一、簡諧運動的函數(shù)描述
1．簡諧運動位移－時間圖像的函數(shù)表達式x＝Acs(ωt＋φ)，式中A是簡諧運動的振幅，ω是簡諧運動的角頻率．
2．ω與周期T或頻率f的關(guān)系為：ω＝eq \f(2π,T)＝2πf.
二、簡諧運動的圖像描述
1．相位：位移－時間函數(shù)x＝Acs(ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，而t＝0時的相位φ叫作初相位，簡稱初相．
2．相位的意義：相位是一個表示振子處在振動周期中的哪個位置的物理量．
1．判斷下列說法的正誤．
(1)相位反映了振動物體的振動步調(diào)．( √ )
(2)兩個振動物體相位相同，則其振動步調(diào)相反．( × )
(3)按x＝5sin (8πt＋eq \f(1,4)π) cm的規(guī)律振動的彈簧振子的振動周期為0.25 s．( √ )
(4)兩個頻率相同、相位不同的振動的相位差隨振動時間的增大而增大．( × )
2．一彈簧振子的位移x隨時間t的變化關(guān)系為x＝5sin(2.5πt＋eq \f(π,2)) cm，則彈簧振子的振幅為________ cm，周期為______ s，初相為_______ rad，t＝0.5 s時，振子的位移為________ cm.
答案 5 0.8 eq \f(π,2) －eq \f(5,2)eq \r(2)
一、簡諧運動的函數(shù)描述
簡諧運動的表達式x＝Acs (eq \f(2π,T)t＋φ0)
1．表達式反映了做簡諧運動的物體的位移x隨時間t的變化規(guī)律．
2．通過簡諧運動的函數(shù)描述可得出簡諧運動的振幅、周期、頻率等物理量．
3．從表達式x＝Acs (ωt＋φ)體會簡諧運動的周期性．當Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ時，Δt＝eq \f(2nπ,ω)＝nT，振子位移相同，每經(jīng)過周期T完成一次全振動．
(多選)某質(zhì)點做簡諧運動，其位移隨時間變化的關(guān)系式為x＝3sin(eq \f(2π,3)t＋eq \f(π,2)) cm，則( )
A．質(zhì)點的振幅為3 m
B．質(zhì)點的振動周期為3 s，頻率為eq \f(1,3) Hz
C．t＝0.75 s時，質(zhì)點到達距平衡位置最遠處
D．質(zhì)點前2 s內(nèi)的位移為－4.5 cm
答案 BD
解析 從關(guān)系式可知A＝3 cm，ω＝eq \f(2π,3) rad/s，故周期為T＝eq \f(2π,ω)＝3 s，頻率為f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,3) Hz，A錯誤，B正確；t＝0.75 s時，質(zhì)點的位移為x＝3sin(eq \f(2π,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(π,2)) cm＝0，質(zhì)點在平衡位置處，C錯誤；在t＝0時刻質(zhì)點的位移x＝3 cm,2 s時質(zhì)點的位移x′＝3sin(eq \f(2π,3)×2＋eq \f(π,2)) cm＝－1.5 cm，故前2 s內(nèi)質(zhì)點的位移為－4.5 cm，D正確．
(2020·福建泉州永春第一中學月考)有一個彈簧振子，振幅為0.8 cm，周期為0.5 s，初始時具有負方向的最大加速度，則它的振動方程是( )
A．x＝8×10－3sin(4πt＋eq \f(π,2)) m
B．x＝8×10－3sin(4πt－eq \f(π,2)) m
C．x＝8×10－3sin(4πt＋eq \f(3π,2)) m
D．x＝8×10－3sin(eq \f(π,4)t＋eq \f(π,2)) m
答案 A
解析 由題可知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，則ω＝eq \f(2π,T)＝4π rad/s，初始時刻具有負方向的最大加速度，則初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝eq \f(π,2)，得彈簧振子的振動方程為x＝8×
10－3 sin(4πt＋eq \f(π,2)) m，A正確．
二、簡諧運動的圖像描述
導學探究
P、Q兩質(zhì)點做簡諧運動的x－t函數(shù)表達式x1＝A1cseq \f(2π,T)t，x2＝A2cs(eq \f(2π,T)t＋eq \f(π,2))，如圖1所示為二者的振動曲線，試思考以下問題：
圖1
1．二者在同一時刻振動情況相同嗎？
答案 不相同．Q的振動比P的振動超前了eq \f(1,4)個周期．
2．上式中eq \f(2π,T)t或eq \f(2π,T)t＋eq \f(π,2)有何意義？
答案 ωt＋φ描述做簡諧運動的物體在各個不同時刻所處的不同狀態(tài)，稱之為相位，是描述不同振動的振動步調(diào)的物理量．它是一個隨時間變化的量，相當于一個角度，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動．
3．P、Q兩質(zhì)點振動的相位差隨時間變化嗎？相位差有何意義？
答案 不變．
相位差的意義：
(1)頻率相同的兩個簡諧運動有固定的相位差，即Δφ＝φ2－φ1.
