第四章　三角恒等變換本章達標檢測(滿分:150分;時間:120分鐘)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.sin 17°·sin 223°+cos 17°·cos(-43°)等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.- B.C.- D.2.若2cosθ-=3cos θ,則tan θ=(　　)A. B.C.- D.3.函數(shù)f(x)=1+sin2-的最小正周期為(　　)A.2π B.π C. D.4π4.已知α∈[0,π],且3sin =,則tan =(　　)A.- B. C. D.25.函數(shù)f(x)=cos xcos +cosx+cos 在,上的最小值為(　　)A.- B.-C.-1 D.06.若α∈0,,且cos2α+cos+2α=,則tan α=(　　)A. B. C. D.7.已知函數(shù)f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f+f=0,且f(x)在區(qū)間,上遞減,則整數(shù)ω=(　　)A.1 B.2 C.1或2 D.58.已知角α,β滿足cos 2α+cos α=sin+β·sin-β+sin2β,且α∈(0,π),則α等于(　　)A. B. C. D.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多個選項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分)9.已知α∈(0,π),且cos α=-,則下列結(jié)論中正確的是(　　)A.sin(π-α)= B.cos =C.tan 2α= D.sinα+=-10.已知sin 78°=m,則(　　)A.sin 12°= B.cos 24°=m2+1C.tan 78°=- D.cos 168°=-m11.在非直角△ABC中,下列結(jié)論正確的是(　　)A.sin A+cos A>0B.cos(A-B)>cos Acos BC.sin A=sin Bcos C+cos Bsin CD.tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C12.已知函數(shù)f(x)=sin xcos x-cos2x,則(　　)A.函數(shù)f(x)在區(qū)間0,上為增函數(shù)B.直線x=是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸C.函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=sin 2x的圖象向右平移個單位得到D.對任意x∈R,恒有f+x+f(-x)=-1 三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.已知sin(θ+π)=,且θ為第四象限角,則tan(θ-π)等于　　　　. 14.已知tan θ+=4,則cos2=　　　　. 15.函數(shù)y=sin2x+2cos x在區(qū)間-,a上的值域為-,2,則a的取值范圍是　　　　. 16.已知函數(shù)f(x)=cos4x+sin2x,給出下列結(jié)論:①f(x)是偶函數(shù);②函數(shù)f(x)的最小值為;③是函數(shù)f(x)的一個周期;④函數(shù)f(x)在0,內(nèi)是減函數(shù).其中正確結(jié)論的序號是　　　　. 四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知α∈(π,2π),且sin α+cos α=.(1)求cos2α-cos4α的值;(2)求sin的值.              18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+cos(x+2θ),其中θ為銳角,且f(0)=.(1)求θ的值;(2)求函數(shù)f(x)在-,0上的最值.           19.(本小題滿分12分)已知0<α<<β<π,tan =,cos(β-α)=.(1)求tan α,sin α的值;(2)求β的值.                  20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=cos2x-cos2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在上的值域.          21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=2cos2x++cos2x-.(1)求函數(shù)圖象的對稱軸方程;(2)求函數(shù)y=f(-x)的單調(diào)遞減區(qū)間.             22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=sin+sin+cos x.(1)求函數(shù)f(x)的最大值;(2)若f=-,當<x<時,求的值.      
