?人教版2021屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 待定系數(shù)法求直線方程
一．選擇題（共6小題）
1．在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的對角線所在的直線相交于（0，1），若邊AB所在直線的方程為x﹣2y﹣2＝0，則邊AB的對邊CD所在直線的方程為（　　）
A．x﹣2y﹣4＝0 B．x﹣2y+6＝0 C．x﹣2y﹣6＝0 D．x﹣2y+4＝0
2．過點(diǎn)（﹣1，3）且與直線x﹣2y+3＝0平行的直線方程是（　?。?br /> A．x﹣2y﹣5＝0 B．x﹣2y+7＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x+y﹣5＝0
3．原點(diǎn)O（0，0）與點(diǎn)A（﹣4，2）關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程是（　?。?br /> A．x+2y＝0 B．2x﹣y+5＝0 C．2x+y+3＝0 D．x﹣2y+4＝0
4．已知直線l的傾斜角是l'：x﹣y+3＝0傾斜角的2倍，且原點(diǎn)到直線l的距離等于2，則直線l的方程為（　?。?br /> A．x＝2或x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．y＝x+2
5．已知三角形的三個頂點(diǎn)A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），則△ABC的高CD所在的直線方程是（　?。?br /> A．5x+y﹣2＝0 B．x﹣5y﹣16＝0 C．5x﹣y﹣8＝0 D．x+5y+14＝0
6．與直線2x﹣y+1＝0平行且在y軸上的截距為﹣4的直線方程是（　　）
A．2x﹣y+8＝0 B．2x﹣y﹣4＝0 C．x+2y+8＝0 D．y＝﹣4
二．填空題（共6小題）
7．直線l經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，1），且點(diǎn)A（﹣1，﹣2）到l的距離為1，則直線l的方程為　 ?。?br /> 8．設(shè)點(diǎn)A（﹣5，2），B（1，4），點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)．則過點(diǎn)M，且與直線3x+y﹣2＝0平行的直線方程為　 　．
9．如果直線x+2ay﹣1＝0與直線（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0垂直，則a＝　 ?。?br /> 10．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A（2，0），B（0，4），AC＝BC，則△ABC的歐拉線方程為　 ?。?br /> 11．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）、重心（三邊中線的交點(diǎn)）、垂心（三邊高的交點(diǎn)）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)為A（0，0），B（5，0），C（2，4），則該三角形的歐拉線方程為　 　．
12．以A（0，1），B（1，0），C（﹣1，0）為頂點(diǎn)的△ABC的BC邊上中線的方程是x＝0． 　 　（判斷對錯）
三．解答題（共8小題）
13．已知△ABC三個頂點(diǎn)A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC邊中線AD所在的直線方程
（2）求△ABC的面積．
14．三角形ABC的三個頂點(diǎn)A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：
（1）BC邊所在直線的方程；
（2）BC邊上高線AD所在直線的方程．
15．已知三角形三頂點(diǎn)A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：
（1）過A點(diǎn)且平行于BC的直線方程．
（2）AC邊上的高所在的直線方程．
16．求滿足下列條件的直線方程；
（1）過點(diǎn)（﹣1，3），且與直線x﹣2y+3＝0平行的直線方程；
（2）過點(diǎn)（3，4），且與直線3x﹣y+2＝0垂直的直線方程；
（3）過點(diǎn)（1，2），且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程．
17．已知三點(diǎn)A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）．
