人教A版（2019）必修第一冊《2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》提升訓(xùn)練 一 、單選題（本大題共8小題，共40分）1.（5分）若，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是   A.  B.  C.  D. 2.（5分）若兩個正實數(shù)，滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是    A.
B.
C.
D. 3.（5分）已知直線經(jīng)過，兩點，則直線的斜率是A.  B.  C.  D. 4.（5分）已知不等式的解集是，則不等式的解是A. 或 B. 或
C.  D. 5.（5分）已知集合，，則 A.  B.  C.  D. 6.（5分）已知集合，則集合非空子集的個數(shù)為A.  B.  C.  D. 7.（5分）設(shè)，，則A.  B.  C.  D. 8.（5分）設(shè)函數(shù)，對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 A. 或 B.
C.  D. 二 、多選題（本大題共5小題，共25分）9.（5分）若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍不可能是A.  B.
C.  D. 10.（5分）已知，且，是方程的兩不等實根，則下列結(jié)論正確的是A.  B.
C.  D. 11.（5分）關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有個整數(shù)，則的取值可以是A.  B.  C.  D. 12.（5分）若集合，則實數(shù)的可能取值是A.  B.  C.  D. 13.（5分）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則A.
B. 不等式的解集為
C.
D. 不等式的解集為或三 、填空題（本大題共5小題，共25分）14.（5分）若當(dāng)時不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ______ ．15.（5分）若關(guān)于的不等式在內(nèi)恒成立，則的取值范圍是______．16.（5分）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ______.17.（5分）設(shè)正實數(shù)，，滿足，，則的取值范圍為 ______ .18.（5分）已知，函數(shù)，對任意，使得恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______四 、解答題（本大題共5小題，共60分）19.（12分）已知函數(shù)?
當(dāng)時，求關(guān)于的不等式的解集；?
若對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．20.（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過，兩點.?
求圓的方程?
已知點，過原點的直線與圓交于，兩點，且若，求直線的斜率的取值范圍.21.（12分）已知函數(shù)． ?
Ⅰ當(dāng)時，用定義法證明函數(shù)在上是減函數(shù)； ?
Ⅱ已知二次函數(shù)滿足，，若不等式恒成立，求的取值范圍．22.（12分）已知不等式的解集為，或求實數(shù)，的值；解關(guān)于的不等式23.（12分）設(shè)不等式的解集為．?
Ⅰ求集合；?
Ⅱ設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，若，求實數(shù)的取值范圍．
答案和解析1.【答案】C;【解析】?
先構(gòu)造函數(shù)，，將問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上恒有，又函數(shù)為增函數(shù)，故可求答案．?
?
解：構(gòu)造函數(shù)，易知，在區(qū)間上，函數(shù)，均是遞增函數(shù)，?
函數(shù)在區(qū)間上是遞增函數(shù)．?
由題設(shè)可知，函數(shù)在區(qū)間上恒有?
必有即有整理就是，?
實數(shù)的取值范圍是?
故選
 2.【答案】D;【解析】?
此題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用不等式有解轉(zhuǎn)化為最值問題是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.?
將不等式有解轉(zhuǎn)化為即可，利用的代換結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．?
?
解：若不等式有解，即即可，?
，，?
則，?
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取等號，此時，，?
即，?
則由得，即，?
得或，?
即實數(shù)的取值范圍是?
故選
 3.【答案】B;【解析】?
此題主要考查直線的斜率問題，屬于基礎(chǔ)題.?
根據(jù)直線斜率公式直接求解即可.?
解： 由題意可得直線的斜率?

 4.【答案】C;【解析】解：不等式的解集是，?
的解是，?
，，?
，?
不等式，即?
?
不等式的解集是?
故選?
根據(jù)所給的一元二次不等式的解集，寫出對應(yīng)的一元二次方程的解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到不等式的系數(shù)的值，解出一元二次不等式得到解集．?
此題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程和一元二次不等式的關(guān)系，本題解答該題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的不等式的解集得到對應(yīng)的方程的解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)果．
 5.【答案】A;【解析】【解析】?
此題主要考查交集及其運算，一元二次不等式的求法，屬于基礎(chǔ)題．?
可先求出集合，，然后進(jìn)行交集的運算即可．?
?
解：，，?
?
故選
 6.【答案】B;【解析】?
此題主要考查集合的非空子集的個數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題．?
先求出集合，由此能求出集合非空子集的個數(shù)．?
?
解：集合?
，?
集合非空子集的個數(shù)為：．?
故選：．
 7.【答案】B;【解析】?
這道題主要考查了集合的基本運算，子集補(bǔ)集的概念，屬于容易題．?
此題只要求出的解集，畫數(shù)軸即可求出．?
?
解：，，如圖所示，?
?
可知，?
故選：．?
?
?

