類型九 二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題【典例1】如圖，已知拋物線經(jīng)過點和點，與軸交于點.（1）求此拋物線的解析式；（2）若點是直線下方的拋物線上一動點（不點，重合），過點作軸的平行線交直線于點，設(shè)點的橫坐標為.①用含的代數(shù)式表示線段的長；②連接，，求的面積最大時點的坐標；（3）設(shè)拋物線的對稱軸與交于點，點是拋物線的對稱軸上一點，為軸上一點，是否存在這樣的點和點，使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由.            【典例2】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），點P是直線BC下方拋物線上的任意一點．（1）求這個二次函數(shù)y=x2+bx+c的解析式．（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP′C，如果四邊形POP′C為菱形,求點P的坐標．（3）如果點P在運動過程中，能使得以P、C、B為頂點的三角形與△AOC相似，請求出此時點P的坐標．                【典例3】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點的坐標為（﹣3，0），B點在原點的左側(cè)，與y軸交于點C（0，3），點P是直線BC上方的拋物線上一動點（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C（如圖1所示），那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請此時點P的坐標：若不存在，請說明理由；（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABCP的面積最大，并求出其最大值．                 【典例4】如圖，拋物線與y軸交于A點，過點A的直線與拋物線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C(3，0).（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）動點P在線段OC上從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N. 設(shè)點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點P與點O，點C重合的情況），連接CM，BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由            【典例5】已知，在平面直角坐標系內(nèi)一直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，y軸右側(cè)部分拋物線上有一動點C，過點C作y軸的平行線交直線l1于點D.（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，C在第一象限，求以CD為直徑的⊙E的最大面積，并判斷此時⊙E與拋物線的對稱軸是否相切？若不相切，求出使得⊙E與該拋物線對稱軸相切時點C的橫坐標；（3）坐標平面內(nèi)是否存在點M，使B、C、D、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點M的坐標；不存在，請說明理由.           【典例6】如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點為，另一個交點為A，且與y軸相交于C點（1）求m的值及C點坐標；（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M，使得它與B，C兩點構(gòu)成的三角形面積最大，若存在，求出此時M點坐標；若不存在，請簡要說明理由（3）P為拋物線上一點，它關(guān)于直線BC的對稱點為Q，當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標(直接寫出答案)；                【典例7】定義：對于拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），若b2＝ac，則稱該拋物線為黃金拋物線．例如：y＝x2﹣x+1是黃金拋物線（1）請再寫出一個與上例不同的黃金拋物線的解析式；（2）將黃金拋物線y＝x2﹣x+1沿對稱軸向下平移3個單位①直接寫出平移后的新拋物線的解析式；②新拋物線如圖所示，與x軸交于A、B（A在B的左側(cè)），與y軸交于C，點P是直線BC下方的拋物線上一動點，連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．③當直線BC下方的拋物線上動點P運動到什么位置時，四邊形 OBPC的面積最大并求出此時P點的坐標和四邊形OBPC的最大面積．            【典例8】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a(a＜0)與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，經(jīng)過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC．(1)求A，B兩點的坐標及拋物線的對稱軸；(2)求直線l的函數(shù)解析式(其中k，b用含a的式子表示)；(3)點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；(4)設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由．                【典例9】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線（）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；（3）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．           【典例10】如圖1，拋物線y=﹣x2+x+與x軸分別交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于C點．經(jīng)過點A的直線l與y軸交于點D（0，﹣）．（1）求A、B兩點的坐標及直線l的表達式；（2）如圖2，直線l從圖中的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向運動，運動中直線l與x軸交于點E，與y軸交于點F，點A 關(guān)于直線l的對稱點為A′，連接FA′、BA′，設(shè)直線l的運動時間為t（t＞0）秒．探究下列問題：①請直接寫出A′的坐標（用含字母t的式子表示）；②當點A′落在拋物線上時，求直線l的運動時間t的值，判斷此時四邊形A′BEF的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，探究：在直線l的運動過程中，坐標平面內(nèi)是否存在點P，使得以P，A′，B，E為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點P的坐標； 若不存在，請說明理由．

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