（1）求證△ABC為等腰直角三角形；
（2）若直線3x﹣y＝0上存在一點(diǎn)P，使得△PAC面積與△PAB面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
18．已知P（3，2），一直線l過點(diǎn)P，
①若直線l在兩坐標(biāo)軸上截距之和為12，求直線l的方程；
②若直線l與x、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△OAB面積為12時，求直線l的方程．
19．寫出滿足下列條件的直線的方程．
（1）經(jīng)過點(diǎn)A（3，2），且與直線2x+y﹣3＝0垂直；
（2）經(jīng)過點(diǎn)B（﹣5，2），且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍．
20．已知直線l：3x﹣2y+1＝0
（1）求l關(guān)于x軸對稱的直線方程；
（2）求l關(guān)于y軸對稱的直線方程．

人教版2021屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 待定系數(shù)法求直線方程
參考答案與試題解析
一．選擇題（共6小題）
1．在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的對角線所在的直線相交于（0，1），若邊AB所在直線的方程為x﹣2y﹣2＝0，則邊AB的對邊CD所在直線的方程為（　?。?br /> A．x﹣2y﹣4＝0 B．x﹣2y+6＝0 C．x﹣2y﹣6＝0 D．x﹣2y+4＝0
【分析】設(shè)邊AB的對邊CD所在直線的方程為x﹣2y+m＝0，m≠﹣2，根據(jù)H（0，1），可得H到AB、CD的距離相等，求得m的值，可得邊CD所在直線的方程．
【解答】解：∵?ABCD中，邊AB所在直線的方程為x﹣2y﹣2＝0，
設(shè)邊AB的對邊CD所在直線的方程為x﹣2y+m＝0，m≠﹣2，
則根據(jù)?ABCD的對角線所在的直線相交于H（0，1），
可得H到AB、CD的距離相等，
可得＝，求得m＝﹣2（舍去），或 m＝6，
故邊CD所在直線的方程為x﹣2y+6＝0，
故選：B．
2．過點(diǎn)（﹣1，3）且與直線x﹣2y+3＝0平行的直線方程是（　?。?br /> A．x﹣2y﹣5＝0 B．x﹣2y+7＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x+y﹣5＝0
【分析】根據(jù)直線平行求出直線方程，利用代入法進(jìn)行求解即可．
【解答】解：設(shè)直線方程為x﹣2y+c＝0，（c≠3），
∵直線過點(diǎn)（﹣1，3），
∴代入直線方程的﹣1﹣2×3+c＝0，
得c＝7，
則所求直線方程為x﹣2y+7＝0，
故選：B．
3．原點(diǎn)O（0，0）與點(diǎn)A（﹣4，2）關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程是（　?。?br /> A．x+2y＝0 B．2x﹣y+5＝0 C．2x+y+3＝0 D．x﹣2y+4＝0
【分析】由題意可得直線l為線段OA的中垂線，求得OA的中點(diǎn)為（﹣2，1），求出OA的斜率可得直線l的斜率，由點(diǎn)斜式求得直線l的方程，化簡可得結(jié)果．
【解答】解：∵已知O（0，0）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A（﹣4，2），故直線l為線段OA的中垂線．
求得OA的中點(diǎn)為（﹣2，1），OA的斜率為 ＝﹣，故直線l的斜率為2，
故直線l的方程為 y﹣1＝2（x+2 ），化簡可得：2x﹣y+5＝0．
故選：B．
4．已知直線l的傾斜角是l'：x﹣y+3＝0傾斜角的2倍，且原點(diǎn)到直線l的距離等于2，則直線l的方程為（　?。?br /> A．x＝2或x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．y＝x+2
【分析】原點(diǎn)到直線l的距離等于2，直線l傾斜角為90°，由此能求出直線l的方程．
【解答】解：∵直線l的傾斜角是直線x﹣y+3＝0的傾斜角的2倍，直線x﹣y+3＝0的斜率k＝1，則傾斜角為45°，
∴直線l傾斜角為90°，
∵原點(diǎn)到直線l的距離等于2，
∴直線l的方程為x＝2或x＝﹣2．
故選：A．
5．已知三角形的三個頂點(diǎn)A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），則△ABC的高CD所在的直線方程是（　?。?br /> A．5x+y﹣2＝0 B．x﹣5y﹣16＝0 C．5x﹣y﹣8＝0 D．x+5y+14＝0
