1. 拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A.(0, 116)B.(116, 0)C.(1,0)D.(0, 1)

2. 若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（ ）
A.不共面B.不共面
C.不共面D.不共面

3. 若方程x2+y2?x+y?2m＝0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.（）

4. 已知直線x+my+6＝0和(m?2)x+3y+2m＝0互相平行，則實(shí)數(shù)m的取值為（ ）
A.?1或3B.?1C.?3D.1或?3

5. 設(shè)x，y∈R，向量a→=(x,1,1)，b→=(1, y, 1)，c→=(2, ?4, 2)，且a→⊥c→，b→ // c→，則|a→+b→|=( )
A.22B.10C.3D.4

6. 在平面直角坐標(biāo)系xy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(?4, 0)和C(4, 0)，頂點(diǎn)B在橢圓x225+y29=1上，則sinA+sinCsinB等于（ ）
A.45B.52C.54D.53

7. 在一平面直角坐標(biāo)系中，已知A(?1, 6)，B(2, ?6)，現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A.B.C.D.

8. 對(duì)于直線xsinα+y+1=0，其傾斜角的取值范圍是（ ）
A.[?π4，π4]B.[0,π2)∪[π2,π)C.[π4，3π4]D.[0,π4]∪[3π4,π)
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。

在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分別是OA，BC，AD的中點(diǎn)，以下說法正確的是（ ）
A.直線MN與平面OCD的距離為
B.平面MNR與平面OCD的距離為
C.點(diǎn)M與平面OCD的距離為
D.點(diǎn)N與平面OCD的距離為

已知橢圓＝1(a>0, b>0)的左、右焦點(diǎn)分別F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，若|PF1|＝3|PF2|，則橢圓的離心率可以是（ ）
A.B.C.D.

下列命題正確的是（ ）
A.已知和是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且垂直，則實(shí)數(shù)k＝?6
B.已知A(1, 1, 0)，B(0, 3, 0)，C(2, 2, 3)，則向量在上的投影向量的模長是
C.圓x2+y2＝4上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線l:x?y+＝0的距離等于1
D.不過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示

在如圖所示的棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1所在的平面上運(yùn)動(dòng)，則下列命題中正確的（ ）

A.若點(diǎn)P總滿足PA⊥BD，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線
B.若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)周長為2π的圓
C.若點(diǎn)P到直線AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓
D.若點(diǎn)P平面BAA1B1與到直線CD的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡拋物線
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，

設(shè)＝(2，2，-），＝(0，?1，）分別是空間中直線l1，l2的方向向量，則直線l1，l2所成角的余弦值為________．

過點(diǎn)A(1, 0)的直線l與圓(x?1)2+(y?1)2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝，則該直線的斜率為________．

已知拋物線C:y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則|QF|＝________，直線PF的斜率k＝________．

已知雙曲線的方程為，如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?3, 0)，B是圓x2+(y?3)2＝1上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線的右支上，則|MA|+|MB|的最小值為________．

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

如圖所示，已知幾何體ABCD?A1B1C1D1是平行六面體．

（1）化簡++結(jié)果用表示并在圖上標(biāo)出該結(jié)果（點(diǎn)明E，F(xiàn)的具體位置）；

（2）設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC1B1對(duì)角線BC1上的點(diǎn)，且C1N＝C1B，
設(shè)＝α+β+γ，試求α，β，γ的值．

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(?1, 4)，B(?2, ?1)，C(2, 3)．
（1）求BC邊上的高所在直線的方程；（一般式）

（2）求△ABC的面積S；

（3）求過點(diǎn)A且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程（一般式）．

如圖所示，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2．

（1）證明：平面PBE⊥平面PAB；

（2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的正弦值．

已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)．
（1）若△F1PF2為等腰直角三角形，求C的離心率；

（2）如果存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于9，求b的值和a的取值范圍．

在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為長方形，SB⊥底面ABCD，其中BS＝2，BA＝2，BC＝t，t的可能取值為：①；②；③；④；⑤t＝3．

（1）求直線AS與平面ABCD所成角的正弦值；

（2）若線段CD上能找到點(diǎn)E，滿足AE⊥SE，則t可能的取值有幾種情況？請(qǐng)說理由；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為所有可能情況的最大值時(shí)，線段CD上滿足AE⊥SE的點(diǎn)有兩個(gè)，分別記為E1，E2，求二面角E1?SB?E2的大?。?br>
已知半徑為5的圓M的圓心在x軸上，圓心M的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線4x+3y?29＝0相切．
（1）求圓M的方程；

