1．若向量a→，b→，c→的模均為1，且a→?b→=0，則|3a→+4b→?2c→|的最大值為（ ）
A．5+25B．3C．5D．7
2．已知向量a→，b→滿足|a→|=2，|b→|=1，其夾角為120°，若對(duì)任意向量m→，總有(m→?a→)?(m→?b→)=0，則|m→|的最大值與最小值之差為（ ）
A．1B．3C．5D．7
3．已知向量a→，b→滿足|a→|＝1，|b→|＝2，且a→與b→的夾角為60°，則|a→+b→|＝（ ）
A．7B．3C．5D．22
4．已知平面向量a→，b→滿足a→?（a→+b→）＝3，且|a→|＝2，|b→|＝1，則向量a→與b→的夾角為（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
5．已知向量a→=（2，5），b→=（1，2），則|a→?b→|＝（ ）
A．22B．3C．10D．23
6．已知向量a→，b→滿足|a→|=2，|b→|=4，a→?b→=5，則向量a→與a→?b→的夾角的余弦值為（ ）
A．?1020B．1020C．?33020D．33020
7．設(shè)向量a→，b→滿足a→+b→=（1，3），a→?b→=1，則|a→?b→|＝（ ）
A．2B．6C．22D．10
8．已知|a→|＝1，|b→|＝2，則|a→+b→|+|a→?b→|的最大值等于（ ）
A．4B．3+7C．25D．5
二．填空題（共11小題）
9．已知單位向量a→與b→的夾角為π4，則|a→+2b→|= ．
10．已知單位向量a→，b→滿足|a→+b→|＝|a→?2b→|，則a→與b→的夾角為 ．
11．已知a→，b→為單位向量，且a→⊥（a→+2b→），則向量a→與b→的夾角為 ．
12．已知非零向量a→=（t，0），b→=（﹣1，3），若a→?b→=?4，則a→+2b→與b→的夾角為 ．
13．已知向量a→=（1，3），b→=（2，0），則|a→?2b→|＝ ．
14．已知|a→|＝2，|b→|＝1，a→+b→=（2，?3），則|a→+2b→|＝ ．
15．已知向量a→，b→滿足|a→|＝3，b→=（1，2），a→?b→=2，則|2a→?b→|＝ ．
16．已知向量a→，b→滿足|a→|＝1，|b→|＝2，向量a→與b→的夾角為60°，則|2a→?3b→|＝ ．
17．設(shè)a→，b→為單位向量，且|a→+b→|=3，則|a→?b→|＝ ．
18．已知向量a→=（1，3），b→=（﹣1，0），則|a→+3b→|＝ ．
19．已知非零向量a→，b→夾角為π3，|b→|=2，對(duì)任意x∈R，有|b→+xa→|≥|a→?b→|，則|a→?b→|= ．
三．解答題（共8小題）
20．若平面向量a→，b→滿足|a→|=2，|b→|＝2，（a→?b→）⊥a→．
（Ⅰ）求a→與b→的夾角；
（Ⅱ）求|2a→+b→|．
21．如圖，2012年春節(jié)，攝影愛好者S在某公園A處，發(fā)現(xiàn)正前方B處有一立柱，測(cè)得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°，已知S的身高約為3米（將眼睛距地面的距離按3米處理）
（1）求攝影者到立柱的水平距離和立柱的高度；
（2）立柱的頂端有一長(zhǎng)2米的彩桿MN繞中點(diǎn)O在S與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．?dāng)z影者有一視角范圍為60°的鏡頭，在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻，攝影者是否都可以將彩桿全部攝入畫面？說明理由．
22．已知|a→|＝4，|b→|＝8，a→與b→的夾角是120°．
（1）計(jì)算|a→+b→|，|4a→?2b→|；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，（a→+2b→）⊥（ka→?b→）？
23．已知向量a＝（sinx，cs），b＝（csx，sinx﹣2csx），0＜x＜π2．
（Ⅰ）若a∥b，求x；
（Ⅱ）設(shè)f（x）＝a?b，函數(shù)f（x）經(jīng)過怎樣的平移才能使所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)？
