1. 直線3x+2y?1＝0的一個方向向量是（ ）
A.(2, ?3)B.(2, 3)C.(?3, 2)D.(3, 2)

2. 橢圓x29+y24=1的離心率是( )
A.133B.53C.23D.59

3. 兩條平行直線2x?y+3=0和ax?3y+4=0間的距離為d，則a，d分別為（ ）
A.a=6，d＝63B.a=?6=?6，d＝63
C.a=?6，d＝53D.a=6，d＝53

4. 如圖，四棱錐P?OABC的底面是矩形，設OA→＝a→，OC→＝b→，OP→＝c→，E是PC的中點，則（ ）

A.BE→＝?12a→?12b→+12c→
B.BE→＝?a→?12b→+12c→
C.BE→＝?a→+12b→+12c→
D.BE→＝?12a→?12b→?12c→

5. 空間直角坐標系O?xyz中，經(jīng)過點P(x0, y0, z0)且法向量為m→＝(A,B,C)的平面方程為A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=0，經(jīng)過點P(x0, y0, z0)且一個方向向量為n→＝(μ,υ,ω)(μυω≠0)的直線l的方程為x?x0μ＝y(tǒng)?y0υ＝z?z0ω，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面α的方程為3x?5y+z?7=0，經(jīng)過(0, 0, 0)直線l的方程為x3＝y(tǒng)2＝z?1，則直線1與平面α所成角的正弦值為（ ）
A.1010B.1035C.105D.57

6. 已知圓x2+y2?6x＝0，過點(1, 2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（ ）
A.1B.2C.3D.4

7. 已知l，m是異面直線，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB=2，CD=1，則異面直線l，m所成的角等于（ ）
A.30°B.45°C.60°D.90°

8. 已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為36的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（ ）
A.23B.12C.13D.14
二.多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.）

過點P(2, 3)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程為（ ）
A.x+y?5=0B.2x+y?4=0C.3x?2y=0D.4x?2y+5=0

已知曲線C:mx2+ny2=1．（ ）
A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在x軸上
C.若m=n>0，則C是圓，其半徑為n
D.若m=0，n>0，則C是兩條直線

已知圓C：(x?3)2+(y?4)2=1和兩點A(?m, 0)，B(m, 0)(m>0)若圓C上存在點P，使得∠APB=90°，則m的可能取值為（ ）
A.7B.6C.5D.8

已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x24+y2＝1的左、右焦點，動點P(x1，y1)(y1>12)在橢圓上，∠F1PF2的平分線與x軸交于點M(m, 0)，則m的可能取值為（ ）
A.1B.2C.0D.?1
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

已知平面α的一個法向量a→=(x,1,?2)，平面β的一個法向量b→=?1,y,12，若α⊥β，則y?x=________．

在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是線段DD1的中點，F(xiàn)是線段BB1的中點，則直線FC1到平面AB1E的距離為________．

已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x225+y216＝1的左、右焦點，弦AB過點F1，若△ABF2的內(nèi)切圓的周長為2π，A，B兩點的坐標是(x1, y1)(x2, y2)，則|y1?y2|=________．

2020年是中國傳統(tǒng)的農(nóng)歷“鼠年”，有人用3個圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，如圖：Q(0, ?3)是圓Q的圓心，圓Q過坐標原點O；點L、S均在x軸上，圓L與圓S的半徑都等于2，圓S、圓L均與圓Q外切．已知直線l過點O．

（1）若直線l與圓L、圓S均相切，則l截圓Q所得弦長為________；

（2）若直線l截圓L、圓S、圓Q所得弦長均等于d，則d=________．
四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標為A(?1, 4)，B(?2, ?1)，C(2, 3)．
(I)在△ABC中，求邊AC中線所在直線方程；
(II)求平行四邊形ABCD的頂點D的坐標及邊BC的長度；
(III)求△ABC的面積．

