? 高三數(shù)學(xué)一模試卷
一、單項(xiàng)選擇題
1.全集 ，那么集合 〔??? 〕
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
2.如圖，假設(shè)向量 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 ，且 ，那么 〔??? 〕

A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
3.設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，那么“a＞b，c＞d〞是“a+c＞b+d〞的〔 ??〕
A.?充分而不必要條件?????????B.?必要而不充分條件?????????C.?充分必要條件?????????D.?既不充分也不必要條件
4.某學(xué)校組建了演講，舞蹈?航模?合唱，機(jī)器人五個社團(tuán)，全校 名學(xué)生每人都參加且只參加其中一個社團(tuán)，校團(tuán)委從這 名學(xué)生中隨機(jī)選取局部學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的兩個統(tǒng)計(jì)圖：

那么選取的學(xué)生中參加機(jī)器人社團(tuán)的學(xué)生數(shù)為〔??? 〕
A.?50???????????????????????????????????????B.?75???????????????????????????????????????C.?100???????????????????????????????????????D.?125
5. 是圓 上的兩個動點(diǎn)， 為線段 的中點(diǎn)，那么 〔??? 〕
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
6.北京2022年冬奧會桔祥物“冰墩墩〞和冬殘奧會桔祥物“雪容融〞一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破.為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學(xué)校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個桔祥物安裝在學(xué)校的體育廣場，假設(shè)小明和小李必須安裝同一個桔祥物，且每個桔祥物都至少由兩名志愿者安裝，那么不同的安裝方案種數(shù)為〔??? 〕
A.?8?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?14
7.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子〞的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)〞：設(shè) 用 表示不超過 的最大整數(shù)，那么 稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如： . ，那么函數(shù) 的值域?yàn)椤??? 〕
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
8.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為①：如圖，從雙曲線右焦點(diǎn) 發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn) 我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈〞，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈〞的軸截面是雙曲線一局部，如圖②，其方程為 為其左?右焦點(diǎn)，假設(shè)從右焦點(diǎn) 發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn) 和點(diǎn) 反射后，滿足 ，那么該雙曲線的離心率為〔??? 〕

A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
二、多項(xiàng)選擇題
9.以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔??? 〕
A.?命題“ 〞的否認(rèn)是“ 〞
B.?回歸模型為 ，那么樣本點(diǎn) 的殘差為-1
C.?假設(shè)冪函數(shù)的圖象過點(diǎn) ，那么該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
D.?的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，那么此展開式中 項(xiàng)的系數(shù)為-80
10.數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,那么以下說法正確的選項(xiàng)是〔??? 〕
A.?假設(shè) 那么 是等差數(shù)列
B.?假設(shè) 那么 是等比數(shù)列
C.?假設(shè) 是等差數(shù)列，那么
D.?假設(shè) 是等比數(shù)列，且 那么
11.函數(shù) ，以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔??? 〕
A.?在區(qū)間 上單調(diào)遞增
B.?的圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對稱
C.?將 的圖象向左平移 個單位后與 的圖象重合
D.?假設(shè) 那么
12.為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了?誦經(jīng)典，獲新知?的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖 ，球的體積為 ，托盤由邊長為 的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，如圖 .那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔??? 〕

A.?經(jīng)過三個頂點(diǎn) 的球的截面圓的面積為
B.?異面直線 與 所成的角的余弦值為
C.?直線 與平面 所成的角為
D.?球離球托底面 的最小距離為
三、填空題
13.假設(shè)函數(shù) 滿足：〔1〕對于任意實(shí)數(shù) ，當(dāng) 時，都有 ；〔2〕 ，那么 ________.(答案不唯一，寫出滿足這些條件的一個函數(shù)即可)
14.曲線 在 處的切線的傾斜角為 ，那么 ________.
15.蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美?和諧的音樂，蟋蟀鳴叫的頻率 (每分鐘鳴叫的次數(shù))與氣溫 (單位： )存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地研究人員根據(jù)當(dāng)?shù)氐臍鉁睾腕傍Q叫的頻率得到了如下數(shù)據(jù)：

