1．使學生在理解線段概念的基礎上，了解線段的長度可以用正數(shù)來表示，因而線段可以度量、比較大小以及進行一些運算，使學生對幾何圖形與數(shù)之間的聯(lián)系有一定的認識，從而初步了解數(shù)形結(jié)合的思想．
2．掌握比較線段長短的兩種方法．
3．會用直尺和圓規(guī)畫一條線段等于已知線段；理解線段和、差的概念及畫法．
4．理解兩點間距離的概念和線段中點的概念及表示方法；學會線段中點的簡單應用．
教學重點與難點
教學重點：
1．線段長短的兩種比較方法．
2．線段中點的概念及表示方法．
教學難點：
1．掌握線段比較的正確方法．
2．線段中點的應用．
學情分析
認知基礎：學生在小學階段對線段已經(jīng)有了一定的認識，對于線段的長短也有了感性的認識，在比較線段長短的問題上都有了一定的方法，這些為本章的深入學習奠定了基礎．
活動經(jīng)驗基礎：在小學，教材為學生提供了大量生動有趣的現(xiàn)實情境，通過觀察、測量、畫圖、模型操作、拼擺、圖案設計等活動，使學生在活動中自覺體會線段長短的概念及相互比較的方法，同時在活動中也培養(yǎng)了學生良好的情感態(tài)度，順利實現(xiàn)了由小學到初中的學習過渡，以積極的態(tài)度投入初中數(shù)學的學習，具備了一定的主動參與、合作意識和初步的觀察、分析、抽象概括的能力．在對線段的長度有了一定的了解后，對比較線段也有了自己的方法，初步實現(xiàn)了由感性認識到理性認識的過渡，在這一基礎之上使學生進一步對線段的和差進行探究，理解線段中點及等分點的特性，從而將圖形與數(shù)量關系結(jié)合在一起．
教學方法
通過創(chuàng)設情境，以問題為載體給學生提供探索的空間，引導學生積極探索．教學環(huán)節(jié)的設計與展開，都以問題的解決為中心，構建了“以問題研究和學生活動”為中心的課堂學習環(huán)境，使教學過程成為在教師指導下學生的一種自主探索的學習活動過程，在探索中形成自己的觀點．
一、創(chuàng)設情境，引入新課
設計說明
從簡單的生活現(xiàn)象出發(fā)，開門見山，引出課題．
教師：教師手中有兩根筷子(一紅一綠)，如何比較它們的長短？
學生：先移動一根筷子，與另一根筷子一頭對齊，兩根筷子靠緊，觀察另一頭的位置，多出的較長．
教師：比較長短的關鍵是什么？
學生：必有一頭對齊．
教師：除此之外，還有其他的方法嗎？
學生：可以用刻度尺分別測出兩根筷子的長度，然后比較兩個數(shù)值的大?。?br>教師：我們可以用類似于比筷子長短的兩種方法來比較兩條線段的長短．
教學說明
以實物為例，在學生熟知的事物和操作過程中激發(fā)學生的學習興趣，自然引入新課．這樣引入，既符合學生已有的認知基礎，又較好地激發(fā)了學生探索問題的欲望．在處理問題的過程中，教師的主要目的是帶領學生復習回顧小學中有關線段長短的知識，同時鼓勵學生用不同的方法比較筷子的長短，多角度地分析問題，交換自己好的想法，在實際操作中抽象出數(shù)學方法，實踐證明，這樣處理能較好地調(diào)動學生的積極性，開啟了學生的思維，成功地引入了新課．
二、講授新課
1．用疊合法比較線段的長短
設計說明
從比較筷子的長短，引出用疊合法比較線段的長短．
步驟1：讓學生在練習本上畫出AB、CD兩條線段．(長短不一)
步驟2：“議一議”怎樣比較兩條線段的長短？
先讓學生用自己的語言描述比較的過程，然后教師邊演示邊用規(guī)范的幾何語言描述．
步驟3：總結(jié)疊合法的三個步驟(如圖1)．
(1)將線段AB的端點A與線段CD的端點C重合．
(2)將線段AB沿著線段CD的方向落下．
(3)若端點B與端點D重合，則得到線段AB等于線段CD，可記作：AB＝CD(幾何語言)；
若端點B落在點D的內(nèi)側(cè)，則得到線段AB小于線段CD，可記作：AB＜CD；
若端點B落在點D的外側(cè)，則得到線段AB大于線段CD，可記作：AB＞CD.
