2021屆山東省青島市高三數(shù)學(xué)一模試卷及答案

這是一份2021屆山東省青島市高三數(shù)學(xué)一模試卷及答案，共16頁(yè)。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
? 高三數(shù)學(xué)一模試卷
一、單項(xiàng)選擇題
1.集合 ， ，那么 〔??? 〕
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?



2.假設(shè) ， 表示兩個(gè)不同的平面， 為平面 內(nèi)一條直線，那么〔??? 〕
A.?“ 〞是 的充分不必要條件

?????????????????B.?“ 〞是 的必要不充分條件


C.?“ 〞是“ 〞的必要不充分條件

?????D.?“ 〞是“ 〞充要條件



3.雙曲線 的一條漸近線的傾斜角為 ，那么該雙曲線的離心率為〔??? 〕
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?2



4.18世紀(jì)末期，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如， ，也即復(fù)數(shù) 的模的幾何意義為 對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 〔 是虛數(shù)單位， 〕是純虛數(shù)，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ， 為曲線 上的動(dòng)點(diǎn)，那么 與 之間的最小距離為〔??? 〕
A.????????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?2



5.假設(shè) ，不等式 的解集為〔??? 〕
A.?????????????????????????????????????B.?


C.??????????????????????????????????????????D.?



6.角 終邊上有一點(diǎn) ，那么 的值為〔??? 〕
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?



7. 為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)，假設(shè)當(dāng) 時(shí)， ，那么 〔??? 〕
A.?-1???????????????????????????????????????????B.?0???????????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????????D.?2



8.在拋物線 第一象限內(nèi)一點(diǎn) 處的切線與 軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)記為 ，其中 ， ， 為 的前 項(xiàng)和，假設(shè) 恒成立，那么 的最小值為〔??? 〕
A.?16????????????????????????????????????????B.?32????????????????????????????????????????C.?64????????????????????????????????????????D.?128



二、多項(xiàng)選擇題
9.圓 ： ，以下說法正確的選項(xiàng)是〔??? 〕
A.?的取值范圍是


B.?假設(shè) ，過 的直線與圓 相交所得弦長(zhǎng)為 ，方程為


C.?假設(shè) ，圓 與圓 相交


D.?假設(shè) ， ， ，直線 恒過圓 的圓心，那么 恒成立



10. ， ，假設(shè) 與 共線，那么以下說法正確的選項(xiàng)是〔??? 〕
A.?將 的圖象向左平移 個(gè)單位得到函數(shù) 的圖象


B.?函數(shù) 的最小正周期為


C.?直線 是 的一條對(duì)稱軸


D.?函數(shù) 在 上單調(diào)遞減



11.假設(shè)實(shí)數(shù) ，那么以下不等關(guān)系正確的選項(xiàng)是〔??? 〕
A.?


B.?假設(shè) ，那么


C.?假設(shè) ，那么


D.?假設(shè) ， ， ，那么



12.在南方不少地區(qū)，經(jīng)?？吹饺藗冾^戴一種用木片、竹篾或葦蒿等材料制作的斗笠，用來遮陽(yáng)或避雨，隨著旅游和文化交流活動(dòng)的開展，斗笠也逐漸成為一種時(shí)尚旅游產(chǎn)品.有一種外形為圓錐形的斗笠，稱為“燈罩斗笠〞，根據(jù)人的體型、高矮等制作成大小不一的型號(hào)供人選擇使用，不同型號(hào)的斗笠大小經(jīng)常用帽坡長(zhǎng)〔母線長(zhǎng)〕和帽底寬〔底面圓直徑長(zhǎng)〕兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行衡量，現(xiàn)有一個(gè)“燈罩斗笠〞，帽坡長(zhǎng)20厘米，帽底寬 厘米，關(guān)于此斗笠，下面說法正確的選項(xiàng)是〔??? 〕

A.?斗笠軸截面〔過頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形〕的頂角為


B.?過斗笠頂點(diǎn)和斗笠側(cè)面上任意兩母線的截面三角形的最大面積為 平方厘米


C.?假設(shè)此斗笠頂點(diǎn)和底面圓上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球上，那么該球的外表積為 平方厘米