21
22
23
24
25
26
27
(次數(shù)/分鐘)
24
28
31
39
43
47
54
利用上表中的數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為 ，假設(shè)利用該方程知，當(dāng)該地的氣溫為 時，蟋蟀每分鐘鳴叫次數(shù)的預(yù)報(bào)值為68，那么 的值為________.
16.橢圓 的左?右焦點(diǎn)分別為 ，點(diǎn) 在橢圓上，且 ， ， ，那么 的標(biāo)準(zhǔn)方程為________；假設(shè)過點(diǎn) 的直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn)，且點(diǎn) 關(guān)于點(diǎn) 對稱，那么 的方程為________.
四、解答題
17.在圓內(nèi)接四邊形 中， 求 面積的最大值.
18.在① ，② ，③ ，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題.
正項(xiàng)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，滿足___________.
〔1〕求 ；
〔2〕假設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
19.黨中央，國務(wù)院高度重視新冠病毒核酸檢測工作，中央應(yīng)對新型冠狀病毒感染肺炎疫情工作領(lǐng)導(dǎo)小組會議作出部署，要求盡力擴(kuò)大核酸檢測范圍，著力提升檢測能力.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為 .現(xiàn)有 例疑似病例，分別對其取樣?檢測，既可以逐個化驗(yàn)，也可以將假設(shè)干個樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有病毒，那么化驗(yàn)結(jié)果呈陽性.假設(shè)混合樣本呈陽性，那么需將該組中備用的樣本再逐個化驗(yàn)；假設(shè)混合樣本呈陰性，那么判定該組各個樣本均為陰性，無需再化驗(yàn).現(xiàn)有以下三種方案：方案一：4個樣本逐個化驗(yàn)；方案二：4個樣本混合在一起化驗(yàn)；方案三：4個樣本均分為兩組，分別混合在一起化驗(yàn).在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測能力缺乏，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，那么方案越“優(yōu)〞.
〔1〕假設(shè) ，按方案一，求 例疑似病例中恰有2例呈陽性的概率；
〔2〕假設(shè) ，現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，試比較以上三個方案中哪個最“優(yōu)〞，并說明理由.
20.如圖，四棱錐 中，四邊形 是等腰梯形， .

〔1〕證明：平面 平面 ；
〔2〕過 的平面交 于點(diǎn) 假設(shè)平面 把四棱錐 分成體積相等的兩局部，求平面 與平面 所成銳二面角的余弦值.
21.如圖，拋物線 的焦點(diǎn)為 四邊形 為正方形，點(diǎn) 在拋物線 上，過焦點(diǎn) 的直線 交拋物線 于 兩點(diǎn)，交直線 于點(diǎn) .

〔1〕假設(shè) 為線段 的中點(diǎn)，求直線 的斜率；
〔2〕假設(shè)正方形 的邊長為 ，直線 ， ， 的斜率分別為 ， ， ，那么是否存在實(shí)數(shù) ，使得 ？假設(shè)存在，求出 ；假設(shè)不存在，請說明理由.
22.函數(shù) .
〔1〕判斷 的單調(diào)性，并求 的最值；
〔2〕用 表示 的最大值.記函數(shù) ，討論 的零點(diǎn)個數(shù).

答案解析局部
一、單項(xiàng)選擇題
1.【解析】【解答】 ，
所以
故答案為：C

【分析】 根據(jù)并集，補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可．
2.【解析】【解答】由題意，設(shè) ，那么 ，解得 ，即 ，
所以 ．
故答案為：D．

【分析】 根據(jù)圖形可設(shè)z=-1+bi，b＞0，利用復(fù)數(shù)的模可求出b，從而求出z的共軛復(fù)數(shù)，最后利用復(fù)數(shù)的除法法那么進(jìn)行運(yùn)算即可．
3.【解析】【解答】根據(jù)不等式的可加性可得 成立；
反之不成立，例如取 ， ， ， ，滿足 ，但是 不成立，
∴ 是 的充分不必要條件.
故答案為：A．

【分析】 “a>b ， c>d〞?“a+c>b+d〞，反之不成立。例如取c=5 ， d=1 ， a=2 ， b=3 ．
4.【解析】【解答】由題意，本次調(diào)查的人數(shù)為 人，
其中合唱比賽所占的比例為 ，
所以機(jī)器人所占的比例為 ，
所以選取的學(xué)生中參加機(jī)器人社團(tuán)的學(xué)生數(shù)為 人.
故答案為：B.

【分析】 由條形統(tǒng)計(jì)圖得共抽到50名同學(xué)演講，由扇形統(tǒng)計(jì)圖片得抽到的學(xué)生中演講同學(xué)占10%，從而求出一共抽取的學(xué)生數(shù)為500人，再求出抽到的學(xué)生中合唱學(xué)生占40%，由此能求出選取的學(xué)生中參加機(jī)器人社團(tuán)的學(xué)生數(shù)．
5.【解析】【解答】解： 是圓 上的兩個動點(diǎn)，
，
又 ，
即 ,
即 ，
即 ，
，
是線段 的中點(diǎn)，
，



.
故答案為：C.

