1．已知向量a→=（1，2），a→+b→=（﹣3，2），則b→的模長是（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．若向量a→=（1，﹣2），b→=（3，﹣1），則與a→+b→共線的向量是（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣4，3）D．（2，﹣3）
3．已知向量a→=（2，3），b→=（4，2），那么向量a→?b→與a→的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．垂直C．夾角是銳角D．夾角是鈍角
4．在平行四邊形ABCD中，已知A（﹣2，﹣1），D（1，3），AC→=（﹣1，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．（6，2）B．（﹣6，﹣2）C．（6，1）D．（﹣6，﹣1）
5．已知向量a→=（2，3）與b→=（x，﹣6）共線，則x＝（ ）
A．﹣4B．4C．9D．﹣9
6．向量a→=（2，3），b→=（﹣2，2），則|a→+b→|＝（ ）
A．5B．3C．4D．﹣5
7．設(shè)i→，j→是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA→=4i→+2j→，OB→=3i→+4j→，則2OA→+OB→的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，﹣2）B．（7，6）C．（5，0）D．（11，8）
8．已知a→=(?3，4)，b→=(?2，1)，則a→在b→上的投影為（ ）
A．﹣2B．2C．?25D．25
9．已知向量a→=(6，8)，b→=(sinα，csα)，a→∥b→，則tanα＝（ ）
A．34B．?34C．43D．?43
10．已知向量a→=（1，2），b→=（3，4），c→=（﹣1，0），c→=xa→+yb→，則x+y＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
11．已知點(diǎn)A（1，2），B（﹣1，0），則AB→=（ ）
A．（2，0）B．（2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（0，2）
二．多選題（共1小題）
12．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（﹣1，2），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．a(chǎn)→∥b→B．a(chǎn)→與b→可以作為基底
C．a(chǎn)→+b→=0→D．b→?a→與a→方向相反
三．填空題（共12小題）
13．若a→=(?2，3)，b→=(10，m)，且b→=λa→，則λ＝ ．
14．已知向量a→=（﹣1，1），b→=（m，2），若存在實(shí)數(shù)λ，使得a→=λb→，則m＝ ．
15．設(shè)平面向量a→=（1，﹣1），b→=（﹣1，2），c→=（2，3），則（2a→?b→）?c→= ．
16．已知向量a→=（2m，m），b→=（n，﹣2n），若a→+b→=（9，﹣8）（m，n∈R），則m﹣n的值為 ．
17．已知向量AB→=（3，5），AC→=（4，1），則向量BC→的坐標(biāo)為 ．
18．已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)分別是（﹣2，1），（3，4），（2，2），則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ．
19．已知點(diǎn)A（0，1），B（3，2），向量AC→=（4，3），則向量|BC→|＝ ．
20．已知點(diǎn)A（0，1），B（3，2），向量AC→=（4，3），則向量BC→的坐標(biāo)是 ．
21．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（3，1），則a→+2b→= ．
22．設(shè)向量a→=（﹣1，2），b→=（2x，﹣1），若a→=λb→，則x＝ ．
23．已知a→=(1，1)，b→=(1，0)，則當(dāng)|a→?tb→|取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)t＝ ．
24．若向量a→=（2，﹣1），b→=（﹣1，1），則a→?2b→= ．
四．解答題（共5小題）
25．（1）f（x）=sinxπ，(x＜0)f(x?1)?12，(x≥0)，求f（?13）﹣f（34）的值．