已知△ABC的邊AB邊所在直線的方程為x?3y?6=0，M(2, 0)滿足BM→=MC→，點T(?1, 1)在AC邊所在直線上且滿足AT→?AB→=0．
（1）求AC邊所在直線的方程；

（2）求△ABC外接圓的方程；

（3）若動圓P過點N(?2, 0)，且與△ABC的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程．

在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記CM=BN=a(00)的長軸長等于圓C2:x2+y2=4的直徑，且C1的離心率等于12，已知直線l:x?y?1=0交C1于A、B兩點．
(Ⅰ)求C1的標準方程；
(Ⅱ)求弦AB的長．

如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，四邊形ABB1A1為菱形，∠AA1B1=π3，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB=BC，AC=2AA1＝22，E為AC的中點．
(Ⅰ)求證：B1C1⊥平面ABB1A1；
(Ⅱ)求平面EB1C1與平面BB1C1C所成角的大?。?br>

已知點A(1, 0)，點P是圓C：(x+1)2+y2=8上的任意一點，線段PA的垂直平分線與直線CP交于點E．
(Ⅰ)求點E的軌跡方程；
(Ⅱ)過點A的直線l與軌跡E交于不同的兩點M，N，則△CMN的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程；若不存在，請說明理由．
參考答案與試題解析
2020-2021學年山東省高二（上）期中數(shù)學試卷
一、單選題（本題包括8小題，每小題5分，共40分。每小題只有一個選項符合題意）
1.
【答案】
A
【考點】
直線的斜率
【解析】
先根據(jù)直線方程得直線的一個法向量，再根據(jù)法向量可得直線的方向向量．
【解答】
依題意，(3, 2)為直線的一個法向量，
∴ 則直線的一個方向向量為(2, ?3)，
2.
【答案】
B
【考點】
橢圓的離心率
【解析】
直接利用橢圓的簡單性質(zhì)求解即可．
【解答】
解：橢圓x29+y24=1，可得a=3，b=2，則c=9?4=5，
所以橢圓的離心率為：e=ca=53．
故選B．
3.
【答案】
D
【考點】
兩條平行直線間的距離
【解析】
由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)求得a的值，再利用兩條平行直線間的距離公式，計算求得結(jié)果．
【解答】
根據(jù)兩條平行直線2x?y+3=0和ax?3y+4=0，可得a2=?3?1≠43，
可得a=6，可得兩條平行直線即 6x?3y+9=0和6x?3y+4=0，
故它們間的距離為d=|9?4|36+9=53，
4.
【答案】
B
【考點】
空間向量
向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義
【解析】
根據(jù)向量的運算性質(zhì)分別計算即可．
【解答】
∵ 四棱錐P?OABC的底面是矩形，OA→＝a→，OC→＝b→，OP→＝c→，E是PC的中點，
∴ BE→=BC→+CE→=?OA→+12CP→=?a→+12(CO→+OP→)=?a→+12(?OC→+OP→)=?a→?12b→+12c→，
5.
【答案】
B
【考點】
直線與平面所成的角
【解析】
由題可知，平面α的一個法向量m→和直線l的一個方向向量n→，設直線1與平面α所成角為θ，由sinθ=|cs|=||m→|?|n→|˙|，即可得解．
【解答】
∵ 平面α的方程為3x?5y+z?7=0，
∴ 平面α的一個法向量為m→=(3, ?5, 1)，
∵ 經(jīng)過(0, 0, 0)直線l的方程為x3＝y(tǒng)2＝z?1，
∴ 直線l的一個方向向量為n→=(3, 2, ?1)，
設直線1與平面α所成角為θ，
則sinθ=|cs|=||m→|?|n→|˙|=|9?10?19+25+1×9+4+1|=1035，
∴ 直線1與平面α所成角的正弦值為1035．
6.
【答案】