答案全解全析第四章　三角恒等變換 本章達標檢測1.B 2.D 3.D 4.B 5.A6.B 7.B 8.C 9.ABD 10.AD11.BCD 12.ABD    一、單項選擇題1.B　sin 17°sin 223°+cos 17°cos(-43°)=sin 17°sin(180°+43°)+cos 17°cos 43°=sin 17°(-sin 43°)+cos 17°cos 43°=cos 17°cos 43°-sin 17°sin 43°=cos 60°=1/2.2.D　因為2cos θ-π/3 =3cos θ,所以2cos θcos π/3+2sin θsin π/3=3cos θ,即√3sin θ=2cos θ,故tan θ=sinθ/cosθ=2/√3=(2√3)/3.3.D　由于f(x)=1+sin2 x/4-π/6 =1+(1"-" cos(x/2 "-"  π/3))/2=-1/2cos x/2-π/3 +3/2,于是最小正周期為2π/(1/2)=4π.4.B　由于0≤α≤π,所以0≤α/2≤π/2,故sin α/2≥0,cos α/2≥0,因此√(1+sinα)=√(sin^2  α/2+2sin" "  α/2 cos" "  α/2+cos^2  α/2)=sinα/2+cosα/2,即sin α/2+cos α/2=3sin α/2,即cos α/2=2sin α/2,故tan α/2=(sin" "  α/2)/(cos" "  α/2)=1/2.5.A　f(x)=cos xcos π/12+cos x+π/2 cos 5π/12=cos xcos π/12-sin xsin π/12=cos x+π/12 ,當x∈ π/6,7π/12 時,f(x)單調(diào)遞減,故當x=7π/12時,函數(shù)f(x)取最小值,最小值為cos 2π/3=-1/2.6.B　由cos2α+cos(π/2+2α)=3/10,得cos2α-sin 2α=3/10,即(cos^2 α"-" sin2α)/(sin^2 α+cos^2 α)=(cos^2 α"-" 2sinαcosα)/(sin^2 α+cos^2 α)=(1"-" 2tanα)/(tan^2 α+1)=3/10,即3tan2α+20tan α-7=0,又α∈ 0,π/2 ,所以tan α>0,得tan α=1/3.7.B　f(x)=sin ωx+√3cos ωx=2sin ωx+π/3 ,令π/2+2kπ≤ωx+π/3≤2kπ+3π/2,k∈Z,當k=0時,π/6ω≤x≤7π/6ω,由于f(x)在區(qū)間 π/6,π/2 上單調(diào)遞減,所以 π/6,π/2 ? π/6ω,7π/6ω ,即{■(π/6ω≤π/6 "," @π/2≤7π/6ω "," )┤解得1≤ω≤7/3,所以ω=1或2.當ω=1時,f π/6 +f π/2 =3≠0,不符合題意;當ω=2時,滿足f π/6 +f π/2 =0.故ω=2.8.C　由于sin π/3+β ?sin π/3-β +sin2β= √3/2cos β+1/2sin β  √3/2cos β-1/2?sin β +sin2β=3/4cos2β-1/4sin2β+sin2β=3/4cos2β+3/4sin2β=3/4,因此cos 2α+5/2?cos α=3/4,即2cos2α-1+5/2cos α=3/4,解得cos α=1/2或cos α=-7/4(舍去),又因為α∈(0,π),所以α=π/3.二、多項選擇題9.ABD　由已知得sin(π-α)=sin α=√(1"-" cos^2 α)=3/5,故A正確;cos α/2=√((1+cosα)/2)=√10/10,故B正確;由α∈(0,π),cos α=-4/5得tan α=-3/4,所以tan 2α=2tanα/(1"-" tan^2 α)=-24/7,故C錯誤;sin α+π/4 =√2/2?(sin α+cos α)=-√2/10,故D正確.10.AD　由sin 78°=m得cos 12°=m,所以sin 12°=√(1"-" m^2 ),故A正確;cos 24°=2cos212°-1=2m2-1,故B錯誤;tan 78°=sin78"°" /cos78"°" =m/√(1"-" m^2 ),故C錯誤;cos 168°=-cos 12°=-m,故D正確.11.BCD　當A=150°時,sin A+cos A=1/2-√3/2<0,故A錯誤;由于cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B,而sin Asin B>0,所以cos(A-B)>cos Acos B,故B正確;sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,故C正確;tan A+tan B+tan C=tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan C=-tan C(1-tan Atan B)+tan C=tan A?tan Btan C,故D正確.12.ABD　由題意得f(x)=1/2sin 2x-(1+cos2x)/2=√2/2sin 2x-π/4 -1/2.