（2）已知A（﹣3，﹣4），B（﹣5，3），C（﹣6，5），計(jì)算4AB→?3BC→．
26．已知向量a→=（1，1），b→=（2，﹣3）．
（1）若c→=2a→+3b→，求c→的坐標(biāo)；
（2）若λa→?2b→與a→垂直，求λ的值．
27．在平面內(nèi)給定三個(gè)向量a→=（3，2），b→=（﹣1，2），c→=（4，1）．
（Ⅰ）求滿足a→=mb→+nc→的實(shí)數(shù)m、n的值；
（Ⅱ）若向量d→滿足（d→?c→）∥（a→+b→），且|d→?c→|=5，求向量d→的坐標(biāo)．
28．已知a→=（4，2），求與a→垂直的單位向量的坐標(biāo)．
29．已知點(diǎn)A（2，﹣1），B（﹣3，11）．
（Ⅰ）求|AB|→的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)C滿足AB→+BC→=0→，求點(diǎn)C坐標(biāo)．
人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
參考答案與試題解析
一．選擇題（共11小題）
1．已知向量a→=（1，2），a→+b→=（﹣3，2），則b→的模長是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根據(jù)b→=(a→+b→)?a→可求出向量b→的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出b→的模長．
【解答】解：∵b→=(a→+b→)?a→=(?3，2)?(1，2)=(?4，0)，
∴|b→|=4．
故選：A．
2．若向量a→=（1，﹣2），b→=（3，﹣1），則與a→+b→共線的向量是（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣4，3）D．（2，﹣3）
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理，判斷即可．
【解答】解：向量a→=（1，﹣2），b→=（3，﹣1），
則a→+b→=（4，﹣3），
所以與a→+b→共線的向量是λ（4，﹣3），其中λ∈R；
當(dāng)λ＝﹣1時(shí)，共線向量是（﹣4，3）．
故選：C．
3．已知向量a→=（2，3），b→=（4，2），那么向量a→?b→與a→的位置關(guān)系是（ ）
A．平行B．垂直C．夾角是銳角D．夾角是鈍角
【分析】可先求出a→?b→=(?2，1)，從而可判斷出a→?b→與a→不平行，然后可求出(a→?b→)?a→＜0，從而可得出a→?b→與a→的位置關(guān)系．
【解答】解：a→?b→=(?2，1)，
∵﹣2×3﹣1×2≠0，∴a→?b→與a→不平行，
又(a→?b→)?a→=?4+3=?1＜0，
∴a→?b→與a→的夾角是鈍角．
故選：D．
4．在平行四邊形ABCD中，已知A（﹣2，﹣1），D（1，3），AC→=（﹣1，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．（6，2）B．（﹣6，﹣2）C．（6，1）D．（﹣6，﹣1）
【分析】先求出AD→=（3，4），AB→=（x+2，y+1），再利用AC→=AB→+AD→，得到坐標(biāo)之間的關(guān)系即可求解．
【解答】解：設(shè)B（x，y），則AD→=（3，4），AB→=（x+2，y+1），
∵AC→=AB→+AD→，∴（﹣1，3）＝（x+5，y+5），
∴x+5=?1y+5=3，∴x=?6y=?2，∴B（﹣6，﹣2），
故選：B．
5．已知向量a→=（2，3）與b→=（x，﹣6）共線，則x＝（ ）
A．﹣4B．4C．9D．﹣9
【分析】利用向量平行的性質(zhì)直接求解．
【解答】解：∵向量a→=（2，3）與b→=（x，﹣6）共線，
∴x2=?63，
解得x＝﹣4．
故選：A．
6．向量a→=（2，3），b→=（﹣2，2），則|a→+b→|＝（ ）
A．5B．3C．4D．﹣5
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量的模的性質(zhì)直接求解．
【解答】解：∵向量a→=（2，3），b→=（﹣2，2），
∴a→+b→=（0，5），
∴|a→+b→|=02+52=5．
故選：A．
7．設(shè)i→，j→是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA→=4i→+2j→，OB→=3i→+4j→，則2OA→+OB→的坐標(biāo)是（ ）
A．（1，﹣2）B．（7，6）C．（5，0）D．（11，8）
