2020-2021學(xué)年山東省泰安市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷人教A版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 已知兩個(gè)非零向量a→=(x1, y1, z1)，b→=(x2, y2, z2)，則這兩個(gè)向量在一條直線上的充要條件是（）
A.a→:|a→|=b→:|b→|B.x1x2=y1y2=z1z2
C.x1x2+y1y2+z1z2=0D.存在非零實(shí)數(shù)k，使a→=kb→

2. 已知A(1, ?2, 3)、B(2, 1, ?1)兩點(diǎn)，則直線AB與空間直角坐標(biāo)系中的yOz平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）
A.(0, 0, 0)B.(0, ?5, 7)C.(53,0,13)D.(74,14,0)

3. 設(shè)O?ABC是正三棱錐，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG=3GG1，若OG→＝xOA→+yOB→+zOC→，則x+y+z=( )
A.14B.12C.34D.1

4. 已知直線l：(m+3)x+(m?2)y?m?2=0，點(diǎn)A(?2, ?1)，B(2, ?2)，若直線l與線段AB相交，則m的取值范圍為（）
A.(?∞, ?4]∪[4, +∞)B.(2, 2)
C.[?32, 8]D.(4, +∞)

5. 已知圓C與直線x?y＝0及x?y?4＝0都相切，圓心在直線x+y＝0上，則圓C的方程為（）
A.(x+1)2+(y?1)2＝2B.(x?1)2+(y+1)2＝2
C.(x?1)2+(y?1)2＝2D.(x+1)2+(y+1)2＝2

6. 如果圓(x?a)2+(y?a)2=4上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A.(?22，0)B.(?22，22)
C.(?22，0)∪(0,22)D.(?22, ?1)∪(1, 22)

7. 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1，過(guò)點(diǎn)F1作傾斜角為30°的直線與圓x2+y2=b2相交的弦長(zhǎng)為3b，則橢圓的離心率為（）
A.12B.22C.34D.32

8. 已知雙曲線x24?y2b2=1(b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F2的直線交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)，若△ABF1是等腰三角形，且∠A＝120°，則△ABF1的周長(zhǎng)為（）
A.1633+8B.4(2?1)C.433+8D.2(3?2)
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

下列命題中不正確的是（）
A.若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有AB→+BC→+CD→+DA→=0
B.若|a→|=|b→|，則a→、b→的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反
C.|a→|?|b→|=|a→+b→|是a→、b→共線的充分條件
D.對(duì)空間任意一點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若OP→＝xOA→+yOB→+zOC→(x, y, z∈R)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面

已知平面上一點(diǎn)M(5, 0)，若直線上存在點(diǎn)P使|PM|=4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是( )
A.y=x+1B.y=2C.y=43xD.y=2x+1

定義空間兩個(gè)向量的一種運(yùn)算a→?b→=|a→|?|b→|sin，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有（）
A.a→?b→=b→?a→
B.λ(a→?b→)=(λa→)?b→
C.(a→+b→)?c→=(a→?c→)+(b→?c→)
D.若a→=(x1, y1)，b→=(x2, y2)，則a→?b→=|x1y2?x2y1|

已知P是橢圓C:x26+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓D：(x+1)2+y2=15上的動(dòng)點(diǎn)，則( )
A.C的焦距為5B.C的離心率為306
C.圓D在C的內(nèi)部D.|PQ|的最小值為255
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

已知光線通過(guò)點(diǎn)M(?3, 4)，被直線l:x?y+3＝0反射，反射光線通過(guò)點(diǎn)N(2, 6)，則反射光線所在直線的方程是________．

已知過(guò)點(diǎn)P(4, 1)的直線l與x軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，直線l的方程為_(kāi)_______．

如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，|AB|=|AD|=|AA1|=1，∠BAD=∠BAA1=120°，∠DAA1=60°，則線段AC1的長(zhǎng)度是________．

在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段C1D，AC上，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是________．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