24．已知向量a→=(2，1)，b→=(3，?1)．
（1）求a→與b→的夾角；
（2）求|2a→+b→|；
（3）若(ka→?b→)⊥b→，求實(shí)數(shù)k的值．
25．已知向量a→與b→的夾角為π3，且|a→|＝1，|b→|＝2．
（1）求|a→+b→|；
（2）求向量a→+b→與向量a→的夾角的余弦值．
26．已知向量a→=(1，1），b→=(?3，4）．
（1）求|a→?b→|的值；
（2）求向量a→與a→?b→夾角的余弦值．
27．已知平面向量a→=(2，4)，b→=(3，5)，c→=(?2，6)．
（Ⅰ）若a→=xb→+yc→，求x+y的值；
（Ⅱ）若a→+kc→在a→?b→上的投影是2，求實(shí)數(shù)k．
人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模及其夾角
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．若向量a→，b→，c→的模均為1，且a→?b→=0，則|3a→+4b→?2c→|的最大值為（ ）
A．5+25B．3C．5D．7
【分析】根據(jù)條件可設(shè)a→=(1，0)，b→=(0，1)，c→=(csθ，sinθ)，從而可得出|3a→+4b→?2c→|=29?20sin(θ+φ)，然后即可求出最大值．
【解答】解：∵a→?b→=0，∴a→⊥b→，且a→，b→，c→的模均為1，
∴設(shè)a→=(1，0)，b→=(0，1)，c→=(csθ，sinθ)，
∴3a→+4b→?2c→=(3?2csθ，4?2sinθ)，
∴|3a→+4b→?2c→|=(3?2csθ)2+(4?2sinθ)2=29?12csθ?16sinθ=29?20sin(θ+φ)，其中tanφ=34，
∴sin（θ+φ）＝﹣1時(shí)，|3a→+4b→?2c→|取得最大值7．
故選：D．
2．已知向量a→，b→滿足|a→|=2，|b→|=1，其夾角為120°，若對(duì)任意向量m→，總有(m→?a→)?(m→?b→)=0，則|m→|的最大值與最小值之差為（ ）
A．1B．3C．5D．7
【分析】根據(jù)題意先設(shè)b→=（1，0），則a→=（﹣1，3），設(shè)m→=(x，y)，由(m→?a→)?(m→?b→)=0及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示整理出x，y的關(guān)系，結(jié)合圓的性質(zhì)及幾何意義可求
【解答】解：由題意不妨設(shè)b→=（1，0），則a→=（﹣1，3），設(shè)m→=(x，y)
∵(m→?a→)?(m→?b→)=0
∴（x+1，y?3）?（x﹣1，y）＝0
整理可得，x2+(y?32)2=74，
即為圓心C（0，32），半徑為r=72，
連接圓心C和原點(diǎn)（0，0），即有最大值為d+r，最小值為r﹣d，（d＝|OC|）
則|m→|的最大值為72+32，最小值72?32，差為3
故選：B．
3．已知向量a→，b→滿足|a→|＝1，|b→|＝2，且a→與b→的夾角為60°，則|a→+b→|＝（ ）
A．7B．3C．5D．22
【分析】根據(jù)條件進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出(a→+b→)2的值，進(jìn)而得出|a→+b→|的值．
【解答】解：∵|a→|=1，|b→|=2，＜a→，b→＞=60°，
∴(a→+b→)2=1+4+2×1×2×12=7，
∴|a→+b→|=7．
故選：A．
4．已知平面向量a→，b→滿足a→?（a→+b→）＝3，且|a→|＝2，|b→|＝1，則向量a→與b→的夾角為（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)，得到a→2=|a|→2＝4，代入已知等式得a→?b→=?1．設(shè)a→與b→的夾角為α，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和|a|→=2，|b|→=1，算出csα=?12，最后根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍，可得a→與b→夾角的大?。?br>【解答】解：∵|a|→=2，∴a→2=4