【分析】根據(jù)題意，求出OA→、OB→的坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)加法公式計(jì)算可得答案，
【解答】解：根據(jù)題意，若OA→=4i→+2j→，OB→=3i→+4j→，則OA→=（4，2），OB→=（3，4），
則有2OA→+OB→=（11，8），
故選：D．
8．已知a→=(?3，4)，b→=(?2，1)，則a→在b→上的投影為（ ）
A．﹣2B．2C．?25D．25
【分析】根據(jù)投影的定義a→在b→上的投影為a→?b→|b→|．
【解答】解：根據(jù)投影的定義可得：a→?b→|b→|=?3×(?2)+4×1(?2)2+12=105=25，
故選：D．
9．已知向量a→=(6，8)，b→=(sinα，csα)，a→∥b→，則tanα＝（ ）
A．34B．?34C．43D．?43
【分析】根據(jù)a→∥b→即可得出6csα﹣8sinα＝0，從而可求出tanα．
【解答】解：∵a→∥b→；
∴6csα﹣8sinα＝0；
∴6csα＝8sinα；
∴tanα=34．
故選：A．
10．已知向量a→=（1，2），b→=（3，4），c→=（﹣1，0），c→=xa→+yb→，則x+y＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】根據(jù)c→=xa→+yb→，代入a→，b→，c→的坐標(biāo)即可得出（﹣1，0）＝（x+3y，2x+4y），從而可得出x+3y=?12x+4y=0，然后即可解出x+y的值．
【解答】解：∵a→=（1，2），b→=（3，4），c→=（﹣1，0），c→=xa→+yb→，
∴（﹣1，0）＝（x+3y，2x+4y），
∴x+3y=?12x+4y=0，解得x+y＝1．
故選：D．
11．已知點(diǎn)A（1，2），B（﹣1，0），則AB→=（ ）
A．（2，0）B．（2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（0，2）
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示，求出AB→即可．
【解答】解：點(diǎn)A（1，2），B（﹣1，0），
則AB→=（﹣1﹣1，0﹣2）＝（﹣2，﹣2）．
故選：C．
二．多選題（共1小題）
12．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（﹣1，2），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．a(chǎn)→∥b→B．a(chǎn)→與b→可以作為基底
C．a(chǎn)→+b→=0→D．b→?a→與a→方向相反
【分析】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷a→∥b→，得出A正確，B錯(cuò)誤；
由a→+b→=（0，0），判斷C正確；
由b→?a→=?2a→，判斷D正確．
【解答】解：由向量a→=（1，﹣2），b→=（﹣1，2），
知1×2﹣（﹣2）×（﹣1）＝0，所以a→∥b→，A正確，B錯(cuò)誤；
又a→+b→=（1﹣1，﹣2+2）＝（0，0），所以C正確；
又b→?a→=（﹣2，4），所以b→?a→=?2a→，b→?a→與a→方向相反，D正確；
故選：ACD．
三．填空題（共12小題）
13．若a→=(?2，3)，b→=(10，m)，且b→=λa→，則λ＝ ﹣5 ．
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量相等，列方程求出λ的值．
【解答】解：因?yàn)閍→=(?2，3)，b→=(10，m)，且b→=λa→，
所以（10，m）＝（﹣2λ，3λ），
即﹣2λ＝10，
解得λ＝﹣5．
故答案為：﹣5．
14．已知向量a→=（﹣1，1），b→=（m，2），若存在實(shí)數(shù)λ，使得a→=λb→，則m＝ ﹣2 ．
【分析】根據(jù)共線向量得到關(guān)于m的方程組，解出即可．
【解答】解：∵a→=（﹣1，1），b→=（m，2），
若a→=λb→，則（﹣1，1）＝λ（m，2），
則λm=?12λ=1，解得：m＝﹣2，
故答案為：﹣2．
15．設(shè)平面向量a→=（1，﹣1），b→=（﹣1，2），c→=（2，3），則（2a→?b→）?c→= ﹣6 ．
【分析】可求出向量2a→?b→的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算即可．
【解答】解：∵2a→?b→=(3，?4)，c→=(2，3)，
∴(2a→?b→)?c→=6?12=?6．
故答案為：﹣6．
