勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及推論；(2)自由落體運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)；(3)多過程問題。
例1．( 2019全國(guó)I卷?18)如圖，籃球架下的運(yùn)動(dòng)員原地垂直起跳扣籃，離地后重心上升的最大高度為H。上升第一個(gè)eq \f(H,4)所用的時(shí)間為t1，第四個(gè)eq \f(H,4)所用的時(shí)間為t2。不計(jì)空氣阻力，則eq \f(t2,t1)滿足( )
A．1＜eq \f(t2,t1)＜2 B．2＜eq \f(t2,t1)＜3
C．3＜eq \f(t2,t1)＜4 D．4＜eq \f(t2,t1)＜5
【答案】C
【解析】運(yùn)動(dòng)員起跳到達(dá)最高點(diǎn)的瞬間速度為零，又不計(jì)空氣阻力，故可逆向處理為自由落體運(yùn)動(dòng)。則根據(jù)初速度為零勻加速運(yùn)動(dòng)，相等相鄰位移時(shí)間關(guān)系：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶(2－eq \r(3))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))，可知eq \f(t2,t1)＝eq \f(1,2－\r(3))＝2＋eq \r(3)，即3＜eq \f(t2,t1)＜4，故選項(xiàng)C正確。
【點(diǎn)睛】本題主要考察勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，解答本題要掌握初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)中，通過連續(xù)相等的位移所用時(shí)間之比，同時(shí)注意逆向思維的應(yīng)用。
例2．(2020全國(guó)I卷?24)我國(guó)自主研制了運(yùn)－20重型運(yùn)輸機(jī)。飛機(jī)獲得的升力大小F可用F＝kv2描寫，k為系數(shù)；v是飛機(jī)在平直跑道上的滑行速度，F(xiàn)與飛機(jī)所受重力相等時(shí)的v稱為飛機(jī)的起飛離地速度，已知飛機(jī)質(zhì)量為1.21×105 kg時(shí)，起飛離地速度為66 m/s；裝載貨物后質(zhì)量為1.69×105 kg，裝載貨物前后起飛離地時(shí)的k值可視為不變。
(1)求飛機(jī)裝載貨物后的起飛離地速度；
(2)若該飛機(jī)裝載貨物后，從靜止開始勻加速滑行1521 m起飛離地，求飛機(jī)在滑行過程中加速度的大小和所用的時(shí)間。
【解析】(1)空載起飛時(shí)，升力正好等于重力：kv12＝m1g
滿載起飛時(shí)，升力正好等于重力：kv22＝m2g
由上兩式解得：v2＝78 m/s。
(2)滿載貨物的飛機(jī)做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以
v22＝2ax
v2＝at
解得：a＝2 m/s2，t＝39 s。
【點(diǎn)睛】本題結(jié)合牛頓第二定律的綜合應(yīng)用考查勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移和速度公式，涉及的物理過程比較復(fù)雜，弄清楚運(yùn)動(dòng)情況和受力情況是解題的關(guān)鍵。
1．在一次交通事故中，交通警察測(cè)量出肇事車輛的剎車痕跡是30 m，該車輛最大剎車加速度是15 m/s2，該路段的限速為60 km/h。則該車( )
A．超速 B．不超速
C．無法判斷 D．速度剛好是60 km/h
【答案】A
【解析】如果以最大剎車加速度剎車，那么由v＝eq \r(2ax)可求得剎車時(shí)的速度為30 m/s＝108 km/h，所以該車超速行駛，A項(xiàng)正確。
2．一列火車從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，一人站在第一節(jié)車廂前端的旁邊觀測(cè)，第一節(jié)車廂通過他歷時(shí)2 s，整列車廂通過他歷時(shí)8 s，則這列火車的車廂有( )
A．14節(jié) B．15節(jié) C．16節(jié) D．17節(jié)
【答案】C
【解析】火車做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則L＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)，全部車廂通過時(shí)nL＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,n)，解得n＝16，故A項(xiàng)正確。
3．2020年5月15日消息，我國(guó)新飛船試驗(yàn)艙在預(yù)定區(qū)域成功著陸，試驗(yàn)取得圓滿成功，這也標(biāo)志著中國(guó)載人航天工程邁出了重要的一步。若試驗(yàn)艙離月面某一高度時(shí)，速度減小為零后，自由下落著陸，測(cè)得在第4 s內(nèi)的位移是5.6 m，此時(shí)試驗(yàn)艙還未落地，則( )
A．試驗(yàn)艙在前4 s內(nèi)的位移是25.6 m
