人教A版 (2019)必修第一冊5.2 三角函數(shù)的概念教案及反思-教案下載-教習網(wǎng)

同角三角函數(shù)基本關系【學習目標】1.借助單位圓，理解同角三角函數(shù)的基本關系式: ，掌握已知一個角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法；2．會運用同角三角函數(shù)之間的關系求三角函數(shù)值、化簡三角式或證明三角恒等式。【要點梳理】要點一：同角三角函數(shù)的基本關系式(1)平方關系：(2)商數(shù)關系：(3)倒數(shù)關系：，，要點詮釋：(1)這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個角(使得函數(shù)有意義的前提下)關系式都成立；(2)是的簡寫；(3)在應用平方關系時，常用到平方根，算術平方根和絕對值的概念，應注意“”的選取。要點二：同角三角函數(shù)基本關系式的變形1．平方關系式的變形：，2．商數(shù)關系式的變形。【典型例題】類型一：已知某個三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值例1．已知tan=－2，求sin，cos的值。【思路點撥】先利用,求出sin=－2cos，然后結合sin2+cos2=1，求出sin，cos。【解析】解法一：∵tan=－2，∴sin=－2cos。 ①又sin2+cos2=1， ②由①②消去sin得(－2cos)2+cos2=1，即。當為第二象限角時，，代入①得。當為第四象限角時，，代入①得。解法二：∵tan=－2＜0，∴為第二或第四象限角。又由，平方得。∴，即。當為第二象限角時，。。當為第四象限角時，。。【變式1】已知是的一個內角，且，求【思路點撥】根據(jù)可得的范圍：再結合同角三角函數(shù)的關系式求解.【解析】為鈍角，由平方整理得例2．已知cos=m（－1≤m≤1），求sin的值。【解析】（1）當m=0時，角的終邊在y軸上，①當角的終邊在y軸的正半軸上時，sin=1；②當角的終邊在y軸的負半軸上時，sin=－1。（2）當m=±1時，角的終邊在x軸上，此時，sin=0。（3）當|m|＜1且m≠0時，∵sin2=1―cos2=1―m2，∴①當角為第一象限角或第二象限角時，，②當角為第三象限角或第四象限角時，。【總結升華】當角的范圍不確定時，要對角的范圍進行討論，切記不要遺漏終邊落在坐標軸上的情況。類型二：利用同角關系求值例3．已知：求：（1）的值；（2）的值；（3）的值；（4）及的值【思路點撥】同角三角函數(shù)基本關系是反映了各種三角函數(shù)之間的內在聯(lián)系，為三角函數(shù)式的恒等變形提供了工具與方法。【答案】（1）（2）（3）0（4）或【解析】（1）由已知（2）（3）（4）由，解得或【變式1】已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin3+cos3。【解析】因為，所以，所以。（1）（2）。例4．已知tan=3，求下列各式的值。（1）；（2）；（3）。【思路點撥】由已知可以求出，進而代入得解，但過程繁瑣。在關于“齊次”式中可以使用“弦化切”，轉化成關于tan的式子，然后利用已知求解.【解析】（1）原式的分子分母同除以cos（cos≠0）得，原式。（2）原式的分子分母同除以cos2（cos2≠0）得，原式。（3）用“1”來代換，原式。【變式1】（1）已知tan=3，求sin2－3sincos+1的值；（2）已知，求的值。【解析】（1）∵tan=3，1=sin2+cos2，∴原式。（2）由，得，解得：∴。類型三：利用同角關系化簡三角函數(shù)式例5．化簡：。【解析】解法一：原式。解法二：原式。解法三：原式。【變式1】化簡（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）－1（2）（3）略（4）略【解析】（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式= = =，類型四：利用同角關系證明三角恒等式例6．求證：。【思路點撥】利用同角三角函數(shù)關系式對式子的左邊或右邊進行化簡，使之與式子的另一邊相同。【解析】證法一：右邊 =左邊。證法二：左邊，右邊，所以左邊=右邊，原等式成立。證法三：左邊，右邊，所以左邊=右邊，原等式成立。【變式1】求證：.【解析】證法一：由題意知，所以.∴左邊=右邊.∴原式成立.證法二：由題意知，所以.又∵，∴.證法三：由題意知，所以.，∴.【變式2】已知，求證：。【證明】 ∵，∴，∵，∴。∴。