?類型九 二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題
【典例1】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
①用含的代數(shù)式表示線段的長；
②連接，，求的面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線的對稱軸與交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)和點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長為﹣m2+3m；②△PBC的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）；（3）存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．
【解析】
（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，
∴，解得，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x+3；
（2）①設(shè)P（m，m2﹣4m+3），
將點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）代入得直線BC解析式為yBC＝﹣x+3．
∵過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)D，
∴D（m，﹣m+3），
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
答：用含m的代數(shù)式表示線段PD的長為﹣m2+3m．
②S△PBC＝S△CPD+S△BPD
＝OB?PD＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+．
∴當(dāng)m＝時(shí)，S有最大值．
當(dāng)m＝時(shí)，m2﹣4m+3＝﹣．
∴P（，﹣）．
答：△PBC的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）．
（3）存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．
根據(jù)題意，點(diǎn)E（2，1），
∴EF=CF=2，
∴EC=2，
根據(jù)菱形的四條邊相等，
∴ME=EC=2，∴M（2，1-2）或（2，1+2）
當(dāng)EM=EF=2時(shí)，M（2，3）
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．
【典例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的任意一點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)y=x2+bx+c的解析式．
（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP′C，如果四邊形POP′C為菱形,求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如果點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，能使得以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（，-）（3）P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，﹣4）
【解析】（1）將B、C點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得：，解得：，這個(gè)二次函數(shù)y＝x2+bx+c的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵四邊形POP′C為菱形，∴OC與PP′互相垂直平分，∴yP，即x2﹣2x﹣3，解得：x1，x2（舍），P（）；
（3）∵∠PBC＜90°，∴分兩種情況討論：
①如圖1，當(dāng)∠PCB＝90°時(shí)，過P作PH⊥y軸于點(diǎn)H，BC的解析式為y＝x﹣3，CP的解析式為y＝﹣x﹣3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣3﹣m），將點(diǎn)P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）；
AO＝1，OC＝3，CB，CP，此時(shí)3，△AOC∽△PCB；
②如圖2，當(dāng)∠BPC＝90°時(shí)，作PH⊥y軸于H，作BD⊥PH于D．
∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），則PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴，∴，解得：m或（舍去）．當(dāng)m時(shí)，m2﹣2m﹣3=．
∵△PHC∽△BDP，∴== 3，以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC不相似．
綜上所述：P、C、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，﹣4）．

【典例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0），B點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C（如圖1所示），那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABCP的面積最大，并求出其最大值．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在．P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）；（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，），四邊形ABPC的面積的最大值為．
【方法點(diǎn)撥】
（1）利用待定系數(shù)法直接將B、C兩點(diǎn)直接代入y＝x2+bx+c求解b，c的值即可得拋物線解析式；
（2）利用菱形對角線的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可以判斷P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣，令y＝﹣即可得x2﹣2x﹣3＝﹣，解該方程即可確定P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由于△ABC的面積為定值，當(dāng)四邊形ABCP的面積最大時(shí)，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線AC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標(biāo)，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關(guān)于四邊形ABCP的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABCP的最大面積及對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】
（1）∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴y＝﹣x2+bx+3，
把A（﹣3，0）代入上式得，0＝9﹣3b+3，
解得，b＝﹣2，
∴該二次函數(shù)解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在．如圖1，

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3），PP′交CO于E，
當(dāng)四邊形POP'C為菱形時(shí)，則有PC＝PO，連接PP′，則PE⊥CO于E，
∴OE＝CE＝，
令﹣x2﹣2x+3＝，
解得，x1＝﹣，x2＝（不合題意，舍去）．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）．
（3）如圖2，過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OA交于點(diǎn)F，

