? 高三數(shù)學(xué)二模考試試卷
一、單項選擇題
1.假設(shè)集合 ， ， 滿足 ，那么下面選項中一定成立的是〔??? 〕
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
2.奇函數(shù) ，那么 〔??? 〕
A.?-11?????????????????????????????????????????B.?-7?????????????????????????????????????????C.?7?????????????????????????????????????????D.?11
3.“ 〞是“ 〞的〔??? 〕
A.?充分不必要條件?????????????B.?必要不充分條件?????????????C.?充要條件?????????????D.?既不充分也不必要條件
4.某校積極落實立德樹人，堅持五育并舉，方案在新學(xué)期開展球類、書法、健美操、棋類等四項社團活動，學(xué)校要求每位學(xué)生選擇其中的兩項，學(xué)生甲、乙、丙三人都已決定選擇球類，三人再從其它三項中各選擇一項，恰好三人的選擇互不相同，乙比選棋類的人個頭高，丙和選書法的人身高不同，選書法的人比甲個頭小，那么甲、乙、丙所選的第二項社團活動分別為〔??? 〕
A.?書法、健美操、棋類???????????????????????????????????????????B.?健美操、書法、棋類
C.?棋類、書法、健美操???????????????????????????????????????????D.?棋類、健美操、書法
5.如圖為一個圓錐形的金屬配件，重75.06克，其正視圖是一個等邊三角形，現(xiàn)將其打磨成一個體積最大的球形配件，那么該球形配件的重量約為〔??? 〕


6.在天文學(xué)上恒星的亮度一般用星等來表示，直接測量到的天體亮度被稱為視星等m，而把天體置于10秒差距的距離處所得到的視星等稱為絕對星等M，它能反映天體的發(fā)光本領(lǐng)．如果我們觀測到了恒星的光譜，可以知道一些類型恒星的絕對星等，就可以利用光譜視差法來獲得這些恒星的距離．下表是某校天文愛好者社團在網(wǎng)上收集到一些恒星的相關(guān)數(shù)據(jù)，那么最適合作為星等差y關(guān)于距離x〔光年〕的回歸方程類型的是〔??? 〕
星名
天狼星
南河三
織女星
大角星
五車二
水委一
老人星
參宿四
距離x


25














A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
7.點 ， ， 在圓 上，假設(shè) ， ，那么 的最大值為〔??? 〕
A.?3??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?6
8.點 ， 是雙曲線 的左、右焦點，過點 作直線 交雙曲線C于A，B兩點，現(xiàn)將雙曲線所在平面沿直線 折成平面角為銳角 的二面角，如圖，翻折后A，B兩點的對應(yīng)點分別為 ， ， ，假設(shè) ，那么雙曲線C的離心率為〔??? 〕

A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?3
二、多項選擇題
9.設(shè)函數(shù) 的圖象為曲線 ，那么〔??? 〕
A.?將曲線 向右平移 個單位長度后與曲線 重合
B.?將曲線 上各點的橫坐標縮短到原來的 ，縱坐標不變，那么與曲線E重合
C.?將曲線 向左平移 后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)
D.?假設(shè) ，且 ，那么 的最小值為
10.1487年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫下公式 ，這個公式在復(fù)變函數(shù)中有非常重要的地位，即著名的“歐拉公式〞，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋〞，據(jù)歐拉公式，那么〔??? 〕
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
11.假設(shè) ， ， ，那么〔??? 〕
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
12.拋物線 的焦點為 ，且 ， ， 在拋物線上， 為坐標原點．以下說法正確的選項是〔??? 〕
A.?點 的坐標為
B.?假設(shè) ，那么
C.?假設(shè) ，那么 的中點到 軸距離最小值為2
D.?假設(shè)直線 過點 ，那么直線 與 的斜率之積為
三、填空題
13.的展開式中常數(shù)項為________．〔用數(shù)字表示〕
14.現(xiàn)有標號為①，②，③，④，⑤的5件不同新產(chǎn)品，要放到三個不同的機構(gòu)進行測試，每件產(chǎn)品只能放到一個機構(gòu)里.機構(gòu) ， 各負責(zé)一個產(chǎn)品，機構(gòu) 負責(zé)余下的三個產(chǎn)品，其中產(chǎn)品①不在 機構(gòu)測試的情況有________種(結(jié)果用具體數(shù)字表示).
15.隨機變量X的分布列如下表：
X
1
2
3
p
a
b
c
其中a，b，c成等差數(shù)列，假設(shè) ，那么 ________．
四、雙空題
16.如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成為一個半正多面體，亦稱“阿基米德體〞．點 ， ， 是該多面體的三個頂點，點 是該多面體外表上的動點，且總滿足 ，假設(shè) ，那么該多面體的外表積為________，點N軌跡的長度為________．