已知兩圓C1:x2+y2?2x?6y?1=0，C2:x2+y2?10x?12y+45=0．
(1)判斷圓C1和圓C2的關(guān)系，并證明；

(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線方程和公共弦長(zhǎng)．

已知直線l:3x?2y?6=0．
（1）若直線l1過(guò)點(diǎn)M(1, ?2)，且l1⊥l，求直線l1的方程；

（2）若直線l2 // l，且直線l2與直線l之間的距離為13，求直線l2的方程．

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上．
（1）求異面直線D1E與A1D所成的角；

（2）若二面角D1?EC?D的大小為45°，求點(diǎn)B到平面D1EC的距離．

已知：橢圓x216+y24=1，求：
（1）以P(2, ?1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程；

（2）斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程．

已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，且橢圓C的右頂點(diǎn)到直線x?y+2=0的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P(2, 0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

如圖1，在梯形ABCD中，AB // CD，過(guò)A，B分別作CD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．AB=AE=2，CD=5，DE=1，將△ADE沿AE以及△BCF沿BF同側(cè)折起，得如圖2空間幾何體ADE?BCF.

(1)若AF⊥BD，證明：DE⊥平面ABFE；

(2)若DE // CF，CD=3，線段AB上存在一點(diǎn)P，滿足直線CP與平面ACD所成角的正弦值為520，求線段AP的長(zhǎng)．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年山東省泰安市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的
1.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
充分條件、必要條件、充要條件
【解析】
由向量相等的概念判斷A；舉例說(shuō)明B錯(cuò)誤；由兩向量垂直與坐標(biāo)的關(guān)系判斷C；由共線向量基本定理判斷D．
【解答】
兩個(gè)非零向量a→與b→在一條直線上，方向不一定相同，故A錯(cuò)誤；
取a→=(1, 2, 0)，b→=(2, 4, 0)，滿足a→與b→在一條直線上，但x1x2≠y1y2≠z1z2，故B錯(cuò)誤；
x1x2+y1y2+z1z2=0是兩非零向量垂直的充要條件，故C錯(cuò)誤；
向量a→與b→(b→≠0→)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使a→=kb→，該題中a→與b→均為非零向量，
則這兩個(gè)向量在一條直線上的充要條件是存在非零實(shí)數(shù)k，使a→=kb→，故D正確．
2.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)
【解析】
設(shè)C點(diǎn)為(0, a, b)，則由題意得2?10?2=1?(?2)a?1=?1?3b+1，求出a，b，即可得出結(jié)論．
【解答】
設(shè)C點(diǎn)為(0, a, b)，則由題意得2?10?2=1?(?2)a?1=?1?3b+1，
解得a=?5，b=7，
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(0, ?5, 7)．
3.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
平面向量的基本定理
【解析】
先取BC的中點(diǎn)，然后利用三角形法則以及三角形重心的性質(zhì)和中線的性質(zhì)即可求解．
【解答】
如圖所示：
取BC的中點(diǎn)E，連接AE，
因?yàn)镺G=3GG1，
所以O(shè)G→=34OG1→=34(OA→+AG1→)
=34OA→+34×23AE→=34OA→+12AE→
=34OA→+12×12(AB→+AC→)
=34OA→+14(OB→?OA→+OC→?OA→)
=14(OA→+OB→+OC→)，
所以x+y+z=3×14=34，
故選：C．
4.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
簡(jiǎn)單線性規(guī)劃
直線的斜率
【解析】
根據(jù)題意，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為A、B在直線l的兩側(cè)或直線l上，結(jié)合二元一次不等式的幾何性質(zhì)可得[(m+3)×(?2)+(m?2)×(?1)?m?2][(m+3)×2+(m?2)×(?2)?m?2]≤0，變形解可得m的取值范圍，即可得答案．
【解答】
根據(jù)題意，若直線l與線段AB相交，則點(diǎn)A、B在直線l的兩側(cè)或直線l上，
則有[(m+3)×(?2)+(m?2)×(?1)?m?2][(m+3)×2+(m?2)×(?2)?m?2]≤0，
變形可得：(4m+6)(m?8)≤0，