又∵a→?（a→+b→）＝3，
∴a→2+a→?b→=4+a→?b→=3，得a→?b→=?1，
設(shè)a→與b→的夾角為α，
則a→?b→=|a|→|b|→csα＝﹣1，即2×1×csα＝﹣1，得csα=?12
∵α∈[0，π]，
∴α=2π3
故選：C．
5．已知向量a→=（2，5），b→=（1，2），則|a→?b→|＝（ ）
A．22B．3C．10D．23
【分析】可求出向量a→?b→的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出|a→?b→|的值．
【解答】解：∵a→?b→=(1，3)，
|a→?b→|=10．
故選：C．
6．已知向量a→，b→滿足|a→|=2，|b→|=4，a→?b→=5，則向量a→與a→?b→的夾角的余弦值為（ ）
A．?1020B．1020C．?33020D．33020
【分析】根據(jù)條件可求出a→?(a→?b→)=?1，根據(jù)|a→?b→|=(a→?b→)2進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算可求出|a→?b→|的值，然后即可求出a→與a→?b→夾角的余弦值．
【解答】解：∵|a→|=2，|b→|=4，a→?b→=5，
∴a→?(a→?b→)=a→2?a→?b→=4?5=?1，|a→?b→|=(a→?b→)2=a→2?2a→?b→+b→2=4?10+16=10，
∴cs＜a→，a→?b→＞=a→?(a→?b→)|a→||a→?b→|=?12×10=?1020．
故選：A．
7．設(shè)向量a→，b→滿足a→+b→=（1，3），a→?b→=1，則|a→?b→|＝（ ）
A．2B．6C．22D．10
【分析】由已知利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求a→2+b→2＝8，進(jìn)而即可求解|a→?b→|=(a→?b→)2的值．
【解答】解：因?yàn)橄蛄縜→，b→滿足a→+b→=（1，3），a→?b→=1，
所以（a→+b→）2＝|a→+b→|2=a→2+2a→?b→+b→2=a→2+2+b→2＝10，
可得a→2+b→2＝8，
所以|a→?b→|=(a→?b→)2=a→2?2a→?b→+b2→=8?2=6．
故選：B．
8．已知|a→|＝1，|b→|＝2，則|a→+b→|+|a→?b→|的最大值等于（ ）
A．4B．3+7C．25D．5
【分析】根據(jù)題意，由基本不等式的性質(zhì)可得，|a→+b→|+|a→?b→|≤2×|a→+b→|2+|a→?b→|22，進(jìn)而變形可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，|a→+b→|+|a→?b→|≤2×|a→+b→|2+|a→?b→|22=2×|a→|2+|b→|2=25，
當(dāng)且僅當(dāng)|a→+b→|＝|a→?b→|，即a→⊥b→時(shí)等號(hào)成立，即|a→+b→|+|a→?b→|的最大值等于25；
故選：C．
二．填空題（共11小題）
9．已知單位向量a→與b→的夾角為π4，則|a→+2b→|= 5 ．
【分析】根據(jù)公式|a→|=a→2，代入計(jì)算即可．
【解答】解：|a→+2b→|=(a→+2b→)2=a→2+22a→?b→+2b→2=1+22×22+2=5．
故填：5．
10．已知單位向量a→，b→滿足|a→+b→|＝|a→?2b→|，則a→與b→的夾角為 π3 ．
【分析】根據(jù)條件對(duì)|a→+b→|=|a→?2b→|兩邊平方，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出a→?b→的值，進(jìn)而可求出cs＜a→，b→＞的值，從而可得出a→，b→的夾角．
【解答】解：∵|a→|=|b→|=1，|a→+b→|=|a→?2b→|，
∴1+1+2a→?b→=1+4?4a→?b→，解得a→?b→=12，
∴cs＜a→，b→＞=a→?b→|a→||b→|=12，且＜a→，b→＞∈[0，π]，
∴＜a→，b→＞=π3．
