1．理解并掌握相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比．2．能利用相似三角形的性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題．
1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？2．全等三角形是相似三角形嗎？全等三角形的相似比是多少？3．相似三角形的判定方法有哪些？4．根據(jù)相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性質(zhì)？5．相似三角形還有其他的性質(zhì)嗎？本節(jié)我們就來(lái)探索相似三角形的其他性質(zhì)．
相似三角形的識(shí)別方法有哪些？
證二組對(duì)應(yīng)邊成比例，且?jiàn)A角相等
相似三角形的特征是什么嗎？
相似比=對(duì)應(yīng)邊的比值=
∠A=∠ A′∠B=∠ B′∠C=∠ C′
已知：△A B C ∽△A′B′C′,相似比為k,它們對(duì)應(yīng)高的比是多少？對(duì)應(yīng)角平分線的比是多少？對(duì)應(yīng)中線的比呢？請(qǐng)證明你的結(jié)論。
知識(shí)模塊一　探索相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比
相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高有什么關(guān)系呢？
歸納：相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比。
△A D C ∽△A′D′C′
(2)如右圖兩個(gè)相似三角形相似比為k，則對(duì)應(yīng)邊上的高有什么關(guān)系呢？__________說(shuō)說(shuō)你判斷的理由是什么？_____________
相似三角形對(duì)應(yīng)角的角平分線有什么關(guān)系呢？
歸納：相似三角形對(duì)應(yīng)角的角平分線之比等于相似比。
(2)如右圖兩個(gè)相似三角形相似比為k，則對(duì)應(yīng)角的角平分線比是多少？說(shuō)說(shuō)你判斷的理由是什么？___________________
△AFC ∽△A′F′C′
如右圖△ABC ， AF為 ∠ A 的角平分線。
則:(1)把三角形擴(kuò)大2倍后得△A′B′C′，A′ F′ 為∠ A′的角平分線， △ABC 與△A′B′C′的相似比為多少？ AF 與A′ F′比是多少？
歸納：相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線比等于相似比。
相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線 有什么關(guān)系呢？
如右圖△ABC ， AE為 BC 邊上的中線。
則:(1)把三角形擴(kuò)大2倍后得△A′B′C′，A′ E′為 B′C′邊上的中線。 △ABC 與△A′B′C′的相似比為多少？ AE 與A′ E′比是多少？
△A E C ∽△A′E′C′
(2)如右圖兩個(gè)相似三角形相似比為k，則對(duì)應(yīng)邊上的中線的比是多少呢？
說(shuō)說(shuō)你判斷的理由是什么？____________________
1．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做__________．2．相似三角形的對(duì)應(yīng)角_______，對(duì)應(yīng)邊________．3．相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)_________的比，對(duì)應(yīng)_________的比都等于相似比．
1．如圖，△ABC和△A′B′C′是兩個(gè)相似三角形，相似比為k，其中AD、A′D′分別為BC、B′C′邊上的高，那么，AD和A′D′之間有什么關(guān)系？
證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴AB∶A′B′＝AD∶A′D′＝k.
歸納結(jié)論：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比．
2．如圖，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分別是△ABC和△A′B′C′邊上的中線，AE、A′E′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線，且AB∶A′B′＝k，那么AD與A′D′、AE與A′E′之間有怎樣的關(guān)系？
歸納結(jié)論：相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比．
知識(shí)模塊二　相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用
1.如圖，AD是△ABC的高，AD=h, 點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，SR⊥AD，垂足為E.當(dāng) 時(shí)，求DE的長(zhǎng).如果 呢？ 　
∴△ASR∽△ABC (兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似).
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比)，
當(dāng) 時(shí)，得 解得
2.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它們的
對(duì)應(yīng)中線， ， B′D′=4cm,求BD的長(zhǎng)
如圖，AD是△ABC的高，點(diǎn)P，Q在BC邊上，點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，BC＝60cm，AD＝40cm，四邊形PQRS是正方形．
(1)△ASR與△ABC相似嗎？為什么？(2)求正方形PQRS的邊長(zhǎng)．
解：(1)△ASR∽△ABC.理由是：∵四邊形PQRS是正方形，∴SR∥BC.∴∠ASR＝∠B，∠ARS＝∠C.∴△ASR∽△ABC(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似)；
(2)由(1)可知△ASR∽△ABC.
(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比)．
設(shè)正方形PQRS的邊長(zhǎng)為xcm，則AE＝(40－x)cm.
解得x＝24.∴正方形PQRS的邊長(zhǎng)為24cm.
1．順次連接三角形三邊的中點(diǎn)，所構(gòu)成的三角形與原三角形對(duì)應(yīng)高的比是(　　)
A．1∶4　　　 B．1∶3　　　C．1∶2　　　 D．1∶
2．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它們的對(duì)應(yīng)角平分線，且AD＝8cm，A′D′＝3cm.則△ABC與
△A′B′C′對(duì)應(yīng)高的比為_(kāi)________ ．
3．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，其中BC＝15cm，高AD＝10cm，現(xiàn)在要把它裁剪成一個(gè)矩形材料備用，使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，若矩形的一邊PN＝9，求矩形的另一邊PQ的長(zhǎng)是多少？
解：設(shè)AD與PN交于點(diǎn)E.∵四邊形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C，∴△APN∽△ABC，
∴DE＝AD－AE＝10－6＝4(cm)，由題意可知：PQ＝DE＝4cm.∴矩形的另一邊PQ的長(zhǎng)是4cm.
1．如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線之比為1∶2，那么它們對(duì)應(yīng)中線之比為(　　)
A．1∶2　　 B．1∶3　C．1∶4　　 D．1∶8
2．已知△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′是高，且AD＝3cm，A′D′＝5cm，AE，A′E′分別是BC和B′C′邊上的中線，AE＝6cm，則A′E′＝______．
3．如圖，在△ABC是一張銳角三角形硬紙片，AD是邊BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G，H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M.
(2)求矩形EFGH的周長(zhǎng)．
解：(1)易得AM⊥HG，∵四邊形EFGH為矩形，∴EF∥GH，∴∠AHG＝∠ABC.又∵∠HAG＝∠BAC，∴△AHG∽△ABC，
設(shè)HE＝xcm，則MD＝HE＝xcm，∵AD＝30cm，∴AM＝(30－x)cm.∵HG＝2HE，∴HG＝2xcm，
解得，x＝12，2x＝24，所以矩形EFGH的周長(zhǎng)為：2×(12＋24)＝72(cm)．
相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比
相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比
相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比

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7 相似三角形的性質(zhì)

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