1. 直線x?3y?1=0的傾斜角α=( )
A.30°B.60°C.120°D.150°

2. 過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2?4y＝0所截得的弦長(zhǎng)為（ ）

A.3B.2C.6D.23

3. 在四面體OABC中，E為OA中點(diǎn)，CF→=13CB→，若OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，則EF→=( )
A.12a→?13b→?23c→B.?12a→?13b→+43c→
C.?12a→+23b→+13c→D.?12a→+13b→+23c→

4. 設(shè)橢圓C1的離心率為513，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.x242?y232=1B.x2132?y252=1
C.x232?y242=1D.x2132?y2122=1

5. 萬(wàn)眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國(guó)家體育場(chǎng)（又名鳥巢）將再次承辦奧運(yùn)會(huì)開幕式．在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40cm，短軸長(zhǎng)為20cm，小橢圓的短軸長(zhǎng)為10cm，則小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為( )cm

A.30B.20C.10D.103

6. 設(shè)x，y∈R，向量a→=(x,1,1)，b→=(1, y, 1)，c→=(2, ?4, 2)，且a→⊥c→，b→ // c→，則|a→+b→|=( )
A.22B.10C.3D.4

7. 已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為x+3y＝0，則該雙曲線的離心率是（ ）
A.103B.2C.73D.5

8. 在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（ ）
A.15B.56C.55D.22

9. 已知點(diǎn)A(2, 2)，B(?1, 3)，若直線kx?y?1＝0與線段AB有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A.(?∞, ?4)∪(32, +∞)B.(?4, 32)
C.(?∞, ?4]∪[32, +∞)D.[?4, 32]

10. 正三棱錐P?ABC的側(cè)面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則PB與平面PEF所成角的正弦為（ ）
A.36B.66C.33D.63
二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）

圓O1:x2+y2?2x＝0和圓O2:x2+y2+2x?4y＝0的交點(diǎn)為A，B，則有（ ）
A.公共弦AB所在直線方程為x?y＝0
B.線段AB中垂線方程為x+y?1＝0
C.公共弦AB的長(zhǎng)為22
D.P為圓O1上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為22+1

已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)(3, 2)且漸近線為y=±33x，則下列結(jié)論正確的是( )
A.雙曲線C的方程為x23?y2=1
B.雙曲線C的離心率為3
C.曲線y=ex?2?1經(jīng)過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)
D.直線x?2y?1=0與C有兩個(gè)公共點(diǎn)

如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別是正方體ABCD?A1B1C1D1的棱DC上兩點(diǎn)，且AB＝2，EF＝1，其中正確的命題為（ ）

A.三棱錐D1?B1EF的體積為定值
B.異面直線D1B1與EF所成的角為60°
C.D1B1⊥平面B1EF
D.直線D1B1與平面B1EF所成的角為30°

已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2+y2?4x+1＝0，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A.y?x的最大值為6?2B.x2+y2的最大值為7+43
C.yx的最大值為32D.x+y的最大值為2+3
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

雙曲線x2a2?y2b2=1的其中一條漸近線方程為y＝2x，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，則雙曲線的方程為________．

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G＝λ(00)與直線y=3x無(wú)交點(diǎn)，則離心率e的取值范圍是________．

已知圓C的圓心在直線x+y＝0上，圓C與直線x?y＝0相切，且在直線x?y?3＝0上截得的弦長(zhǎng)為6，則圓C的方程為________．
四、解答題（本小題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

若直線l的方程為ax+2y?a?2=0(a∈R)．
(1)若直線l與直線m:2x?y=0垂直，求a的值．

(2)若直線l在兩軸上的截距相等，求該直線的方程．

已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0, b>0)與雙曲線y26?x22=1的漸近線相同，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2, 3)．
（1）求雙曲線C的方程；

（2）已知雙曲線C的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l經(jīng)過(guò)F2，傾斜角為34π，l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求△F1AB的面積．

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C:x2+y2?4x?6y+m＝0與直線l:x+y?1＝0相切．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；

（2）過(guò)點(diǎn)(3, 1)的直線與圓C交于M、N兩點(diǎn)，如果|MN|＝23，求OM→?ON→．

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD上一點(diǎn)，且BM⊥PD．

（1）證明：CD⊥面PAD；

（2）求點(diǎn)M到平面PAC的距離；

（3）求二面角B?AM?C的余弦值．

已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，|F1F2|=22，若圓Q方程(x?2)2+(y?1)2=1，且圓心Q滿足|QF1|+|QF2|＝2a．

