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