設(shè)P（x，﹣x2﹣2x+3），設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx+t，
則，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝x+3，
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+3），
當(dāng)0＝﹣x2﹣2x+3，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴AO＝3，OB＝1，則AB＝4，
S四邊形ABCP＝S△ABC+S△APQ+S△CPQ
＝AB?OC+QP?OF+QP?AF
＝×4×3+[（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）]×3
＝﹣（x+）2+．
當(dāng)x＝﹣時(shí)，四邊形ABCP的面積最大，
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，），四邊形ABPC的面積的最大值為．
【思路引導(dǎo)】
此題考查了二次函數(shù)綜合題，需要掌握二次函數(shù)解析式的確定、菱形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的求法等知識(shí)，當(dāng)所求圖形不規(guī)則時(shí)通常要將其轉(zhuǎn)換為其他規(guī)則圖形面積的和差關(guān)系來求解．
【典例4】如圖，拋物線與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C(3，0).
（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N. 設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由

【答案】（1）；（2） （0≤t≤3）；（3）t=1或2時(shí)；四邊形BCMN為平行四邊形；t=1時(shí)，平行四邊形BCMN是菱形，t=2時(shí)，平行四邊形BCMN不是菱形，理由見解析.
【解析】
解：（1）x=0時(shí)，y=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（0，1），
∵BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（3，0），
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，
當(dāng)x=3時(shí)，y=，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，），
設(shè)直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b， ，
解得，，
則直線AB的函數(shù)關(guān)系式
（2）當(dāng)x=t時(shí)，y=t+1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，t+1），
當(dāng)x=t時(shí)，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為
（0≤t≤3）；
（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，
∴，
解得t1=1，t2=2，
∴當(dāng)t=1或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形，
①當(dāng)t=1時(shí)，MP=，PC=2，
∴MC==MN，此時(shí)四邊形BCMN為菱形，
②當(dāng)t=2時(shí)，MP=2，PC=1，
∴MC=≠M(fèi)N，此時(shí)四邊形BCMN不是菱形．
【典例5】已知，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，y軸右側(cè)部分拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)C，過點(diǎn)C作y軸的平行線交直線l1于點(diǎn)D.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，C在第一象限，求以CD為直徑的⊙E的最大面積，并判斷此時(shí)⊙E與拋物線的對稱軸是否相切？若不相切，求出使得⊙E與該拋物線對稱軸相切時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；
（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；不存在，請說明理由.
【答案】(1)；（2）不相切， C的橫坐標(biāo)分別為2和；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.
【解析】
解：（1）直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，可得A點(diǎn)（3，0），B點(diǎn)（0，3），將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c，可得
，可得b=2，c=3
拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）①可得拋物線對稱軸為：1，
C在第一象限,以CD為直徑的⊙E的最大面積，即CD最長時(shí)，圓的面積最大，
設(shè)直線CD的橫坐標(biāo)為t，0＜t＜3，
D點(diǎn)坐標(biāo)（t，-t+3），C點(diǎn)坐標(biāo)（t，-t+2t+3），
=-t+2t+3-(-t+3)= -t+3t（0＜t＜3），
當(dāng)t==時(shí)，CD最長，此時(shí)CD最長為，
此時(shí)圓E的半徑為，此時(shí)CD與對稱軸的距離為-1=≠，
故不相切.
②當(dāng)CD在對稱軸右邊時(shí)，即1＜t＜3時(shí)
= -t+3t（1＜t＜3）；圓E的半徑為t-1，
可得=2r；-t+3t=2（t-1），解得：=-1（舍去）；
=2；
當(dāng)CD在對稱軸左邊時(shí)，即即0＜t＜1時(shí)，
有-t+3t=2（1-t），解得：（舍去），
；
綜上所述：t=2或t=，⊙E與該拋物線對稱軸相切.
(3)存在，由菱形性質(zhì)可得M點(diǎn)坐標(biāo)（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.
【典例6】如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸相交于C點(diǎn)
（1）求m的值及C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得它與B，C兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大，若存在，求出此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請簡要說明理由
（3）P為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為Q，當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出答案)；

【答案】(1)
(2) 存在,
(3)點(diǎn)坐標(biāo)為()或()
【解析】解： 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)，即，解得，故二次函數(shù)解析式為，令，解得，故點(diǎn)坐標(biāo)為;
(2)存在，
理由：，
直線的解析式為，
當(dāng)直線向上平移單位后和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，面積最大，

