人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 基本不等式及其應(yīng)用-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 基本不等式及其應(yīng)用
一．選擇題（共14小題）
1．已知x＞3，y＝x+1x?3，則y的最小值為（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知正實數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a2+4a+b2+1b的最小值為（　　）
A．13 B．11 C．10 D．9
3．已知a＞b＞0，則2a+4a+b+1a?b的最小值為（　　）
A．6 B．4 C．23 D．32
4．設(shè)2a＝5b＝m，且1a+1b=2，則m等于（　?。?br /> A．10 B．10 C．20 D．100
5．設(shè)x+3y＝2，則函數(shù)z＝3x+27y的最小值是（　?。?br /> A．12 B．27 C．6 D．30
6．已知x，y為正實數(shù)，且xy＝4，則x+4y的最小值是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
7．已知正實數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，則12x+1+13y+2的最小值為（　?。?br /> A．38+24 B．12+23 C．12+24 D．12+22
8．已知實數(shù)m、n滿足2m+n＝2，其中mn＞0，則1m+2n的最小值為（　?。?br /> A．4 B．6 C．8 D．12
9．已知x＞0，y＞0，且x+y＝8，則（1+x）（1+y）的最大值為（　?。?br /> A．16 B．25 C．9 D．36
10．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝2，則aa+1+4bb+1的最大值是（　　）
A．92 B．114 C．1 D．73
11．設(shè)a＞0，b＞0，若2是4a與2b的等比中項，則1a+1b的最小值為（　　）
A．1 B．22 C．32+2 D．3+22
12．已知a，b∈R，a+b＝2．則1a2+1+1b2+1的最大值為（　　）
A．1 B．65 C．2+12 D．2
13．已知兩個正實數(shù)x，y滿足x+y＝2，則1x+9y+1的最小值是（　?。?br /> A．163 B．112 C．8 D．3
14．設(shè)a，b為實數(shù)，且a+b＝3，則2a+2b的最小值是（　?。?br /> A．6 B．42 C．22 D．8
二．多選題（共1小題）
15．下列結(jié)論正確的是（　　）
A．若x＜0，則y=x+1x的最大值為﹣2
B．若a＞0，b＞0，則ab≤(a+b2)2
C．若a＞0，b＞0，且a+4b＝1，則1a+1b的最大值為9
D．若x∈[0，2]，則y=x4?x2的最大值為2
三．填空題（共9小題）
16．已知b＞a＞1，且3logab+2logba＝7，則a2+1b?1的最小值為　 ?。?br /> 17．設(shè)a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，則a+b的最小值為　 ?。?br /> 18．若正實數(shù)a、b滿足a+b＝ab，則a+ba+64ab的最小值為　 ?。?br /> 19．函數(shù)y=(x+5)(x+2)x+1（x＞﹣1）的最小值為　 ?。?br /> 20．已知a＞0，b＞0，a+4b＝4，則4a+9b的最小值為　　．
21．已知正實數(shù)x，y滿足x+y＝1，則yx+2xy的最小值為　 ?。?br /> 22．已知x＞2，y＞1，且（x+y﹣3）（x+2y﹣3）＝9，則3x+4y的最小值為　 ?。?br /> 23．函數(shù)f（x）＝aex+be﹣x（a∈R+，b∈R+），已知f（x）的最小值為4，則點（a，b）到直線2x+y?2=0距離的最小值為　　．
24．設(shè)x，y是正實數(shù)，且x+y＝1，則x2x+2+y2y+1的最小值是　　．
四．解答題（共5小題）
25．為保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下進行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項目，經(jīng)測算，該項目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=13x3?80x2+5040x，x∈[120，144)12x2?200x+80000，x∈[144，500]，
（1）寫出每噸的平均處理成本S與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？并求出該最小值．
26．某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進一艘魚船用于捕撈，第一年需要各種費用12萬元，從第二年起包括維修費在內(nèi)每年所需費用比上一年增加4萬元，該船每年捕撈總收入50萬元．