（1）求橢圓C1的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P(0, 1)的直線l1交橢圓C1于A、B兩點(diǎn)，過(guò)P與l1垂直的直線l2交圓Q于C、D兩點(diǎn)，M為線段CD中點(diǎn)，求△MAB的面積的取值范圍．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年山東省高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、單項(xiàng)選擇題（本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求）
1.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
直線的傾斜角
直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系
【解析】
由直線方程可得直線的斜率，再由斜率和傾斜角的關(guān)系可得所求．
【解答】
解：可得直線x?3y?1=0的斜率為k=13=33，
由斜率和傾斜角的關(guān)系可得tanα=33.
又∵ 0°≤α≤180°，
∴ α=30°.
故選A.
2.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
直線和圓的方程的應(yīng)用
【解析】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓方程的應(yīng)用，由已知圓x2+y2?4y＝0，我們可以將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，又直線由過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60°，得到直線的方程，再結(jié)合半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距滿足勾股定理，即可求解．
【解答】
將圓x2+y2?4y＝0的方程可以轉(zhuǎn)化為：
x2+(y?2)2＝4，
即圓的圓心為A(0, 2)，半徑為R＝2，
∴ A到直線ON的距離，即弦心距為1，
∴ ON=3，
∴ 弦長(zhǎng)23，
3.
【答案】
D
【考點(diǎn)】
平面向量的基本定理
【解析】
利用向量的加減法，及線性運(yùn)算，即可得出結(jié)論．
【解答】
由題意，EF→=EA→+AB→+BF→=12a→+b→?a→+13(c→?b→)=?12a→+13b→+23c→．
4.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓的定義
【解析】
在橢圓C1中，由題設(shè)條件能夠得到a=13c=5，曲線C2是以F1(?5, 0)，F(xiàn)2(5, 0)，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線，由此可求出曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解答】
解：在橢圓C1中，由2a=26,ca=513,
得a=13,c=5.
橢圓C1的焦點(diǎn)為F1(?5, 0)，F(xiàn)2(5, 0)，
曲線C2是以F1、F2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線，
故C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x242?y232=1.
故選A．
5.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
橢圓的離心率
【解析】
求出大橢圓的離心率等于小橢圓的離心率，然后求解小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)．
【解答】
因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓的扁平程度相同，所以橢圓的離心率相同，
所以兩個(gè)橢圓的離心率相同，
所以2a2b=2a2b，
所以4020=2a10，
所以小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為：20cm．
6.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直
向量的模
【解析】
利用向量平行和向量垂直的性質(zhì)列出方程組，求出x，y，再由平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出a→+b→，由此能求出|a→+b→|．
【解答】
解：由題意知，x，y∈R，向量a→=(x, 1, 1)，b→=(1, y, 1)，c→=(2, ?4, 2)，
且a→⊥c→，b→ // c→，
∴ 2x?4+2=0，12=y?4=12，
解得x=1，y=?2，
∴ a→+b→=(1, 1, 1)+(1, ?2, 1)=(2, ?1, 2)，
∴ |a→+b→|=4+1+4=3．
故選C.
7.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
雙曲線的離心率
【解析】
由題意設(shè)出雙曲線的方程，得到它的一條漸近線方程y=bax即y=?13x，由此可得b:a＝1:3，結(jié)合雙曲線的平方關(guān)系可得c與a的比值，求出該雙曲線的離心率．