D.?此斗笠放在平面上，可以蓋住的球〔保持斗笠不變形〕的最大半徑為 厘米



三、填空題
13.二項(xiàng)式 展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________?！灿脭?shù)字作答〕
14.非零向量 ， 滿足 ，且 ，那么 與 的夾角為________．
15.某駕駛員培訓(xùn)學(xué)校為比照了解“科目二〞的培訓(xùn)過程采用大密度集中培訓(xùn)與周末分散培訓(xùn)兩種方式的效果，調(diào)查了105名學(xué)員，統(tǒng)計(jì)結(jié)果為：接受大密度集中培訓(xùn)的55個(gè)學(xué)員中有45名學(xué)員一次考試通過，接受周末分散培訓(xùn)的學(xué)員一次考試通過的有30個(gè)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，認(rèn)為“能否一次考試通過與是否集中培訓(xùn)有關(guān)〞犯錯(cuò)誤的概率不超過________．
附：










16.2021年是中國(guó)傳統(tǒng)的“牛〞年，可以在平面坐標(biāo)系中用拋物線與圓勾勒出牛的形象．拋物線 ： 的焦點(diǎn)為 ，圓 ： 與拋物線 在第一象限的交點(diǎn)為 ，直線 ： 與拋物線 的交點(diǎn)為 ，直線 與圓 在第一象限的交點(diǎn)為 ，那么 ________； 周長(zhǎng)的取值范圍為________．
四、解答題
17.從“① ；② ， ；③ ， 是 ， 的等比中項(xiàng)．〞三個(gè)條件任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線處，并解答．
等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，公差 不等于零，______， ．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
〔1〕求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
〔2〕假設(shè) ，數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，求 ．
18.如圖，在 中， ， ，點(diǎn) ， 是線段 〔含端點(diǎn)〕上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn) 在點(diǎn) 的右下方，在運(yùn)動(dòng)的過程中，始終保持 不變，設(shè) 弧度．

〔1〕寫出 的取值范圍，并分別求線段 ， 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式；
〔2〕求 面積 的最小值．
19.在四棱錐 中， 平面 ， ， ， ， ， ，點(diǎn) ， 在線段 上， ， ， 為線段 上的一點(diǎn)．

〔1〕求證： 平面 ；
〔2〕假設(shè)平面 與平面 所成銳二面角的余弦值為 ，求直線 與平面 所成角的正弦值．
20.某商場(chǎng)每年都會(huì)定期答謝會(huì)員，允許年度積分超過指定積分的會(huì)員參加特價(jià)購(gòu)物贈(zèng)券活動(dòng)．今年活動(dòng)的主題為“購(gòu)物三選一，真情暖心里〞，符合條件的會(huì)員可以特價(jià)購(gòu)置禮包 〔十斤肉類〕禮包 〔十斤蔬菜〕和禮包 〔十斤雞蛋〕三類特價(jià)商品中的任意一類，并且根據(jù)購(gòu)置的禮包不同可以獲贈(zèng)價(jià)值不等的代金券根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)得知，會(huì)員購(gòu)置禮包 和禮包 的概率均為 ．
〔1〕預(yù)計(jì)今年有400名符合條件的會(huì)員參加活動(dòng)，求商場(chǎng)為此活動(dòng)需要準(zhǔn)備多少斤雞蛋合理；
〔2〕在促銷活動(dòng)中，假設(shè)有甲、乙、丙三位會(huì)員同時(shí)參與答謝活動(dòng)，各人購(gòu)置禮包相互獨(dú)立，購(gòu)置禮包 或禮包 均可以獲得50元商場(chǎng)代金券，購(gòu)置禮包 可以獲得25元商場(chǎng)代金券，設(shè) 是三人獲得代金券金額之和．求 的分布列和數(shù)學(xué)期望．
21.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 ： 的離心率為 ，右焦點(diǎn)為 ，上頂點(diǎn)為 ，點(diǎn) 到直線 的距離等于1．

〔1〕求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
〔2〕假設(shè)直線 ： 與橢圓 相交于 ， 兩點(diǎn)， 為 中點(diǎn)，直線 ， 分別與圓 ： 相切于點(diǎn) ， ，求 的最小值．
22.青島膠東國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是彎曲曲線的運(yùn)用，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率．曲線的曲率定義如下：假設(shè) 是 的導(dǎo)函數(shù)， 是 的導(dǎo)函數(shù)，那么曲線 在點(diǎn) 處的曲率 ．函數(shù) ，假設(shè) ，那么曲線 在點(diǎn) 處的曲率為 ．