（1）問捕撈幾年后總盈利最大，最大是多少？
（2）問捕撈幾年后年平均利潤最大，最大是多少？
27．有一批材料，可以建成長為240米的圍墻如圖，如果用材料在一面靠墻的地方圍成一塊矩形的場地，中間用同樣材料隔成三個相等面積的矩形，怎樣圍法才可取得最大的面積？并求此面積．

28．黨的十九大報告指出，建設(shè)生態(tài)文明是中華民族永續(xù)發(fā)展的千年大計．而清潔能源的廣泛使用將為生態(tài)文明建設(shè)提供更有力的支撐．沼氣作為取之不盡、用之不竭的生物清潔能源，在保護綠水青山方面具有獨特功效．通過辦沼氣帶來的農(nóng)村“廁所革命”，對改善農(nóng)村人居環(huán)境等方面，起到立竿見影的效果．為了積極響應(yīng)國家推行的“廁所革命”，某農(nóng)戶準(zhǔn)備建造一個深為2米，容積為32立方米的長方體沼氣池，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，沼氣池蓋子的造價為3000元，問怎樣設(shè)計沼氣池能使總造價最低？最低總造價是多少元？
29．設(shè)x+y+z＝1，求F＝2x2+3y2+z2的最小值．

人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 基本不等式及其應(yīng)用
參考答案與試題解析
一．選擇題（共14小題）
1．已知x＞3，y＝x+1x?3，則y的最小值為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】x+1x?3=x﹣3+1x?3+3，由基本不等式可知y≥5，即可得最小值．
【解答】解：因為y＝x+1x?3=x﹣3+1x?3+3，又因為x＞3，所以x﹣3＞0，
所以y≥5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4時，等號成立，
故選：D．
2．已知正實數(shù)a，b滿足a+b＝1，則a2+4a+b2+1b的最小值為（　?。?br /> A．13 B．11 C．10 D．9
【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．
【解答】解：由a2+4a+b2+1b=a+b+4a+1b=1+4a+1b
∵a+b＝1，
∴4a+1b=（4a+1b）（a+b）＝5+4ba+ab≥24ba×ab+5=9，當(dāng)且僅當(dāng)b=13，a=23時取等號．
∴a2+4a+b2+1b的最小值為9+1＝10
故選：C．
3．已知a＞b＞0，則2a+4a+b+1a?b的最小值為（　　）
A．6 B．4 C．23 D．32
【分析】變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
【解答】解：∵a＞b＞0，
∴2a+4a+b+1a?b=（a+b）+4a+b+（a﹣b）+1a?b≥2(a+b)?4a+b+2(a?b)?1a?b=6，當(dāng)且僅當(dāng)a+b=2a?b=1，即a=32，b=12時取等號．
∴2a+4a+b+1a?b的最小值為6．
故選：A．
4．設(shè)2a＝5b＝m，且1a+1b=2，則m等于（　?。?br /> A．10 B．10 C．20 D．100
【分析】推導(dǎo)出a＝log2m，b＝log5m，從而1a+1b=logm2+logm5＝logm10＝2，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：∵2a＝5b＝m，且1a+1b=2，
∴a＝log2m，b＝log5m，
∴1a+1b=logm2+logm5＝logm10＝2，
∴m2＝10，解得m=10．
故選：A．
5．設(shè)x+3y＝2，則函數(shù)z＝3x+27y的最小值是（　　）
A．12 B．27 C．6 D．30
【分析】利用基本不等式的性質(zhì)與指數(shù)運算的性質(zhì)即可得出．
【解答】解：∵x+3y＝2，
∴函數(shù)z＝3x+27y＝≥23x×27y=23x+3y=6，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y＝1時取等號．
∴函數(shù)z＝3x+27y的最小值是6．
故選：C．
6．已知x，y為正實數(shù)，且xy＝4，則x+4y的最小值是（　?。?br /> A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解．
【解答】解：∵x＞0，y＞0
∴x+4y≥24xy=8，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y且xy＝4，即x＝4，y＝1時取等號，
∴x+4y的最小值為8．
故選：B．
7．已知正實數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，則12x+1+13y+2的最小值為（　　）
A．38+24 B．12+23 C．12+24 D．12+22
【分析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2（2x+1）+（3y+2）＝8，再將式子換元，由基本不等式換“1”法求解即可．