【解答】
∵ 雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
∴ 設(shè)雙曲線的方程為 x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，由此可得雙曲線的漸近線方程為y＝±bax，結(jié)合題意一條漸近線方程為y=?13x，得 ba=13，
設(shè)a＝3t，b＝t，則c=a2+b2=10t(t>0)
∴ 該雙曲線的離心率是e=ca=103，
8.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
異面直線及其所成的角
【解析】
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AD1與DB1所成角的余弦值．
【解答】
解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵ 在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，
AB=BC=1，AA1=3，
∴ A(1, 0, 0)，D1(0, 0, 3)，
D(0, 0, 0)，B1(1, 1, 3)，
∴ AD1→=(?1, 0, 3)，DB1→=(1, 1, 3)，
設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為θ，
則csθ=AD→1?DB→1|AD→1|?|DB1→|=225=55，
∴ 異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為55．
故選C．
9.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
【解析】
根據(jù)題意知A、B兩點(diǎn)在直線的異側(cè)或在直線上，
得出不等式(2k?2?1)×(?k?3?1)≤0，求出解集即可．
【解答】
根據(jù)題意，若直線l:kx?y?1＝0與線段AB相交，
則A、B在直線的異側(cè)或在直線上，
則有(2k?2?1)×(?k?3?1)≤0，
即(2k?3)(k+4)≥0，
解得k≤?4或k≥32，
即k的取值范圍是(?∞, ?4]∪[32, +∞)．
10.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
直線與平面所成的角
【解析】
以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值．
【解答】
∵ 正三棱錐P?ABC的側(cè)面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴ 以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA＝PB＝PC＝2，
則A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，C(0, 0, 2)，E(1, 1, 0)，F(xiàn)(0, 1, 1)，
PB→=(0, 2, 0)，PE→=(1, 1, 0)，PF→=(0, 1, 1)，
設(shè)平面PEF的法向量n→=(x, y, z)，
則n→?PE→=x+y=0n→?PF→=y+z=0 ，取x＝1，得n→=(1, ?1, 1)，
設(shè)PB與平面PEF所成角為θ，
則sinθ=|PB→?n→||PB→|?|n→|=223=33．
∴ PB與平面PEF所成角的正弦值為33．
二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）
【答案】
A,B,D
【考點(diǎn)】
圓與圓的位置關(guān)系及其判定
【解析】
兩圓 的方程作差即可求出公共弦的直線方程，即可判斷選項(xiàng)A；求出兩圓圓心坐標(biāo)，即可求出線段AB的中垂線的方程，即可判斷選項(xiàng)B．
求出圓心O1到直線AB的距離d，d+r即為圓O1上的點(diǎn)到直線AB的最大值，利用垂徑定理求出公共弦長(zhǎng)，即可判斷選項(xiàng)CD．
【解答】
∵ 圓O1:x2+y2?2x＝0和圓O2:x2+y2+2x?4y＝0的交點(diǎn)為A，B，
∴ 圓O1與圓O2公共弦AB所在的直線方程為x?y＝0，故A正確；
∵ O1(1, 0)，O2(?1, 2)，O1O2所在直線斜率為?1，
∴ 線段AB的中垂線的方程為y?0＝?(x?1)，即x+y?1＝0，故B正確；
圓O1:x2+y2?2x＝0的圓心為O1(1, 0)，半徑r1＝1，
圓心O1(1, 0)到直線x?y＝0的距離d=12=22．
∴ P到直線AB距離的最大值為22+1，
圓O1與圓O2公共弦AB的長(zhǎng)為21?12=2，故C錯(cuò)誤，D正確．
【答案】
A,C
【考點(diǎn)】
雙曲線的離心率
雙曲線的漸近線
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
根據(jù)條件可求出雙曲線C的方程，再逐一排除即可．
【解答】
解：設(shè)雙曲線C的方程為x2a2?y2b2=1，
根據(jù)條件可知ba=33，所以方程可化為x23b2?y2b2=1，
將點(diǎn)(3, 2)代入得b2=1，所以a2=3，
所以雙曲線C的方程為x23?y2=1，故A對(duì)；
離心率e=ca=a2+b2a2=3+13=233，故B錯(cuò)；
雙曲線C的焦點(diǎn)為(2, 0)，(?2, 0)，