11．已知a→，b→為單位向量，且a→⊥（a→+2b→），則向量a→與b→的夾角為 2π3 ．
【分析】設(shè)向量a→與b→的夾角為θ，可得a→?b→=csθ，再根據(jù)a→⊥（a→+2b→），得1+2csθ＝0，最后結(jié)合θ∈[0，π]，可得a→與b→的夾角的大小．
【解答】解：設(shè)向量a→與b→的夾角為θ，
∴a→?b→=|a→|?|b→|csθ＝1×1×csθ＝csθ，
∵a→⊥（a→+2b→），
∴a→?（a→+2b→）=a→2+2a→?b→=0，得1+2csθ＝0，
可得：csθ=?12，
∵θ∈[0，π]，
∴θ=2π3．
故答案為：2π3．
12．已知非零向量a→=（t，0），b→=（﹣1，3），若a→?b→=?4，則a→+2b→與b→的夾角為 π3 ．
【分析】根據(jù)條件容易求出t＝4，從而得出a→=(4，0)，從而得出a→+2b→=(2，23)，可設(shè)a→+2b→與b→的夾角為θ，這樣根據(jù)csθ=(a→+2b→)?b→|a→+2b→||b→|即可求出csθ，進(jìn)而得出θ的值．
【解答】解：a→?b→=?t=?4；
∴t＝4；
∴a→=(4，0)，b→=(?1，3)；
∴a→+2b→=(2，23)；
設(shè)a→+2b→與b→的夾角為θ，則：csθ=(a→+2b→)?b→|a→+2b→||b→|=?2+64×2=12；
∴θ=π3．
故答案為：π3．
13．已知向量a→=（1，3），b→=（2，0），則|a→?2b→|＝ 23 ．
【分析】可求出向量a→?2b→的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出|a→?2b→|的值．
【解答】解：∵a→?2b→=(?3，3)，
∴|a→?2b→|=12=23．
故答案為：23．
14．已知|a→|＝2，|b→|＝1，a→+b→=（2，?3），則|a→+2b→|＝ 23 ．
【分析】直接利用平面向量的數(shù)量積和向量的模的運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：∵a→+b→=(2，?3)，所以|a→+b→|=7，
故|a→+b→|2=7，
由于|a→|＝2，|b→|＝1，
|a→|2+2a→?b→+|b→|2=7，整理得a→?b→=1．
∴|a+2b|=a2+4a?b+4b2=23，
故答案為23．
15．已知向量a→，b→滿足|a→|＝3，b→=（1，2），a→?b→=2，則|2a→?b→|＝ 33 ．
【分析】把所求平方，再把已知條件代入即可求解．
【解答】解：因?yàn)閨a→|＝3，b→=（1，2），a→?b→=2，
∴|b→|=5；
∴|2a→?b→|2＝4a→2?4a→?b→+b→2＝4×32﹣4×2+5＝33．
∴|2a→?b→|=33．
故答案為：33．
16．已知向量a→，b→滿足|a→|＝1，|b→|＝2，向量a→與b→的夾角為60°，則|2a→?3b→|＝ 27 ．
【分析】根據(jù)條件可求出a→?b→=1，然后根據(jù)|2a→?3b→|=(2a→?3b→)2進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出|2a→?3b→|的值．
【解答】解：∵|a→|=1，|b→|=2，＜a→，b→＞=60°，
∴a→?b→=1×2×12=1，
∴|2a→?3b→|=(2a→?3b→)2=4a→2+9b→2?12a→?b→=4+36?12=27．
故答案為：27．
17．設(shè)a→，b→為單位向量，且|a→+b→|=3，則|a→?b→|＝ 1 ．
【分析】根據(jù)條件對(duì)|a→+b→|=3兩邊平方即可求出2a→?b→=1，然后根據(jù)|a→?b→|=(a→?b→)2即可求出答案．
【解答】解：∵|a→|=|b→|=1，|a→+b→|=3，
∴(a→+b→)2=1+1+2a→?b→=3，
∴2a→?b→=1，
∴|a→?b→|=(a→?b→)2=1+1?1=1．
故答案為：1．
18．已知向量a→=（1，3），b→=（﹣1，0），則|a→+3b→|＝ 7 ．
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，計(jì)算模長(zhǎng)即可．