【解答】解：由正實數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，可得2（2x+1）+（3y+2）＝8，
令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，
所求12x+1+13y+2=1a+1b=(1a+1b)×(2a+b)×18
=18×(2+2ab+ba+1)≥18×(3+22ab×ba)，
即1a+1b≥18×(3+22)，
即1a+1b≥38+24，當(dāng)且僅當(dāng)2ab=ba時取等號，
所以答案為38+24，
故選：A．
8．已知實數(shù)m、n滿足2m+n＝2，其中mn＞0，則1m+2n的最小值為（　?。?br /> A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
【解答】解：∵實數(shù)m、n滿足2m+n＝2，其中mn＞0，
∴1m+2n=12(2m+n)(1m+2n)=12(4+nm+4mn)≥12(4+2nm?4mn)=12(4+4)=4，當(dāng)且僅當(dāng)nm=4mn，2m+n＝2，即n＝2m＝1時取等號．
∴1m+2n的最小值是4．
故選：A．
9．已知x＞0，y＞0，且x+y＝8，則（1+x）（1+y）的最大值為（　?。?br /> A．16 B．25 C．9 D．36
【分析】展開已知條件，利用基本不等式可得（1+x）（1+y）的最大值．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y＝8，
∴（1+x）（1+y）＝1+（x+y）+xy＝9+xy≤9+(x+y)24=9+16＝25，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝5時，取等號，
∴（1+x）（1+y）的最大值為25．
故選：B．
10．已知正數(shù)a，b滿足a+b＝2，則aa+1+4bb+1的最大值是（　?。?br /> A．92 B．114 C．1 D．73
【分析】化簡aa+1+4bb+1=5﹣（1a+1+4b+1），從而轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求1a+1+4b+1的最值即可．
【解答】解：aa+1+4bb+1=1?1a+1+4?4b+1=5﹣（1a+1+4b+1），
∵a+b＝2，∴a+1+b+1＝4，
1a+1+4b+1=14（1a+1+4b+1）（a+1+b+1）=14（1+4+b+1a+1+4(a+1)b+1），
b+1a+1+4(a+1)b+1≥24=4（當(dāng)且僅當(dāng)b+1a+1=4(a+1)b+1，即a=13，b=53時，等號成立），
故14（1+4+b+1a+1+4(a+1)b+1）≥14×9，即1a+1+4b+1≥94，
故aa+1+4bb+1=5﹣（1a+1+4b+1）≤114，
故選：B．
11．設(shè)a＞0，b＞0，若2是4a與2b的等比中項，則1a+1b的最小值為（　?。?br /> A．1 B．22 C．32+2 D．3+22
【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到2a+b＝1，利用1的代換，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用進行轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】就∵a＞0，b＞0，若2是4a與2b的等比中項，
∴4a?2b＝（2）2＝2，
即22a+b＝2，
即2a+b＝1，
1a+1b=（1a+1b）（2a+b）＝2+1+ba+2ab≥3+2ba?2ab=3+22，
當(dāng)且僅當(dāng)ba=2ab，即b2＝2a2時取等號，
故1a+1b的最小值為3+22，
故選：D．
12．已知a，b∈R，a+b＝2．則1a2+1+1b2+1的最大值為（　?。?br /> A．1 B．65 C．2+12 D．2
【分析】化簡配方可得1a2+1+1b2+1=4?2(ab?1)(ab?1)2+4，令t＝6﹣2ab，t＞0，再由基本不等式計算可得最大值．
【解答】解：a，b∈R，a+b＝2．
則1a2+1+1b2+1=a2+b2+21+a2+b2+(ab)2
=(a+b)2?2ab+21+(a+b)2?2ab+(ab)2=6?2ab5?2ab+(ab)2，
令t＝6﹣2ab，t＞0，則ab=6?t2，
則6?2ab5?2ab+(ab)2=tt?1+(6?t2)2=4tt2?8t+32=4t+32t?8≤482?8=1+22．
當(dāng)且僅當(dāng)t＝42時，取得等號，
則1a2+1+1b2+1的最大值為2+12，
故選：C．
13．已知兩個正實數(shù)x，y滿足x+y＝2，則1x+9y+1的最小值是（　　）
A．163 B．112 C．8 D．3
【分析】1x+9y+1=13（1x+9y+1）（x+y+1），展開后結(jié)合基本不等式即可直接求解．
【解答】解：因為正實數(shù)x，y滿足x+y＝2，