將x=2代入得y=e0?1=0，所以C對(duì)；
聯(lián)立x23?y2=1，x?2y?1=0， 整理得y2?22y+2=0，
則Δ=8?8=0，故只有一個(gè)公共點(diǎn)，故D錯(cuò).
故選AC.
【答案】
A,B,D
【考點(diǎn)】
命題的真假判斷與應(yīng)用
【解析】
根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出三棱錐D1?B1EF的體積為定值，可判斷選項(xiàng)A；
求得異面直線D1B1與EF所成的角為45°可判斷B；
判斷D1B1與平面B1EF不垂直可判斷C；
直線D1B1與平面B1EF所成的角是為30°可判斷D．
【解答】
如圖所示，
三棱錐D1?B1EF的體積為V=13S△D1EF?B1C1=13×12×2×2×1=23為定值，A正確；
EF // D1C1，∠B1D1C1是異面直線D1B1與EF所成的角，為45°，B正確；
D1B1與EF不垂直，由此知D1B1與平面B1EF不垂直，C錯(cuò)誤；
在三棱錐D1B1DC中，設(shè)D1到平面DCB1的距離為?，
VB1?D1DC=VD1?DCB1，即有13×2×12×2×2=13×12×2×22?，解得?=2，
直線D1B1與平面B1EF所成的角的正弦為222=12，即直線D1B1與平面B1EF所成的角為30°，D正確．
綜上，正確的命題為ABD．
【答案】
C,D
【考點(diǎn)】
直線與圓的位置關(guān)系
圓的一般方程
【解析】
令s＝y(tǒng)?x，化為直線的一般方程，利用圓心到直線的距離小于等于半徑求得s的范圍判斷A；同理判斷D；求出圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的最大值判斷B；求出過(guò)原點(diǎn)且與圓有交點(diǎn)的直線的斜率的最大值判斷C．
【解答】
由x2+y2?4x+1＝0，得(x?2)2+y2＝3，
令s＝y(tǒng)?x，即x?y+s＝0，由|2+s|2≤3，解得?6?2≤s≤6?2，
∴ y?x的最大值為6?2，故A正確；
圓心(2, 0)到原點(diǎn)的距離為2，則圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為2+3，
可得x2+y2的最大值為(2+3)2=7+43，故B正確；
設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線的斜率為k，直線方程為y＝kx，由|2k|k2+1≤3，
解得?3≤k≤3，即yx的最大值為3，故C錯(cuò)誤；
令t＝x+y，即x+y?t＝0，由|2?t|2≤3，解得2?6≤t≤2+6，
則x+y的最大值為2+6，故D錯(cuò)誤．
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
【答案】
x2?y24=1
【考點(diǎn)】
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
雙曲線的離心率
【解析】
先根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而代入焦點(diǎn)到漸近線的距離，求得a和b，則雙曲線的漸近線方程可得．
【解答】
∵ 雙曲線的一條漸近線方程是y＝2x，
∴ b＝2a，
又∵ 焦點(diǎn)到漸近線的距離為 2，
∴ b＝2
∴ a＝1，
∴ 雙曲線方程為x2?y24=1．
【答案】
255
【考點(diǎn)】
點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
【解析】
以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，利用向量法能求出點(diǎn)G到平面D1EF的距離．
【解答】
以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，
則G(2, λ, 2)，D1(0, 0, 2)，E(2, 0, 1)，F(xiàn)(2, 2, 1)，
所以D1E→=(2,0,?1)，D1F→=(2,2,?1)，GE→=(0,?λ,?1)，
設(shè)平面D1EF的法向量為n→=(x,y,z)，則2x?z=0,2x+2y?z=0,
令x＝1，則y＝0，z＝2，所以平面D1EF的一個(gè)法向量n→=(1,0,2)．
點(diǎn)G到平面D1EF的距離為|GE→?n→|n→||=|?1×25|=255．
【答案】
(1, 2]
【考點(diǎn)】
雙曲線的離心率
直線與橢圓結(jié)合的最值問(wèn)題
【解析】
雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0, b>0)與直線y=3x無(wú)交點(diǎn)，取雙曲線的漸近線y=bax，則必有ba≤3，再利用離心率計(jì)算公式10, b>0)與直線y=3x無(wú)交點(diǎn)，取雙曲線的漸近線y=bax．
∴ ba≤3，
∴ 10，
x1+x2＝?2，x1x2=?72，
由弦長(zhǎng)公式得|AB|=1+1?4?4?(?72)=6，
點(diǎn)F1(?2, 0)到直線AB:x+y?2＝0的距離d=|?2+0?2|2=22，
所以S?△F1AB=12|AB|d=12?6?22=62．
【考點(diǎn)】
雙曲線的離心率
【解析】
（1）設(shè)所求雙曲線C的方程為y26?x22=λ(λ≠0, λ≠1)，代入點(diǎn)(2, 3)，計(jì)算可得所求方程；