 8.【答案】C;【解析】解：由得， ?
整理得：，即恒成立． ?
①當(dāng)時，，因為在上無最大值，因此此時不合題意； ?
②當(dāng)時，，因為在上的最小值為， ?
所以，即，解得或舍去．?
綜合可得：．?
故選C．?
顯然，分當(dāng)與當(dāng)兩種情況進(jìn)行討論，并進(jìn)行變量分離即可得出答案． ?
這道題主要考查了恒成立問題的基本解法及分類討論思想，屬于難題，解決恒成立問題通?？梢岳梅蛛x變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解．
 9.【答案】ABD;【解析】?
此題主要考查不等式恒成立問題及二次不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.?
求出，從而得關(guān)于的不等式，即可求解.?
?
解：令，由題意可知，?
而，則，?
即，?
解得或?
故選
 10.【答案】BCD;【解析】解：已知，且，是方程的兩不等實根，?
，，，?
，?
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確，?
故選：．?
由題意利用韋達(dá)定理，基本不等式，得出結(jié)論．?
這道題主要考查韋達(dá)定理，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】ABC;【解析】解：設(shè)，其圖象是開口向上，對稱軸是的拋物線，如圖所示；?
?
若關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有個整數(shù)，則?
，即，?
解得，又，?
所以，，?
故選：?
設(shè)，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法得出關(guān)于的不等式組，從而求出的值．?
此題主要考查了一元二次不等式，以及根的存在性和根的個數(shù)判斷問題，是中檔題．
 12.【答案】BD;【解析】【解析】?
因為集合，?
所以恒成立，即，即?

 13.【答案】AB;【解析】解：由已知可得，是方程的兩根，?
則由韋達(dá)定理可得：，且，解得，，所以正確，?
選項：化簡為，解得，正確，?
選項：，錯誤，?
選項：化簡為：，解得，錯誤，?
故選：?
由已知可得，是方程的兩根，則由韋達(dá)定理可得：，且，解得，，然后對應(yīng)各個選項逐個判斷即可．?
此題主要考查了一元二次不等式的解法以及應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】;【解析】解：不等式恒成立，?
即為，?
令，則，?
即有，?
當(dāng)且僅當(dāng)，即，取得最小值，?
則，解得．?
故答案為：?
由題意可得恒成立，運用換元法和基本不等式，求得最小值，解不等式即可得到的范圍．?
該題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用換元法和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題．
 15.【答案】;【解析】解：由，得 ?
設(shè)， ?
由題意知，當(dāng)時， ?
函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方， ?
?
如圖，可知， ?
即， ?
解得：．?
實數(shù)的取值范圍是：?
故答案為：．?
畫出函數(shù)，的圖象，得到關(guān)于的不等式組，解出即可．?
該題考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查轉(zhuǎn)化思想以及對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．
 16.【答案】;【解析】解：由題意，是定義在上的偶函數(shù)，?
因為對任意的，不等式恒成立，?
則對任意的，不等式恒成立，?
當(dāng)時，，?
則對任意的恒成立，?
函數(shù)在上單調(diào)遞增，?
所以對任意的恒成立，?
兩邊同平方，整理可得對任意的恒成立，?
令，?
所以對任意的恒成立，?
則，即，?
解得，?
故實數(shù)的取值范圍為?
故答案為：?
利用偶函數(shù)的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為對任意的，不等式恒成立，由已知函數(shù)解析式化簡結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，兩邊同平方，轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，求解即可．?
此題主要考查了函數(shù)恒成立問題的求解，函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，要掌握不等式恒成立問題的一般求解方法：參變量分離法、數(shù)形結(jié)合法、最值法等，屬于中檔題．
 17.【答案】;【解析】?
此題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出一元二次方程，然后由判別式求出的取值范圍.?
把，看成是一元二次方程的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出一元二次方程，然后由判別式及韋達(dá)定理，得到的取值范圍．?
?
解：，?
①?
，?
，?
即，②?
由①②及韋達(dá)定理知：，是一元二次方程的兩實根，?
則判別式，且，，?
化簡判別式得，所以，且，，?
所以?
故答案為?
?