解可得：?32≤m≤8，即m的取值范圍為[?32, 8]，
5.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
圓心在直線x+y＝0上，排除C、D，再驗(yàn)證圓C與直線x?y＝0及x?y?4＝0都相切，就是圓心到直線等距離，即可．
【解答】
圓心在x+y＝0上，圓心的縱橫坐標(biāo)值相反，顯然能排除C、D；
驗(yàn)證：A中圓心(?1, 1)到兩直線x?y＝0的距離是|2|2=2；
圓心(?1, 1)到直線x?y?4＝0的距離是62=32≠2．故A錯(cuò)誤．
6.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
直線與圓的位置關(guān)系
【解析】
根據(jù)題意知：圓(x?a)2+(y?a)2=4和以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓x2+y2=4相交，因此兩圓圓心距大于兩圓半徑之差、小于兩圓半徑之和，列出不等式，解此不等式即可．
【解答】
圓(x?a)2+(y?a)2=4和圓x2+y2=4相交，兩圓圓心距d=2|a|，
∴ 00)，可得：a＝2．
如圖所示，設(shè)|AF2|＝m，|BF2|＝n．
可得：|AF1|＝4+m，|BF1|＝4+n．
∴ 4+m＝n．
作AD⊥BF1，垂足為D．D為線段BF1的中點(diǎn)．
∠F1AD＝60°．
∴ |DF1|=32(4+m)，
∴ 32(4+m)×2＝4+n，即3(4+m)＝4+n．
又4+m＝n+m，聯(lián)立解得：n＝4，m=833?4．
∴ △ABF1的周長(zhǎng)＝4+m+m+n+4+n
＝8+2(m+n)＝8+1633．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.
【答案】
A,B,D
【考點(diǎn)】
命題的真假判斷與應(yīng)用
【解析】
直接利用向量的線性運(yùn)算，向量的模，向量共線的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．
【解答】
對(duì)于A：若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有AB→+BC→+CD→+DA→=0→，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B:|a→|=|b→|，則向量a→、b→的長(zhǎng)度相等與向量的方向無(wú)關(guān)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C:|a→|?|b→|＝|a→+b→|，利用平方法，整理得2a→?b→＝?2|a→||b→|，故|a→|?|b→|＝|a→+b→|是向量共線充分條件，故C正確；
對(duì)于D：對(duì)空間任意一點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若OP→＝xOA→+yOB→+zOC→(x, y, z∈R)，存在x+y+z=1，則P、A、B、C四點(diǎn)共面，故D錯(cuò)誤．
【答案】
B,C
【考點(diǎn)】
點(diǎn)到直線的距離公式
【解析】
由題意得，“切割型直線”即點(diǎn)M(5, 0)到直線的距離小于或等于4．求出點(diǎn)M到各條直線的距離，可得答案．
【解答】
解：要使直線為“切割型直線”，則直線上存在點(diǎn)P使|PM|=4，
即點(diǎn)M(5, 0)到直線的距離小于或等于4．
點(diǎn)M(5, 0)到直線y=x+1，即直線x?y+1=0的距離為
d=|5?0+1|2=32>4，不滿足條件；
點(diǎn)M(5, 0)到直線y=2的距離為24，故不滿足條件.
故選BC.
【答案】
A,D
【考點(diǎn)】
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
【解析】
A和B需要根據(jù)定義列出左邊和右邊的式子，再驗(yàn)證兩邊是否恒成立；C由定義驗(yàn)證若a→＝λb→，且λ>0，結(jié)論成立，從而得到原結(jié)論不成立；D根據(jù)數(shù)量積求出cs，再由平方關(guān)系求出sin的值，代入定義進(jìn)行化簡(jiǎn)驗(yàn)證即可．
【解答】
對(duì)于A，a→?b→=|a→|?|b→|sin，b→?a→=|b→|?|a→|sin，
故a→?b→=b→?a→恒成立；
對(duì)于B:λ(a→?b→)=λ(|a→|?|b→|sin)，(λa→)?b→=|λ||a→|?|b→|sin，
故λ(a→?b→)=(λa→)?b→不會(huì)恒成立；
對(duì)于C，若a→＝λb→，且λ>0，(a→+b→)?c→=(1+λ)|b→|?|c→|sin，
(a→?c→)+(b→?c→)=|λb→|?|c→|sin+|b→|?|c→|sin=(1+λ)|b→|?|c→|sin，
顯然(a→+b→)?c→=(a→?c→)+(b→?c→)不會(huì)恒成立；
對(duì)于D，cs=x1x2+y1y2|a→|?|b→|，sin=1?(x1x2+y1y2|a→|?|b→|)2，
即有a→?b→=|a→|?|b→|?1?(x1x2+y1y2|a→|?|b→|)2=|a→|?|b→|2?(x1x2+y1y2|a→|)2
=x12+y12?x22+y22?(x1x2+y1y2x12+y12)2
=(x12+y12)(x22+y22)?(x1x2+y1y2)2=x12y22+x22y12?2x1x2y1y2=|x1y2?x2y1|．
則a→?b→=|x1y2?x2y1|恒成立．
【答案】
B,C