（2）求得兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立雙曲線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，計(jì)算可得所求值．
【解答】
設(shè)所求雙曲線C的方程為y26?x22=λ(λ≠0, λ≠1)，
代入點(diǎn)(2, 3)得96?222=λ，
即λ=?12，所以雙曲線C方程為y26?x22=?12，即x2?y23=1；
F1(?2, 0)，F(xiàn)2(2, 0)．直線AB的方程為y＝2?x．
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，聯(lián)立直線y＝2?x和橢圓方程3x2?y2＝3，
得2x2+4x?7＝0，滿足△＝16+56>0，
x1+x2＝?2，x1x2=?72，
由弦長(zhǎng)公式得|AB|=1+1?4?4?(?72)=6，
點(diǎn)F1(?2, 0)到直線AB:x+y?2＝0的距離d=|?2+0?2|2=22，
所以S?△F1AB=12|AB|d=12?6?22=62．
【答案】
由x2+y2?4x?6y+m＝0可得(x?2)2+(y?3)2＝13?m．
由直線x+y?1＝0與圓相切可得，|2+3?1|2=13?m，
解可得，m＝5，
(i)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程x＝3，此時(shí)MN＝27，不合題意，
(ii)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可知MN所在的直線方程為y?1＝k(x?3)即kx?y+1?3k＝0，
圓心(2, 3)到MN的距離d=|2k?3+1?3k|1+k2=|k+2|1+k2，
根據(jù)直線與圓相交的性質(zhì)可得，23=28?(k+2)21+k2，
解可得，k=12，此時(shí)直線方程x?2y?1＝0，
聯(lián)立(x?2)2+(y?3)2=8x?2y?1=0 可得5y2?10y+2＝0，
設(shè)M(x1, y1)，N(x2, y2)，則y1+y2＝2，y1y2=25，
∴ x1x2＝(1+2y1)(1+2y2)＝1+2(y1+y2)+4y1y2=335，
∴ OM→?ON→=x1x2+y1y2＝7．
【考點(diǎn)】
圓的切線方程
平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算
【解析】
（1）由已知結(jié)合直線與圓相切性質(zhì)即可求解m，
（2）根據(jù)直線與圓相交性質(zhì)及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解．
【解答】
由x2+y2?4x?6y+m＝0可得(x?2)2+(y?3)2＝13?m．
由直線x+y?1＝0與圓相切可得，|2+3?1|2=13?m，
解可得，m＝5，
(i)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程x＝3，此時(shí)MN＝27，不合題意，
(ii)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可知MN所在的直線方程為y?1＝k(x?3)即kx?y+1?3k＝0，
圓心(2, 3)到MN的距離d=|2k?3+1?3k|1+k2=|k+2|1+k2，
根據(jù)直線與圓相交的性質(zhì)可得，23=28?(k+2)21+k2，
解可得，k=12，此時(shí)直線方程x?2y?1＝0，
聯(lián)立(x?2)2+(y?3)2=8x?2y?1=0 可得5y2?10y+2＝0，
設(shè)M(x1, y1)，N(x2, y2)，則y1+y2＝2，y1y2=25，
∴ x1x2＝(1+2y1)(1+2y2)＝1+2(y1+y2)+4y1y2=335，
∴ OM→?ON→=x1x2+y1y2＝7．
【答案】
證明：∵ PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，∴ 平面PAD⊥平面ABCD，
∵ 底面ABCD是矩形，∴ CD⊥AD，
又CD?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD
∴ CD⊥面PAD；
由（1）知，平面PAD⊥平面ABCD，
∵ 底面ABCD是矩形，∴ BA⊥AD，
又BA?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴ BA⊥面PAD，則BA⊥PD，
又BM⊥PD，BA∩BM＝B，∴ PD⊥平面ABM，則PD⊥AM，
∵ PA＝AD，則M為PD的中點(diǎn)，
∴ VM?PAC=12VP?ACD=12×13×12×4×2×4=83，
又S△PAC=12×42+22×4=45，
設(shè)點(diǎn)M到平面PAC的距離為?，則13S△PAC×?=13×45×?=83，
解得?=255；
以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系
【考點(diǎn)】
直線與平面垂直
點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
二面角的平面角及求法
【解析】
（1）由PA⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面ABCD，結(jié)合底面ABCD是矩形，可得CD⊥面PAD；