（2）若直線ax?y+5＝0(a≠0)與圓M相交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P(?2, 4)的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）設(shè)P(?1, 0)，若動(dòng)圓N過點(diǎn)P且與圓M內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心N的軌跡方程．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年山東省德州市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
拋物線的定義
【解析】
根據(jù)題意，將拋物線的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，分析可得其焦點(diǎn)位置以及p的值，有拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算可得答案．
【解答】
解：∵ 拋物線的方程為y=4x2，
∴ 其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=14y，
∴ 2p=14，解得：p=18，
∴ 焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 116).
故選A.
2.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
空間向量的基本定理及其意義
空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
3.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
二元二次方程表示圓的條件
圓的一般方程
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
4.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系
【解析】
兩條直線x+my+6＝0和(m?2)x+3y+2m＝0互相平行，m(m?2)?3＝0，解得m．經(jīng)過驗(yàn)證即可得出．
【解答】
兩條直線x+my+6＝0和(m?2)x+3y+2m＝0互相平行，
∴ m(m?2)?3＝0，解得m＝?1，3．
經(jīng)過驗(yàn)證，m＝3時(shí)，兩條直線相互重合，舍去．
∴ m＝?1，
5.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直
向量的模
【解析】
利用向量平行和向量垂直的性質(zhì)列出方程組，求出x，y，再由平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出a→+b→，由此能求出|a→+b→|．
【解答】
解：由題意知，x，y∈R，向量a→=(x, 1, 1)，b→=(1, y, 1)，c→=(2, ?4, 2)，
且a→⊥c→，b→ // c→，
∴ 2x?4+2=0，12=y?4=12，
解得x=1，y=?2，
∴ a→+b→=(1, 1, 1)+(1, ?2, 1)=(2, ?1, 2)，
∴ |a→+b→|=4+1+4=3．
故選C.
6.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
橢圓的定義
正弦定理的應(yīng)用
【解析】
首先根據(jù)橢圓的方程可得a與b的值，進(jìn)而可得c的值，分析可得，AC就是焦點(diǎn)，由正弦定理可得：sinA+sinCsinB=BC+BAAC；結(jié)合橢圓的定義可得AC=2c=8，BC+BA=2a=10；代入數(shù)據(jù)可得答案．
【解答】
解：根據(jù)題意，由橢圓的方程可得a=5，b=3；
則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(?4, 0)和(4, 0)，恰好是A、C兩點(diǎn)，
則AC=2c=8，BC+BA=2a=10；
由正弦定理可得：sinA+sinCsinB=BC+BAAC=54；
故選C．
7.
【答案】
【考點(diǎn)】
二面角的平面角及求法
點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
8.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
直線的傾斜角
【解析】
由直線的方程可確定直線的斜率，可得其范圍，進(jìn)而可求傾斜角的取值范圍．
【解答】
解：直線xsinα+y+2=0的斜率為k=?sinα，
∵ |sinα|≤1，∴ |k|≤1
∴ 傾斜角的取值范圍是[0, π4]∪[3π4, π)
故選：D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。
【答案】
【考點(diǎn)】
命題的真假判斷與應(yīng)用
棱錐的結(jié)構(gòu)特征
點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
B,C
【考點(diǎn)】
橢圓的離心率
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
B,C
【考點(diǎn)】
向量的投影
直線的兩點(diǎn)式方程
命題的真假判斷與應(yīng)用
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
A,B,D
【考點(diǎn)】
命題的真假判斷與應(yīng)用
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，
【答案】
【考點(diǎn)】
異面直線及其所成的角
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
±1
【考點(diǎn)】
直線與圓的位置關(guān)系
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