五、解答題
17.在① 是函數(shù) 圖象的一條對稱軸，② 是函數(shù) 的一個零點，③函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，且 的最大值為 ，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．
函數(shù) ，?? ▲?? ， 求 在 上的單調(diào)遞減區(qū)間．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
18.2021年是“十四五〞規(guī)劃開局之年，也是建黨100周年．為了傳承紅色基因，某學(xué)校開展了“學(xué)黨史，擔(dān)使命〞的知識競賽．現(xiàn)從參賽的所有學(xué)生中，隨機抽取100人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖．

〔1〕求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校此次競賽成績的平均分 〔同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表〕；
〔2〕在該樣本中，假設(shè)采用分層抽樣的方法，從成績高于75分的學(xué)生中隨機抽取7人查看他們的答題情況，再從這7人中隨機抽取3人進行調(diào)查分析，求這3人中至少有1人成績在 內(nèi)的概率；
〔3〕假設(shè)競賽成績服從正態(tài)分布 ，樣本數(shù)據(jù)的方差為121，用平均分 作為 的近似值，用樣本標準差 作為 的估計值，求該校本次競賽的及格率〔60分及以上為及格〕．
參考數(shù)據(jù)： ， ， ．
19.正項數(shù)列 的前 項和為 ，數(shù)列 為等比數(shù)列，滿足 ，且 ， ．
〔1〕求證：數(shù)列 為等差數(shù)列；
〔2〕假設(shè)從數(shù)列 中去掉數(shù)列 的項后余下的項按原來的順序組成數(shù)列 ，求 ．
20.如圖，四邊形 為正方形， ， ，點 為 的中點．

〔1〕求證： 平面 ；
〔2〕假設(shè) ， ，求平面 與平面 所成銳二面角的余弦值．
21.橢圓 的左、右焦點分別為 ， ，點 在橢圓 上，以 為直徑的圓 過焦點 ．
〔1〕求橢圓 的方程；
〔2〕假設(shè)橢圓 的右頂點為 ，與 軸不垂直的直線 交橢圓 于 ， 兩點〔 ， 與 點不重合〕，且滿足 ，點 為 中點，求直線 與 的斜率之積的取值范圍．
22.函數(shù) ， ．
〔1〕假設(shè) 在點 處的切線過原點，求 的值；
〔2〕在〔1〕條件下，假設(shè) 恒成立，求 的取值范圍．

答案解析局部
一、單項選擇題
1.【解析】【解答】由 知： ，即A不符合題意，

∴ ，即B不符合題意；僅當(dāng) 時 ，即C不符合題意； ，即D符合題意.
故答案為：D.

【分析】由條件結(jié)合集合的韋恩圖以及交、并、補的定義對選項逐一判斷即可得出答案。
2.【解析】【解答】∵
，
故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意選擇適宜的函數(shù)解析式代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。
3.【解析】【解答】令 ，那么由 得 ，解得 或 ，
∴ 或 ，故“ 〞是“ 〞的充分不必要條件.
故答案為：A.

【分析】首先令 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性整理得出， 求解出t的取值范圍，再由充分和必要條件的定義即可得出答案。
4.【解析】【解答】乙比選棋類的人個頭高，所以乙沒有選擇棋類，
因為丙和選書法的人身高不同，選書法的人比甲個頭小，所以乙選擇了書法，
所以排除AD,
因為乙的個頭比甲小，
所以丙比乙的個頭小，
所以丙選擇棋類，甲選擇健美操.
故答案為：B

【分析】根據(jù)題意通過分析得到乙選擇了書法，再進行推理，得到丙的選擇，即可得到答案.
?
5.【解析】【解答】設(shè)圓錐形的體積為： ，底面半徑為 ；內(nèi)切球的體積為： ，
， ，
，
故答案為：B.