（2）由（1）知，平面PAD⊥平面ABCD，得到BA⊥PD，再由已知BM⊥PD，可得PD⊥平面ABM，即PD⊥AM，進(jìn)一步得到M為PD的中點(diǎn)，再由等體積法求M到平面PAC的距離；
（3）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BAM與平面CAM的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角B?AM?C的余弦值．
【解答】
證明：∵ PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，∴ 平面PAD⊥平面ABCD，
∵ 底面ABCD是矩形，∴ CD⊥AD，
又CD?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD
∴ CD⊥面PAD；
由（1）知，平面PAD⊥平面ABCD，
∵ 底面ABCD是矩形，∴ BA⊥AD，
又BA?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴ BA⊥面PAD，則BA⊥PD，
又BM⊥PD，BA∩BM＝B，∴ PD⊥平面ABM，則PD⊥AM，
∵ PA＝AD，則M為PD的中點(diǎn)，
∴ VM?PAC=12VP?ACD=12×13×12×4×2×4=83，
又S△PAC=12×42+22×4=45，
設(shè)點(diǎn)M到平面PAC的距離為?，則13S△PAC×?=13×45×?=83，
解得?=255；
以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系
【答案】
由已知可得c=2，且F1(?2, 0)，F(xiàn)2(2, 0)，
圓Q的圓心Q(2, 1)，所以|QF1|+|QF2|＝3+1＝4＝2a，
所以a＝2，則b2＝a2?c2＝4?2＝2，
所以橢圓C1的方程為：x24+y22=1；
當(dāng)l1平行于x軸時(shí)，l2與圓Q無(wú)公共點(diǎn)，從而三角形MAB不存在，
故可設(shè)l1:x＝t(y?1)，l2:tx+y?1＝0，
由x24+y22=1x=t(y?1) ，消去x整理可得：(t2+2)y2?2t2y+t2?4＝0，
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，由韋達(dá)定理可得：y1+y2=2t2t2+2y1y2=t2?4t2+2 ，
則|AB|=1+t2|y1?y2|=1+t2?(y1+y2)2?4y1y2=2(1+t2)(2t2+8)t2+2，
又圓心Q(2, 1)到直線l2的距離為d2=|2?t+t|1+t2=21+t2，
所以三角形MAB的面積為S=12|AB|?d2=2t2+4t2+2，
令u=t2+4∈[2, 5)，則S＝f(u)=2uu2?2=2u?2u，
因?yàn)閡?2u在區(qū)間[2, 5)上單調(diào)遞增，所以u(píng)?2u∈[1, 355)，
所以2u?2u∈(253,2]，
所以三角形MAB的面積的取值范圍為(253,2]．
【考點(diǎn)】
橢圓的應(yīng)用
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
直線與橢圓的位置關(guān)系
橢圓的離心率
【解析】
（1）利用橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及圓心Q滿足的關(guān)系式即可求出橢圓方程；
（2）先分析可得直線l1與x軸不可能平行，然后設(shè)出直線l1，l2的方程，聯(lián)立橢圓方程和l1的方程，由韋達(dá)定理得出坐標(biāo)關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求出|AB|的長(zhǎng)度，
再求出圓心Q到直線l2的距離，進(jìn)而可以求出三角形MAB的面積表達(dá)式，再利用函數(shù)的性質(zhì)求出范圍即可．
【解答】
由已知可得c=2，且F1(?2, 0)，F(xiàn)2(2, 0)，
圓Q的圓心Q(2, 1)，所以|QF1|+|QF2|＝3+1＝4＝2a，
所以a＝2，則b2＝a2?c2＝4?2＝2，
所以橢圓C1的方程為：x24+y22=1；
當(dāng)l1平行于x軸時(shí)，l2與圓Q無(wú)公共點(diǎn)，從而三角形MAB不存在，
故可設(shè)l1:x＝t(y?1)，l2:tx+y?1＝0，
由x24+y22=1x=t(y?1) ，消去x整理可得：(t2+2)y2?2t2y+t2?4＝0，
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，由韋達(dá)定理可得：y1+y2=2t2t2+2y1y2=t2?4t2+2 ，
則|AB|=1+t2|y1?y2|=1+t2?(y1+y2)2?4y1y2=2(1+t2)(2t2+8)t2+2，
又圓心Q(2, 1)到直線l2的距離為d2=|2?t+t|1+t2=21+t2，
所以三角形MAB的面積為S=12|AB|?d2=2t2+4t2+2，
令u=t2+4∈[2, 5)，則S＝f(u)=2uu2?2=2u?2u，
因?yàn)閡?2u在區(qū)間[2, 5)上單調(diào)遞增，所以u(píng)?2u∈[1, 355)，
所以2u?2u∈(253,2]，
所以三角形MAB的面積的取值范圍為(253,2]．

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