,
【考點(diǎn)】
拋物線的性質(zhì)
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
3+3
【考點(diǎn)】
雙曲線的離心率
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
【答案】
取AA1的中點(diǎn)E，在D1C3上取一點(diǎn)F，
使得D1F＝2FC3，連接EF，
則++＝++＝．
（與相等的向量都對(duì)）………
＝+＝+
＝（+）+（+）
＝++，
所以α＝，β＝． ………
【考點(diǎn)】
空間向量
向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
設(shè)BC邊上的高所在直線為l，由題意知kBC＝＝1l＝＝?1．
又點(diǎn)A(?1, 5)在直線l上，
即x+y?3＝0，即BC邊上的高所在直線的方程為x+y?4＝0．
BC邊所在直線的方程為y+1＝x+6，
即x?y+1＝0．點(diǎn)A(?5＝2．
又|BC|＝＝4?△ABC＝?|BC|?d＝×2．
當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，直線方程4x+y＝0；
當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上的截距都不為4時(shí)，設(shè)直線方程為，所以直線方程為x+2y?7＝0．
所以直線方程為4x+y＝4或x+2y?7＝7．
【考點(diǎn)】
直線的一般式方程與直線的性質(zhì)
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
證明：如圖所示，連接BD，
知△ABC是等邊三角形．
∵ E是CD的中點(diǎn)，
∴ BE⊥CD，又AB // CD，
∴ AB⊥BE，∴ BE⊥平面PAB，
又BE?平面PBE，
∴ 平面PBE⊥平面PAB．
在平面ABCD內(nèi)，過點(diǎn)A作AB的垂線，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.，．
易知，＝(7，0，＝(0，，＝(0，6，＝（，，
設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量，
則由得令z7＝1，得，
設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，
則由得
所以z2＝0，，故可取，
于是，
設(shè)所成銳二面角為θ，所以sinθ＝，
所以平面PAD和平面PBE所成銳二面角的正弦值為．
【考點(diǎn)】
二面角的平面角及求法
平面與平面垂直
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
△F1PF2為等腰直角三角形可知有三種情況．
當(dāng)∠PF8F2＝90°時(shí)，|PF1|＝6c，，
于是，
得e＝，當(dāng)∠PF8F1＝90°時(shí)，同理求得e＝；
當(dāng)∠F1PF2＝90°時(shí)，則P在橢圓短軸的端點(diǎn)，，
，解得e＝．
∴ C的離心率為或；
設(shè)P(x, y)1PF5的面積等于9，得?2c?|y|＝9，①
由PF4⊥PF2，得x2+y7＝c2，②
再由P在橢圓上，得，③
由②③及a2+b2＝c3，得y2＝，又由①知y2＝，故b＝3，
由②③得x8＝，∴ c2≥b8，從而a2＝b2+c7≥2b2＝18，故a≥7，
∴ b＝3，a≥5，
故b＝3，a得取值范圍為[2．
【考點(diǎn)】
橢圓的離心率
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
∵ SB⊥底面ABCD，SA在平面ABCD內(nèi)的射影為AB，
∴ ∠SAB即為直線AS與平面ABCD所成的角，
∴ 在Rt△SBA中，．
所以直線AS與平面ABCD所成角的正弦值．
如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，y軸．
則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0, 5, 0)，0，5)，2，0)，5，2)．
設(shè)E(t, x, 0)(6≤x≤2)，，．
∵ x∈[0, 2]，t8＝x(2?x)∈[0, 8]
∴ 在所給的數(shù)據(jù)中，t可以?、佗冖郏?br>由（2）知，此時(shí)，．
根據(jù)題意得，其坐標(biāo)為，
∵ SB⊥底面ABCD，∴ SB⊥BE1，SB⊥BE2，
∴ ∠E5BE2是二面角E1?SB?E7的平面角，
由，
由題意得，二面角E2?SB?E2為銳角，所以二面角的大小為30°．
【考點(diǎn)】
二面角的平面角及求法
直線與平面所成的角
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答
【答案】
設(shè)圓心坐標(biāo)為M(m, 0)(m∈Z)，
由于圓與直線4x+5y?29＝0相切，且圓的半徑為5，
所以＝5，即2m?29＝25或4m?29＝?25，
解得m＝或m＝5，故m＝1，
故所求的圓的方程為(x?1)6+y2＝25．
設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，
因?yàn)閍≠0，則直線l的斜率為-(x+2)+6，
即x+ay+2?4a＝6．
由于直線l垂直平分弦AB，故圓心M(1，
所以1+2+2?4a＝3，解得a＝．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a＝時(shí)，
故存在實(shí)數(shù)a＝，使得過點(diǎn)P(?2．
因?yàn)閳AN過點(diǎn)P(?1, 4)所以PN為半徑，
所以MN＝5?PN即MN+PN＝5，
所以點(diǎn)M的軌跡是以M，P為焦點(diǎn)，
所以6a＝5，c＝1
所以所求軌跡方程是＝1或．
【考點(diǎn)】
直線與圓的位置關(guān)系
軌跡方程
【解析】
此題暫無解析
【解答】
此題暫無解答

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