〔1〕求 ；
〔2〕假設(shè)函數(shù) 存在零點(diǎn)，求 的取值范圍；
〔3〕 ， ， ，證明： ．

答案解析局部
一、單項(xiàng)選擇題
1.【解析】【解答】因?yàn)榧?，
所以 ，
又 ，
所以那么
故答案為：C

【分析】 可求出集合A，B，然后進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算即可．
2.【解析】【解答】A中，假設(shè) ，根據(jù)面面平行的判定定理不能得到 ，A不符合題意；
B中，假設(shè) ，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得 ，又因?yàn)?不能推出 ，B符合題意；
C中，假設(shè) ，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)不能推出 ，C不符合題意；
D中，假設(shè) ，根據(jù)面面垂直判定不能推出 ，D不符合題意
故答案為：B．

【分析】 根據(jù)兩平行平面其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一直線平行于另一個(gè)平面，以及面面垂直的判定定理，然后根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行判定即可．
3.【解析】【解答】因?yàn)殡p曲線 的一條漸近線的傾斜角為 ，
所以 ，
所以 ，
故答案為：C

【分析】 利用雙曲線的漸近線的傾斜角求解斜率，得到a，b關(guān)系，然后求解離心率即可．
4.【解析】【解答】由 ，
因?yàn)閺?fù)數(shù) 〔 是虛數(shù)單位， 〕是純虛數(shù)，所以 得
所以 ，那么
由于 ，故設(shè) 且 ，
所以 ?
故 與 之間的最小距離為1
故答案為：B．

【分析】 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為0且虛部不為0求得a，可得z0 ， 再由幾何意義求解．
5.【解析】【解答】當(dāng) 時(shí)，

當(dāng) 時(shí)，

綜上不等式 的解集為
故答案為：A.

【分析】 利用分段討論法，分別求出x≥0和x＜0時(shí)不等式的解集即可．
6.【解析】【解答】因?yàn)?

即
所以
所以
故答案為：D.

【分析】 直接利用任意角的三角函數(shù)的定義求解即可．
7.【解析】【解答】 為奇函數(shù)， 且 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱①
∵ 時(shí) ，∴ ，∴
∴ 時(shí) ，
∵ 為偶函數(shù)關(guān)于 軸對(duì)稱．
那么 關(guān)于 對(duì)稱②
由①②可知
∴ ，∴ ．
∴ ，
∴ 周期為4， ，
故答案為：C．

【分析】 根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性分析可得f〔x+2〕=-f〔x〕，進(jìn)而有f〔x+4〕=-f〔x+2〕=f〔x〕，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，由此可得f〔2021〕=f〔1+505×4〕=f〔1〕，又由函數(shù)的解析式和奇函數(shù)的定義可得a的值，即可得f〔1〕的值，分析可得答案．
8.【解析】【解答】因?yàn)?， ， ，所以切線：
令 ， ，∴ ， ，那么 ，有 ．
∴ 是以 為公比的等比數(shù)列, ，而 ， ．∴ 恒成立 ,即 的最小值為128.
故答案為：D．

【分析】 把拋物線方程變形，求〔x＞0〕的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在點(diǎn) ?處的切線方程，求解橫坐標(biāo)，可得，得到 是首項(xiàng)為， 公比q=的等比數(shù)列，求其前n項(xiàng)和，結(jié)合恒成立，即可求得m的最小值．
二、多項(xiàng)選擇題
9.【解析】【解答】對(duì)于A，方程表示圓可得 ，
解得 ，A符合題意；
對(duì)于B，假設(shè) ，可得圓方程： ，
過 的直線與圓 相交所得弦長(zhǎng)為 ，
那么圓心 到直線的距離為 ，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， ，滿足條件，B不正確；
對(duì)于C， ，圓心 ，半徑 ，
圓 ，圓心為 ，半徑 ，
兩圓心的距離為 ，兩圓相交，C符合題意；
對(duì)于D，直線 恒過圓 的圓心，
可得 .
，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，D符合題意.
故答案為：ACD.

【分析】 將圓C的方程轉(zhuǎn)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用圓的性質(zhì)，即可解出．
10.【解析】【解答】因?yàn)?與 共線，那么 ，
所以
.
對(duì)于A，將 的圖象向左平移 個(gè)單位得到函數(shù)
的圖象，A不符合題意；
對(duì)于B， ，B符合題意；
對(duì)于C，當(dāng) 時(shí)，那么 ，
由余弦函數(shù)的對(duì)稱軸為 ，C符合題意；
對(duì)于D， ，那么 ，
由余弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，
當(dāng) 時(shí)，余弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增.
故答案為：BC

【分析】 根據(jù)向量共線建立方程關(guān)系，利用三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)求出函數(shù) 的解析式，分別進(jìn)行判斷即可.
11.【解析】【解答】解：對(duì)A， 在 上單調(diào)遞減，
又 ，
，
，
當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)， 在 單調(diào)遞減；
故無法判斷 與 大小，A不符合題意；
對(duì)B，當(dāng) 時(shí)， ，
，
，B符合題意；
對(duì)C，當(dāng) 時(shí)， ，
，C符合題意；
對(duì)D，要證 ，
即證 ，
即證 ，
，
即證 ，
， ，
令 ，