B．月球表面的重力加速度大小為1.6 m/s2
C．試驗(yàn)艙在4 s末的速度是12.8 m/s
D．試驗(yàn)艙在第4 s內(nèi)的平均速度是1.4 m/s
【答案】B
【解析】第4 s內(nèi)的位移是5.6 m，有eq \f(1,2)gt12－eq \f(1,2)gt22＝5.6 m，其中t1＝4 s，t2＝3 s，解得g＝1.6 m/s2，則試驗(yàn)艙在前4 s內(nèi)的位移是x1＝eq \f(1,2)gt12＝12.8 m，選項(xiàng)A錯(cuò)誤、B正確；試驗(yàn)艙在4 s末的速度v5＝gt＝6.4 m/s，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；試驗(yàn)艙在第4 s內(nèi)的平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(x,t)＝5.6 m/s，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
4．為了研究汽車的啟動(dòng)和制動(dòng)性能，現(xiàn)用甲、乙兩輛完全相同的汽車在平直公路上分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。讓甲車以最大加速度a1加速到最大速度后勻速運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間再以最大加速度a2制動(dòng)，直到停止；乙車以最大加速度a1加速到最大速度后立即以加速度eq \f(1,2)a2制動(dòng)，直到停止。實(shí)驗(yàn)測(cè)得甲、乙兩車的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，且兩車運(yùn)動(dòng)的位移之比為5∶4。則a1∶a2的值為( )
A．2∶1 B．1∶2 C．4∶3 D．4∶5
【答案】B
【解析】根據(jù)題述，作出甲乙兩車的速度－時(shí)間圖象，如圖所示。設(shè)甲車勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1，總時(shí)間為t。則有eq \f(t1＋t,2)v∶eq \f(t,2)v＝5∶4，解得t1∶t＝1∶4。乙車以最大加速度a，加速到最大速度后立即以加速度eq \f(a2,2)制動(dòng)，直到停止，根據(jù)速度—時(shí)間圖線的斜率表示加速度，可知乙車勻減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是甲車勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間的2倍，則甲車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間和勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，可知?jiǎng)蚣铀龠\(yùn)動(dòng)時(shí)間和勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為2∶1，可知a1∶a2＝1∶2，B項(xiàng)正確。
5．(多選)一物體自距地面高H處自由下落，不計(jì)空氣阻力，經(jīng)時(shí)間t落地，此時(shí)速度為v，則( )
A．eq \f(1,2)t時(shí)物體距地面高度為eq \f(1,4)H
B．eq \f(1,2)t時(shí)物體距地面高度為eq \f(3,4)H
C．物體下落eq \f(1,2)H時(shí)速度為eq \f(\r(2),2)v
D．物體下落eq \f(1,2)H時(shí)速度為eq \f(1,2)v
【答案】BC
【解析】根據(jù)位移時(shí)間公式h＝eq \f(1,2)gt2知，在前一半時(shí)間和后一半時(shí)間內(nèi)的位移之比為1∶3，則前一半時(shí)間內(nèi)的位移為eq \f(1,4)H，此時(shí)距離地面的高度為eq \f(3,4)H，故A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)v2＝2gH知，物體下落eq \f(1,2)H時(shí)的速度為v′＝eq \f(\r(2),2)v，故C正確，D錯(cuò)誤。
6．物體以20 m/s的速度從坡底沖上一足夠長(zhǎng)的斜坡，當(dāng)它返回坡底時(shí)的速度大小為16 m/s。已知上坡和下坡兩個(gè)階段物體均沿同一直線做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，但上坡和下坡的加速度不同。則物體上坡和下坡所用的時(shí)間之比為( )
A．4∶5 B．5∶4 C．2∶3 D．3∶2
【答案】A
【解析】設(shè)物體沿斜坡運(yùn)動(dòng)的位移為x，上坡時(shí)的加速度為a1，所用時(shí)間為t1，下坡時(shí)的加速度為a2，所用時(shí)間為t2，則有x＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)＝eq \f(1,2)v1t1，x＝eq \f(1,2)a2teq \\al(2,2)＝eq \f(1,2)v2t2，聯(lián)立解得t1∶t2＝4∶5，所以A項(xiàng)正確。