(2)若Δφ＝0，表明兩個物體運動步調(diào)相同，即同相．
(3)若Δφ＝π，表明兩個物體運動步調(diào)相反，即反相．
(4)若Δφ＝φ2－φ1>0，則2的相位比1的相位超前Δφ或1的相位比2的相位落后Δφ.
(5)若Δφ＝φ2－φ10，且逐漸增大，表示t＝0時，振子正在向正方向運動，即向右運動．
(2)由題圖乙知，振子的振幅為3 cm，周期為4 s.
(3)t＝1 s時，x＝3 cm，振子位于B點；在t＝2 s時，x＝0，振子位于平衡位置O點；t＝3 s時，x＝－3 cm，振子位于A點．
(4)在t＝2 s時，x－t圖像的斜率為負，表示向負方向運動，即向左運動．與t＝0時速度的方向相反．
(5)在t＝4 s時，振子又回到了平衡位置，故位移Δx＝0，其路程為s＝3 cm×4＝12 cm.
(6)由題圖乙可知彈簧振子的位移－時間表達式滿足x＝Asin eq \f(2π,T)t，代入數(shù)據(jù)得：x＝3sin(eq \f(π,2)t) cm.
(多選)一個質(zhì)點做簡諧運動的圖像如圖5所示，下列敘述中正確的是( )
圖5
A．質(zhì)點的振動頻率為4 Hz
B．在10 s內(nèi)質(zhì)點經(jīng)過的路程為20 cm
C．在5 s末，質(zhì)點做簡諧運動的相位為eq \f(3,2)π
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s兩時刻質(zhì)點的位移大小相等，都是eq \r(2) cm
答案 BD
解析 由振動圖像可直接得到周期T＝4 s，則頻率f＝eq \f(1,T)＝0.25 Hz，選項A錯誤；一個周期內(nèi)做簡諧運動的質(zhì)點經(jīng)過的路程是4A＝8 cm,10 s為2.5個周期，故質(zhì)點經(jīng)過的路程為20 cm，選項B正確；由題圖知位移與時間的關(guān)系為x＝Asin(ωt＋φ0)＝2sin eq \f(π,2)t cm，當t＝5 s時，其相位為eq \f(π,2)×5＝eq \f(5,2)π，故選項C錯誤；在1.5 s和4.5 s兩時刻，質(zhì)點位移相同，位移為x＝Asin eq \f(3,4)π＝eq \f(\r(2),2)A＝eq \r(2) cm，故選項D正確．
三、簡諧運動的周期性與對稱性
簡諧運動是一種周期性的運動，簡諧運動的物理量隨時間周期性變化，如圖6所示，物體在A、B兩點間做簡諧運動，O點為平衡位置，OC＝OD.
圖6
(1)時間的對稱
①物體來回通過相同兩點間的時間相等，即tDB＝tBD.
②物體經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的等長的兩線段的時間相等，圖中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2)速度的對稱
①物體連續(xù)兩次經(jīng)過同一點(如D點)的速度大小相等，方向相反．
②物體經(jīng)過關(guān)于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
(3)位移的對稱
①物體經(jīng)過同一點(如C點)時，位移相同．
②物體經(jīng)過關(guān)于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，位移大小相等、方向相反．
命題角度1 簡諧運動的對稱性
(2020·吉林八校期中聯(lián)考)如圖7所示，彈簧振子以O(shè)點為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動，在t＝0時刻，振子從O、B間的P點以速度v向B點運動；在t＝0.2 s時，振子速度第一次變?yōu)椋璿；在t＝0.5 s時，振子速度第二次變?yōu)椋璿，已知B、C之間的距離為25 cm.