【分析】 利用圓錐的體積與內(nèi)切球的體積比，結(jié)合體積公式即可得答案；
6.【解析】【解答】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，在直角坐標系中從左至右依次標注表格數(shù)據(jù)代表的點，擬合曲線如以下列圖示，

圖象左側(cè)無限靠近y軸，不與y軸相交，故其擬合曲線比較接近 的圖象，
故答案為：B.

【分析】 用描點法，在直角坐標系中作出大概圖象，比照x2 ， lgx，的圖象，即可得其回歸方
程的類型.
7.【解析】【解答】由題意 ，那么

又 ，所以 為等邊三角形.


?
?
?
顯然 ，所以當(dāng) 時， 有最大值4
故答案為：C

【分析】 利用正弦定理求出圓的半徑，畫出圖形，判斷出C的位置，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解向量數(shù)量積的最大值即可.
8.【解析】【解答】設(shè) ，
∵ ，
∴ ，
，∴ ，
，
故答案為：D.

【分析】首先根據(jù)題意射出， 再余弦定理整理得出， 從而得到， 結(jié)合雙曲線里的 a、b 、c 三者的關(guān)系以及離心率的公式計算出結(jié)果即可。
二、多項選擇題
9.【解析】【解答】A：將曲線 向右平移 個單位長度后可得 .
當(dāng) 時， ，所以平移后圖像與曲線不 重合，故答案為：項A不正確.
B：將曲線 上各點的橫坐標縮短到原來的 ，縱坐標不變可得 ，B符合題意.
C：將曲線 向左平移 后可得
顯然 時， ，所以此時不為奇函數(shù)，C不正確.
D：由 ，可得 ，即
由 ，所以 ，
所以 ，由 ，可得 的最小值為 ，D符合題意.
故答案為：BD

【分析】 由題意利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)以及圖象變換規(guī)律，再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象的對稱性，對選項逐一判斷即可得出答案。
?
10.【解析】【解答】因為
所以 ，A符合題意
， ，B符合題意
，C不符合題意
，D符合題意
故答案為：ABD

【分析】根據(jù)題意由結(jié)合復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算性質(zhì)，以及復(fù)數(shù)模的定義對選項逐一判斷即可得出答案。
11.【解析】【解答】對于A： ，
又 ，且 為增函數(shù)，所以 ，所以 ，即 .A符合題意；
對于B： ， ，
因為 為增函數(shù)，所以 ；B符合題意；
對于C：因為 ， ，所以 ，C不符合題意；
對于D：因為 ，所以 ，而
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，D不符合題意.
故答案為：AB.

【分析】根據(jù)題意利用對數(shù)的運算性質(zhì)整理化為最簡形式，再由對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較出結(jié)果。
12.【解析】【解答】由于點 在拋物線 上得 ，故 ，
所以 的坐標為 ，A不符合題意；
對B選項， 得
所以 ，又
所以 成立，B符合題意；
對C選項，由 ，所以
那么 ，所以那么 的中點到 軸距離最小值為2，C符合題意；
對D選項，設(shè)直線 方程為 ，代入拋物線 得
所以 ，直線 與 的斜率之積為 ，D符合題意
故答案為：BCD

【分析】由拋物線的性質(zhì)即可求出p的值以及焦點的坐標，由此皮帶秤線線A錯誤，由向量的運算性質(zhì)結(jié)合拋物線的定義整理即可得出選項B正確，由中點的定義以及拋物線的定義即可判斷出選項C正確，聯(lián)立拋物線與直線的方程消元，利用韋達定理結(jié)合斜率的坐標公式整理計算出結(jié)果由此判斷出選項d正確，從而得出答案。
三、填空題
13.【解析】【解答】 的展開式的通項公式為
令 ，解得
所以 的展開式中常數(shù)項為：
故答案為：

【分析】首先求出二項展開式的通項公式再由條件令求出r的值，再把數(shù)值代入到通項公式計算出答案。
14.【解析】【解答】〔1〕假設(shè)產(chǎn)品1在 機構(gòu)，那么情況數(shù)為 ；〔2〕假設(shè)產(chǎn)品1在 機構(gòu)那么情況數(shù)為 ，
由分類加法計數(shù)原理知總共 種情況.
故答案為：16

【分析】 根據(jù)題意，有產(chǎn)品①必須在B機構(gòu)或者C機構(gòu)測試，由此分2種情況討論，由加法原理計算可得答案．
15.【解析】【解答】∵ ， ， 成等差數(shù)列，∴ ，
∵ ，那么 ， ，
，
，
，
故答案為： .