整理得：
，





如圖2、圖3所示，連接交于點(diǎn)。
因?yàn)樗倪呅问橇庑危詾榈闹悬c(diǎn)，
因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)坐標(biāo)為，
由(2)可知直線的解析式為，
由于，所以設(shè)直線的解析式為，
將代入，求得直線的解析式為，
將直線的解析式與拋物線解析式聯(lián)立得：
，消去得：，
解得：，
將代入直線的解析式得，
將代入直線的解析式得，
故當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為()或().
【典例7】定義：對于拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），若b2＝ac，則稱該拋物線為黃金拋物線．例如：y＝x2﹣x+1是黃金拋物線
（1）請?jiān)賹懗鲆粋€(gè)與上例不同的黃金拋物線的解析式；
（2）將黃金拋物線y＝x2﹣x+1沿對稱軸向下平移3個(gè)單位
①直接寫出平移后的新拋物線的解析式；
②新拋物線如圖所示，與x軸交于A、B（A在B的左側(cè)），與y軸交于C，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
③當(dāng)直線BC下方的拋物線上動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 OBPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形OBPC的最大面積．

【答案】（1）y＝x2+x+1；（2）①：y＝x2﹣x﹣2；②存在P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣1）；當(dāng)x＝1時(shí)，最大值是3，P（1，﹣2）
【解析】
解：（1）不唯一，例如：y＝x2+x+1；
（2）①：y＝x2﹣x﹣2；
②存在點(diǎn)P，如圖1，使四邊形POP′C為菱形．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2﹣x﹣2），PP′交CO于E
若四邊形POP′C是菱形，則有PC＝PO．
連結(jié)PP′則PE⊥CO于E，
∴OE＝EC＝1，
∴y＝﹣1，
∴x2﹣x﹣2＝﹣1
解得x1＝，x2＝（不合題意，舍去）
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣1）；
③過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，如圖2

設(shè)P（x，x2﹣x﹣2），
易得，直線BC的解析式：y＝x﹣2
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x﹣2）．
S四邊形OBPC＝S△OBC+S△BPQ+S△CPQ
＝OB?OC+QP?OF+QP?FB＝
＝﹣（x﹣1）2+3，
當(dāng)x＝1時(shí)，四邊形OBPC的面積最大
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2），
四邊形OBPC的面積最大值是3．
【典例8】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a(a＜0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：y＝kx＋b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．
(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸；
(2)求直線l的函數(shù)解析式(其中k，b用含a的式子表示)；
(3)點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；
(4)設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），x＝1；（2）y＝ax+a；（3）；（4）以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，（1，﹣）或（1，﹣4）．
【思路引導(dǎo)】
（1）解方程即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)直線l：y＝kx+b過A（﹣1，0），得到直線l：y＝kx+k，解方程得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，求得k＝a，得到直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax+a；（3）過E作EF∥y軸交直線l于F，設(shè)E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF＝ax2﹣3ax﹣4a，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；（4）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，得到D（4，5a），設(shè)P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一條邊，②若AD是矩形APDQ的對角線，列方程即可得到結(jié)論．
【解析】
（1）當(dāng)y＝0時(shí)，ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
對稱軸為直線x＝＝1；
（2）∵直線l：y＝kx+b過A（﹣1，0），
∴0＝﹣k+b，
即k＝b，
∴直線l：y＝kx+k，
∵拋物線與直線l交于點(diǎn)A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，
∵CD＝4AC，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，
∴﹣3﹣＝﹣1×4，
∴k＝a，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax+a；
（3）過E作EF∥y軸交直線l于F，設(shè)E（x，ax2﹣2ax﹣3a），則F（x，ax+a），
∴EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，

∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，
∴△ACE的面積的最大值＝﹣a，
∵△ACE的面積的最大值為，
∴﹣a＝，
解得；
（4）以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，
設(shè)P（1，m），
①若AD是矩形ADPQ的一條邊，則易得Q（﹣4，21a），

∴m＝21a+5a＝26a，則P（1，26a），
∵四邊形ADPQ是矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣，
∴P（1，﹣）；
②若AD是矩形APDQ的對角線，則易得Q（2，﹣3a），