【解答】解：向量a→=(1，3)，b→=(?1，0)，
則a→+3b→=（﹣2，3），
所以(a→+3b→)2=4+3＝7，
所以|a→+3b→|=7．
故答案為：7．
19．已知非零向量a→，b→夾角為π3，|b→|=2，對(duì)任意x∈R，有|b→+xa→|≥|a→?b→|，則|a→?b→|= 3 ．
【分析】將式子平方后整理得到a→2=a→?b→，進(jìn)而得到|a→|=1，代入計(jì)算即可．
【解答】解：將|b→+xa→|≥|a→?b→|兩邊平方，
可得a→2x2+2a→?b→x?(a→2?2a→?b→)≥0對(duì)任意x成立．
則△=4(a→?b→)2+4a→2?(a→2?2a→?b→)≤0，化簡(jiǎn)可得（a→2?a→?b→）2≤0，
所以(a→2?a→?b→)2=0，則a→2=a→?b→．
因?yàn)榉橇阆蛄縜→，b→夾角為π3，|b→|=2，
所以a→2=a→?b→=|a→|?|b→|?csπ3=|a→|?1，所以|a→|=1，
所以|a→?b→|=(a→?b→)2=a→2+b→2?2a→?b→=1+4?2=3．
故答案為：3．
三．解答題（共8小題）
20．若平面向量a→，b→滿足|a→|=2，|b→|＝2，（a→?b→）⊥a→．
（Ⅰ）求a→與b→的夾角；
（Ⅱ）求|2a→+b→|．
【分析】（Ⅰ）設(shè)a→與b→的夾角為θ，由向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系分析可得a→?a→=a→?b→，由向量a→，b→的模將其變形可得csθ=22，結(jié)合θ的范圍分析可得答案；
（Ⅱ）由數(shù)量積的計(jì)算公式可得|2a→+b→|2＝（2a→+b→）2＝4a→2+b→2+4a→?b→，計(jì)算即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)a→與b→的夾角為θ，
若（a→?b→）⊥a→，則有a→?a→=a→?b→，
又由|a→|=2，|b→|＝2，
即有2＝22csθ，
解可得csθ=22，
又由0≤θ≤π，則θ=π4；
（Ⅱ）|2a→+b→|2＝（2a→+b→）2＝4a→2+b→2+4a→?b→=20，
則|2a→+b→|＝25．
21．如圖，2012年春節(jié)，攝影愛好者S在某公園A處，發(fā)現(xiàn)正前方B處有一立柱，測(cè)得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°，已知S的身高約為3米（將眼睛距地面的距離按3米處理）
（1）求攝影者到立柱的水平距離和立柱的高度；
（2）立柱的頂端有一長(zhǎng)2米的彩桿MN繞中點(diǎn)O在S與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．?dāng)z影者有一視角范圍為60°的鏡頭，在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻，攝影者是否都可以將彩桿全部攝入畫面？說明理由．
【分析】（1）攝影者眼部記為點(diǎn)S，作SC⊥OB于C，則有∠CSB＝30°，∠ASB＝60°．SA=3，在Rt△SAB中，由三角函數(shù)的定義可求AB；再由SC＝3，∠CSO＝30°，在Rt△SCO中由三角函數(shù)的定義可求OC，進(jìn)而可求OB
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)M（csθ，sinθ），θ∈[0，2π），則N（﹣csθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，?3），利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求cs∠MSN=SM→?SN→|SM→|?|SN→|∈[1113，1]，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可求答案．
【解答】解：（1）如圖，不妨將攝影者眼部記為點(diǎn)S，作SC⊥OB于C，
依題意∠CSB＝30°，∠ASB＝60°．
又SA=3，故在Rt△SAB中，可求得BA=SAtan30°=3，