【分析】根據(jù)題意由得出數(shù)列的性質(zhì)即可求出， 結(jié)合條件得到和， 從而計算出a、b、c的值，再把數(shù)值代入到期望和方差的公式計算出結(jié)果即可。
四、雙空題
16.【解析】【解答】根據(jù)題意該正四面體的棱長為 ，點 ， ， 分別是正四面體的棱三等分點.

該正四面體的外表積為
該多面體是正四面體截去頂角所在的小正四面體
每個角上小正四面體的側(cè)面面積為
每個角上小正四面體的底面面積為
所以該多面體的外表積為：
如圖設(shè)點 為該多面體的一個頂點，那么 ,
在 中，
那么 ,所以 ,即
同理 , ,由 ,所以 平面 .
由點 是該多面體外表上的動點，且總滿足 ，
那么點 的軌跡是線段
所以點N軌跡的長度為：
故答案為： 〔1〕 ??〔2〕

【分析】 根據(jù)題意先求出正四面體的外表積，由該多面體是正四面體截去頂角所在的小正四面體，得出小正四面體的側(cè)面面積和底面面積可得答案；通過證明AB垂直于一截面，從而得出點N的軌跡，由此即可得答案.
五、解答題
17.【解析】【分析】根據(jù)題意首先由二倍角公式和兩角和的正弦公式整理得出函數(shù)的解析式， ① 利用正弦函數(shù)的圖像整理得到， 對k賦值從而得出函數(shù)的解析式。 ② 結(jié)合零點的定義以及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出對k賦值由此得出函數(shù)的解析式。 ③ 由正弦函數(shù)的單調(diào)性以及最值的情況，利用整體思想即可得出對k賦值由此得出函數(shù)的得到減區(qū)間。
18.【解析】【分析】(1)由頻率直方圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)的公式計算出結(jié)果即可。
(2)結(jié)合分層抽樣的定義求出成績在 內(nèi)的有5人，成績在 內(nèi)的有2人，并把數(shù)值帶入到概率的公式計算出答案即可。
(3)由條件結(jié)合方差以及平均分的樣本標準差，結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)計算出答案。
?
?
19.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由數(shù)列的前n項和公式和數(shù)列項之間的關(guān)系，整理即可得出數(shù)列的通項公式，由此即可判斷出數(shù)列為得出數(shù)列。
(2)由(1)的結(jié)論整理即可得出數(shù)列的通項公式，再由等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式，計算出答案即可。
?
?
20.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意作出輔助線，再由中點的性質(zhì)得出線線平行，再由線面平行的判定定理即得證出結(jié)論。
(2)首先由正弦定理整理得出從而得出線線垂直，再由線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可得出線線垂直，由此建立空間直角坐標系求出各個點的坐標以及向量和平面法向量的坐標，再由數(shù)量積的坐標公式即可求出平面的法向量的坐標，同理即可求出平面的法向量；結(jié)合空間數(shù)量積的運算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，由此得到面 與面 所成銳二面角的余弦值。
?
?
21.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意求出焦點的坐標，再利用平行關(guān)系求出點P的坐標，結(jié)合橢圓的定義整理即可求出a與b的值，從而得到橢圓的方程。
(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程結(jié)合韋達定理即可得到關(guān)于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，再由直線垂直斜率之間的關(guān)系整理得出
?
和， 由此得到結(jié)合根本不等式即可求出即。
22.【解析】【分析】(1)首先對函數(shù)求導(dǎo)并把數(shù)值代入計算出切線的斜率，再由點斜式求出直線的方程，從而得出 由切線過點 ， 進而計算出 。
(2)由(1)的結(jié)論得出即令 ，對其求導(dǎo)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值， 再分情況討論 ①當(dāng) 即 時 以及 ②當(dāng) 時 ，函數(shù)的單調(diào)性以及分別得出b的取值范圍即可。
?
?

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