∴m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，則P（1，8a），
∵四邊形APDQ是矩形，
∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣ ，
∴P（1，﹣4），
綜上所述，點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P（1，﹣）或（1，﹣4）．
【方法總結(jié)】
本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【典例9】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線（）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD=4AC．
（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；
（3）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐標(biāo)為（1，）或（1，－4）．
【解析】
解：（1）∵=，令y=0，得到，，
∴A（－1，0），B（3，0），
∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A，
∴，，
∴，
令，即，
∵CD＝4AC，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，
∴，
∴，
∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）過點(diǎn)E作EF∥y軸，交直線l于點(diǎn)F，設(shè)E（，），則F（，），

EF＝=，
S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝
＝＝，
∴△ACE的面積的最大值為，
∵△ACE的面積的最大值為，
∴ ，解得；
（3）令，即，解得，，
∴D（4，5a），
∵，
∴拋物線的對稱軸為，設(shè)P（1，m），
①若AD是矩形的一條邊，則Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，則P（1，26a），
∵四邊形ADPQ為矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴P1（1，）；

②若AD是矩形的一條對角線，則線段AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，），Q（2，），m＝，則P（1，8a），
∵四邊形APDQ為矩形，∴∠APD＝90°，
∴，
∴，即 ，
∵，∴，∴P2（1，－4）．
綜上所述，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）或（1，－4）．

【典例10】如圖1，拋物線y=﹣x2+x+與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)．經(jīng)過點(diǎn)A的直線l與y軸交于點(diǎn)D（0，﹣）．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l的表達(dá)式；
（2）如圖2，直線l從圖中的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中直線l與x軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)A 關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A′，連接FA′、BA′，設(shè)直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．探究下列問題：
①請直接寫出A′的坐標(biāo)（用含字母t的式子表示）；
②當(dāng)點(diǎn)A′落在拋物線上時(shí)，求直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值，判斷此時(shí)四邊形A′BEF的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，探究：在直線l的運(yùn)動(dòng)過程中，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以P，A′，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由．

【答案】（1）y=﹣x﹣；（2）見解析（3）存在
【解析】（1）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x+=0，解得x1=﹣1，x2=3，則A（﹣1，0），B（3，0），
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
把A（﹣1，0），D（0，﹣）代入得，解得，
∴直線l的解析式為y=﹣x﹣；
（2）①作A′H⊥x軸于H，如圖，

∵OA=1，OD=，
∴∠OAD=60°，
∵EF∥AD，
∴∠AEF=60°，
∵點(diǎn)A 關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A′，
∴EA=EA′=t，∠A′EF=∠AEF=60°，
在Rt△A′EH中，EH=EA′=t，A′H=EH=t，
∴OH=OE+EH=t﹣1+t=t﹣1，
∴A′（t﹣1， t）；
②把A′（t﹣1， t）代入y=﹣x2+x+得﹣（t﹣1）2+（t﹣1）+=t，
解得t1=0（舍去），t2=2，
∴當(dāng)點(diǎn)A′落在拋物線上時(shí)，直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為2；
此時(shí)四邊形A′BEF為菱形，理由如下：
當(dāng)t=2時(shí)，A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，），E（1，0），
∵∠OEF=60°
∴OF=OE=，EF=2OE=2，
∴F（0，），
∴A′F∥x軸，
∵A′F=BE=2，A′F∥BE，
∴四邊形A′BEF為平行四邊形，
而EF=BE=2，
∴四邊形A′BEF為菱形；
（3）存在，如圖：

當(dāng)A′B⊥BE時(shí)，四邊形A′BEP為矩形，則t﹣1=3，解得t=，則A′（3，），
∵OE=t﹣1=，
∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；
當(dāng)A′B⊥EA′，如圖，四邊形A′BPE為矩形，作A′Q⊥x軸于Q，

∵∠AEA′=120°，
∴∠A′EB=60°，
∴∠EBA′=30°
∴BQ=A′Q=?t=t，
∴t﹣1+t=3，解得t=，
此時(shí)A′（1，），E（，0），
點(diǎn)A′向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)E，則點(diǎn)B（3，0）向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)P，則P（，﹣），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，﹣）．

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