則1x+9y+1=13（1x+9y+1）（x+y+1）=13（10+y+1x+9xy+1）≥13(10+2y+1x?9xy+1)=163．
當(dāng)且僅當(dāng)y+1x=9xy+1且x+y＝2，即x=34，y=54時取等號．
故選：A．
14．設(shè)a，b為實數(shù)，且a+b＝3，則2a+2b的最小值是（　　）
A．6 B．42 C．22 D．8
【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)與冪的運算性質(zhì)，有2a+2b≥2 2a?2b=22a+b，結(jié)合題意a+b＝3，代入可得答案．
【解答】解：根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，有2a+2b≥2 2a?2b=22a+b，
又由a+b＝3，
則2a+2b≥22a+b=42，
故選：B．
二．多選題（共1小題）
15．下列結(jié)論正確的是（　　）
A．若x＜0，則y=x+1x的最大值為﹣2
B．若a＞0，b＞0，則ab≤(a+b2)2
C．若a＞0，b＞0，且a+4b＝1，則1a+1b的最大值為9
D．若x∈[0，2]，則y=x4?x2的最大值為2
【分析】直接利用均值不等式的應(yīng)用和關(guān)系式的變換的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．
【解答】解：對于A：由于x＜0，所以﹣x＞0，故(?x)+(?1x)≥2，則x+1x≤?2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝﹣1時，等號成立，故A正確；
對于B：由于若a＞0，b＞0，利用均值不等式ab≤a+b2，則ab≤(a+b2)2，故B正確；
對于C：若a＞0，b＞0，且a+4b＝1，則1a+1b=（1a+1b）（a+4b）＝1+4+4ba+ab≥5+4＝9（當(dāng)且僅當(dāng)a=13，b=16時等號成立），故C錯誤；
對于D：若x∈[0，2]，則y=x4?x2=x2?4?x2≤x2+4?x22=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時，等號成立，故D正確．
故選：ABD．
三．填空題（共9小題）
16．已知b＞a＞1，且3logab+2logba＝7，則a2+1b?1的最小值為　3?。?br /> 【分析】利用已知條件結(jié)合對數(shù)的運算法則，求出ab的關(guān)系式，化簡所求表達式，利用基本不等式求解最小值即可．
【解答】解：b＞a＞1，且3logab+2logba＝7，∴l(xiāng)ogab＞1，令m＝logab，
∴方程化為：3m2﹣7m+2＝0，解得m=13（舍去），m＝2，
即logab＝2，可得a2＝b，
則a2+1b?1=b+1b?1=b﹣1+1b?1+1≥2(b?1)×1b?1+1＝3．
當(dāng)且僅當(dāng)b＝2時取等號．
故答案為：3．
17．設(shè)a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，則a+b的最小值為　45?。?br /> 【分析】由已知先用b表示a，然后代入到所求式子后，利用基本不等式即可求解．
【解答】解：因為a＞0，b＞0，且5ab+b2＝1，
所以a=1?b25b，
因為a＞0，
所以0＜b＜1，
a+b=1+4b25b=15b+4b5≥215b?4b5=45，
當(dāng)且僅當(dāng)15b=4b5，即b=12，a=310時取等號，
則a+b的最小值45．
故答案為：45．
18．若正實數(shù)a、b滿足a+b＝ab，則a+ba+64ab的最小值為　15?。?br /> 【分析】將正實數(shù)a、b滿足的a+b＝ab變形為ba=b﹣1，代入a+ba+64ab再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
【解答】解：若正實數(shù)a、b滿足a+b＝ab，
則a+ba=aba，即ba=b﹣1，
則a+ba+64ab=a+b﹣1+64a+b≥2(a+b)?(64a+b)?1＝16﹣1＝15，
當(dāng)且僅當(dāng)a+b=64a+b時，a+b＝8且a+b＝ab時取等號，
即a=4+22b=4?22或a=4?22b=4+22時取等號，
故a+ba+64ab的最小值為15；
故答案為：15．
19．函數(shù)y=(x+5)(x+2)x+1（x＞﹣1）的最小值為　9?。?br /> 【分析】利用換元法，然后結(jié)合基本不等式即可求解．
【解答】解：因為x＞﹣1，設(shè)t＝x+1，則t＞0，
y=(x+5)(x+2)x+1=(t+1)(t+4)t=t+4t+5≥2t?4t+5=9，
當(dāng)且僅當(dāng)t=4t，即t＝2時取等號，此時取得最小值9．
故答案為：9．
20．已知a＞0，b＞0，a+4b＝4，則4a+9b的最小值為　16?。?br /> 【分析】利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：因為4a+9b=14(a+4b)(4a+9b)=14(40+16ba+9ab)，