圖7
(1)求彈簧振子的振幅A；
(2)求彈簧振子的振動周期T和頻率f.
答案 (1)12.5 cm (2)1 s 1 Hz
解析 (1)彈簧振子以O(shè)點為平衡位置，在B、C兩點間做簡諧運動，所以振幅是B、C之間距離的一半，
所以A＝eq \f(25,2) cm＝12.5 cm.
(2)由簡諧運動的對稱性可知從P到B的時間與從B返回到P的時間是相等的，
所以tBP＝eq \f(0.2,2) s＝0.1 s
同理可知：tPO＝eq \f(0.5－0.2,2) s＝0.15 s，
又tBP＋tPO＝eq \f(T,4)
可得：T＝1 s，
則f＝eq \f(1,T)＝1 Hz.
命題角度2 簡諧運動的多解性
一質(zhì)點在平衡位置O附近做簡諧運動，從它經(jīng)過平衡位置起開始計時，經(jīng)0.13 s質(zhì)點第一次通過M點，再經(jīng)0.1 s第二次通過M點，則質(zhì)點振動周期的可能值為多大？
答案 0.72 s或0.24 s
解析 將物理過程模型化，畫出具體的圖景．
第一種可能是M點在O點右方，質(zhì)點從O到M運動時間為0.13 s，再由M經(jīng)最右端A返回M經(jīng)歷時間為0.1 s，如圖甲所示．
另有一種可能是M點在O點左方，如圖乙所示，質(zhì)點由O點經(jīng)最右端A點后向左經(jīng)過O點到達M點歷時0.13 s，再由M向左經(jīng)最左端A′點返回M歷時0.1 s.
根據(jù)以上分析，質(zhì)點振動周期共存在兩種可能性．
第一種情況，由圖甲可以看出質(zhì)點從O→M→A歷時0.18 s，根據(jù)簡諧運動的對稱性可得eq \f(T1,4)＝0.18 s，得T1＝0.72 s．另一種情況，由圖乙可知，質(zhì)點從O→A→M歷時t1＝0.13 s，質(zhì)點從M→A′歷時t2＝0.05 s，則eq \f(3,4)T2＝t1＋t2，解得T2＝0.24 s.
1．周期性造成多解：物體經(jīng)過同一位置可以對應不同的時刻，物體的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這樣就形成簡諧運動的多解問題．
2．對稱性造成多解：由于簡諧運動具有對稱性，因此當物體通過兩個對稱位置時，其位移、加速度的大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，這種也形成多解問題．
1．(簡諧運動的函數(shù)描述)(多選)物體A做簡諧運動的振動方程是xA＝3sin (100t＋eq \f(π,2)) m，物體B做簡諧運動的振動方程是xB＝5sin (100t＋eq \f(π,6)) m．比較A、B的運動( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是標量，A、B周期相等，都為100 s
C．A振動的頻率fA等于B振動的頻率fB
D．A的相位始終超前B的相位eq \f(π,3)
答案 CD
解析 振幅是標量，A、B的振幅分別為3 m、5 m，A錯；A、B的周期均為T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,50) s，B錯；因為TA＝TB，故fA＝fB，C對；Δφ＝φA－φB＝eq \f(π,3)，為定值，即A的相位始終超前B的相位eq \f(π,3)，D對．
2．(簡諧運動的圖像描述)如圖8所示是彈簧振子做簡諧運動的振動圖像，可以判定( )
圖8
A．t1到t2時間內(nèi)，系統(tǒng)的動能不斷增大，勢能不斷減小
B．0到t2時間內(nèi)，振子的位移增大，速度增大
C．t2到t3時間內(nèi)，振子的回復力先減小后增大，加速度的方向一直沿x軸正方向
D．t1、t4時刻振子的動能、速度都相同
答案 A