【分析】由斜率公式可得AB的斜率，由垂直關(guān)系可得CD的斜率，可得點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可．
【解答】解：由斜率公式可得kAB＝＝，
∵CD⊥AB，∴kCD＝﹣5，
∴直線CD的方程為：y+3＝﹣5（x﹣1），
化為一般式可得5x+y﹣2＝0．
故選：A．
6．與直線2x﹣y+1＝0平行且在y軸上的截距為﹣4的直線方程是（　?。?br /> A．2x﹣y+8＝0 B．2x﹣y﹣4＝0 C．x+2y+8＝0 D．y＝﹣4
【分析】設(shè)與直線2x﹣y+1＝0平行的直線為2x﹣y+m＝0，根據(jù)它在y軸上的截距為m＝﹣4，得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)與直線2x﹣y+1＝0平行的直線為2x﹣y+m＝0，
根據(jù)它在y軸上的截距為m＝﹣4，
故要求的直線方程是2x﹣y﹣4＝0，
故選：B．
二．填空題（共6小題）
7．直線l經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，1），且點(diǎn)A（﹣1，﹣2）到l的距離為1，則直線l的方程為　x＝﹣2或4x+3y+5＝0?。?br /> 【分析】當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)出點(diǎn)斜式并利用點(diǎn)到直線的距離公式算出l的方程為4x+3y+5＝0；當(dāng)直線與x軸垂直時，l方程為x＝﹣2也符合題意．由此即可得到此直線l的方程．
【解答】解：設(shè)直線l的方程為y﹣1＝k（x+2），即kx﹣y+2k+1＝0
∵點(diǎn)A（﹣1，﹣2）到l的距離為1，
∴＝1，解之得k＝﹣，
得l的方程為4x+3y+5＝0．
當(dāng)直線與x軸垂直時，方程為x＝﹣2，點(diǎn)A（﹣1，﹣2）到l的距離為1，
∴直線l的方程的方程為x＝﹣2或4x+3y+5＝0．
故答案為：x＝﹣2或4x+3y+5＝0．
8．設(shè)點(diǎn)A（﹣5，2），B（1，4），點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)．則過點(diǎn)M，且與直線3x+y﹣2＝0平行的直線方程為　3x+y+3＝0?。?br /> 【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互平行的直線的充要條件即可得出．
【解答】解：M（﹣2，3），
設(shè)與直線3x+y﹣2＝0平行的直線方程為：3x+y+m＝0，
把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得：﹣6+3+m＝0，解得m＝3．
故所求的直線方程為：3x+y+3＝0．
故答案為：3x+y+3＝0．
9．如果直線x+2ay﹣1＝0與直線（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0垂直，則a＝　1或　．
【分析】兩直線垂直，x與y的系數(shù)乘積之和為0，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：∵直線x+2ay﹣1＝0與直線（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0垂直，
∴3a﹣1﹣2a2＝0，
解得a1＝1，a2＝，
故答案是：1或．
10．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A（2，0），B（0，4），AC＝BC，則△ABC的歐拉線方程為　x﹣2y+3＝0?。?br /> 【分析】直接利用直線的垂直的充要條件和定義性問題的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：由題意知：線段AB的中點(diǎn)M（1，2）所以kAB＝﹣2，
所以線段AB的垂直平分線為y﹣2＝，即x﹣2y+3＝0．
由于AC＝BC，所以△ABC的重心，外心垂心都位于線段AB的垂直平分線上，
因此△ABC的歐拉線方程為x﹣2y+3＝0．
故答案為：x﹣2y+3＝0．
11．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）、重心（三邊中線的交點(diǎn)）、垂心（三邊高的交點(diǎn)）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)為A（0，0），B（5，0），C（2，4），則該三角形的歐拉線方程為　x+2y﹣5＝0?。?br /> 【分析】由重心坐標(biāo)公式可得：重心G（），根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)設(shè)出外心M（），再根據(jù)|MA|＝|MC|，求出外心M（），再求出直線MG的斜率，利用點(diǎn)斜式方程即可求解．