16ba+9ab≥216ba?9ab=24，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，b=34時，等號成立．
所以4a+9b≥16．
故答案為：16．
21．已知正實數(shù)x，y滿足x+y＝1，則yx+2xy的最小值為　4+26?。?br /> 【分析】先由題設(shè)?yx+2xy=?1+3?xx(1?x)，令t＝3﹣x∈（2，3），得到：yx+2xy=?1+15?(t+6t)，再利用基本不等式求得其最小值即可．
【解答】解：∵正實數(shù)x，y滿足x+y＝1，
∴y＝1﹣x，x∈（0，1），
∴yx+2xy=1?xx+2x(1?x)=?1+1x+2x(1?x)=?1+3?xx(1?x)，
令t＝3﹣x∈（2，3），
則yx+2xy=?1+t(3?t)(t?2)=?1+t?t2?6+5t=?1+15?(t+6t)≥?1+15?2t?6t=?1+5+26=4+26，
當(dāng)且僅當(dāng)t=6時取“＝”，
故答案為：4+26．
22．已知x＞2，y＞1，且（x+y﹣3）（x+2y﹣3）＝9，則3x+4y的最小值為　62+9?。?br /> 【分析】直接利用換元法和基本不等式，求出結(jié)果．
【解答】解：令x+y﹣3＝m，x+2y﹣3＝n，則m＞0，n＞0，
所以mn＝9，x＝2m﹣n+3，y＝n﹣m，
所以3x+4y＝2m+n+9，
故由基本不等式，得3x+4y＝2m+n+9≥22mn+9=62+9．
當(dāng)且僅當(dāng)x＝3，y=322時，等號成立．
故答案為：62+9．
23．函數(shù)f（x）＝aex+be﹣x（a∈R+，b∈R+），已知f（x）的最小值為4，則點（a，b）到直線2x+y?2=0距離的最小值為　3105?。?br /> 【分析】利用基本不等式可得f（x）≥2ab=4，然后用點到直線的距離公式求出點（a，b）到直線2x+y?2=0距離，計算其最小值即可．
【解答】解：∵a∈R+，b∈R+，∴f（x）＝aex+be﹣x≥2aex?be?x=2ab，
當(dāng)且僅當(dāng)aex＝be﹣x，即ae2x＝b時取等號，
∴f(x)min=2ab=4，∴ab＝4，
∴點（a，b）到直線2x+y?2=0距離，
d=|2a+b?2|22+12≥|22ab?2|5=325=3105，
∴dmin=3105．
故答案為：3105．
24．設(shè)x，y是正實數(shù)，且x+y＝1，則x2x+2+y2y+1的最小值是　14?。?br /> 【分析】該題是考查利用基本不等式求最值問題，但直接運用基本不等式無從下手，可考慮運用換元思想，把要求最值的分母變?yōu)閱雾検?，然后利用?”的代換技巧轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式求最值得問題．
【解答】解：設(shè)x+2＝s，y+1＝t，則s+t＝x+y+3＝4，
所以x2x+2+y2y+1=(s?2)2s+(t?1)2t=(s?4+4s)+(t?2+1t)=(s+t)+(4s+1t)?6=(4s+1t)?2．
因為4s+1t=14(4s+1t)(s+t)=14(4ts+st+5)≥94
所以x2x+2+y2y+1≥14．
當(dāng)且僅當(dāng)s＝2t，即x+y=1x+2=2y+2，即x=23，y=13時等號成立．
故答案為：14．
四．解答題（共5小題）
25．為保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下進行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項目，經(jīng)測算，該項目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=13x3?80x2+5040x，x∈[120，144)12x2?200x+80000，x∈[144，500]，
（1）寫出每噸的平均處理成本S與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？并求出該最小值．
【分析】（1）利用項目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=13x3?80x2+5040x，x∈[120，144)12x2?200x+80000，x∈[144，500]，即可得出結(jié)論；
（2）分段討論，①當(dāng)x∈[120，144）時，S=13x2?80x+5040，求出S的最小值；②當(dāng)x∈[144，500]時，利用基本不等式求出S的最小值；比較得每月處理量為多少噸時，能使每噸的平均處理成本最低．
【解答】解：（1）由題意可知二氧化碳每噸的處理成本為S=13x2?80x+5040，x∈[120，144)12x?200+80000x，x∈[144，500]
（2）當(dāng)x∈[120，144），S=13x2?80x+5040，
∴x＝120時，S取得最小值240；
當(dāng)x∈[144，500]，S=12x+80000x?200≥212x?80000x?200=200
當(dāng)且僅當(dāng)12x=80000x，即x＝400時，S有最小值200；
綜上，當(dāng)每月的處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低為200元．
