章末綜合測(cè)評(píng)(三)　三角恒等變換(滿分：150分　時(shí)間：120分鐘)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．函數(shù)y＝＋的值域是(　　)A．{0，2}　　　 B．{－2，0}C．{－2，0，2}  D．{－2，2}C　[y＝＋.當(dāng)x為第一象限角時(shí)，y＝2；當(dāng)x為第三象限角時(shí)，y＝－2；當(dāng)x為第二、四象限角時(shí)，y＝0.]2．sin 80°cos 70°＋sin 10°sin 70°等于(　　)A．－  B．－C．     D．C　[sin 80°cos 70°＋sin 10°sin 70°＝cos 10°cos 70°＋sin 10°sin 70°＝cos (70°－10°)＝cos 60°＝，故選C.]3．已知α為第二象限角，sin α＝，則sin 的值等于(　　)A．  B．C．   D．A　[∵sin α＝，α是第二象限角，∴cos α＝－，則sin ＝sin αcos －cos αsin ＝×＋×＝.故選A.]4．已知向量a＝，b＝(cos α，2)，且a∥b，則cos 2α＝(　　)A．    B．－ C．－   D．A　[向量a＝，b＝(cos α，2)，且a∥b，可得tan αcos α＝，即sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝，故選A.]5．若將函數(shù)f(x)＝2sinx cos x－2sin2x＋1的圖象向右平移φ個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的最小正值是(　　)A．   B．C．   D．C　[將函數(shù)f(x)＝2sin x cos x－2sin2x＋1＝sin2x＋cos 2x＝sin 的圖象向右平移φ個(gè)單位，可得y＝sin ＝sin 的圖象．再根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得－2φ＝kπ＋，k∈Z，故φ的最小正值是.]6．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若它的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2，3)，則tan ＝(　　)A．－   B． C．      D．－D　[依題意，角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2，3)，則tan α＝，tan 2α＝＝－，于是tan＝＝－.]7．設(shè)奇函數(shù)f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)(ω>0)在x∈[－1，1]內(nèi)有9個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍為(　　)A．[4π，5π)    B．[4π，5π]C．     D．A　[∵f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)＝2sin ，∴φ－＝kπ(k∈Z)，∴2T≤1<T，∴2×≤1<×，∴4π≤ω<5π.故選A.]8．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos (A＋B)，則C的值為(　　)A．     B．C．     D．C　[∵m·n＝sin A cos B＋cos A sin B＝sin (A＋B)＝1＋cos (A＋B)，∴sin (A＋B)－cos (A＋B)＝sin C＋cos C＝2sin ＝1.∴sin ＝，∴＋C＝或＋C＝(舍去)，∴C＝.]二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．化簡(jiǎn)下列各式，與tan α相等的是(　　)A．B．·C．D．BC　[A不符合，＝＝＝；B符合，因?yàn)?/span>α∈，·＝＝tan α；C符合，＝＝tan α；D不符合，＝＝.故選BC.]10．已知函數(shù)f(x)＝cos ·，則下列區(qū)間中f(x)在其上單調(diào)遞增的是(　　)A．　 B．C．   D．AC　[f(x)＝cos ＝sin x＋＝sin ＋.令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，可得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，又?，所以C滿足題意；當(dāng)k＝1時(shí)，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，所以A滿足題意．]11．已知f(x)＝sin 2，若a＝f(lg 5)，b＝f，則(　　)A．a＋b＝0   B．a－b＝0　C．a＋b＝1   D．a－b＝sin (2lg 5)CD　[由余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)可得f(x)＝sin 2＝＝＝sin 2x＋，∵a＝f(lg 5)，b＝f＝f(－lg 5)，∴a＋b＝＋＝1，a－b＝－＝sin (2lg 5)，故選CD.]12．已知函數(shù)f＝cos 2x cos φ－sin 2x sin φ的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則下列說法正確的是(　　)A．直線x＝π是函數(shù)f的圖象的一條對(duì)稱軸B．函數(shù)f在上單調(diào)遞減C．函數(shù)f的圖象向右平移個(gè)單位可得到y＝cos 2x的圖象D．函數(shù)f在上的最小值為－1ABD　[∵f＝cos 2x cos φ－sin 2x sin φ＝cos 的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，∴cos ＝0，則＋φ＝＋kπ，∴φ＝＋kπ，k∈Z.∵0＜φ＜，∴φ＝.則f＝cos .∵f＝cos ＝cos π＝－1，∴直線x＝π是函數(shù)f的圖象的一條對(duì)稱軸，故A正確；當(dāng)x∈時(shí)，2x＋∈，∴函數(shù)f在上單調(diào)遞減，故B正確；函數(shù)f的圖象向右平移個(gè)單位，得到y＝cos ＝cos 的圖象，故C錯(cuò)誤；當(dāng)x∈時(shí)，2x＋∈，∴函數(shù)f在上的最小值為cos π＝－1，故D正確．故選ABD.]三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把正確的答案填在題中橫線上．13．