當x∈(0","  π/8)時,2x-π/4∈("-"  π/4 "," 0),函數(shù)f(x)為增函數(shù),故A中說法正確;令2x-π/4=π/2+kπ,k∈Z,得x=3π/8+kπ/2,k∈Z,顯然直線x=3π/8是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸,故B中說法正確;函數(shù)y=√2/2sin 2x的圖象向右平移π/8個單位得到函數(shù)y=√2/2?sin 2 x-π/8 =√2/2sin 2x-π/4 的圖象,故C中說法錯誤;f π/4+x +f(-x)=√2/2?sin(2x+π/4)-1/2+√2/2sin("-" 2x"-"  π/4)-1/2=√2/2sin 2x+π/4 -√2/2sin 2x+π/4 -1=-1,故D中說法正確.故選ABD.三、填空題13.答案　-4/3解析　由sin(θ+π)=4/5可知-sin θ=4/5,所以sin θ=-4/5,而θ為第四象限角,所以cos θ=3/5,于是tan(θ-π)=tan θ=sinθ/cosθ=-4/3.14.答案　1/4解析　∵tan θ+1/tanθ=4,∴sinθ/cosθ+cosθ/sinθ=4,∴(sin^2 θ+cos^2 θ)/sinθcosθ=4,∴sin θcos θ=1/4,∴cos2(θ+π/4)=cos(2θ+π/2)/2+1/2=-sin2θ/2+1/2=-sin θcos θ+1/2=-1/4+1/2=1/4.15.答案　 0,2π/3 解析　由已知得y=1-cos2x+2cos x=-(cos x-1)2+2,∵此函數(shù)在區(qū)間 -2π/3,a 上的值域為 -1/4,2 ,并且cos x取得最大值1,即x=2kπ,k∈Z時,函數(shù)值為2,∴a≥0,又當x=-2π/3時,函數(shù)值為-1/4,當x=2π/3時,函數(shù)值為-1/4,∴a≤2π/3.∴a的取值范圍是0≤a≤2π/3.16.答案　①②③解析　易知f(x)的定義域為R,其圖象關于原點對稱.又f(-x)=cos4(-x)+sin2(-x)=cos4x+sin2x=f(x),故函數(shù)f(x)是偶函數(shù),故①正確;由于f(x)=(1-sin2x)2+sin2x=sin4x-sin2x+1= sin2x-1/2 2+3/4,且sin2x∈[0,1],所以當sin2x=1/2時,f(x)min=3/4,所以②正確;f x+π/2 =sin4 x+π/2 -sin2 x+π/2 +1=cos4x+1-cos2x=cos4x+sin2x,則f(x)=f x+π/2 ,故③正確;因為f π/4 =3/4,f π/2 =1,所以f π/4 <f π/2 ,所以④錯誤.四、解答題17.解析　(1)因為sin α+cos α=√2/4,所以(sin α+cos α)2=1/8,即1+2sin αcos α=1/8,所以sin αcos α=-7/16.(2分)故cos2α-cos4α=cos2α(1-cos2α)=(sin αcos α)2= -7/16 2=49/256.(5分)(2)由題易得sin(α"-"  π/4)=√2/2(sin α-cos α),(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-2×("-"  7/16)=15/8,(6分)因為sin αcos α=-7/16<0,所以α∈(3π/2 "," 2π),所以sin α<0,cos α>0,(7分)所以sin α-cos α=-√30/4,(8分)因此sin(α"-"  π/4)=√2/2×("-"  √30/4)=-√15/4.(10分)18.解析　(1)由f(0)=√2/2得sin θ+√2cos 2θ=√2/2,(1分)即sin θ+√2(1-2sin2θ)=√2/2,所以2√2sin2θ-sin θ-√2/2=0,(2分)解得sin θ=√2/2或sin θ=-√2/4,(3分)由于θ為銳角,所以sin θ=√2/2,(4分)故θ=π/4.