 18.【答案】（-∞，]∪[，+∞）;【解析】解：，．?
恒成立，?
或恒成立．?
當(dāng)時，或恒成立，?
只需或．?
函數(shù)，，?
當(dāng)時，；當(dāng)時，，?
或，或，?
又，或；?
當(dāng)時，?
，?
時，恒成立，．?
綜上，的取值范圍為．?
故答案為：．?
根據(jù)恒成立，可得或恒成立，然后分和兩種情況求出的范圍．?
該題考查了函數(shù)恒成立問題和二次函數(shù)求最值，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬難題．
 19.【答案】解：（Ⅰ）令t=2x，則t＞0，?
當(dāng)m=0時，由f（x）＞-2得t-＞-2，解得-1＜t＜2，?
又因為t＞0，所以0＜t＜2，即2x＜2，得x＜1，?
所以不等式f（x）＞-2的解集為（-∞，1）；?
（Ⅱ）令t=2x，當(dāng)x∈[0，1]時，t∈[1，2]，則2x+m-4x＞2-m?2x對任意x∈[0，1]恒成立，?
等價于2m?t-＞2-mt對任意t∈[1，2]恒成立，?
所以（2m+m）t＞2+，即，?
又在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，g（1）=3，g（2）=3，?
所以g（t）在[1，2]上的最大值為3，所以2m+m＞3，?
因為函數(shù)y=2x+x為增函數(shù)，且當(dāng)x=1時，y=3，?
所以m的取值范圍為（1，+∞）．;【解析】?
利用換元法，解一元二次不等式，可得答案；?
換元，將不等式變?yōu)橐辉尾坏仁皆诮o定區(qū)間上恒成立的問題，列出相應(yīng)的不等式組，求得答案．?
此題主要考查函數(shù)與不等式的綜合問題，屬于中檔題．
 20.【答案】解：設(shè)，則    \matrixLatexcasesFa+b?4=0,a-2)^{2}+b^{2}=a^{2}+(b-2)^{2},\end{cases}a=2b=2.Cr=\sqrt{(2-2)^{2}+2^{2}}=2C(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4(x^{2}+y^{2}-4x-4y+4=0).(2)l:y=kxA(x_{1},y_{1})B(x_{2},y_{2}).\begin{cases}y=kx,\\x^{2}+y^{2}-4x-4y+4=0,\end{cases}(k^{2}+1)x^{2}-4(k+1)x+4=0x_{1}+x_{2}=\frac{4(k+1)}{k^{2}+1}x_{1}x_{2}=\frac{4}{k^{2}+1}ABly_{1}=kx_{1}y_{2}=kx_{2}y_{1}y_{2}=\frac{4k^{2}}{k^{2}+1}y_{1}+y_{2}=\frac{4k(k+1)}{k^{2}+1}.PA\bot PBk_{PA}\cdot k_{PB}=-1\frac{y_{1}-m}{x_{1}}\cdot\frac{y_{2}-m}{x_{2}}=-1x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}-m(y_{1}+y_{2})+m^{2}=0\frac{4}{k^{2}+1}+\frac{4k^{2}}{k^{2}+1}-\frac{4mk(k+1)}{k^{2}+1}+m^{2}=0\frac{4k(k+1)}{k^{2}+1}=m+\frac{4}{m}.m\in(1,3)m+\frac{4}{m}\in[4,5),4\leqslant\frac{4k(k+1)}{k^{2}+1}< 5k\geqslant 1.$;【解析】此題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.
 21.【答案】解：（1）f（x）=-2x在（0，+∞）上為減函數(shù)．?
證明：設(shè)0＜＜，f（）-f（）=-2-（-2）=-2（-）=（-）[+2]，?
由0＜＜，可得-＞0，+2＞0，即f（）-f（）＞0，即有f（）＞f（），?
所以f（x）=-2x在（0，+∞）上為減函數(shù)；?
（2）設(shè)g（x）=a+bx+c（a≠0），則g（1）=a+b+c=-3，?
由g（2x）=4g（x）+4x+6，可得4a+2bx+c=4a+（4b+4）x+4c+6，?
則2b=4b+4，c=4c+6，?
解得a=1，b=c=-2，?
即有g（x）=-2x-2，?
不等式g（x）＞f（x）恒成立，即為-2x-2＞-2x，即m＜-2對x≠0恒成立，?
由y=-2=（-1）2-1，當(dāng)x=±1時，y=-2取得最小值-1，?
可得m＜-1．?
即m的取值范圍是（-∞，-1）．;【解析】?
在上為減函數(shù)．運用單調(diào)性的定義證明，注意取值、作差和變形、定符號、下結(jié)論等步驟；?
設(shè)，由題意可得，，的方程，解得，，，可得，由參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值求法，可得所求范圍．?
此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，以及二次函數(shù)的解析式的求法、不等式恒成立問題解法，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．
 22.【答案】解：不等式的解集為或，?
所以對應(yīng)方程的解是和，?
由根與系數(shù)的關(guān)系知，，?
解得，；?
由知，不等式，?
可化為；?
即，?
當(dāng)時，不等式化為，解得；?
當(dāng)時，不等式化為，解得；?
當(dāng)時，不等式化為，?
若，則，解不等式得或；?
若，則，解不等式得；?
若，則，解不等式得或；?
綜上知，時，不等式的解集為；?
時，不等式的解集為；?
時，不等式的解集為；?
時，不等式的解集為；?
時，不等式的解集為;【解析】?
根據(jù)不等式的解集與對應(yīng)方程的解，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出、的值；?
由知、的值，不等式化為，再討論的取值范圍，從而求出不等式的解集．?
此題主要考查了不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了含有字母系數(shù)的不等式解法與應(yīng)用問題，是中檔題．
 23.【答案】解：Ⅰ原不等式即為，?
所以，?
所以不等式的解集?
Ⅱ原不等式等價于，?
若，則，要，只需；?
若，則，要，只需；?
若，則，符合，?
綜上所述，的取值范圍為．;【解析】該題考查一元二次不等式的解法、集合中的參數(shù)取值問題，集合包含關(guān)系的運用，求解本題關(guān)鍵是理解包含關(guān)系的意義．?
Ⅰ求出不等式的解集，確定出集合；?
Ⅱ若，求實數(shù)的取值范圍，要注意是空集的情況，故此題分為兩類，是空集時和不是空集時，比較兩個集合的端點即可．?

 

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2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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