cos 89°cos 1°＋sin 91°sin 181°＝________．0　[cos 89°cos 1°＋sin 91°sin 181°＝cos 89°cos 1°－cos 1°sin 1°＝sin 1°cos 1°－cos 1°sin 1°＝0.]14．設(shè)α為鈍角，且3sin 2α＝cos α，則sin α＝________．　[因?yàn)?/span>α為鈍角，所以sin α>0，cos α<0，由3sin 2α＝cos α，可得6sin αcos α＝cos α，所以sin α＝.]15．已知β∈，滿足tan (α＋β)＝，sin β＝，則tan α的值為________．　[因?yàn)?/span>β∈，sin β＝，所以cos β＝，所以tan β＝＝，又因?yàn)?/span>tan (α＋β)＝，所以tan α＝tan [(α＋β)－β]＝＝＝.]16．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－ω，ω)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝ω對(duì)稱，則ω的值為________．　[f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin ，因?yàn)?/span>f(x)在區(qū)間(－ω，ω)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝ω對(duì)稱，所以f(ω)必為一個(gè)周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.]四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)已知0<α<，sin α＝.(1)求tan α的值；(2)求cos 2α＋sin 的值．[解]　(1)因?yàn)?/span>0<α<，sin α＝，所以cos α＝，所以tan α＝.(2)根據(jù)二倍角公式與誘導(dǎo)公式可得：cos 2α＋sin ＝1－2sin2α＋cosα＝1－＋＝.18．(本小題滿分12分)計(jì)算：(1)；(2)tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°.[解]　(1)＝＝＝＝sin 30°＝.(2)由tan (25°＋35°)＝＝，可得tan 25°＋tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)，即tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝.19．(本小題滿分12分)已知向量a＝(sin θ，－2)與b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin (θ－φ)＝，0<φ<，求cos φ的值．[解]　(1)∵a與b互相垂直，則a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1得sinθ＝±，cos θ＝±，又θ∈，∴sin θ＝，cos θ＝.(2)∵0<φ<，0<θ<，∴－<θ－φ<，則cos (θ－φ)＝＝，∴cosφ＝cos [θ－(θ－φ)]＝cos θcos (θ－φ)＋sin θsin (θ－φ)＝.20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝cos －sin .(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并給出證明；(2)若θ為第一象限角，且f ＝，求cos 的值．[解]　(1)結(jié)論：函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)．證明：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)＝cos －sin ＝cos ＝cos x，所以f(－x)＝cos (－x)＝cos x，所以f(－x)＝f(x).因此，函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)．(2)因?yàn)?/span>f ＝cos ＝，所以cos ＝.由于θ為第一象限角，故sin ＝.所以cos ＝cos ＝sin ＝2sin cos ＝2××＝.21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．[解]　 (1)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos 4x＝cos 2x sin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin ，∴f(x)的最小正周期T＝，最大值為.(2)由f(α)＝，得sin ＝1.∵α∈，則<4α＋<，所以4α＋＝π，故α＝π.22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x＋2sinx cos x(x∈R).(1)當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若關(guān)于x的方程f(x)－t＝1在內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．[解]　(1)f(x)＝2cos2x＋2sinx cos x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2＋1＝2sin ＋1.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).因?yàn)?/span>x∈[0，π]，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.(2)依題意，得2sin ＋1－t＝1，所以t＝2sin ，即函數(shù)y＝t與y＝2sin 的圖象在內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)．因?yàn)?/span>x∈，所以2x＋∈.當(dāng)2x＋∈時(shí)，sin ∈，y＝2sin ∈[1，2]；當(dāng)2x＋∈時(shí)，sin ∈，y＝2sin ∈[－1，2].由函數(shù)y＝t與y＝2sin 的圖象(圖略)，得1≤t<2，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是[1，2). 

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