【分析】 根據(jù)向量的運(yùn)算幾何意義用表， 用向量數(shù)量積性質(zhì)求解．
6.【解析】【解答】由題意可知應(yīng)將志愿者分為三人組和兩人組，
當(dāng)三人組中包含小明和小李時，安裝方案有 種；
當(dāng)三人組中不包含小明和小李時，安裝方案有 種，共計(jì)有 種，
故答案為：A.

【分析】 根據(jù)題意，分2種情況討論：①小明和小李兩個人安裝同一個桔祥物，②小明和小李和另外一人安裝同一個桔祥物，由加法原理計(jì)算可得答案．
7.【解析】【解答】 ，
當(dāng) 時， ，那么 ，故 ，故 ；
但 時， ，那么 ，故 ， ；
綜上所述，函數(shù) 的值域?yàn)?.
故答案為：C.

【分析】 利用常數(shù)別離法將原函數(shù)解析式化為， 然后分析函數(shù)的值域，再根據(jù)高斯函數(shù)的含義確定 的值。
8.【解析】【解答】易知 共線， 共線，如圖，設(shè) ， ，

那么 ，
由 得， ，又 ，
所以 ， ，那么 ，
所以 ，
由 得 ，因?yàn)?，故解得 ，
那么 ，
在 中， ，即 ，所以 ．
故答案為：C．

【分析】 設(shè) ， ，由 得， ， 可得 ， 再由雙曲線的定義，求得， 結(jié)合勾股定理和雙曲線的離心率公式，計(jì)算可得所求值．
二、多項(xiàng)選擇題
9.【解析】【解答】對于選項(xiàng)A：命題“ 〞的否認(rèn)是“ 〞；應(yīng)選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)B：當(dāng) 時， ，所以樣本點(diǎn) 的殘差為 ，應(yīng)選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)C：設(shè)冪函數(shù) 可得 ，解得 ，所以 ，那么該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，應(yīng)選項(xiàng)C不正確；
對于選項(xiàng)D：由題意可得 ，可得 ，所以 展開式通項(xiàng)為
，令 可得 ，
所以此展開式中 項(xiàng)的系數(shù) ，應(yīng)選項(xiàng)D不正確，
故答案為：AB.

【分析】 直接利用命題的否認(rèn)，回歸直線方程，冪函數(shù)的定義，二項(xiàng)式定理中展開式的應(yīng)用，組合數(shù)的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．
10.【解析】【解答】對于A選項(xiàng)，假設(shè) ，當(dāng) 時， ， 不滿足 ，故A錯誤；
對于B選項(xiàng)，假設(shè) ，那么 ，由于 滿足 ，所以 是等比數(shù)列，故B正確；
對于C選項(xiàng)，假設(shè) 是等差數(shù)列，那么 ，故C正確.
對于D選項(xiàng)，當(dāng) 時， ，故當(dāng) 時不等式不等式，故 不成立，所以D錯誤.
故答案為：BC

【分析】 對于選項(xiàng)A，由題設(shè)求得數(shù)列的前3項(xiàng)即可判斷其正誤；對于選項(xiàng)B，先利用求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列的定義判斷其正誤即可；利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C的正誤；對于選項(xiàng)D，可用當(dāng) ?時求得的 與 判斷其正誤．
11.【解析】【解答】 ，
時， ，此時 遞增，A正確；
，B錯誤；
將 的圖象向左平移 個單位后得解析式 ，C正確；
易知函數(shù)周期為 ，因此當(dāng) 那么 ，D正確．
故答案為：ACD．

【分析】 先利用二倍角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．
12.【解析】【解答】根據(jù)圖形的形成，知 三點(diǎn)在底面 上的射影分別是 三邊中點(diǎn) ，如圖， 與 全等且所在面平行，截面圓就是 的外接圓與 的外接圓相同．
由題意 的邊長為1，其外接圓半徑為 ，圓面積為 ，A錯；

由上面討論知 與 平行且相等，而 與 平行且相等，因此 與 平行且相等，從而 是平行四邊形， ，所以 是異面直線 與 所成的角〔或其補(bǔ)角〕．由， ， ， ，
，B正確；
由平面 與平面 垂直知 在平面 內(nèi)的射影是 ，所以 為直線 與平面 所成的角，此角大小 ，C正確．
由上面討論知 ，設(shè) 是球心，球半徑為 ，由 得 ，那么 是正四面體，棱長為1，設(shè) 是 的中心，那么 平面 ，又 平面 ，所以 ， ，那么 ，又 ．