即攝影者到立柱的水平距離為3米．…（3分）
由SC＝3，∠CSO＝30°，在Rt△SCO中OC＝SC?tan30°=3，
又BC＝SA=3，故OB＝23，即立柱的高度為23米．…（6分）
（2）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐
標(biāo)系．設(shè)M（csθ，sinθ），θ∈[0，2π），
則N（﹣csθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，?3）．…（8分）
故SM→=（csθ﹣3，sinθ+3），SN→=（﹣csθ﹣3，﹣sinθ+3），
∴SM→?SN→=（csθ﹣3）（﹣csθ﹣3）+（sinθ?3）（﹣sinθ?3）＝11（10分）
|SM→|?|SN→|=(csθ?3)2+(sinθ+3)2×(?csθ?3)2+(?sinθ+3)2=13?(6csθ?23sinθ)×13+(6csθ?23sinθ)=169?[43cs(θ+π6)]2=169?48cs2(θ+π6)
由θ∈[0，2π）知|SM→|?|SN→|∈[11，13]…（12分）
所以cs∠MSN=SM→?SN→|SM→|?|SN→|∈[1113，1]，
∴∠MSN＜60°恒成立
故在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻，攝影者都可以將彩桿全部攝入畫面
22．已知|a→|＝4，|b→|＝8，a→與b→的夾角是120°．
（1）計(jì)算|a→+b→|，|4a→?2b→|；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，（a→+2b→）⊥（ka→?b→）？
【分析】（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到；
（2）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，解方程即可得到k．
【解答】解：（1）|a→|＝4，|b→|＝8，a→與b→的夾角是120°，
則a→?b→=4×8×cs120°＝﹣16，
即有|a→+b→|=(a→+b→)2=a→2+b→2+2a→?b→=16+64?32=43，
|4a→?2b→|=(4a→?2b→)2=16a→2?16a→?b→+4b→2
=16×16+16×16+4×64=163；
（2）由（a→+2b→）⊥（ka→?b→）
可得（a→+2b→）?（ka→?b→）＝0，
即ka→2+（2k﹣1）a→?b→?2b→2=0，
即16k﹣16（2k﹣1）﹣128＝0，
解得k＝﹣7．
則當(dāng)k為﹣7時(shí)，（a→+2b→）⊥（ka→?b→）．
23．已知向量a＝（sinx，cs），b＝（csx，sinx﹣2csx），0＜x＜π2．
（Ⅰ）若a∥b，求x；
（Ⅱ）設(shè)f（x）＝a?b，函數(shù)f（x）經(jīng)過怎樣的平移才能使所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)？
【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)向量平行，應(yīng)用向量平行的充要條件得到關(guān)于變量x的等式，整理等式，根據(jù)變量的范圍得到要求的角，本題的關(guān)鍵是角的范圍的分析．
（2）寫出根據(jù)所給的用向量表示的解析式，用三角函數(shù)恒等變形，得到最簡(jiǎn)形式，根據(jù)題目的平移變化，得到能使他為奇函數(shù)的且變化最小的一種結(jié)果．
【解答】解：（I）若a→∥b→，
則sinx（sinx﹣2csx）＝csx2
即﹣sin2x＝cs2x
∴tan2x＝﹣1
∵0＜x＜π2，
∴0＜2x＜π，
∴2x=3π4，
x=3π8
（II）f（x）=a→?b→=2sinxcsx﹣2cs2x
＝sin2x﹣cs2x﹣1
=2sin（2x?π4）﹣1
將函數(shù)f（x）的圖象向上平移1個(gè)單位，再向左平移π8個(gè)單位，
即得函數(shù)g（x）=2sin2x的圖象，而g（x）為奇函數(shù)．
24．已知向量a→=(2，1)，b→=(3，?1)．