16．已知向量a→=（2m，m），b→=（n，﹣2n），若a→+b→=（9，﹣8）（m，n∈R），則m﹣n的值為 ﹣3 ．
【分析】根據(jù)條件可得出（2m+n，m﹣2n）＝（9，﹣8），進(jìn)而得出2m+n=9m?2n=?8，然后解出m，n的值即可．
【解答】解：∵a→=（2m，m），b→=（n，﹣2n），
∴a→+b→=(2m+n，m?2n)=(9，?8)，
∴2m+n=9m?2n=?8，解得m=2n=5，
∴m﹣n＝﹣3．
故答案為：﹣3．
17．已知向量AB→=（3，5），AC→=（4，1），則向量BC→的坐標(biāo)為 （1，﹣4） ．
【分析】進(jìn)行向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算即可．
【解答】解：BC→=AC→?AB→=(4，1)?(3，5)=（1，﹣4）．
故答案為：（1，﹣4）．
18．已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)分別是（﹣2，1），（3，4），（2，2），則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （﹣1，3） ．
【分析】可設(shè)B（x，y），然后可得出DC→=(1，2)，AB→=(x+2，y?1)，然后根據(jù)題意可得出DC→=AB→，然后即可求出x，y的值，即得出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【解答】解：設(shè)B（x，y），
∵A，C，D的坐標(biāo)分別是（﹣2，1），（3，4），（2，2），
∴DC→=(1，2)，AB→=(x+2，y?1)，且四邊形ABCD為平行四邊形，
∴DC→=AB→，
∴x+2=1y?1=2，解得x=?1y=3，
∴B（﹣1，3）．
故答案為：（﹣1，3）．
19．已知點(diǎn)A（0，1），B（3，2），向量AC→=（4，3），則向量|BC→|＝ 5 ．
【分析】可設(shè)C（x，y），從而可得出（x，y﹣1）＝（4，3），從而可解出x，y，進(jìn)而得出向量BC→的坐標(biāo)，從而得出|BC→|的值．
【解答】解：設(shè)C（x，y），則AC→=(x，y?1)=(4，3)，
∴x=4y?1=3，解得x=4y=4，
∴BC→=(1，2)，
∴|BC→|=5．
故答案為：5．
20．已知點(diǎn)A（0，1），B（3，2），向量AC→=（4，3），則向量BC→的坐標(biāo)是 （1，2） ．
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出．
【解答】解：∵點(diǎn)A（0，1），B（3，2），
∴AB→=（3，1），
∵AC→=（4，3），
∴BC→=AC→?AB→=（1，2），
故答案為：（1，2）
21．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（3，1），則a→+2b→= （7，0） ．
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出a→+2b→的坐標(biāo)即可．
【解答】解：∵a→=（1，﹣2），b→=（3，1），
∴a→+2b→=（1，﹣2）+2（3，1）＝（7，0），
故答案為：（7，0）．
22．設(shè)向量a→=（﹣1，2），b→=（2x，﹣1），若a→=λb→，則x＝ 14 ．
【分析】根據(jù)a→=λb→即可得出a→∥b→，從而得出（﹣1）?（﹣1）﹣2?2x＝0，解出x即可．
【解答】解：∵a→=λb→；
∴a→∥b→；
∴1﹣4x＝0；
∴x=14．
故答案為：14．
23．已知a→=(1，1)，b→=(1，0)，則當(dāng)|a→?tb→|取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)t＝ 1 ．
【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【解答】解：|a→|=2，|b→|=1，a→?b→=1．
∴|a→?tb→|=a→2+t2b→2?2ta→?b→=t2?2t+2=(t?1)2+1取最小值時(shí)，t＝1．
故答案為：1．
24．若向量a→=（2，﹣1），b→=（﹣1，1），則a→?2b→= （4，﹣3） ．
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可．
【解答】解：向量a→=（2，﹣1），b→=（﹣1，1），
所以a→?2b→=（2﹣2×（﹣1），﹣1﹣2×1）＝（4，﹣3）．
故答案為：（4，﹣3）．
四．解答題（共5小題）