(5分)(2)由(1)得f(x)=sin(x+π/4)+√2cos x+π/2 =sin x+π/4 -√2sin x=-√2/2sin x+√2/2cos x=-sin x-π/4 ,(7分)由于x∈["-"  π/4 "," 0],所以x-π/4∈["-"  π/2 ",-"  π/4],(8分)于是當x-π/4=-π/2,即x=-π/4時,f(x)取得最大值1,(10分)當x-π/4=-π/4,即x=0時,f(x)取得最小值√2/2.(12分)19.解析　(1)因為tan α/2=1/2,所以tan α=(2tan" "  α/2)/(1"-" tan^2  α/2)=4/3.(3分)因為0<α<π/2,且sin2α+cos2α=1,所以sin α=4/5.(6分)(2)因為tan α=4/3,sin α=4/5,所以cos α=3/5.(7分)因為0<α<π/2<β<π,所以0<β-α<π,因為cos(β-α)=√2/10,所以sin(β-α)=(7√2)/10.(8分)因此sin β=sin[α+(β-α)]=sin α?cos(β-α)+cos α?sin(β-α)=4/5×√2/10+3/5×(7√2)/10=√2/2,(10分)故β=3π/4.(12分)20.解析　(1)f(x)=cos2x-cos2(x"-"  π/3)=(1+cos2x)/2-(1+cos(2x"-"  2π/3))/2=1/2 cos 2x-cos 2x-2π/3  =1/2 cos 2x- -1/2?cos 2x+√3/2sin 2x  =-√3/4sin 2x+3/4?cos 2x=-√3/2sin 2x-π/3 ,(4分)故函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π/2=π.(6分)(2)當x∈ -π/6,π/3 時,2x-π/3∈["-"  2π/3 ","  π/3],(7分) 所以sin 2x-π/3 ∈ -1,√3/2 ,(9分)故-√3/2sin 2x-π/3 ∈ -3/4,√3/2 ,(11分) 故函數(shù)f(x)的值域是 -3/4,√3/2 .(12分)21.解析　(1)f(x)=2cos2 x+π/24 +cos 2x-5π/12 =cos 2x+π/12 +1+cos 2x-5π/12 =sin 2x+π/12 +cos 2x+π/12 +1=√2?sin 2x+π/12+π/4 +1=√2sin 2x+π/3 +1.(3分)令2x+π/3=kπ+π/2,k∈Z,(4分)解得x=kπ/2+π/12,k∈Z,(5分)故函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=kπ/2+π/12(k∈Z).(6分)(2)y=f(-x)=√2sin -2x+π/3 +1=-√2?sin 2x-π/3 +1,(7分)令-π/2+2kπ≤2x-π/3≤π/2+2kπ,k∈Z,(9分)解得-π/12+kπ≤x≤5π/12+kπ,k∈Z,(11分)故函數(shù)y=f(-x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 -π/12+kπ,5π/12+kπ (k∈Z). (12分)22.解析　(1)f(x)=sin xcosπ/3+cos xsinπ/3+sin xcosπ/3-cos xsinπ/3+cos x=2sin xcosπ/3+cos x=sin x+cos x=√2sin(x+π/4),(3分)∴函數(shù)f(x)的最大值為√2.(4分)(2)結(jié)合(1)得f(x"-"  π/2)=√2sin(x"-"  π/4),∴√2sin(x"-"  π/4)=-(3√2)/5,(5分)∴sin(x"-"  π/4)=-3/5,即√2/2sin x-√2/2cos x=-3/5,∴sin x-cos x=-(3√2)/5,(6分)兩邊平方得1-2sin xcos x=18/25,∴2sin xcos x=7/25,(7分)∴(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=32/25.∵17π/12<x<7π/4,∴sin x+cos x<0,∴sin x+cos x=-(4√2)/5,(8分)∴(2sin^2 x"-" sin2x)/(tanx+1)=(2sin^2 x"-" 2sinxcosx)/(sinx/cosx+1)=(2sinxcosx"(" sinx"-" cosx")" )/(sinx+cosx)=(7/25×("-"  (3√2)/5))/("-"  (4√2)/5)=21/100.(12分)

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