所以球離球托底面 的最小距離為 ，D正確．
故答案為：BCD．

【分析】 A求出截面面積判斷；B平移直線求成角余弦值判斷；C求直線與平面成角判斷；D求出最小距離判斷．
三、填空題
13.【解析】【解答】解：對于任意實(shí)數(shù) ， ，當(dāng) 時，都有 ，說明該函數(shù)在 上單調(diào)遞增，
又對數(shù)函數(shù)滿足運(yùn)算性質(zhì)： ，
故可選一個遞增的對數(shù)函數(shù)： ．
故答案為： ．

【分析】 根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．
14.【解析】【解答】
那么
故答案為：

【分析】 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，可得tanα，進(jìn)一步求得α，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解 ?。
15.【解析】【解答】由題得 ，
，
所以 ①，又 ②，
聯(lián)立①②解方程組得 .
故答案為：5

【分析】 先求得樣本中心點(diǎn)為， 再把樣本中心點(diǎn)和〔30，68〕均代入線性回歸方程，解方程組即可．
16.【解析】【解答】記橢圓的半焦距為 ，
根據(jù)橢圓的定義可得， ，那么 ，
又 ，那么 ，所以 ，
那么 ；所以 ，因此橢圓 的方程為 ；
設(shè) ， ，因?yàn)辄c(diǎn) 關(guān)于點(diǎn) 對稱，所以 ；
由題意可得 ，兩式作差可得 ，
那么 ，
所以直線 的方程為 ，即2x-3y+6=0.
故答案為： ；2x-3y+6=0.

【分析】 利用橢圓的定義即可求出a的值，再利用勾股定理即可求出c，由此即可求解；設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出直線l的斜率，由此即可求解．
四、解答題
17.【解析】【分析】 由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得?， 在△ABC中，利用正弦定理得， 再在△ACD中，結(jié)合余弦定理和根本不等式推出AD?CD≤24，最后由 ，即可得解．
18.【解析】【分析】 〔1〕分別選①②③，運(yùn)用數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求通項(xiàng)公式；
〔2〕求得 ，由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．
19.【解析】【分析】 〔1〕利用對立事件概率計(jì)算公式能求出該混合樣本呈陽性的概率；
〔2〕方案一：逐個檢測，數(shù)學(xué)期望為4，方案二：檢測次數(shù)為X，X的可能取值為1，5，分求出相應(yīng)的概率，由此能求出方案二的期望；方案三，每組兩個樣本檢測時，假設(shè)呈陰性，那么檢測次數(shù)為1，概率為， 假設(shè)呈陽性那么檢測次數(shù)為3，概率為， 故方案三的檢測次數(shù)記為Y，Y的可能取值為2，4，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出方案三的期望，從而方案一、二，三中方案二最“優(yōu)〞．
20.【解析】【分析】 〔1〕作DF⊥AB交AB于點(diǎn)F，連結(jié)BD，在△ABD中，利用余弦定理求出BD，然后由勾股定理可證PD⊥BD，再利用線面垂直的判定定理可證PD⊥平面ABCD，由面面垂直的判斷定理證明即可；
〔2〕利用平面PDE把四棱錐P-ABCD分成體積相等的兩局部，可得， 從而求出AE，然后建立適宜的空間直角坐標(biāo)系，求出所需各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面PAD和PCE的法向量，然后利用二面角的計(jì)算公式求解即可．
21.【解析】【分析】 〔1〕由可得DN為拋物線的準(zhǔn)線．設(shè)直線l點(diǎn)傾斜角為α．如下列圖，分別過點(diǎn)A，B，作AG⊥DN，BH⊥DN，G，H為垂足．可得：BH=BF，AG=AF．作BQ⊥AG，Q為垂足，那么QG=BH．利用三角形中位線定理、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出；
〔2〕由正方形DFMN的邊長為1，可得p=1， ． 設(shè)??， 聯(lián)立 化為 ?，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式即可得出．
22.【解析】【分析】 〔1〕利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f〔x〕的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f〔x〕的最小值；
〔2〕首先確定f〔1〕=0，然后分x＞1和-1＜x≤1進(jìn)行討論，當(dāng)x＞1時，h〔x〕無零點(diǎn)，當(dāng)-1＜x≤1時，再根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行討論，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，分析判斷即可得到答案．

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