25．（1）f（x）=sinxπ，(x＜0)f(x?1)?12，(x≥0)，求f（?13）﹣f（34）的值．
（2）已知A（﹣3，﹣4），B（﹣5，3），C（﹣6，5），計(jì)算4AB→?3BC→．
【分析】（1）欲求f（?13）﹣f（34）的值，應(yīng)該分別求f（?13）和f（34）的值，由分段函數(shù)分段處理的原則，?13代入x＜0的解析式，34代入x≥0的解析式；
（2）欲求4AB→?3BC→的值，先根據(jù)A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)分別求AB→和BC→，再利用坐標(biāo)減法運(yùn)算求解．
【解答】解：（1）f(?13)=sin(?13π)=?32，f(34)=f(34?1)?12=f(?14)?12=sin(?14π)?12=?22?12，
∴f(?13)?f(34)=?32+22+12；
（2）AB→=OB→?OA→=(?2，7)，BC→=OC→?OB→=(?1，2)，
∴4AB→?3BC→=(?8，28)?(?3，6)=(?5，22)．
26．已知向量a→=（1，1），b→=（2，﹣3）．
（1）若c→=2a→+3b→，求c→的坐標(biāo)；
（2）若λa→?2b→與a→垂直，求λ的值．
【分析】（1）直接由向量的數(shù)乘及減法運(yùn)算求解；
（2）由向量的數(shù)乘及減法運(yùn)算求得λa→?2b→的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解．
【解答】解：（1）∵a→=（1，1），b→=（2，﹣3），
∴c→=2a→+3b→=2（1，1）+3（2，﹣3）＝（8，﹣7）；
（2）λa→?2b→=λ（1，1）﹣2（2，﹣3）＝（λ﹣4，λ+6），
∵λa→?2b→與a→垂直，
∴1×（λ﹣4）+1×（λ+6）＝0，
即λ＝﹣1．
27．在平面內(nèi)給定三個(gè)向量a→=（3，2），b→=（﹣1，2），c→=（4，1）．
（Ⅰ）求滿足a→=mb→+nc→的實(shí)數(shù)m、n的值；
（Ⅱ）若向量d→滿足（d→?c→）∥（a→+b→），且|d→?c→|=5，求向量d→的坐標(biāo)．
【分析】（Ⅰ）求滿足a→=mb→+nc→的實(shí)數(shù)m、n的值
（Ⅱ）若向量d→滿足（d→?c→）∥（a→+b→），且|d→?c→|=5，求向量d→的坐標(biāo)．
【解答】解：（Ⅰ）由已知條件以及a→=mb→+nc→，可得：（3，2）＝m（﹣2，2）+n（4，1）＝（﹣m+4n，2m+n）．
∴?m+4n=32m+n=2，解得實(shí)數(shù)m=59，n=89．
（Ⅱ）設(shè)向量d→=（x，y），d→?c→=（x﹣4，y﹣1），a→+b→=（2，4），
∵（d→?c→）∥（a→+b→），
|d→?c→|=5，
∴4(x?4)?2(y?1)=0(x?4)2+(y?1)2=5，解得x=3y=?1或x=5y=3，
向量d→的坐標(biāo)為（3，﹣1）或（5，3）．
28．已知a→=（4，2），求與a→垂直的單位向量的坐標(biāo)．
【分析】設(shè)與a→垂直的單位向量為b→=（x，y），則a→?b→=4x+2y=0x2+y2=1，由此能求出與a→垂直的單位向量的坐標(biāo)．
【解答】解：a→=（4，2），
設(shè)與a→垂直的單位向量為b→=（x，y），
則a→?b→=4x+2y=0x2+y2=1，
解得x=?55y=255，或x=55y=?255，
∴與a→垂直的單位向量的坐標(biāo)為（?55，255）或（55，?255）．
29．已知點(diǎn)A（2，﹣1），B（﹣3，11）．
（Ⅰ）求|AB|→的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)C滿足AB→+BC→=0→，求點(diǎn)C坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)已知條件，運(yùn)用向量模長公式，即可求解．（2）根據(jù)向量之間的線性運(yùn)算，即可求解．
【解答】解：（I）∵A（2，﹣1），B（﹣3，11）．
∴AB→=(?5，12)，∴|AB→|=(?5)2+122=13．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則BC→=(x+3，y?11)，
∵AB→+BC→=0→，
∴?5+x+3=012+y?11=0，解得x＝2，y＝﹣1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，﹣1）．

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