解析 t1到t2時間內(nèi)，x減小，彈力做正功，系統(tǒng)的動能不斷增大，勢能不斷減小，A正確；0到t2時間內(nèi)，振子的位移減小，速度增大，B錯誤；t2到t3時間內(nèi)，振子的位移先增大后減小，所以回復力先增大后減小，C錯誤；t1和t4時刻振子的位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但動能相同，D錯誤．
3．(簡諧運動的圖像描述)某沿水平方向振動的彈簧振子在0～6 s內(nèi)做簡諧運動的振動圖像如圖9所示，由圖可知( )
圖9
A．該振子的振幅為5 cm，振動周期為6 s
B．第3 s末振子的速度沿x軸負方向
C．第3 s末到第4 s末的過程中，振子做減速運動
D．該振子的位移x與時間t的函數(shù)關(guān)系式為x＝5sin(eq \f(π,2)t＋eq \f(3π,2)) cm
答案 C
解析 根據(jù)題圖可知，第3 s末振子經(jīng)過平衡位置向正方向運動，B錯．第3 s末振子處于平衡位置，速度最大，第4 s末振子處于位移最大處，速度為零，則第3 s末到第4 s末的過程中，振子做減速運動，C對．由振動圖像可得：振幅A＝5 cm，周期T＝4 s，初相φ＝eq \f(π,2)，則ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2) rad/s，故該振子的位移x與時間t的函數(shù)關(guān)系式為x＝5sin (eq \f(π,2)t＋eq \f(π,2)) cm.
4．(簡諧運動的周期性和對稱性)如圖10所示，一質(zhì)點沿水平直線在d、c間做簡諧運動，先后以相同速度通過a、b兩點，經(jīng)歷時間tab＝1 s，過b點后再經(jīng)t′＝1 s質(zhì)點第一次反向通過b點．O點為平衡位置，若在這兩秒內(nèi)質(zhì)點所通過的路程是8 cm，試求該質(zhì)點的振動周期和振幅．
圖10
答案 4 s 4 cm
解析 簡諧運動是以平衡位置為中心的對稱運動，因為通過a、b兩點時的速度相同，根據(jù)簡諧運動的對稱性，可知質(zhì)點從b點返回a點所用的時間必與從a點到b點所用的時間相同，即tba＝tab＝1 s，質(zhì)點從a點經(jīng)最左端位置d再返回a點所用的時間tada必與質(zhì)點從b點經(jīng)最右端位置c再返回b點所用的時間tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1 s.
綜上所述，質(zhì)點的振動周期為T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4 s．由題圖和簡諧運動的對稱性可知，質(zhì)點在一個周期內(nèi)通過的路程為s＝2eq \x\t(ab)＋2eq \x\t(bc)＋2eq \x\t(ad)＝2(eq \x\t(ab)＋2eq \x\t(bc))＝2×8 cm＝16 cm，所以該質(zhì)點的振幅為A＝eq \f(s,4)＝4 cm.
考點一 簡諧運動的函數(shù)描述
1．(多選)(2020·山東省實驗中學檢測)一彈簧振子A的位移x隨時間t變化的關(guān)系式為x＝0.1sin 2.5πt，位移x的單位為m，時間t的單位為s.則( )
A．彈簧振子的振幅為0.2 m
B．彈簧振子的周期為1.25 s
C．在t＝0.2 s時，振子的運動速度為零
D．若另一彈簧振子B的位移x隨時間t變化的關(guān)系式為x＝0.2sin (2.5πt＋eq \f(π,4))(m)，則A滯后B的相位為eq \f(π,4)
答案 CD
解析 由振動方程可知振幅為0.1 m，角頻率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2.5π) s＝0.8 s，故A、B錯誤；在t＝0.2 s時，x＝0.1 m，即振子的位移最大，速度最小，為零，故C正確；兩振動的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋eq \f(π,4)－2.5πt＝eq \f(π,4)，即B超前A的相位為eq \f(π,4)，或者說A滯后B的相位為eq \f(π,4)，故D正確．
