2022年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)類(lèi)型十一二次函數(shù)與正方形有關(guān)的問(wèn)題（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式:
若拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)在軸的右側(cè)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求的取值范圍．
如圖2，是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，它到兩坐標(biāo)軸的距離相等，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，試探究四邊形能否成為正方形？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】；；四邊形可以為正方形，
【解析】
解：
將三點(diǎn)代入得
解得
；
如圖．
關(guān)于對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)為
當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)有
解得:
當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)有
解得:
；
四邊形可以為正方形
由題意設(shè)，
是拋物線(xiàn)第一象限上的點(diǎn)
解得:(舍去)即
如圖作，于，
于
四邊形為正方形
易證
為
將代入得
解得:(舍去)
當(dāng)時(shí)四邊形為正方形.
【典例2】如圖，已知拋物線(xiàn)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l，0），B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)E，連接BD．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式．
（2）若點(diǎn)P在直線(xiàn)BD上，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，作PF⊥x軸于F，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線(xiàn)PF上一動(dòng)點(diǎn)，G為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（﹣3，0），
∴，∴，∴拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+2x﹣3；
∴C（0，﹣3），拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D（﹣1，﹣4），
∴E（﹣1，0），
設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y=mx+n，
∴，∴，∴直線(xiàn)BD的解析式為y=﹣2x﹣6，
設(shè)點(diǎn)P（a，﹣2a﹣6），
∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），
根據(jù)勾股定理得，PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，
PC2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∵PC=PE，
∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，
∴a=﹣2，∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，
∴P（﹣2，﹣2），
（3）如圖，作PF⊥x軸于F，
∴F（﹣2，0），
設(shè)M（d，0），
∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），
∵以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，必有FM=MG，
∴|d+2|=|d2+2d﹣3|，
∴d=或d=，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）．
【典例3】如圖，拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)，垂足為E，連接BD．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線(xiàn)段MN為對(duì)角線(xiàn)作正方形MPNQ，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可得，解得，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+2x+6，
∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；
（2）如圖1，過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，
設(shè)F（x，﹣x2+2x+6），則FG=|﹣x2+2x+6|，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，
∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴=，
當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，）；
當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，﹣）；
綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，﹣）；
（3）如圖2，設(shè)對(duì)角線(xiàn)MN、PQ交于點(diǎn)O′，
∵點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，且四邊形MPNQ為正方形，
∴點(diǎn)P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，
設(shè)Q（2，2n），則M坐標(biāo)為（2﹣n，n），
∵點(diǎn)M在拋物線(xiàn)y=﹣x2+2x+6的圖象上，
∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，
∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．
【典例4】如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx﹣3過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），點(diǎn)M、N為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MD∥y軸，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E．過(guò)點(diǎn)N作NF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F
（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3的表達(dá)式；
（2）若M點(diǎn)是拋物線(xiàn)上對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的點(diǎn)，且四邊形MNFE為正方形，求該正方形的面積；
（3）若M點(diǎn)是拋物線(xiàn)上對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的點(diǎn)，且∠DMN=90°，MD=MN，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3，
得：，解得，故該拋物線(xiàn)解析式為：y=x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）知，拋物線(xiàn)解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）．
如圖，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1，
∴ME=|﹣m2+2m+3|，
∵M(jìn)、N關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，且點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2﹣m，
∴MN=2m﹣2，
∵四邊形MNFE為正方形，
∴ME=MN，
∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，
分兩種情況：
①當(dāng)﹣m2+2m+3=2m﹣2時(shí)，解得：m1=、m2=﹣（不符合題意，舍去），
當(dāng)m=時(shí)，正方形的面積為（2﹣2）2=24﹣8；
②當(dāng)﹣m2+2m+3=2﹣2m時(shí)，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合題意，舍去），
當(dāng)m=2+時(shí)，正方形的面積為[2（2+）﹣2]2=24+8；
綜上所述，正方形的面積為24+8或24﹣8．
（3）設(shè)BC所在直線(xiàn)解析式為y=px+q，
把點(diǎn)B（3，0）、C（0，﹣3）代入表達(dá)式，
得：，解得：，
∴直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x﹣3，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，t2﹣2t﹣3），其中t＜1，
則點(diǎn)N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），點(diǎn)D（t，t﹣3），
∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t，MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|．
∵M(jìn)D=MN，∴|t2﹣3t|=2﹣2t，
分兩種情況：
①當(dāng)t2﹣3t=2﹣2t時(shí)，解得t1=﹣1，t2=2（不符合題意，舍去）．
②當(dāng)3t﹣t2=2﹣2t時(shí)，解得t3=，t2=（不符合題意，舍去）．
綜上所述，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣1或．
【典例5】如圖，拋物線(xiàn)y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是M′．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若直線(xiàn)AM′與此拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求△CAB的面積；
