1.了解直角三角形的判定條件．（重點）2.能夠運用勾股數解決簡單實際問題． （難點）
【問題】同學們你們知道古埃及人用什么方法得到直角的嗎?
用13個等距的結把一根繩子分成等長的12段,一個工匠同時握住繩子的第1個結和第13個結,兩個助手分別握住第4個結和第9個結,拉緊繩子就得到一個直角三角形, 其直角在第1個結處.
【探究】下面有三組數分別是一個三角形的三邊長a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.回答下列問題:1.這三組數都滿足 a2+b2=c2嗎？2.分別以每組數為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？
實驗結果： ① 5,12,13滿足a2+b2=c2,可以構成直角三角形;② 7,24,25滿足a2+b2=c2,可以構成直角三角形;③ 8,15,17滿足a2+b2=c2 ,可以構成直角三角形.
【思考】從上述問題中，能發(fā)現什么結論嗎？
如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.
有同學認為測量結果可能有誤差,不同意 這個發(fā)現.你覺得這個發(fā)現正確嗎?你能給 出一個更有說服力的理由嗎?
如圖，已知△ABC的三邊長a,b,c，滿足a2+b2=c2． 求證：△ABC是直角三角形．
構造兩直角邊分別為a,b的Rt△A′B′C′
簡要說明：作一個直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1=a=CB,在C1N上截取C1A1=b=CA,連接A1B1.
在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2 .∴ A1B1=AB ，∴ △ABC ≌△A1B1C1 . （SSS）∴ ∠C=∠C1=90°，∴ △ABC是直角三角形.
如果三角形的三邊長a 、b 、c滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角 ，最長邊所對角為直角.
【例1】一個零件的形狀如圖1所示,按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角,工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖2所示,這個零件符合要求嗎?
在△BCD中， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.因此，這個零件符合要求.
解：在△ABD中， ∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
【例2】 下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一個角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：因為152+82=289，172=289，所以152+82=172，根據勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ， b=14 ， c=15;
解：因為132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以這個三角形不是直角三角形.
(3) a:b: c=3:4:5;
解：設a=3k,b=4k,c=5k,因為(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根據勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，∠C是直角.
總結：根據勾股定理及其逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.
【變式1】 已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n為大于1的正整數).試問△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對的角是直角？請說明理由
解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2 =n4 -2n2+1+4n2 =n4 +2n2+1 =(n2+1)2 =AC2，∴△ABC直角三角形，邊AC所對的角是直角.
先確定AB、BC、AC、的大小
【變式2】 若三角形ABC的三邊 a,b,c 滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 試判斷△ABC的形狀.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)2+ (b－4)2+ (c－5)2=0. ∴ a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2. ∴△ABC直角三角形.
【例3】 在正方形ABCD中，F是CD的中點，E為BC上一點，且CE＝ CB，試判斷AF與EF的位置關系，并說明理由．
解：AF⊥EF.設正方形的邊長為4a, 則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF為直角三角形，且AE為斜邊．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c 那么這個三角形是直角三角形.滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
一組勾股數，都擴大相同倍數k，得到一組新數，這組數同樣是勾股數.
【例4】下列各組數是勾股數的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
方法點撥：根據勾股數的定義，勾股數必須為正整數，先排除小數，再計算最長邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.
1.如果線段a,b,c能組成直角三角形,則它們的比可以是 ( ) A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:5
將直角三角形的三邊長擴大同樣的倍數,則得到的三角形 ( )A.是直角三角形 B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形 D.不可能是直角三角形
5.如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 圖中有幾個直角三角形，你是如何判斷的？ 與你的同伴交流.
解:△ABE，△DEF，△FCB ，均為直角三角形. 由勾股定理知 BE2=22+42=20， EF2=22+12=5， BF2=32+42=25, ∴BE2+EF2=BF2,∴ △BEF是直角三角形.
6.如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD的面積.
解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理, 得 BD2=AB2+AD2，∴BD=5m，又∵ CD=12cm，BC=13cm∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD = BD?CD－ AB?AD = (5×12－3×4)=24 m2．
【變式】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3 cm，BC＝4 cm，求△ABC的面積.
解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm. ∴ AC=5 cm, 又∵ ∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角. ∴
勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.
勾股數：滿足a2+b2=c2的三個正整數

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2 一定是直角三角形嗎

版本： 北師大版

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