2．(多選)某質(zhì)點做簡諧運動，其位移隨時間變化的關(guān)系式為x＝Asin eq \f(π,4)t，則質(zhì)點( )
A．第1 s末與第3 s末的位移相同
B．第1 s末與第3 s末的速度相同
C．第3 s末與第5 s末的位移方向相同
D．第3 s末與第5 s末的速度方向相同
答案 AD
解析 根據(jù)x＝Asin eq \f(π,4)t可求得該質(zhì)點的振動周期為T＝8 s，則該質(zhì)點的振動圖像如圖所示．圖像中圖線切線的斜率為正表示速度為正，反之為負，由圖可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一負，故速度方向相反，選項A正確，B錯誤；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但兩點的斜率均為負，故速度方向相同，選項C錯誤，D正確．
考點二 簡諧運動的圖像描述
3.(多選)(2020·東莞東華高級中學期中)如圖1所示是某彈簧振子運動的x－t圖像，下列說法正確的是( )
圖1
A．t1時刻振子正通過平衡位置向正方向運動
B．t2時刻振子的位移最大
C．t3時刻振子正通過平衡位置向正方向運動
D．該圖像是從振子在平衡位置時開始計時畫出的
答案 BC
解析 從題圖可以看出，t＝0時刻，振子在正方向的最大位移處，因此題圖是從正的最大位移處開始計時畫出的圖像，D錯誤；t1時刻以后振子的位移為負，因此t1時刻振子正通過平衡位置向負方向運動，A錯誤；t2時刻振子在負的最大位移處，B正確；t3時刻以后，振子的位移為正，所以t3時刻振子正通過平衡位置向正方向運動，C正確．
4．(2020·泉州永春一中月考)如圖2甲所示，彈簧振子以O(shè)點為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動．取向右為正方向，振動物體的位移x隨時間t的變化如圖乙所示，則由圖可知( )
圖2
A．t＝0.2 s時，振動物體的加速度方向向左
B．t＝0.6 s時，振動物體的速度方向向右
C．在t＝0.4 s到t＝0.8 s時間內(nèi)，振動物體的動能逐漸減小
D．在t＝0到t＝2.4 s時間內(nèi)，振動物體通過的路程是80 cm
答案 A
解析 由題圖乙可知，t＝0.2 s時，振動物體遠離平衡位置向右運動，位移增大，根據(jù)F＝－kx可知，回復力方向向左，故加速度方向向左，A正確；t＝0.6 s時，振動物體靠近平衡位置向左運動，故振動物體的速度方向向左，B錯誤；在t＝0.4 s到t＝0.8 s時間內(nèi)，振動物體向平衡位置運動，速度逐漸增大，動能逐漸增大，C錯誤；在t＝0到t＝2.4 s時間內(nèi)，振動物體通過的路程是4A×eq \f(2.4 s,1.6 s)＝60 cm，故D錯誤．
5．(多選)(2020·西安市期中)如圖3甲所示，在彈簧振子的小球上安裝一記錄用的鉛筆P，在下面放一條白紙帶，當小球振動時沿垂直于振動方向勻速拉動紙帶，鉛筆P就在紙帶上畫出一條振動曲線．若振動曲線如圖乙所示，由圖像可知下列說法正確的是( )
圖3
A．振子偏離平衡位置的最大距離為10 cm
B．1 s末到5 s末振子的路程為40 cm
C．2 s末和4 s末振子的位移相等，運動方向也相同
D．振子在2 s內(nèi)完成一次往復運動
答案 AB
解析 由題圖乙可知振子偏離平衡位置的最大距離為10 cm，4 s內(nèi)完成一次往復運動，故A正確，D錯誤；1 s末到5 s末振子的路程是振子運動路徑的總長40 cm，故B正確；2 s末和4 s末振子位移均為0，位移相同，2 s末振子向x軸負方向運動，4 s末振子向x軸正方向運動，運動方向相反，故C錯誤．
考點三 簡諧運動的周期性與對稱性
6．(多選)一彈簧振子做簡諧運動，周期為T，下列說法正確的是( )
A．若t時刻和(t＋Δt)時刻振子運動速度、位移的大小相等、方向相反，則Δt一定等于eq \f(T,2)的奇數(shù)倍