（3）是否存在過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形？若存在，求出此拋物線(xiàn)的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)，可得M′的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AM′的解析式，根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得P、Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式．
【解答】：解：（1）將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，解得，
拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3；
（2）將拋物線(xiàn)的解析式化為頂點(diǎn)式，得y=（x﹣1）2﹣4，
M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣4），M′點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4），
設(shè)AM′的解析式為y=kx+b，
將A、M′點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，AM′的解析式為y=2x+2，
聯(lián)立AM′與拋物線(xiàn)，得
，解得，
C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，12）．S△ABC=×4×12=24；
（3）存在過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)，其頂點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，使得四邊形APBQ為正方形，
由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得
P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），
①當(dāng)頂點(diǎn)P（1，﹣2）時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x﹣1）2﹣2，
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a（﹣1﹣1）2﹣2=0，解得a=，
拋物線(xiàn)的解析式為y=（x﹣1）2﹣2，
②當(dāng)P（1，2）時(shí)，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x﹣1）2+2，將
A點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得a（﹣1﹣1）2+2=0，
解得a=﹣，拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣（x﹣1）2+2，
綜上所述：y=（x﹣1）2﹣2或y=﹣（x﹣1）2+2，使得四邊形APBQ為正方形．
【典例6】如圖，拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)，垂足為E，連接BD．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)F是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在平面內(nèi)，以線(xiàn)段MN為對(duì)角線(xiàn)作正方形MPNQ，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【分析】（1）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式，再利用配方法將拋物線(xiàn)解析式變形成頂點(diǎn)式即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)線(xiàn)段BF與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)F′，設(shè)點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（0，m），由相似三角形的判定及性質(zhì)可得出點(diǎn)F′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、F′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)BF的解析式，聯(lián)立直線(xiàn)BF和拋物線(xiàn)的解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）設(shè)對(duì)角線(xiàn)MN、PQ交于點(diǎn)O′，如圖2所示．根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P、Q的位置，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2n），由正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2﹣n，n）．由點(diǎn)M在拋物線(xiàn)圖象上，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）將點(diǎn)B（6，0）、C（0，6）代入y=﹣x2+bx+c中，
得：，解得：，∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2+2x+6．
∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，8）．
（2）設(shè)線(xiàn)段BF與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)F′，設(shè)點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（0，m），如圖1所示．
∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，
∴△F′BO∽△BDE，∴．
∵點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)D（2，8），
∴點(diǎn)E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，∴OF′=?OB=3，∴點(diǎn)F′（0，3）或（0，﹣3）．
設(shè)直線(xiàn)BF的解析式為y=kx±3，則有0=6k+3或0=6k﹣3，解得：k=﹣或k=，
∴直線(xiàn)BF的解析式為y=﹣x+3或y=x﹣3．
聯(lián)立直線(xiàn)BF與拋物線(xiàn)的解析式得：①或②，
解方程組①得：或（舍去），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，）；
解方程組②得：或（舍去），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，﹣）．
綜上可知：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣3，﹣）．
（3）設(shè)對(duì)角線(xiàn)MN、PQ交于點(diǎn)O′，如圖2所示．
∵點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，且四邊形MPNQ為正方形，
∴點(diǎn)P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2n），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2﹣n，n）．
∵點(diǎn)M在拋物線(xiàn)y=﹣x2+2x+6的圖象上，
∴n=﹣+2（2﹣n）+6，即n2+2n﹣16=0，
解得：n1=﹣1，n2=﹣﹣1．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）．
【典例7】如圖，拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸DE交x軸于點(diǎn)E，連接BD．
（1）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是線(xiàn)段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，G為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線(xiàn)PF上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BD的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x的值，計(jì)算求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），表示出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
∴，解得，，∴經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3；
（2）如圖1，連接PC、PE，x=﹣=﹣=1，
當(dāng)x=1時(shí)，y=4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），
設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為：y=mx+n，
則，解得，，∴直線(xiàn)BD的解析式為y=﹣2x+6，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+6），
則PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，
解得，x=2，則y=﹣2×2+6=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）；
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3），
∵以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，
∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，
當(dāng)2﹣a=﹣a2+2a+3時(shí)，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，
當(dāng)2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）時(shí)，
整理得，a2﹣a﹣5=0，
解得，a=，
∴當(dāng)以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0），（，0），（，0），（，0）．

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