【解答】解：由重心坐標(biāo)公式可得：重心G（），即G（），
設(shè)外心為M（，a），因?yàn)閨MA|＝|MC|，
所以＝，
解得a＝，即M（），
所以直線MG的斜率為k，
故歐拉線方程為：y﹣，
即：x+2y﹣5＝0，
故答案為：x+2y﹣5＝0．
12．以A（0，1），B（1，0），C（﹣1，0）為頂點(diǎn)的△ABC的BC邊上中線的方程是x＝0． 　正確?。ㄅ袛鄬﹀e）
【分析】直接利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線方程的求法求出結(jié)果．
【解答】解：由B（1，0），C（﹣1，0）求出中點(diǎn)的坐標(biāo)為D（0，0），
所以：過點(diǎn)D（0，0）和A（0，1）的直線方程為x＝0，
故答案為：正確；
三．解答題（共8小題）
13．已知△ABC三個頂點(diǎn)A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC邊中線AD所在的直線方程
（2）求△ABC的面積．
【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得BC中點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求得BC邊的中線AD所在的直線方程；
（2）首先求得頂點(diǎn)C到直線AD的距離，中線AD的長度，然后由三角形的面積求法進(jìn)行解答．
【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
∴BC中點(diǎn)D（0，1），
∴kAD＝﹣3
∴AD直線方程為3x+y﹣1＝0；
，
，
．
14．三角形ABC的三個頂點(diǎn)A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：
（1）BC邊所在直線的方程；
（2）BC邊上高線AD所在直線的方程．
【分析】（1）直接根據(jù)兩點(diǎn)式公式寫出直線方程即可；
（2）先根據(jù)直線的垂直關(guān)系求出高線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程即可．
【解答】解：（1）BC邊所在直線的方程為：
＝，
即x+2y﹣4＝0；
（2）∵BC的斜率K1＝﹣，
∴BC邊上的高AD的斜率K＝2，
∴BC邊上的高線AD所在直線的方程為：y＝2（x+3），
即2x﹣y+6＝0．
15．已知三角形三頂點(diǎn)A（4，0），B（8，10），C（0，6），求：
（1）過A點(diǎn)且平行于BC的直線方程．
（2）AC邊上的高所在的直線方程．
【分析】（1）求得直線BC的斜率，運(yùn)用兩直線平行的條件：斜率相等，以及點(diǎn)斜式方程即可得到所求直線方程；
（2）求得AC的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，以及點(diǎn)斜式方程即可得到所求直線方程．
【解答】解：（1）∵，
∴直線為，
整理得x﹣2y﹣4＝0；
（2）∵，
AC邊的高過B（8，10）點(diǎn)，且斜率為，
∴y﹣10＝（x﹣8），
整理得AC邊的高所在直線方程為2x﹣3y+14＝0．
16．求滿足下列條件的直線方程；
（1）過點(diǎn)（﹣1，3），且與直線x﹣2y+3＝0平行的直線方程；
（2）過點(diǎn)（3，4），且與直線3x﹣y+2＝0垂直的直線方程；
（3）過點(diǎn)（1，2），且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程．
【分析】（1）根據(jù)平行直線的斜率相同即可求解；
（2）根據(jù)互相垂線直線的斜率乘積為﹣1，從而求解直線方程；
（3）由截距相等，可得x+y＝m，帶入坐標(biāo)解得m，從而可得方程．當(dāng)直線過原點(diǎn)時也是截距相等；
【解答】解：（1）設(shè)與直線x﹣2y+3＝0平行的直線方程為x﹣2y+c＝0；
由于所求直線過點(diǎn)（﹣1，3），帶入可得c＝7，
∴所求的直線方程為x﹣2y+7＝0；
（2）設(shè)與直線3x﹣y+2＝0垂直的直線方程為x+3y+n＝0；
由于所求直線過點(diǎn)（3，4），帶入可得n＝﹣15，
∴所求的直線方程為x+3y﹣15＝0；
（3）由截距相等，可得直線方程為x+y＝m，
由于所求直線過點(diǎn)（1，2），帶入可得m＝3，