26．某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進一艘魚船用于捕撈，第一年需要各種費用12萬元，從第二年起包括維修費在內(nèi)每年所需費用比上一年增加4萬元，該船每年捕撈總收入50萬元．
（1）問捕撈幾年后總盈利最大，最大是多少？
（2）問捕撈幾年后年平均利潤最大，最大是多少？
【分析】（1）由已知中某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進一艘魚船用于捕撈，第一年需要各種費用12萬元，從第二年起包括維修費在內(nèi)每年所需費用比上一年增加4萬元，該船每年捕撈總收入50萬，根據(jù)總盈利＝總收入﹣總投入，結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式，即可得到總盈利y關(guān)于年數(shù)n的函數(shù)表達式．進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到結(jié)論．
（2）根據(jù)（1）中總盈利y關(guān)于年數(shù)n的函數(shù)表達式，根據(jù)年平均利潤為yn，結(jié)合基本不等式，即可得到年平均利潤最大值，及對應(yīng)的時間．
【解答】解：（1）設(shè)船捕撈n年后的總盈利為y萬元，則
y＝50n﹣98﹣[12×n+n(n?1)2×4]＝﹣2（n﹣10）2+102．（5分）
所以，當(dāng)捕撈10年后總盈利最大，最大是102萬元．（6分）
（2）年平均利潤為yn=?2（n+49n）+40≤﹣28+40＝12．（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)n=49n，即n＝7時，上式取等號．（11分）
所以，當(dāng)捕撈7年后年平均利潤最大，最大是12萬元．（12分）
27．有一批材料，可以建成長為240米的圍墻如圖，如果用材料在一面靠墻的地方圍成一塊矩形的場地，中間用同樣材料隔成三個相等面積的矩形，怎樣圍法才可取得最大的面積？并求此面積．

【分析】結(jié)合已知條件，利用基本不等式即可求解面積的最大值及取得的條件．
【解答】解：設(shè)每個小矩形的長為x，寬為y，依題意可知4x+3y＝240，
S=3xy=x(240?4x)=4x(60?x)≤4?(x+60?x2)2=3600，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝30取等號，
所以x＝30時，Smax=3600(m2)當(dāng)面積相等的小矩形的長為30時，矩形面積最大，Smax=3600(m2)

28．黨的十九大報告指出，建設(shè)生態(tài)文明是中華民族永續(xù)發(fā)展的千年大計．而清潔能源的廣泛使用將為生態(tài)文明建設(shè)提供更有力的支撐．沼氣作為取之不盡、用之不竭的生物清潔能源，在保護綠水青山方面具有獨特功效．通過辦沼氣帶來的農(nóng)村“廁所革命”，對改善農(nóng)村人居環(huán)境等方面，起到立竿見影的效果．為了積極響應(yīng)國家推行的“廁所革命”，某農(nóng)戶準(zhǔn)備建造一個深為2米，容積為32立方米的長方體沼氣池，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，沼氣池蓋子的造價為3000元，問怎樣設(shè)計沼氣池能使總造價最低？最低總造價是多少元？
【分析】設(shè)沼氣池的底面長為x米，沼氣池的總造價為y元，依題意有y=3000+150×16+120×2(2x+2×16x)=5400+480(x+16x)，利用基本不等式即可求解．
【解答】解：設(shè)沼氣池的底面長為x米，沼氣池的總造價為y元，
因為沼氣池的深為2米，容積為32立方米，所以底面積為16平方米，
因為底面長為x米，所以底面的寬為16x，
依題意有y=3000+150×16+120×2(2x+2×16x)=5400+480(x+16x)，
因為x＞0，由基本不等式和不等式的性質(zhì)可得5400+480(x+16x)≥5400+480×2x?16x，
即y≥5400+480×216，
所以y≥9240，
當(dāng)且僅當(dāng)x=16x，即x＝4時，等號成立，
所以當(dāng)沼氣池的底面是邊長為4米的正方形時，沼氣池的總造價最低，最低總造價是9240元．
29．設(shè)x+y+z＝1，求F＝2x2+3y2+z2的最小值．
【分析】由題意，利用已知條件，構(gòu)造出所求表達式相關(guān)的柯西不等式，由柯西不等式求出其最小值．
【解答】解：由題意，
因為x+y+z＝1，
所以（x+y+z）2＝1，
所以1＝（x+y+z）2＝（12?2x+13?3y+1?z）2≤（12+13+1）（2x2+3y2+z2）
所以F＝2x2+3y2+z2≥611，當(dāng)且僅當(dāng)2x12=3y13=z1且x+y+z＝1，即x=311，y=211，z=611時，取“＝”，
所以F的最小值為611．

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