7．如圖所示，水平桌面由粗糙程度不同的AB、BC兩部分組成，且AB＝BC。小物塊P(可視為質(zhì)點(diǎn))以某一初速度從A點(diǎn)滑上桌面，最后恰好停在C點(diǎn)，已知物塊經(jīng)過AB與BC兩部分的時(shí)間之比為1∶4，則物塊P與桌面上AB、BC部分之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1、μ2之比為(P物塊在AB、BC上所做兩段運(yùn)動(dòng)可看作勻變速直線運(yùn)動(dòng))( )
A．1∶4 B．8∶1
C．1∶1 D．4∶1
【答案】B
【解析】設(shè)B點(diǎn)的速度為vB，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)平均速度的推論有eq \f(v0＋vB,2)t1＝eq \f(vB,2)t2，又t1∶t2＝1∶4，解得vB＝eq \f(v0,3)，在AB上的加速度為a1＝μ1g＝eq \f(v0－vB,t1)，在BC上的加速度為a2＝μ2g＝eq \f(vB,t2)，聯(lián)立解得μ1∶μ2＝8∶1，故選B項(xiàng)。
8．如圖所示，質(zhì)點(diǎn)a、b在直線PQ上的兩個(gè)端點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)a從P沿PQ做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過位移x1時(shí)質(zhì)點(diǎn)b從Q沿PQ方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，位移x2時(shí)和質(zhì)點(diǎn)a相遇，兩質(zhì)點(diǎn)的加速度大小相同，則PQ距離為( )
A．x1＋2x2＋2eq \r(x1x2) B．2x1＋x2＋2eq \r(x1x2)
C．x1＋2x2＋eq \r(2x1x2) D．2x1＋x2＋eq \r(2x1x2)
【答案】A
【解析】質(zhì)點(diǎn)a經(jīng)過時(shí)間t1運(yùn)動(dòng)位移x1，再經(jīng)過t2相遇，則時(shí)間t1末速度為at1。x1＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)、x2＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,2)，兩式相除可知t2＝eq \r(\f(x2,x1))t1，在t2運(yùn)動(dòng)位移x3＝(at1)t2＋eq \f(1,2)ateq \\al(2,2)＝x2＋2eq \r(x1x2)，PQ＝x1＋x2＋x3＝x1＋2x2＋2eq \r(x1x2)，A項(xiàng)正確。
9．如圖所示是一種較精確測(cè)重力加速度g值的方法：將下端裝有彈射裝置的真空玻璃直管豎直放置，玻璃管足夠長(zhǎng)，小球豎直向上被彈出，在O點(diǎn)與彈簧分離，然后返回。在O點(diǎn)正上方選取一點(diǎn)P，利用儀器精確測(cè)得OP間的距離為H，從O點(diǎn)出發(fā)至返回O點(diǎn)的時(shí)間間隔為T1，小球兩次經(jīng)過P點(diǎn)的時(shí)間間隔為T2。求：
(1)重力加速度g；
(2)若O點(diǎn)距玻璃管底部的距離為L(zhǎng)0，玻璃管最小長(zhǎng)度。
【解析】(1)小球從O點(diǎn)上升到最大高度過程中h1＝eq \f(1,2)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T1,2)))2
小球從P點(diǎn)上升的最大高度h2＝eq \f(1,2)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T2,2)))2
依據(jù)題意h1－h(huán)2＝H
聯(lián)立解得：g＝eq \f(8H,T\\al(2,1 )－T\\al(2,2 ))。
(2)真空管至少的長(zhǎng)度L＝L0＋h1
故L＝L0＋eq \f(T\\al(2,1)H,T\\al(2,1)－T\\al(2,2))。
10．如圖所示，一輛汽車(視為質(zhì)點(diǎn))在一水平直路面ABC上運(yùn)動(dòng)，AB的長(zhǎng)度為x1＝25 m，BC的長(zhǎng)度為x2＝97 m。汽車從A點(diǎn)由靜止啟動(dòng)，在AB段做加速度大小為a1＝2.0 m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。在BC段，先做加速度大小為a2＝1.0 m/s2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)到離C點(diǎn)適當(dāng)距離處，再以大小為a3＝2.0 m/s2的加速度做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，汽車恰好停在C點(diǎn)。求：
(1)汽車達(dá)到的最大速度vm和開始減速時(shí)離C點(diǎn)的距離d；
(2)汽車從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用的時(shí)間t。