∴所求的直線方程為x+y﹣3＝0；
當(dāng)直線過原點(diǎn)時也是截距相等，此時直線方程為：2x﹣y＝0．
17．已知三點(diǎn)A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）．
（1）求證△ABC為等腰直角三角形；
（2）若直線3x﹣y＝0上存在一點(diǎn)P，使得△PAC面積與△PAB面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用兩點(diǎn)間距公式，求出三邊可證得：△ABC為等腰直角三角形；
（2）由AB＝AC且△PAC面積與△PAB面積相等，故P到直線AB和直線AC的距離相等，進(jìn)而得到答案．
【解答】證明：（1）∵A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）．
∴AB＝2，AC＝2，BC＝2，
即AB＝AC，BC2＝AB2+AC2，
即△ABC為等腰直角三角形；
解：（2）直線AB的方程為：，即x﹣2y+3＝0，
直線AC的方程為：，即2x+y﹣4＝0，
∵P在直線3x﹣y＝0上，故設(shè)P坐標(biāo)為（a，3a），
∵AB＝AC且△PAC面積與△PAB面積相等，
故P到直線AB和直線AC的距離相等，
即＝，
即|5a﹣3|＝|5a﹣4|，
解得：a＝，
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，）．
18．已知P（3，2），一直線l過點(diǎn)P，
①若直線l在兩坐標(biāo)軸上截距之和為12，求直線l的方程；
②若直線l與x、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△OAB面積為12時，求直線l的方程．
【分析】設(shè)斜率為k，得出直線的點(diǎn)斜式方程，從而求出截距，再根據(jù)條件列方程求出k，從而得出直線l的方程．
【解答】解：①顯然直線l有斜率且不為0，設(shè)斜率為k，則直線l的方程為：y＝k（x﹣3）+2，
令x＝0得y＝﹣3k+2，令y＝0得x＝+3．
∴﹣3k+2++3＝12，解得k＝﹣或k＝﹣2．
∴直線l的方程為y＝﹣（x﹣3）+2或y＝﹣2（x﹣3）+2．
②∵直線l與x、y軸交于正半軸，∴﹣3k+2＞0，+3＞0，
∴（﹣3k+2）（+3）＝12，解得k＝﹣．
∴直線l的方程為y＝﹣（x﹣3）+2．
19．寫出滿足下列條件的直線的方程．
（1）經(jīng)過點(diǎn)A（3，2），且與直線2x+y﹣3＝0垂直；
（2）經(jīng)過點(diǎn)B（﹣5，2），且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍．
【分析】（1）利用兩條直線垂直的性質(zhì)，求出直線的斜率，再用點(diǎn)斜式求得直線的方程．
（2）分類討論，用待定系數(shù)法求直線的方程．
【解答】解：（1）因?yàn)橹本€2x+y﹣3＝0的斜率為﹣2，直線與2x+y﹣3＝0垂直，
所以直線的斜率為，所以直線的方程為，
即x﹣2y+1＝0．
（2）當(dāng)直線過原點(diǎn)時，設(shè)直線的方程為y＝kx，
把點(diǎn)B（﹣5，2）代入可得，，
此時，直線的方程為2x+5y＝0．
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線的方程為，
把點(diǎn)B（﹣5，2）代入可得，
此時直線的方程為x+2y+1＝0．
綜上，滿足條件的直線方程為2x+5y＝0或x+2y+1＝0．
20．已知直線l：3x﹣2y+1＝0
（1）求l關(guān)于x軸對稱的直線方程；
（2）求l關(guān)于y軸對稱的直線方程．
【分析】（1）先求出l和x軸的交點(diǎn)，再求出要求直線的斜率，用點(diǎn)斜式求得要求直線的方程．
（2）先求出l和y軸的交點(diǎn)，再求出要求直線的斜率，用點(diǎn)斜式求得要求直線的方程．
【解答】解：（1）直線l：3x﹣2y+1＝0與x軸的交點(diǎn)為（﹣，0），
且直線l關(guān)于x軸對稱的直線a的傾斜角和直線l的傾斜角互補(bǔ)，
故它們的斜率相反．
由于直線l的斜率為，故直線a的斜率為﹣，
故直線a的方程為y﹣0＝﹣（x+），
即3x+2y+1＝0．
（2）直線l：3x﹣2y+1＝0與y軸的交點(diǎn)為（0，），
且直線l關(guān)于y軸對稱的直線b的傾斜角和直線l的傾斜角互補(bǔ)，
故它們的斜率相反．
由于直線l的斜率為，故直線b的斜率為﹣，
故直線b的方程為y﹣＝﹣（x﹣0），即 3x+2y﹣1＝0．

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