B．若t時刻和(t＋Δt)時刻振子運動位移的大小相等、方向相同，則Δt一定等于T的整數(shù)倍
C．若Δt＝eq \f(T,2)，則在t時刻和(t＋Δt)時刻彈簧的長度一定相等
D．若Δt＝eq \f(T,2)，則在t時刻和(t＋Δt)時刻彈簧的長度可能相等
答案 AD
解析 若Δt＝eq \f(T,2)或Δt＝nT－eq \f(T,2)(n＝1,2,3，…)，則在t和(t＋Δt)兩時刻振子必在關(guān)于平衡位置對稱的兩位置(包括平衡位置)，這兩時刻，振子的位移、速度、加速度等均大小相等、方向相反，但在這兩時刻彈簧的長度并不一定相等，只有當振子在t和(t＋Δt)兩時刻均在平衡位置時，彈簧長度才相等；反過來，若在t和(t＋Δt)兩時刻振子的位移、速度和加速度均大小相等、方向相反，則Δt一定等于eq \f(T,2)的奇數(shù)倍，C選項錯誤，A、D選項正確．若t和(t＋Δt)兩時刻，振子的位移、加速度、速度等均相同，則Δt＝nT(n＝1,2,3，…)，但僅僅根據(jù)兩時刻振子的位移相同，不能得出Δt＝nT，所以B選項錯誤．
7．一質(zhì)點做簡諧運動，它從最大位移處經(jīng)0.3 s第一次到達某點M處，再經(jīng)0.2 s第二次到達M點，則其振動頻率為( )
A．0.4 Hz B．0.8 Hz C．2.5 Hz D．1.25 Hz
答案 D
解析 由題意知，從M位置沿著原路返回到起始最大位移處的時間也為0.3 s，故完成一個全振動的時間為：T＝0.3 s＋0.2 s＋0.3 s＝0.8 s，故頻率為f＝eq \f(1,T)＝1.25 Hz，D正確．
8.一個做簡諧運動的質(zhì)點，先后以同樣的速度通過相距10 cm的A、B兩點，歷時0.5 s(如圖4所示)．過B點后再經(jīng)過t＝0.5 s，質(zhì)點以大小相等、方向相反的速度再次通過B點，則質(zhì)點振動的周期是( )
圖4
A．0.5 s B．1.0 s
C．2.0 s D．4.0 s
答案 C
解析 根據(jù)題意，由振動的對稱性可知：AB的中點(設(shè)為O)為平衡位置，A、B兩點對稱分布于O點兩側(cè)，如圖所示．質(zhì)點從平衡位置O向右運動到B的時間為tOB＝eq \f(1,2)×0.5 s＝0.25 s．質(zhì)點從B向右到達右方最遠位置(設(shè)為D)的時間tBD＝eq \f(1,2)×0.5 s＝0.25 s，所以，質(zhì)點從O到D的時間：tOD＝eq \f(1,4)T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s，所以T＝2.0 s，C正確．
9．(多選)彈簧振子以O(shè)點為平衡位置做簡諧運動，從振子通過O點時開始計時，振子第一次到達M點用了0.3 s，又經(jīng)過0.2 s第二次通過M點，則振子第三次通過M點還要經(jīng)過的時間可能是( )
A.eq \f(1,3) s B.eq \f(8,15) s C．1.4 s D．1.6 s
答案 AC
解析 假設(shè)彈簧振子在B、C之間振動，如圖甲，若振子開始先向左振動，振子的振動周期為T＝eq \f(0.3＋\f(0.2,2),3)×4 s＝eq \f(1.6,3) s，則振子第三次通過M點還要經(jīng)過的時間是t＝eq \f(1.6,3) s－0.2 s＝
eq \f(1,3) s．如圖乙，若振子開始先向右振動，振子的振動周期為T＝4×(0.3＋eq \f(0.2,2)) s＝1.6 s，則振子第三次通過M點還要經(jīng)過的時間是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，A、C正確．
10．(2020·眉山市高二下期末)如圖5甲所示，金屬小球用輕彈簧連接在固定的光滑斜面頂端，小球在斜面上做簡諧運動，到達最高點時彈簧處于原長．取沿斜面向上為正方向，小球的振動圖像如圖乙所示．則( )
圖5
A．彈簧的最大伸長量為4 m