【考點(diǎn)】
橢圓的離心率
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)到直線的距離公式
【解析】
由橢圓的方程可得a，b，c的值，可得A，D不正確，可得圓D的圓心離左頂點(diǎn)最近，進(jìn)而可得C正確，B正確
【解答】
解：由橢圓方程可得，a2=6，b2=1，則c2=a2?b2=5，則焦距2c=25，A不正確；
離心率e=ca=56=306，B正確；
設(shè)P(x, y)(?6≤x≤6)，D(?1, 0)，r2=15，
則|PD|2=(x+1)2+y2
=(x+1)2+1?x26
=56(x+65)2+45≥45>15，
所以圓D在C的內(nèi)部，且|PQ|的最小值為45?15=55，故C正確，D不正確.
故選BC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
【答案】
y＝6x?6
【考點(diǎn)】
與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程
【解析】
求出M關(guān)于x?y+3＝0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式方程求出反射光線所在的直線方程．
【解答】
∵ 光線通過(guò)點(diǎn)M(?3, 4)，直線l:x?y+3＝0的對(duì)稱點(diǎn)(x, y)，
∴ y?4x+3=?1x?32?y+42+3=0 即x=1y=0 ，K(1, 0)，
∵ N(2, 6)，
∴ MK的斜率為6，
∴ 反射光線所在直線的方程是 y＝6x?6，
【答案】
x+4y?8=0
【考點(diǎn)】
直線的截距式方程
【解析】
設(shè)直線l:xa+yb=1，(a>0, b>0)，由題意利用基本不等式可求ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a=8，b=2時(shí)等號(hào)成立，進(jìn)而此時(shí)直線l的方程．
【解答】
設(shè)直線l:xa+yb=1，(a>0, b>0)，
因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)P(4, 1)，
所以4a+1b=1≥24a?1b=4ab，
所以ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a=8，b=2時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)a=8，b=2時(shí)，△AOB的面積S=12ab取得最小值，此時(shí)直線l的方程為x8+y2=1，即x+4y?8=0．
【答案】
62
【考點(diǎn)】
點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
【解析】
根據(jù)平行四邊形法則可得AC1→=AB→+AD→+AA1→，利用空間向量的模計(jì)算即可．
【解答】
根據(jù)平行四邊形法則可得AC1→=AB→+AD→+AA1→，
所以|AC1→|2=(AB→+AD→+AA1→)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2AB→?AD→+2AB→?AA1→+2AD→?AA1→=1+1+1+2×2×1×1×cs120°+1×1×cs60°=32，
所以AC1=62，
【答案】
23
【考點(diǎn)】
點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
【解析】
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0, λ, 2λ)，λ∈[0, 1]，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1?μ, μ, 0)，μ∈[0, 1]，求出PQ，利用配方法，即可求出線段PQ長(zhǎng)度的最小值．
【解答】
解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1, 0, 0)，B(1, 1, 0)，C(0, 1, 0)，C1(0, 1, 2)，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0, λ, 2λ)，λ∈[0, 1]，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1?μ, μ, 0)，μ∈[0, 1]，
∴ PQ=5(λ?19)2+95(μ?59)2+49，
當(dāng)且僅當(dāng)λ=19，μ=59時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度取得最小值23．
故答案為：23．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟
【答案】
(1)證明：圓C1和圓C2相交.理由如下：
∵ 圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)2+(y?3)2=11，
圓心為C1(1, 3)，半徑r1=11，
圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?5)2+(y?6)2=16，
圓心為C2(5, 6)，半徑r2=4，
∴ |C1C2|=(5?1)2+(6?3)2=5.
∵ 4?11

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