（1）求a→與b→的夾角；
（2）求|2a→+b→|；
（3）若(ka→?b→)⊥b→，求實(shí)數(shù)k的值．
【分析】（1）可求出a→?b→=5，|a→|=5，|b→|=10，然后設(shè)a→與b→的夾角為θ，然后即可求出csθ的值，進(jìn)而可得出θ的值；
（2）根據(jù)|2a→+b→|=(2a→+b→)2進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求出|2a→+b→|的值；
（3）可求出ka→?b→=(2k?3，k+1)，然后根據(jù)(ka→?b→)⊥b→即可求出k的值．
【解答】解：（1）∵a→=(2，1)，b→=(3，?1)，
∴a→?b→=2×3+1×(?1)=5，|a→|=22+1=5，|b→|=32+(?1)2=10，
設(shè)向量a→與b→的夾角為θ，則csθ=a→?b→|a→||b→|=55×10=22，
又由θ∈[0，π]，θ=π4，即向量a→與b→的夾角為π4；
（2）|2a→+b→|=(2a→+b→)2=4a→2+b→2+4a→?b→=20+10+20=52；
（3）ka→?b→=(2k?3，k+1)，且(ka→?b→)⊥b→，
∴3×（2k﹣3）﹣（k+1）＝0，解得：k＝2．
25．已知向量a→與b→的夾角為π3，且|a→|＝1，|b→|＝2．
（1）求|a→+b→|；
（2）求向量a→+b→與向量a→的夾角的余弦值．
【分析】（1）由已知利用平面向量數(shù)級(jí)的運(yùn)算可求 a→?b→=1．進(jìn)而根據(jù)向量模的運(yùn)算可求|a→+b→|的值．
（2）根據(jù)條件由向量夾角的余弦公式即可求解．
【解答】解：（1）∵向量a→與b→的夾角為π3，且|a→|＝1，|b→|＝2，
∴a→?b→=|a→||b→|cs＜a→，b→＞=1×2×csπ3=1×2×12=1．
∴|a→+b→|=(a→+b→)2=a→2+b→2+2a→?b→=1+4+2=7．
（2）設(shè)向量a→+b→與向量a→的夾角θ，
∴csθ=(a→+b→)?a→|a→+b→|?|a→|=a→2+a→?b→|a→+b→|?|a→|=|a→|2+a→?b→|a→+b→|?|a→|=1+17×1=277．
26．已知向量a→=(1，1），b→=(?3，4）．
（1）求|a→?b→|的值；
（2）求向量a→與a→?b→夾角的余弦值．
【分析】（1）可以求出a→?b→=(4，?3)，從而可得出|a→?b→|的值；
（2）根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出a→與a→?b→的夾角的余弦值．
【解答】解：（1）∵a→?b→=(4，?3)，
∴|a→?b→|=5；
（2）cs＜a→，a→?b→＞=a→?(a→?b→)|a→||a→?b→|=12×5=210．
27．已知平面向量a→=(2，4)，b→=(3，5)，c→=(?2，6)．
（Ⅰ）若a→=xb→+yc→，求x+y的值；
（Ⅱ）若a→+kc→在a→?b→上的投影是2，求實(shí)數(shù)k．
【分析】（Ⅰ）直接根據(jù)向量相等對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相同即可求解；
（Ⅱ）先分別求出a→+kc→與a→?b→的坐標(biāo)；再結(jié)合投影定義即可求解
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閍→=(2，4)，b→=(3，5)，c→=(?2，6)，
所以xb→+yc→=(3x?2y，5x+6y)，
又a→=xb→+yc→，
所以3x?2y=25x+6y=4，
解得x=57y=114，
所以x+y=1114
（Ⅱ）由題意知a→?b→=(?1，?1)，a→+kc→=(2?2k，4+6k)，
所以|a→?b→|=2，(a→+kc→)?(a→?b→)=?(2?2k)?(4+6k)=?4k?6，
因?yàn)閍→+kc→在a→?b→上的投影是2，
所以2=(a→+kc→)?(a→?b→)|a→?b→|=?4k?62，
解得k＝﹣2

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