B．t＝0.2 s時，彈簧的彈性勢能最大
C．在t＝0.2 s到t＝0.6 s時間內(nèi)，小球的重力勢能逐漸減小
D．在t＝0到t＝0.4 s時間內(nèi)，回復力的沖量為零
答案 C
解析 小球的振幅等于其位移的最大值，由題圖乙讀出，振幅為A＝2 cm，由于小球到達最高點時彈簧處于原長，所以彈簧的最大伸長量為2A＝4 cm，A錯誤；由題圖乙可知t＝0.2 s時，彈簧處于原長，彈簧的彈性勢能最小，為零，B錯誤；在t＝0.2 s到t＝0.6 s時間內(nèi)，小球沿斜面向下運動，小球的重力勢能逐漸減小，C正確；t＝0時小球經(jīng)過平衡位置沿斜面向上運動，t＝0.4 s時小球經(jīng)過平衡位置沿斜面向下運動，根據(jù)動量定理可知回復力的沖量不為零，D錯誤．
11．(多選)(2018·天津卷)一振子沿x軸做簡諧運動，平衡位置在坐標原點．t＝0時振子的位移為－0.1 m，t＝1 s時位移為0.1 m，則( )
A．若振幅為0.1 m，振子的周期可能為eq \f(2,3) s
B．若振幅為0.1 m，振子的周期可能為eq \f(4,5) s
C．若振幅為0.2 m，振子的周期可能為4 s
D．若振幅為0.2 m，振子的周期可能為6 s
答案 AD
解析 若振幅為0.1 m，則t＝eq \f(T,2)＋nT(n＝0,1,2，…)．
當n＝0時，T＝2 s；n＝1時，T＝eq \f(2,3) s；n＝2時，T＝eq \f(2,5) s.
故選項A正確，選項B錯誤．
若振幅為0.2 m，振動分兩種情況討論：
①振子振動如圖甲所示，則振子由C點振動到D點用時至少為eq \f(T,2)，周期最大為2 s.
②振子振動如圖乙中實線所示．
由x＝Asin(ωt＋φ)知
t＝0時，－eq \f(A,2)＝Asin φ，φ＝－eq \f(π,6)，即振子由C點振動到O點用時至少為eq \f(T,12)，由簡諧運動的對稱性可知，振子由C點振動到D點用時至少為eq \f(T,6)，則T最大為6 s.
若由C點振動到O點用時1eq \f(1,12)T，振子由C點振動到D點用時eq \f(7,6)T，則T為eq \f(6,7) s.
若振子振動如圖乙中虛線所示，振子由C點振動到D點，則T＝2 s.
綜上所述C錯誤，D正確．
12．如圖6所示為A、B兩質(zhì)點做簡諧運動的位移－時間圖像．試根據(jù)圖像求：
圖6
(1)質(zhì)點A、B的振幅和周期；
(2)這兩個質(zhì)點簡諧運動的位移隨時間變化的關(guān)系式；
(3)在時間t＝0.05 s時兩質(zhì)點的位移分別為多少．
答案 見解析
解析 (1)由題圖知質(zhì)點A的振幅是0.5 cm，周期為0.4 s，質(zhì)點B的振幅是0.2 cm，周期為0.8 s.
(2)由題圖知，質(zhì)點A的初相φA＝π，
由TA＝0.4 s得ωA＝eq \f(2π,TA)＝5π rad/s，
則質(zhì)點A的位移表達式為xA＝0.5sin (5πt＋π) cm，
質(zhì)點B的初相φB＝eq \f(π,2)，
由TB＝0.8 s得ωB＝eq \f(2π,TB)＝2.5π rad/s，
則質(zhì)點B的位移表達式為xB＝0.2sin (2.5πt＋eq \f(π,2)) cm.
(3)將t＝0.05 s分別代入兩個表達式得
xA＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm
＝－0.5×eq \f(\r(2),2) cm＝－eq \f(\r(2),4) cm，
xB＝0.2sin (2.5π×0.05＋eq \f(π,2)) cm＝0.2sin (eq \f(5,8)π) cm.

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第二節(jié) 簡諧運動的描述

版本： 粵教版 (2019)

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