?
?
，
又 ，
，
即 ，
即原式得證，D符合題意.
故答案為：BCD．

【分析】 直接利用函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)和作差法的應(yīng)用判斷A,B,C,D?的結(jié)論.
12.【解析】【解答】對(duì)于A： ，
所以 ，
所以 ，A符合題意．
對(duì)于B：設(shè) ，截面三角形面積和 ，B不符合題意；

對(duì)于C：設(shè)外接球球心為 ，半徑為 ，∴
在 中，由勾股定理可得： ，解得：
所以該球的外表積 ， C符合題意；

對(duì)于D：設(shè)球心為 ，截面主視圖如以下列圖，設(shè)內(nèi)切圓半徑為 ，
各邊長(zhǎng)分別為 , ，
所以 ，解得： ，
D符合題意．

故答案為：ACD

【分析】 利用勾股定理求出PO，在△BPO中，利用邊角關(guān)系求出∠BPO，即可判斷選項(xiàng)A，設(shè)∠APB=θ，用θ表示出截面三角形的面積結(jié)合正弦函數(shù)的有界性，即可判斷選項(xiàng)B，設(shè)外接球球心為M，半徑為R，在在△AOM中，求出R，由球的外表積公式求解即可判斷選項(xiàng)C，設(shè)球心為O'，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，利用等面積法求出r，即可判斷選項(xiàng)D．
三、填空題
13.【解析】【解答】在二項(xiàng)式 中，
通項(xiàng)公式得 ，由12﹣3r＝0，得r＝4，
∴常數(shù)項(xiàng)為 .
故答案為：240．
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，即可求出特定項(xiàng)的系數(shù).
14.【解析】【解答】∵ ，∴ ，
即 .
∵ ，∴ ，
∴ .
故答案為： ．

【分析】 由題意，利用平面向量的數(shù)量積，求出夾角的余弦值，從而求得夾角大?。?br /> 15.【解析】【解答】
?
集中培訓(xùn)
分散培訓(xùn)
合計(jì)
一次考過
45
30
75
一次未考過
10
20
30
合計(jì)
55
50
105
，
故答案為：0.025．

【分析】 根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，計(jì)算K的觀測(cè)值K2 ， 對(duì)照題目中的表格，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．
16.【解析】【解答】如下列圖：

由 ，解得 ，
∴
由 ，解得 ，
所以
由 ，解得 ，
所以 ，
由拋物線的定義得：
∴ ，
∴ 周長(zhǎng) ，
，
.
，

故答案為：2，〔4,6〕．

【分析】 利用題中的條件，解出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求出m的值；利用題中的條件表示出三角形△FAB的周長(zhǎng)，即可求出其范圍．
四、解答題
17.【解析】【分析】 〔1〕分別選①②③，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
〔2〕由 ? ，可得bn ， 再由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．
?
?
18.【解析】【分析】〔1〕分別在三角形ABF和三角形ABF中利用正弦定理，即可解出；
〔2〕利用〔1〕中的結(jié)論，結(jié)合三角形面積公式和三角恒等變換，即可解出。
19.【解析】【分析】 〔1〕根據(jù)直線與平面垂直的判定定理證明；〔2〕用向量數(shù)量積計(jì)算二面角的余弦值，列方程確定Q點(diǎn)位置，再用向量數(shù)量積計(jì)算直線與平面成角的正弦值．
?
?
20.【解析】【分析】 〔1〕計(jì)算出買禮包C的概率，然后計(jì)算即可；
〔2〕Y的所有可能取值為150，125，100，75，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列及期望．
?
?
21.【解析】【分析】 〔1〕由題意知離心率 ， 再由點(diǎn)P〔a，b〕到直線 ? 的距離等于1，可聯(lián)立解得a，b的值；
〔2〕聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算．
22.【解析】【分析】 〔1〕求出f′〔x〕，f″〔x〕，由可得 ；

〔2〕函數(shù)f〔x〕存在零點(diǎn)，可得? 在〔0，+∞〕上有解， 令??，求導(dǎo)得 ， 令??， 再利用放縮法可得 ? 從而可得 ，即可求得a的取值范圍；
〔3〕由〔2〕可得 ? ，根據(jù)數(shù)據(jù)合理放縮，即可證明結(jié)論．