圖1
2．用度量法比較線段的長短
度量法：用刻度尺分別量出線段AB和線段CD的長度，再將長度進行比較．
教學說明
用度量法比較線段的長短，其實就是比較兩個數(shù)的大?。畯摹皵?shù)”的角度去比較線段的長短，在此活動環(huán)節(jié)中，教師從數(shù)與形這兩方面對線段長短的比較進行了說明，這樣做既肯定了學生比較的方法，肯定了實際生活中的經(jīng)驗，同時又將生活中的方法科學化，實現(xiàn)了知識的抽象與升華．
3．用尺規(guī)作一條線段
設計說明
這是學生第一次接觸尺規(guī)作圖，必須讓學生規(guī)范作圖，把握尺規(guī)作圖的基本方法．同時結(jié)合畫圖使學生了解線段的和、線段的差．
問題1：已知線段a(如圖2)，用直尺和圓規(guī)畫一條線段，使它等于已知線段a.
圖2
畫法：(1)先作一條射線AC；
(2)用圓規(guī)量取已知線段a的長度；
(3)在射線上截取AB＝a，線段AB就是所求的線段．
問題2：已知線段a、b，畫一條線段c，使它的長度等于已知線段的長度的和．
教學說明
問題1先讓學生自己嘗試畫，然后教師示范畫圖并敘述作法，讓學生模仿畫圖，該問題不必要求學生寫畫法，但最后必須寫出結(jié)論；對于問題2，同樣讓學生自己先畫，可以請一位學生板演．教師總結(jié)，講規(guī)范的步驟，同時指出線段和的概念，并強調(diào)線段的和指的是線段的長度之和；結(jié)合這兩個問題，可以給出一個變式練習：畫一條線段d，使它的長度等于已知線段的長度的差，從而使學生了解線段差的概念．
本環(huán)節(jié)中教師指導學生作圖，在學生動手操作的基礎上，使學生進一步理解線段和與差的概念，將生活中粗糙的概念清晰化、數(shù)學化、準確化．
4．線段的基本性質(zhì)
問題1：教材圖4－6中，從A地到C地的四條道路中，哪條路最近？
問題2：從這個現(xiàn)象中，你能得到什么結(jié)論？
問題3：你還能舉出類似的例子嗎？
教學說明
對于問題1，可出示教材中的圖片．而后結(jié)合問題2，總結(jié)歸納兩點：一是兩點之間的距離的概念，即“兩點之間的線段的長度叫做這兩點之間的距離”，需要強調(diào)兩點之間的線段的長度叫兩點間的距離，而不是兩點間的線段，線段是圖形，線段的長度是數(shù)值；二是線段公理，即“兩點之間的所有連線中，線段最短”．理解了這些性質(zhì)后，為體現(xiàn)知識的應用，特提出問題3，以鍛煉學生的應用意識，例如學生舉例：從A到B架電線，總是盡可能沿著線段AB架設等．
5．線段的中點
設計說明
通過折紙，探索線段的中點．
請按下面的步驟操作：(如圖3)
圖3
(1)在一張透明紙上畫一條線段AB；
(2)對折這張紙，使線段AB的兩個端點重合；
(3)把紙展開鋪平，標明折痕點C.
教師：線段AC和線段BC相等嗎？你可以用什么方法去說明？
學生1：用刻度尺測出它們的長度，再比較．
學生2：用圓規(guī)測量比較．
教師：像圖3這樣，點C把線段AB分成相等的兩條線段AC與BC，點C叫做線段AB的中點．
用幾何語言表示：
因為點C是線段AB的中點，所以AC＝BC＝eq \f(1,2)AB(或AB＝2AC＝2BC)．
教師：剛才用折紙的方法找出AB的中點C，你還能通過什么方法得到中點C呢？
學生：用刻度尺量出AB的長，再除以2，從點A開始量出該長度就得到點C.(讓學生板演)
教學說明
以折紙的方法，使學生在動手操作的基礎上發(fā)現(xiàn)中點問題中所存在的數(shù)量關系，在教材中的方法的基礎上鼓勵學生發(fā)現(xiàn)更多的找中點的方法，從而對中點這一重要的數(shù)學概念有更好的理解．
三、變式訓練，熟練技能
1．教材隨堂練習第1題；習題4.2知識技能1、2.