【解析】(1)由x1＝eq \f(1,2)a1t12和vB2＝2a1x1可得
汽車在AB段運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1＝eq \r(\f(2x1,a1))＝5 s
到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度vB＝eq \r(2a1x1)＝10 m/s
設(shè)汽車在BC段之間由B到D時(shí)加速行駛，距離為d′，有
vm2－vB2＝2a2d′
由D到C時(shí)減速行駛，距離為d，有0－vm2＝－2a3d
且d′＋d＝x2
解得汽車的最大速度vm＝14 m/s
開始減速時(shí)汽車離C點(diǎn)的距離d＝eq \f(vm2,2a3)＝49 m。
(2)由B到D，汽車加速行駛，由vm＝vB＋a2t2得：行駛時(shí)間t2＝eq \f(vm－vB,a2)＝4 s
由D到C，汽車減速行駛直到靜止，由0＝vm－a3t3得：行駛時(shí)間t3＝eq \f(vm,a3)＝7 s
故汽車從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用的時(shí)間t＝t1＋t2＋t3＝16 s。
11．我國(guó)高速公路開通了電子不停車收費(fèi)系統(tǒng)。汽車可以分別通過ETC通道和人工收費(fèi)通道，如圖所示。假設(shè)汽車以正常行駛速度v1＝16 m/s朝收費(fèi)站沿直線行駛，如果過ETC通道，需要在距收費(fèi)站中心線前d＝8 m處勻減速至v2＝4 m/s，然后勻速通過該區(qū)域，再勻加速至v1正常行駛；如果過人工收費(fèi)通道，需要恰好在中心線處勻減速至零，經(jīng)過t0＝25 s繳費(fèi)成功后，再啟動(dòng)汽車勻加速至v1正常行駛。設(shè)汽車在減速和加速過程中的加速度大小分別為a1＝2 m/s2，a2＝1 m/s2。求：
(1)汽車過ETC通道時(shí)，從開始減速到恢復(fù)正常行駛過程中的位移大??；
(2)汽車通過ETC通道比通過人工收費(fèi)通道速度再達(dá)到v1時(shí)節(jié)約的時(shí)間Δt是多少？
【解析】(1)設(shè)汽車通過ETC通道時(shí)的勻減速過程的位移為x1，勻加速過程的位移為x2，則
x1＝eq \f(v22－v12,－2a1)＝60 m
x2＝eq \f(v12－v22,2a2)＝120 m
汽車的總位移x＝x1＋d＋x2＝188 m。
(2)汽車通過ETC通道時(shí)，勻減速過程的時(shí)間t1＝eq \f(v1－v2,a1)＝6 s
勻速過程的時(shí)間t2＝eq \f(d,v2)＝2 s
勻加速過程的時(shí)間t3＝eq \f(v1－v2,a2)＝12 s
所以汽車通過ETC通道的總時(shí)間t＝t1＋t2＋t3＝20 s
汽車通過人工收費(fèi)通道時(shí)，勻減速過程的時(shí)間t1′＝eq \f(v1,a1)＝8 s
勻加速過程的時(shí)間t2′＝eq \f(v1,a2)＝16 s
所以汽車通過人工通道的總時(shí)間t′＝t1′＋t0＋t2′＝49 s
則節(jié)約的時(shí)間Δt＝t′－t＝29 s。
12．如圖，一根細(xì)直棒長(zhǎng)度為5 m，用手提著其上端，在其下端的路面上方有一個(gè)長(zhǎng)度為5 m的、內(nèi)徑比直棒略大的空心豎直管子。如果該空心管子安放在平直公路上方，汽車從正下方通過時(shí)剛好碰不到管子。已知細(xì)直棒的下端與空心管的上端相距10 m，現(xiàn)放手讓直棒做自由落體運(yùn)動(dòng)。（不計(jì)空氣阻力，g取10 m/s2）
(1)求直棒通過該空心管所用的時(shí)間；（直棒通過管后繼續(xù)進(jìn)入公路下的直徑略大于細(xì)棒的深坑）
(2)當(dāng)棒開始下落時(shí)，汽車以20 m/s的速度在距離管子36 m處向管子駛來，汽車會(huì)不會(huì)碰到直棒？如不會(huì)，請(qǐng)說明為什么；如會(huì)，在不改變車行駛方向的情況下，司機(jī)該如何處理？（計(jì)算時(shí)不考慮車的大?。?br>【解析】(1)直棒的下端到達(dá)管子的上端的時(shí)間t1＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(2) s
直棒的上端到達(dá)管子的下端的時(shí)間
則直棒通過該空心管所用的時(shí)間t＝t2－t1＝(2－eq \r(2)) s。
(2)若汽車勻速運(yùn)動(dòng)，則到達(dá)管子處的時(shí)間，汽車肯定要碰到管子
要使汽車不碰到管子，則汽車在2 s內(nèi)的位移小于36 m，即：
36＝20×2＋eq \f(1,2)×a×22
解得a＝－2 m/s2
即汽車減速運(yùn)動(dòng)的加速度a>2 m/s2
管子下端到達(dá)地面的時(shí)間為：
要使汽車不碰到管子，則汽車在eq \r(3) s內(nèi)的位移大于36 m，即：
36＝20×eq \r(3)＋eq \f(1,2)×a′×eq \r(3)2
解得a′＝0.9 m/s2
即汽車加速運(yùn)動(dòng)的加速度a′>0.9 m/s2。

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