B
【考點】
直線與圓相交的性質(zhì)
【解析】
由相交弦長|AB|和圓的半徑r及圓心C到過D(1, 2)的直線的距離d之間的勾股關(guān)系，求出弦長的最小值，即圓心到直線的距離的最大時，而當直線與CD垂直時d最大，求出d的最大值，進而求出弦長的最小值．
【解答】
由圓的方程可得圓心坐標C(3, 0)，半徑r＝3；
設圓心到直線的距離為d，則過D(1, 2)的直線與圓的相交弦長|AB|＝2r2?d2，
當d最大時弦長|AB|最小，當直線與CD所在的直線垂直時d最大，這時d＝|CD|=(3?1)2+(2?0)2=22，
所以最小的弦長|AB|＝232?(22)2=2，
7.
【答案】
C
【考點】
異面直線及其所成的角
【解析】
由題意可得AC→?CD→=0，DB→?CD→=0，進而可得AB→?CD→，代入夾角公式可得cs，可得向量的夾角，進而可得結(jié)論．
【解答】
由AC⊥m，BD⊥m，可得AC⊥CD，BD⊥CD，
故可得AC→?CD→=0，DB→?CD→=0，
∴ AB→?CD→=(AC→+CD→+DB→)?CD→
=AC→?CD→+|CD→|2+DB→?CD→=0+12+0=1，
∴ cs=|AB→|?|CD→|˙=12，
∵ AB→與CD→夾角的取值范圍為[0, π]，
故向量AB→，CD→的夾角為60°，
∴ 異面直線l，m所成的角等于60°．
8.
【答案】
D
【考點】
橢圓的離心率
直線與橢圓結(jié)合的最值問題
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：由題意可知：
A(?a, 0)，F(xiàn)1(?c, 0)，F(xiàn)2(c, 0)，
直線AP的方程為：y=36(x+a)，
由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，
則P(2c, 3c)，
代入直線AP:3c=36(2c+a)，
整理得：a=4c，
∴ 橢圓C的離心率e=ca=14．
故選D.
二.多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.）
【答案】
A,C
【考點】
直線的截距式方程
【解析】
討論直線經(jīng)過原點時和不過原點時，分別求出對應直線的方程即可．
【解答】
當直線經(jīng)過原點時，直線的斜率為k=32，
所以直線的方程為y=32x，即3x?2y=0；
當直線不過原點時，設直線的方程為x+y=a，
代入點P(2, 3)可得a=5，
所以所求直線方程為x+y=5，即x+y?5=0．
綜上可得，所求直線方程為：x+y?5=0或3x?2y=0．
【答案】
A,D
【考點】
曲線與方程
【解析】
化方程mx2+ny2=1為圓錐曲線的標準方程，然后逐一分析四個選項得答案．
【解答】
曲線C:mx2+ny2=1．
若m>n>0，方程化為x21m+y21n＝1，得1n>1m>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上，故A正確；B錯誤；
若m=n>0，方程化為x2+y2＝1m，則C是圓，其半徑為1m，故C錯誤；
若m=0，n>0，方程化為y2＝1n，即y=±nn，則C是兩條直線，故D正確．
【答案】
B,C
【考點】
直線與圓的位置關(guān)系
【解析】
由圓C的方程求得圓心坐標與半徑，可得圓心C到O(0, 0)的距離為5，得到圓C上的點到點O的距離的最大值為6，最小值為4，再由∠APB=90°，可得PO=12|AB|=m，從而得到m的取值范圍，結(jié)合選項得答案．
【解答】
圓C：(x?3)2+(y?4)2=1的圓心C(3, 4)，半徑為1，
∵ 圓心C到O(0, 0)的距離為5，
∴ 圓C上的點到點O的距離的最大值為6，最小值為4，
再由∠APB=90°，可得以AB為直徑的圓和圓C有交點，
得PO=12|AB|=m，即4≤m≤6，
結(jié)合選項可得，m的值可能取6和5．
【答案】
A,C,D
【考點】
橢圓的離心率
【解析】
由橢圓方程求得焦點坐標，再由y1>12得?3

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