答案：略．
2．填空：如圖4，已知點C是線段AB的中點，點D是線段AC的中點．
圖4
(1)AB＝__________BC；
(2)BC＝__________AD；
(3)BD＝__________AD.
答案：(1)2 (2)2 (3)3
3．下列四個生產(chǎn)、生活現(xiàn)象：①用兩個釘子就可以把木條定在墻上；②植樹時，只要定住兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；③從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段AB架設；④把彎曲的公路改直，就能縮短路程．其中可用公理“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象是________(只填寫序號)；其余的可以用________來解釋．
答案：③④ 兩點確定一條直線
4．如圖5，點P是線段AB的中點，點C、D把線段AB三等分．已知線段CP的長為1.5 cm，求線段AB的長．
圖5
可讓學生討論后再作答(教師可作如下分析：如果能得到線段CP與線段AB之間的長度比，就能求出線段AB的長)．
由學生回答，教師板書完成．
解：因為點P是線段AB的中點，
所以AP＝PB＝eq \f(1,2)AB.
因為點C、D把線段AB三等分，
所以AC＝CD＝DB＝eq \f(1,3)AB.
所以AP－AC＝eq \f(1,2)AB－eq \f(1,3)AB＝eq \f(1,6)AB，
即CP＝eq \f(1,6)AB.
所以AB＝6CP＝6×1.5＝9(cm)，即AB的長為9 cm.
教學說明
第1題可先讓學生觀察，再回答．說明“眼見不一定為實”的道理，培養(yǎng)嚴謹?shù)耐评砹晳T；第2題和第3題重在加強對中點的認識，并且在中點的基礎上將其推廣到等分點中，發(fā)現(xiàn)等分點中存在的數(shù)量關系；第4題主要是為了讓學生區(qū)分線段公理和直線公理的區(qū)別．
四、總結(jié)反思，情意發(fā)展
1．學生暢談本節(jié)課的收獲和體會(學生可結(jié)合以下幾個方面進行總結(jié))．
(1)線段長短比較的兩種方法；
(2)畫一條線段等于已知線段；
(3)線段的和、差的概念及畫法；
(4)兩點間距離的概念；
(5)線段的性質(zhì)“兩點間線段最短”及應用；
(6)線段的中點的概念及簡單的應用．
2．教師給以必要的點撥和提示．
(1)線段大小比較中的疊合法是單純的幾何方法，而度量法則是從線段長的角度去比較兩條線段的長短，這種用具體的數(shù)據(jù)去比較圖形大小的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，這種思想方法不僅在線段的大小比較中出現(xiàn)，在中點問題中同樣也有所體現(xiàn)；
(2)數(shù)和形是數(shù)學的兩大支柱，今后研究諸如此類的幾何問題，就可以從數(shù)和形兩個角度進行研究，實現(xiàn)殊途同歸．
小結(jié)
1．教師提問：怎樣表示線段的長度？怎樣比較線段的大??？通過本節(jié)課你對圖形與數(shù)之間的關系有什么了解？
2．根據(jù)學生回答的情況，教師重點總結(jié)數(shù)與形的結(jié)合以及比較線段大小的兩種方法．
評價與反思
1．本節(jié)課時設計的主導思想是：將數(shù)形結(jié)合的思想滲透給學生，使學生對數(shù)與形有一個初步的認識，為將來的學習打下基礎．這節(jié)課是一堂起始課，它為學生的思維開拓了一個新的天地，在傳統(tǒng)的教學安排中，這節(jié)課的地位沒有提到一定的高度，只是交給學生比較線段的方法，沒有從數(shù)形結(jié)合的高度去認識．實際上這節(jié)課大有可講，可以挖掘出較深的內(nèi)容．在教知識的同時，交給學生一種很重要的數(shù)學思想，這一點不容忽視，在日常的教學中要時時注意．
2．學生在小學時只會用圓規(guī)畫圓，不會用圓規(guī)去度量線段的長短以及截取線段，通過這節(jié)課，學生對圓規(guī)的用法有一個新的認識．

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4.2 比較線段的長短

版本： 北師大版

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